Задание 108 Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора заданного в базисе сле

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Задание 10.8

Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в базисе следующей матрицей.

1. а) , б) ;

2. а) , б) ;

3. а) , б) ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ;

6. а) , б) ;

7. а) , б) ;

8. а) , б) ;

9. а) , б) ;

10. а) , б) ;

11. а) , б) ;

12. а) , б) ;

13. а) , б) ;

14. а) , б) ;

15. а) , б) ;

16. а) , б) ;

17. а) , б) ;

18. а) , б) ;

19. а) , б) ;

20. а) , б) ;

21. а) , б) ;

22. а) , б) ;

23. а) , б) ;

24. а) , б) ;

25. а) , б) ;

26. а) , б) ;

27. а) , б) ;

28. а) , б) ;

29. а) , б) ;

30. а) , б) .

Задание 10.9

Привести матрицу A к диагональному виду.

1. . 3. .

2. . 4. .

5. . 14. .

6. . 15. .

7. . 16. .

8. . 17. .

9. . 18. .

10. . 19. .

11. . 20. .

12. . 21. .

13. . 22. .

23. . 27. .

24. . 28. .

25. . 29. .

26. . 30. .

Задание 10.10

Приведите квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) ;

27) ;

28) ;

29) ;

30) .

Задание 10.11

Приведите квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

26) ;

27) ;

28) ;

29) ;

30) .

Задание 10.12

Исследуйте кривую второго порядка и постройте ее график.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) ;

27) ;

28) ;

29) ;

30) .

XI. Ряды

1. Числовые ряды. Сходимость числового ряда

Числовым рядом называется выражение вида

, (1)

в котором слагаемые – числа, называемые членами ряда.

Сумма n первых членов ряда

называется n-й частичной суммой ряда. Если существует конечный предел , то числовой ряд (1) называется сходящимся, а число S – суммой ряда; в противном случае числовой ряд называется расходящимся. Ряд называется n-м остатком ряда; ряд (1) сходится, если его n-е остатки сходятся и их суммы стремятся к нулю.

Пример 1. Доказать сходимость рядов:

a) ; б) , .

Решение. а) Общий член ряда . Эту дробь можно представить в виде суммы двух простых дробей

Поэтому n-ю частичную сумму ряда можно записать следующим образом:

Имеем . Таким образом, наш числовой ряд сходится к сумме .

б) Члены числового ряда образуют геометрическую прогрессию с первым (нулевым) членом и знаменателем q. При прогрессия является убывающей и ряд сходится к .

Критерий Коши. Для сходимости числового ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало натуральное число такое, что для любых n > N и m > 0 справедливо неравенство

. (2)

Пример 2. Доказать расходимость гармонического ряда .

Решение. Зададимся и и найдём номер N, такой, что для любого

Имеем

, ,

В последней сумме n слагаемых и наименьшее из них равно . Если каждое из слагаемых заменить на меньшее, то сумма уменьшится, поэтому

Как видим, для любого n и не выполняется условие критерия Коши, следовательно, ряд расходится.

Необходимое условие сходимости. Если числовой ряд (1) сходится, то .

Пример 3. Доказать расходимость ряда .

Решение. Проверим выполнение необходимого условия сходимости. Имеем ,

Так как , то ряд расходится.

Отметим, что необходимое условие сходимости () не является достаточным для сходимости ряда (пример 2).

2. Признаки сходимости числовых рядов

Теорема 1 (первый признак сравнения). Пусть наряду с рядом (1) дан числовой ряд и пусть для любого . Тогда

`если ряд сходится, то ряд (1) также сходится;
если ряд расходится, то ряд также расходится.

Теорема 2 (второй признак сравнения). Пусть наряду с рядом (1) дан числовой ряд и пусть существует предел , при этом . Тогда ряды и ведут себя одинаково в смысле сходимости (т.е. или одновременно сходятся, или одновременно расходятся).

Часто при исследовании на сходимость ряда используется тот хорошо известный факт, что ряд

Пример 4. Исследовать на сходимость ряды: а) , б) , в) , г) , д) ,

е) .

Решение. а) В качестве вспомогательного ряда возьмём числовой ряд , сходимость которого доказана в примере 1 (а). Имеем , ,

для любого n .

Согласно первому признаку сравнения, сходимость ряда влечёт за собой сходимость нашего ряда .

б) В качестве вспомогательного ряда возьмём ряд . Имеем

, ,

Так как , то ряды , ведут себя одинаково в смысле сходимости. Но ряд сходится , следовательно, сходится и наш ряд.

в) В качестве вспомогательного ряда возьмём . Имеем

, ,

Так как , то ряды и ведут себя одинаково в смысле сходимости. Ряд расходится , следовательно, наш ряд расходится.

г) Для сравнения возьмём ряд . Так как это ряд вида , где , то он сходится.

Применим предельный признак сравнения:

При и величина эквивалентна .

Поэтому .

Так как ряд сходится, то и данный ряд сходится.

д) При бесконечно малая величина эквивалентна . Поэтому для сравнения возьмём ряд . Этот ряд вида , где . Следовательно, ряд сходится.

Применим предельный признак сравнения:

Так как ряд сходится, то и данный ряд сходится.

е) В качестве вспомогательного ряда возьмём ряд .

Сравним его со сходящимся рядом по предельному признаку сравнения.

Поскольку , а ряд сходится, то и ряд сходящийся.

Так как , то . Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд сходится.

Теорема 3. Если изменить конечное число членов ряда, то это не скажется на сходимости (расходимости) ряда.

Отсюда следует, что теорема 1 справедлива и в том случае, если неравенство выполняется начиная с некоторого номера n.

Теорема 4 (признак сходимости Даламбера). Если члены числового ряда (1) положительны и существует предел , то:

при ряд (1) сходится;
при ряд (1) расходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость числовые ряды: а), б) , в).

Решение. а) Имеем , , .

Так как , то согласно признаку Даламбера ряд сходится.

б) В данном случае , ,

Так как , то ряд сходится.

в) Имеем , ,

, следовательно, ряд расходится.

Теорема 5 (радикальный признак Коши). Если члены числового ряда (1) неотрицательны и существует предел , то:

при q < 1 ряд сходится;
при q > 1 ряд расходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость числовые ряды: а), б) , в) .

Решение. а) Имеем

Так как q = 9/16 < 1, то согласно радикальному признаку Коши ряд сходится.

б) Имеем ,

Этот ряд расходится, так как q = 2 > 1.

в) В этом случае ,

Так как , то этот ряд сходится.

Теорема 6 (интегральный признак Коши). Пусть функция f(x) определена на [1; + ) и является невозрастающей неотрицательной функцией. Пусть для любого n. Тогда числовой ряд (1) и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Пример 7. Исследовать на сходимость числовые ряды:

а), б) .

Решение. а) Введём в расcмотрение функцию . Эта функция определена на [2; +), положительна и монотонно убывает в этом промежутке. Более того, при n > 2 . Следовательно, согласно теореме 6, ряд и несобственный интеграл ведут себя одинаково в смысле сходимости.

Исследуем интеграл на сходимость:

Видим, что несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и наш ряд.

б) Рассмотрим функцию , определённую на [2; + ). Она монотонно убывает и положительна на [2; +) и . Выполнены все требования теоремы 6, поэтому ряд и несобственный интеграл ведут себя одинаково в смысле сходимости. Имеем

Видим, что несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится и наш ряд.

3. Знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница

Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные.

Знакочередующимся рядом называется числовой ряд вида

, (3)

где .

Теорема 7 (признак Лейбница). Пусть дан знакочередующийся ряд (3) и пусть выполнены два условия: 1) 2). Тогда ряд (3) сходится. Более того, если rn – n-й остаток ряда, то при выполнении условий 1), 2) для знакочередующегося ряда

Пример 8. Исследовать на сходимость числовой ряд .

Решение. Данный ряд является знакочередующимся. Обозначим . Проверим выполнение условий 1), 2) теоремы 7.

1) , , что означает, что первое условие выполнено.

2) – выполнено и второе условие.

Следовательно, данный ряд сходится.

Числовой ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

. (4)

Если же ряд (1) сходится, а ряд (4) расходится, то говорят, что ряд (1) сходится условно.

Теорема 8. Если ряд (1) абсолютно сходится, то он сходится.

4. Функциональные ряды

Функциональным рядом называется выражение вида

, (5)

членами которого являются функции с общей областью определения. Совокупность всех значений переменного x, для которых сходится функциональный ряд (5), называется областью сходимости этого ряда. Функция

определённая в области сходимости ряда (5), называется суммой функционального ряда (5). Абсолютная сходимость функционального ряда определяется так же, как и абсолютная сходимость числового ряда. Область абсолютной сходимости функционального ряда можно находить с помощью признаков Даламбера и Коши.

Пример 9. Найти область абсолютной сходимости функционального ряда

, .

Решение. Для данного ряда

, .

Найдём предел

(мы здесь воспользовались тем, что ). Согласно радикальному признаку Коши, ряд сходится, если , т.е. . Решением последнего неравенства является (13/4; +). Учитывая область определения членов функционального ряда, получаем, что областью абсолютной сходимости является пересечение множеств (13/4; + ) и (3; + ), т.е. (13/4; + ).

При получим числовой ряд . Согласно признаку Лейбница, он сходится. Таким образом, областью сходимости исходного ряда является .

Говорят, что функциональный ряд (5) сходится в области (D) равномерно к функции S(x), если для любого существует такое , что для всех и для любого справедливо неравенство

(или ).

Теорема 9 (признак Вейерштрасса равномерной сходимости). Пусть функциональный ряд (5) сходится в области (D) и пусть существует такой сходящийся числовой ряд , , что для любого n и любого . Тогда ряд (5) сходится равномерно и абсолютно в (D).

Ряд в теореме 9 называется мажорирующим рядом для функционального ряда (5).

5. Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

. (6)

Числа называются коэффициентами ряда.

Интервалом сходимости ряда (6) является интервал . Число R, называемое радиусом сходимости, может быть найдено с помощью формулы

или .

При этом R может равняться 0 или + . Степенной ряд может сходиться, может расходиться на концах интервала сходимости. Таким образом, областью сходимости степенного ряда (6) могут быть интервал, полуинтервал или замкнутый промежуток с центром в точке .

Если степенной ряд (6) в интервале сходится к функции f(x), то будем писать

Степенной ряд сходится в любом замкнутом промежутке, принадлежащем интервалу сходимости, абсолютно и равномерно.

В интервале сходимости степенного ряда его можно дифференцировать почленно сколько угодно раз, т.е.

при этом интервал сходимости степенного ряда, получающегося из исходного путём почленного дифференцирования, остаётся тем же.

Степенной ряд допускает и почленное интегрирование в интервале сходимости, т.е. если – интервал сходимости степенного ряда (6) и , то

Пример 10. Найти область сходимости степенного ряда:

а); б) .

Решение. а) Ряд является степенным (так как ), поэтому он сходится абсолютно в интервале сходимости. Обозначим , тогда . Согласно признаку Даламбера, для абсолютной сходимости ряда достаточно потребовать, чтобы (при ряд будет расходиться). Имеем

Наш ряд сходится при и расходится при . Решим первое неравенство: ; –3 < 2x – 1 < 3; –2 < 2x < 4;

–1 < x < 2. Таким образом, (–1; 2) является интервалом сходимости ряда. Исследуем поведение ряда на концах интервала.

При x = –1 получаем числовой ряд . Это знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница: , . Поэтому ряд сходится, и точка x = –1 принадлежит области сходимости.

При x = 2 получаем числовой ряд . Это гармонический ряд, и он расходится. Следовательно, точка x = 2 не принадлежит области сходимости степенного ряда.

Итак, областью сходимости степенного ряда является полуинтервал [–1; 2).

б) Ряд является степенным. Обозначим

, тогда .

Имеем

Ряд будет сходиться при или . Исследуем ряд на сходимость на концах интервала, т.е. при .

При получаем числовой ряд , являющийся знакочередующимся. Он сходится по признаку Лейбница, т.к. абсолютные величины его членов монотонно убывают и . Следовательно, точка принадлежит области сходимости.

При получаем числовой ряд и он тоже сходится по признаку Лейбница.

Таким образом, областью сходимости нашего степенного ряда является отрезок .

6. Ряды Тейлора

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в этой точке производные любого порядка (бесконечно дифференцируема). Рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки x0 называется степенной ряд

(при этом полагаем ).

421

1. Голландия
2. Полезные функции для работы с файловой системой
3. Note concepts nd thus to clssify individul objects into groups clsses
4. Симметрия - символ красоты, гармонии и совершенства
5. Work seriously for the slvtion of souls
6. Герой нашего времени как социально-психологический и философский роман
7. Реферат- Экономический кризис в Великобритании, Германии, Франции и Швейцарии
8. Тема 8 Социальная структура и социальная стратификация Вопросы- 1
9. Инновационный менеджмент- Учебное пособие -под ред
10. Экзогенные процессы в земной коре Подземные воды и льды криолитозоны
11. Создайте класс Комплексное Число. В классе должны присутствовать функции ...
12. Астраханский государственный технический университет Институт рыбного хозяйства биологии и природопо
13. і. Ваші відповіді на нескладні запитання дадуть змогу дослідити актуальну для науки проблему.
14. 2013 г Цены на услуги ООО Простые радости Реклама в телеп
15. Учебное пособие- Організаційно-економічний механізм управління процесами інноваційного розвитку
16. Тема- Организация оплаты труда на предприятии Научный руководитель- к.
17. Заготовка витаминного сена
18. Брак и семья в средневековом городе XII-XIV веков
19. QUEEN Тредлифтинг Новейшая методика омоложения и трехмерного моделирования контуров лица которая возвращ
20. Новые методы преодоления бесплоди

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе