Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Линейные пространства
1 Определение линейного пространства
Множество L называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:
1. Каждой паре элементов x и y из L отвечает элемент x + y из L, называемый суммой x и y, причём:
x + y = y + x − сложение коммутативно;
x + (y + z) = (x + y) + z − сложение ассоциативно;
x + 0 = x − существует единственный нулевой элемент 0 ( x + 0 = x для любого x из L);
x + (− x) = 0 − для каждого элемента x из L существует единственный противоположный элемент −x ( x + (−x) = 0 для любого x из L).
2. Каждой паре x и α, где α − число, а x элемент из L, отвечает элемент α·x, наываемый произведением α и x, причём:
α·(β·x) = (α·β)·x − умножнение на число ассоциативно: ;
1·x = x − для любого элемента x из L.
3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:
α·(x + y) = α·x + α·y − умножнение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;
(α + β)·x = α·x + β·x − умножнение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.
Примеры
Определение
Линейное, или векторное пространство над полем — это упорядоченная четвёрка , где
— непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;
— (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами;
— операция сложения векторов, сопоставляющая каждой паре элементов множества единственный элемент множества , обозначаемый ;
— операция умножения векторов на скаляры, сопоставляющая каждому элементу поля и каждому элементу множества единственный элемент множества , обозначаемый ;
причём, заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:
2 Линейная зависимость и независимость векторов пространства
Набор векторов называется системой векторов.
Система из векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что
|
(1.1) |
Система из векторов называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства (1.1) тривиальная.
Система векторов ·i, j линейного пространства R2 геометрических радиусов векторов плоскости линейно независима. Действительно.
i = (1, 0), j = (0, 1), С1·i + С2· j = (С1, С2), а из (С1, С2) = 0 следует, что С1 = 0 и С1 = 0, т.е. система векторов i, j из R2 линейно независима.
3 Размерность и базис векторного пространства. Координаты вектора пространства. Матрица системы векторов
Размерность пространства — количество независимых параметров, необходимых для описания состояния объекта
Ба́зис — набор n векторов в n-мерном линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их линейной комбинации, при этом ни один из базисных векторов не представим в виде линейной комбинации остальных.
В более точной формулировке, базис в векторном пространстве — это упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что любой вектор этого пространства разложим по ней.
(не нашёл матрицу системы векторов - найдёш, скинь пожалуйста)
4 Матрица перехода от базиса к базису
Ма́трицей перехо́да от базиса к базису является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов в базисе .
Обозначается
Представление
Так как
.
.
.
.
Матрица перехода это
(если вдруг найдёшь формулу перехода, скинь плиз)
5 Евклидово пространство
Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.
В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно -мерное евклидово пространство обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .
1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём (положительно определенным)скалярным произведением, порождающим норму:
,
в простейшем случае (евклидова норма):
где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).