Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Задание 10.8
Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в базисе следующей матрицей.
1. а) , б) ;
2. а) , б) ;
3. а) , б) ;
4. а) , б) ;
5. а) , б) ;
6. а) , б) ;
7. а) , б) ;
8. а) , б) ;
9. а) , б) ;
10. а) , б) ;
11. а) , б) ;
12. а) , б) ;
13. а) , б) ;
14. а) , б) ;
15. а) , б) ;
16. а) , б) ;
17. а) , б) ;
18. а) , б) ;
19. а) , б) ;
20. а) , б) ;
21. а) , б) ;
22. а) , б) ;
23. а) , б) ;
24. а) , б) ;
25. а) , б) ;
26. а) , б) ;
27. а) , б) ;
28. а) , б) ;
29. а) , б) ;
30. а) , б) .
Задание 10.9
Привести матрицу A к диагональному виду.
1. . 3. .
2. . 4. .
5. . 14. .
6. . 15. .
7. . 16. .
8. . 17. .
9. . 18. .
10. . 19. .
11. . 20. .
12. . 21. .
13. . 22. .
23. . 27. .
24. . 28. .
25. . 29. .
26. . 30. .
Задание 10.10
Приведите квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) ;
20) ;
21) ;
22) ;
23) ;
24) ;
25) ;
26) ;
27) ;
28) ;
29) ;
30) .
Задание 10.11
Приведите квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) ;
20) ;
21) ;
22) ;
23) ;
24) ;
26) ;
27) ;
28) ;
29) ;
30) .
Задание 10.12
Исследуйте кривую второго порядка и постройте ее график.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) ;
20) ;
21) ;
22) ;
23) ;
24) ;
25) ;
26) ;
27) ;
28) ;
29) ;
30) .
XI. Ряды
1. Числовые ряды. Сходимость числового ряда
, (1)
в котором слагаемые – числа, называемые членами ряда.
Сумма n первых членов ряда
называется n-й частичной суммой ряда. Если существует конечный предел , то числовой ряд (1) называется сходящимся, а число S – суммой ряда; в противном случае числовой ряд называется расходящимся. Ряд называется n-м остатком ряда; ряд (1) сходится, если его n-е остатки сходятся и их суммы стремятся к нулю.
Пример 1. Доказать сходимость рядов:
a) ; б) , .
Решение. а) Общий член ряда . Эту дробь можно представить в виде суммы двух простых дробей
.
Поэтому n-ю частичную сумму ряда можно записать следующим образом:
.
Имеем . Таким образом, наш числовой ряд сходится к сумме .
б) Члены числового ряда образуют геометрическую прогрессию с первым (нулевым) членом и знаменателем q. При прогрессия является убывающей и ряд сходится к .
Критерий Коши. Для сходимости числового ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало натуральное число такое, что для любых n > N и m > 0 справедливо неравенство
. (2)
Пример 2. Доказать расходимость гармонического ряда .
Решение. Зададимся и и найдём номер N, такой, что для любого
.
Имеем
, ,
.
В последней сумме n слагаемых и наименьшее из них равно . Если каждое из слагаемых заменить на меньшее, то сумма уменьшится, поэтому
.
Как видим, для любого n и не выполняется условие критерия Коши, следовательно, ряд расходится.
Необходимое условие сходимости. Если числовой ряд (1) сходится, то .
Пример 3. Доказать расходимость ряда .
Решение. Проверим выполнение необходимого условия сходимости. Имеем ,
.
Так как , то ряд расходится.
Отметим, что необходимое условие сходимости () не является достаточным для сходимости ряда (пример 2).
2. Признаки сходимости числовых рядов
Теорема 1 (первый признак сравнения). Пусть наряду с рядом (1) дан числовой ряд и пусть для любого . Тогда
Теорема 2 (второй признак сравнения). Пусть наряду с рядом (1) дан числовой ряд и пусть существует предел , при этом . Тогда ряды и ведут себя одинаково в смысле сходимости (т.е. или одновременно сходятся, или одновременно расходятся).
Часто при исследовании на сходимость ряда используется тот хорошо известный факт, что ряд
Пример 4. Исследовать на сходимость ряды: а) , б) , в) , г) , д) ,
е) .
Решение. а) В качестве вспомогательного ряда возьмём числовой ряд , сходимость которого доказана в примере 1 (а). Имеем , ,
для любого n .
Согласно первому признаку сравнения, сходимость ряда влечёт за собой сходимость нашего ряда .
б) В качестве вспомогательного ряда возьмём ряд . Имеем
, ,
.
Так как , то ряды , ведут себя одинаково в смысле сходимости. Но ряд сходится , следовательно, сходится и наш ряд.
в) В качестве вспомогательного ряда возьмём . Имеем
, ,
.
Так как , то ряды и ведут себя одинаково в смысле сходимости. Ряд расходится , следовательно, наш ряд расходится.
г) Для сравнения возьмём ряд . Так как это ряд вида , где , то он сходится.
Применим предельный признак сравнения:
.
При и величина эквивалентна .
Поэтому .
Так как ряд сходится, то и данный ряд сходится.
д) При бесконечно малая величина эквивалентна . Поэтому для сравнения возьмём ряд . Этот ряд вида , где . Следовательно, ряд сходится.
Применим предельный признак сравнения:
.
Так как ряд сходится, то и данный ряд сходится.
е) В качестве вспомогательного ряда возьмём ряд .
Сравним его со сходящимся рядом по предельному признаку сравнения.
Поскольку , а ряд сходится, то и ряд сходящийся.
Так как , то . Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд сходится.
Теорема 3. Если изменить конечное число членов ряда, то это не скажется на сходимости (расходимости) ряда.
Отсюда следует, что теорема 1 справедлива и в том случае, если неравенство выполняется начиная с некоторого номера n.
Теорема 4 (признак сходимости Даламбера). Если члены числового ряда (1) положительны и существует предел , то:
Пример 5. Исследовать на сходимость числовые ряды: а), б) , в).
Решение. а) Имеем , , .
Так как , то согласно признаку Даламбера ряд сходится.
б) В данном случае , ,
.
Так как , то ряд сходится.
в) Имеем , ,
.
, следовательно, ряд расходится.
Теорема 5 (радикальный признак Коши). Если члены числового ряда (1) неотрицательны и существует предел , то:
Пример 6. Исследовать на сходимость числовые ряды: а), б) , в) .
Решение. а) Имеем
.
Так как q = 9/16 < 1, то согласно радикальному признаку Коши ряд сходится.
б) Имеем ,
.
Этот ряд расходится, так как q = 2 > 1.
в) В этом случае ,
.
Так как , то этот ряд сходится.
Теорема 6 (интегральный признак Коши). Пусть функция f(x) определена на [1; + ) и является невозрастающей неотрицательной функцией. Пусть для любого n. Тогда числовой ряд (1) и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.
Пример 7. Исследовать на сходимость числовые ряды:
а), б) .
Решение. а) Введём в расcмотрение функцию . Эта функция определена на [2; +), положительна и монотонно убывает в этом промежутке. Более того, при n > 2 . Следовательно, согласно теореме 6, ряд и несобственный интеграл ведут себя одинаково в смысле сходимости.
Исследуем интеграл на сходимость:
.
Видим, что несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и наш ряд.
б) Рассмотрим функцию , определённую на [2; + ). Она монотонно убывает и положительна на [2; +) и . Выполнены все требования теоремы 6, поэтому ряд и несобственный интеграл ведут себя одинаково в смысле сходимости. Имеем
.
Видим, что несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится и наш ряд.
3. Знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница
Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные.
Знакочередующимся рядом называется числовой ряд вида
, (3)
где .
Теорема 7 (признак Лейбница). Пусть дан знакочередующийся ряд (3) и пусть выполнены два условия: 1) 2). Тогда ряд (3) сходится. Более того, если rn – n-й остаток ряда, то при выполнении условий 1), 2) для знакочередующегося ряда
.
Пример 8. Исследовать на сходимость числовой ряд .
Решение. Данный ряд является знакочередующимся. Обозначим . Проверим выполнение условий 1), 2) теоремы 7.
1) , , что означает, что первое условие выполнено.
2) – выполнено и второе условие.
Следовательно, данный ряд сходится.
Числовой ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов:
. (4)
Если же ряд (1) сходится, а ряд (4) расходится, то говорят, что ряд (1) сходится условно.
Теорема 8. Если ряд (1) абсолютно сходится, то он сходится.
4. Функциональные ряды
Функциональным рядом называется выражение вида
, (5)
членами которого являются функции с общей областью определения. Совокупность всех значений переменного x, для которых сходится функциональный ряд (5), называется областью сходимости этого ряда. Функция
,
определённая в области сходимости ряда (5), называется суммой функционального ряда (5). Абсолютная сходимость функционального ряда определяется так же, как и абсолютная сходимость числового ряда. Область абсолютной сходимости функционального ряда можно находить с помощью признаков Даламбера и Коши.
Пример 9. Найти область абсолютной сходимости функционального ряда
, .
Решение. Для данного ряда
, .
Найдём предел
=.
(мы здесь воспользовались тем, что ). Согласно радикальному признаку Коши, ряд сходится, если , т.е. . Решением последнего неравенства является (13/4; +). Учитывая область определения членов функционального ряда, получаем, что областью абсолютной сходимости является пересечение множеств (13/4; + ) и (3; + ), т.е. (13/4; + ).
При получим числовой ряд . Согласно признаку Лейбница, он сходится. Таким образом, областью сходимости исходного ряда является .
Говорят, что функциональный ряд (5) сходится в области (D) равномерно к функции S(x), если для любого существует такое , что для всех и для любого справедливо неравенство
(или ).
Теорема 9 (признак Вейерштрасса равномерной сходимости). Пусть функциональный ряд (5) сходится в области (D) и пусть существует такой сходящийся числовой ряд , , что для любого n и любого . Тогда ряд (5) сходится равномерно и абсолютно в (D).
Ряд в теореме 9 называется мажорирующим рядом для функционального ряда (5).
5. Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
. (6)
Числа называются коэффициентами ряда.
Интервалом сходимости ряда (6) является интервал . Число R, называемое радиусом сходимости, может быть найдено с помощью формулы
или .
При этом R может равняться 0 или + . Степенной ряд может сходиться, может расходиться на концах интервала сходимости. Таким образом, областью сходимости степенного ряда (6) могут быть интервал, полуинтервал или замкнутый промежуток с центром в точке .
Если степенной ряд (6) в интервале сходится к функции f(x), то будем писать
.
Степенной ряд сходится в любом замкнутом промежутке, принадлежащем интервалу сходимости, абсолютно и равномерно.
В интервале сходимости степенного ряда его можно дифференцировать почленно сколько угодно раз, т.е.
,
,
,
при этом интервал сходимости степенного ряда, получающегося из исходного путём почленного дифференцирования, остаётся тем же.
Степенной ряд допускает и почленное интегрирование в интервале сходимости, т.е. если – интервал сходимости степенного ряда (6) и , то
.
Пример 10. Найти область сходимости степенного ряда:
а); б) .
Решение. а) Ряд является степенным (так как ), поэтому он сходится абсолютно в интервале сходимости. Обозначим , тогда . Согласно признаку Даламбера, для абсолютной сходимости ряда достаточно потребовать, чтобы (при ряд будет расходиться). Имеем
.
Наш ряд сходится при и расходится при . Решим первое неравенство: ; –3 < 2x – 1 < 3; –2 < 2x < 4;
–1 < x < 2. Таким образом, (–1; 2) является интервалом сходимости ряда. Исследуем поведение ряда на концах интервала.
При x = –1 получаем числовой ряд . Это знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница: , . Поэтому ряд сходится, и точка x = –1 принадлежит области сходимости.
При x = 2 получаем числовой ряд . Это гармонический ряд, и он расходится. Следовательно, точка x = 2 не принадлежит области сходимости степенного ряда.
Итак, областью сходимости степенного ряда является полуинтервал [–1; 2).
б) Ряд является степенным. Обозначим
, тогда .
Имеем
.
Ряд будет сходиться при или . Исследуем ряд на сходимость на концах интервала, т.е. при .
При получаем числовой ряд , являющийся знакочередующимся. Он сходится по признаку Лейбница, т.к. абсолютные величины его членов монотонно убывают и . Следовательно, точка принадлежит области сходимости.
При получаем числовой ряд и он тоже сходится по признаку Лейбница.
Таким образом, областью сходимости нашего степенного ряда является отрезок .
6. Ряды Тейлора
Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в этой точке производные любого порядка (бесконечно дифференцируема). Рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки x0 называется степенной ряд
(при этом полагаем ).
421