Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

Подписываем
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Контрольная работа 2
“ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ”
ЗАДАНИЕ 1а. Найти частные производные и функции:
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. |
20. |
21. |
22. |
23. |
24. |
25. |
26. |
27. |
28. |
29. |
30. |
ЗАДАНИЕ № 1 б. Найти и функции:
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. |
20. |
21. |
22. |
23. |
24. |
25. |
26. |
27. |
28. |
29. |
30. |
ЗАДАНИЕ 2. Показать, что
1. |
для функции . |
2. |
для функции |
3. |
для функции . |
4. |
для функции . |
5. |
для функции . |
6. |
для функции |
7. |
для функции . |
8. |
для функции . |
9. |
для функции . |
10. |
для функции . |
11. |
для функции . |
12. |
для функции . |
13. |
для функции . |
14. |
для функции . |
15. |
для функции . |
16. |
для функции . |
17. |
для функции . |
18. |
для функции |
19. |
для функции . |
20. |
для функции . |
21. |
для функции . |
22. |
для функции |
23. |
для функции . |
24. |
для функции . |
25. |
для функции . |
26. |
для функции . |
27. |
для функции . |
28. |
для функции . |
29. |
для функции . |
30. |
для функции . |
ЗАДАНИЕ 4. Исследовать на экстремум:
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. |
20. |
21. |
22. |
23. |
24. |
25. |
26. |
27. |
28. |
29. |
30. |
ЗАДАНИЕ 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1. |
в треугольнике со сторонами . |
2. |
в треугольнике со сторонами . |
3. |
в замкнутой области, ограниченной и осью . |
4. |
в треугольнике со сторонами . |
5. |
в треугольнике со сторонами |
6. |
в замкнутой области, ограниченной и осью . |
7. |
в квадрате |
8. |
в квадрате |
9. |
в замкнутой области, ограниченной линиями и |
10. |
в области, ограниченной прямыми |
11. |
в области, ограниченной прямыми |
12. |
в прямоугольнике, ограниченном прямыми |
13. |
в треугольнике со сторонами |
14. |
в треугольнике со сторонами |
15. |
в треугольнике со сторонами |
16. |
в квадрате, ограниченном прямыми |
17. |
в треугольнике со сторонами . |
18. |
в треугольнике со сторонами . |
19. |
в замкнутой области, ограниченной и осью . |
20. |
в треугольнике со сторонами . |
21. |
в треугольнике со сторонами |
22. |
в замкнутой области, ограниченной и осью . |
23. |
в квадрате |
24. |
в квадрате |
25. |
в замкнутой области, ограниченной линиями и |
26. |
в области, ограниченной прямыми |
27. |
в области, ограниченной прямыми |
28. |
в прямоугольнике, ограниченном прямыми |
29. |
в треугольнике со сторонами |
30. |
в треугольнике со сторонами |
ЗАДАНИЕ 6. Найти производную функции:
1. |
в точке (3; 1) в направлении от этой точки к точке (6; 5). |
2. |
в точке (1; 1) в направлении биссектрисы 1-го координатного угла. |
3. |
в точке (2; 1) в направлении от этой точки к началу координат. |
4. |
в точке (1; 1) в направлении луча, образующего угол в 60о с осью ОХ. |
5. |
в начале координат в направлении луча, образующего угол в 30о с осью OX. |
6. |
в точке (1; 3) по направлению вектора . |
7. |
в точке (1; 2) в направлении, составляющем с осью OX угол в 60о. |
8. |
в точке (1; 2) в направлении вектора, образующего с осью OX угол в 45о. |
9. |
в точке (3; 1) по направлению вектора . |
10. |
в точке (1; 1) в направлении биссектрисы 1-го координатного угла. |
11. |
в точке (1; 2) в направлении от этой точки к точке (1; 1). |
12. |
в точке (1; 1) в направлении, образующем углы α = 30о, β = 60о. |
13. |
в точке (4; 1) в направлении от этой точки к точке (5; 1). |
14. |
в точке (5; 1) в направлении от этой точки к точке (9; 4). |
15. |
в точке (1; 1) по направлению вектора . |
16. |
в точке (1; 1) в направлении от этой точки к точке (2; 2). |
17. |
в точке (3; 1) в направлении от этой точки к точке (6; 5). |
18. |
в точке (1; 1) в направлении биссектрисы 1-го координатного угла. |
19. |
в точке (2; 1) в направлении от этой точки к началу координат. |
20. |
в точке (1; 1) в направлении луча, образующего угол в 60о с осью ОХ. |
21. |
в начале координат в направлении луча, образующего угол в 30о с осью OX. |
22. |
в точке (1; 3) по направлению вектора . |
23. |
в точке (1; 2) в направлении, составляющем с осью OX угол в 60о. |
24. |
в точке (1; 2) в направлении вектора, образующего с осью OX угол в 45о. |
25. |
в точке (3; 1) по направлению вектора . |
26. |
в точке (1; 1) в направлении биссектрисы 1-го координатного угла. |
27. |
в точке (1; 2) в направлении от этой точки к точке (1; 1). |
28. |
в точке (1; 1) в направлении, образующем углы α = 30о, β = 60о. |
29. |
в точке (4; 1) в направлении от этой точки к точке (5; 1). |
30. |
в точке (5; 1) в направлении от этой точки к точке (9; 4). |
Образец выполнения контрольной работы
“ Функции нескольких переменных ”
1) Найти и функции .
Решение Считаем переменную “y” постоянной величиной.
Считаем переменную “х” постоянной величиной.
Ответ:
2) Показать, что при .
Решение. Сначала найдем первые частные производные
Теперь находим смешанные вторые частные производные и сравниваем их.
Видим, что смешанные производные равны, что и требовалось доказать.
3) Вычислить приближенно с помощью дифференциала .
Решение. Введем функцию двух переменных . Так как 2,01=2+0,01, . Аналогично , т. к. . Воспользуемся тем, что при малых и .
Так как ,
отсюда следует, что .
Заменим приращение функции ее дифференциалом ,
где .
Тогда ,
т. е. в данном случае .
Вычислим . Найдем . Для этого сначала найдем частную производную по в произвольной точке.
.
Теперь найдем
;
.
Находим искомое значение корня
.
Если найти на калькуляторе, то получим . Различие только в четвертом знаке после запятой.
Ответ: .
4) Исследовать на экстремум функцию .
Решение. Найдем сначала стационарные точки, т. е. те точки, в которых частные производные одновременно равны нулю:
Изменим порядок во втором уравнении и приведем систему линейных уравнений к стандартному виду, чтобы ее можно было решить методом Крамера.
.
Нашли одну стационарную точку, в которой , это точка .
Выясним с помощью вторых производных, есть ли в экстремум, и, если есть, какой.
Составляем определитель .
Так как , экстремум существует. Так как , в стационарной точке функция имеет минимум. Найдем его.
.
Ответ: .
5) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике со сторонами .
Решение. Так как свои наибольшее и наименьшее значения непрерывная функция может иметь или в стационарной точке внутри рассматриваемой области или на границе этой области, задачу будем решать в два действия. Найдем стационарные точки и значения функции в тех из них, которые лежат в рассматриваемой области.
Рисунок 7
Рассмотрим границу : Подставляя в выражение функции, получим
Получили задачу на экстремум для функции одной переменной. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . Находим при , а это значение не входит в рассматриваемый отрезок . На концах отрезка значения функции уже подсчитаны, это и .
Переходим к границе : . Подставляя в выражение функции, получим .
Снова решаем задачу для функции одной переменной. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Находим при . Эта точка входит в отрезок . Поэтому вычислим значение функции в этой точке.
.
На концах отрезка значения функции подсчитаны заранее, это и .
Рассматриваем третью границу : . Выразим и подставим в выражение функции:
.
Ищем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Находим при , а это значение не входит в . Теперь выбираем из найденных значений функции наибольшее. Это значение равно 6 в точке . А наименьшее значение принимается в двух точках: и .
Ответ: , .
6) Найти производную функции в точке в направлении от этой точки к точке .
Решение. Напишем формулу производной функции по направлению вектора .
,
где орт направления вектора .
Сначала найдем вектор , в направлении которого будем искать производную. . Найдем длину . . Направляющие косинусы вектора совпадают с координатами орта , поэтому .
Теперь найдем частные производные функции .
Все найденные значения подставляем в формулу производной по направлению:
Вывод. Функция убывает по направлению вектора , так как полученная производная меньше нуля.
Ответ: