Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
УРОК 14
Тема уроку: Екстремальні точки. Локальний екстремум функції.
Мета уроку: Познайомити учнів з правилами знаходження екст ремумів функції.
І. Перевірка домашнього завдання.
1. Два учня відтворюють розв'язування вправ № 1 (3; 11) розділу VIII.
2. Колективне розв'язування вправ.
Знайдіть проміжки монотонності функцій:
а) f(x) = х3 – 5x2 – 32х + 9; б) f(x)=x3 – х2 –3х+5.
Відповіді: а) функція зростає на кожному із проміжків (-; -2), ; спадає на проміжку ; б) функція зростає на кожному із проміжків (-; -1), (3; +); спадає на проміжку (-1; 3).
3. Відповіді на запитання, що виникли у учнів під час виконання домашніх вправ.
II. Сприймання і усвідомлення поняття точок екстремуму та екстремуму функції.
При дослідженні поведінки функ ції в деякій точці зручно користува тися поняттям околу. Околом точки а називається будь-який інтервал, що містить цю точку. Наприклад, інтер вали (2; 5), (2,5; 3,5), (2,9; 3,1) – околи точки 3.
Розглянемо графік функції, зоб ражений на рис. 38. Як видно із ри сунка, існує такий окіл точки x = а, що найбільше значення функція у = f(x) в цьому околі набуває в точці х = а. Точку х = а називають точкою максимуму цієї функції.
Аналогічно точку х = b називають точкою мінімуму функції y = f(x), оскільки значення функції в цій точці найменше по рівняно зі значеннями функції в деякому околі точки b.
Означення. Точка а із області визначення функції f(x) називаєть ся точкою максимуму цієї функції, якщо існує та кий окіл точки а, що для всіх х а із цього околу виконується нерівність f(x) < f(a). (Рис. 39).
Означення. Точка b із області визначення функції f(x) називаєть ся точкою мінімуму цієї функції, якщо існує такий окіл точки b, що для всіх х b із цього околу вико нується нерівність f(x) < f(b). (Рис. 40).
Точки максимуму і точки мінімуму називають точ ками екстремуму функції, а значення функції в цих точках називають екстремумами функції (максимум і мінімум функції).
Точки максимуму позначають хmax , а точки мінімуму — хmin . Значення функції в цих точках, тобто максимуми і мінімуми функції, позначаються відповідно: уmax і уmin.
Виконання вправ______________________________
1. Для функцій, графіки яких зображено на рисунках 41, α—г знайдіть:
1) точки максимуму і мінімуму функції;
2) екстремуми функції.
Відповідь: 1) а) хmax= 3, xmin= 0, хmax= 3; б) хmax= – 8, xmin= – 6; хmax= – 3; xmin = 1; хmax= 5; в) xmin= –1; хmax= 1; г) xmin= –2; хmax= –1; xmin= 0; хmax= 1; xmin= 2;
2) a) ymax= 4; ymin=0; б) ymax= 5; ymax= 7; ymin= 0; в) ymin= –1; ymax= 1; г) ymin = –3; ymin= 0; ymax= 2.
III. Сприймання і усвідомлення необхідної умови екстремуму, поняття стаціонарної точки.
Розглянемо функцію у = f(x), яка визначена в деякому околі точки xo і має похідну в цій точці.
Якщо xo — точка екстремуму диференційованої функції у = f(x), то f’(хo) = 0.
Це твердження називають теоре мою Ферма на честь П'єра Ферма (1601—1665) — французького мате матика.
Теорема Ферма має наочний гео метричний зміст: в точці екстрему му дотична паралельна осі абсцис, і тому її кутовий коефіцієнт f’(хo) до рівнює нулю (рис. 42).
Наприклад, функція f(x) = х2 – 2 має в точці хo = 0 мінімум (рис. 43), її похідна f'(0) = 0. Функція f(x) = 1 - х2 (рис. 44) має максимум у точці хo = 0, f(x)= – 2х і f’(0) = 0.
Слід зазначити, що якщо f’(хo) = 0, то хo не обов'язково є точкою екстремуму.
Наприклад, якщо f(x) = х3, то f`(x) = 3x2 і f`(хo) = 0. Проте точка х = 0 не є точкою екст ремуму, оскільки функція f(x) = x3 зростає на всій числовій осі (рис. 45).
Отже, точки екстремуму диференційованої функції треба шукати тільки серед коренів рів няння f’(x) = 0, але не завжди корінь рівнян ня f’(x) = 0 є точкою екстремуму.
Внутрішні точки області визначення функ ції у = f(x), у яких похідна дорівнює нулю, називають стаціонарни ми. Отже, для того щоб точка хo була точкою екстремуму, необ хідно, щоб вона була стаціонарною.
Виконання вправ_____________________________
1. Знайдіть стаціонарні точки функції:
а) у = 5 + 12х - х3; б) у = 9 + 8x2 - x4; в) у = e2x - 2ex·, г) у = sin х - cos х.
Відповідь: а) х = ±2; б) х = 0, х = ±2; в) х = 0; г) х = - +2πn, n Ζ.
IV. Сприймання і усвідомлення достатньої ознаки екстремуму функції.
Сформулюємо достатні умови того, що стаціонарна точка є точкою екст ремуму, тобто умови, при виконанні яких стаціонарна точка є точкою максимуму або мінімуму функції.
Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки додатна, а праворуч — від'ємна, тобто при переході через цю точку по хідна змінює знак з «+» на «–», то ця стаціонарна точка є точкою максимуму (рис. 46).
Дійсно, в цьому випадку ліворуч стаціонарної точки функція зростає, а праворуч — спадає, отже, дана точка є точка максимуму.
Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки від'ємна, а праворуч — додат на, тобто при переході через стаціонар ну точку похідна змінює знак з «–» на «+», то ця стаціонарна точка є точка мінімуму (рис. 47).
Якщо при переході через стаціонарну точку похідна не змінює знак, тобто ліворуч і праворуч від стаціонарної точки похідна додатна або від'ємна, то ця точка не є точкою екстремуму.
Приклад 1.Знайдіть точки екстремуму функції f(x) = х3 – 3х.
Область визначення даної функції — R.
Знайдемо f`(x): f`(x) = (x3 - 3x)' =3х2- 3.
Похідна існує для всіх x є R.
Знайдемо стаціонарні точки: f(x) = 0, 3х2 - 3 = 0, х2 — 1 = 0, x = ±1.
Наносимо область визначення та стаціонарні точки на коор динатну пряму (рис. 48) і визна чимо знак похідної на кожному проміжку:
f`(-2) = 3 · (-2)2 - 3 = 9 > 0;
f`(0) = 3 · (0)2 - 3 = -3 < 0;
f`(2) = 3 · (2)2 - 3 = 9 > 0.
Точка χ = -1 є точкою максимуму, бо похідна при переході через цю точку змінює знак з «+» на «-»: хmax = -1.
Точка х = 1 — є точкою мінімуму, бо похідна при переході через цю точку змінює знак з «-» на «+»: хmin = 1.
Відповідь: хmax= -1, хmin= 1.
Приклад 2. Знайдіть екстремуми функції f(x) = х4 - 4х3.
Область визначення функції — R.
Знайдемо похідну:
f`(x)= (x4 – 4х3) = 4x3 – 12х2 = 4x2(х – 3).
Знайдемо стаціонарні точки: f`(x) = 0, 4x2(x – 3) = 0, x = 0 або х = 3.
Наносимо стаціонарні точки на координатну пряму (рис. 49) та визначаємо знак похідної на кож ному інтервалі.
x = 3 — точка мінімуму, бо при переході через цю точку похідна змінює знак з «–» на «+»: хmin= 3.
Точка x = 0 не є точкою екстремуму, бо похідна не змінює знак при переході через цю точку.
Отже, уmin = f(3) = 34 – 4 · 33 = – 27.
Відповідь: уmin = f(3) = – 27.
Виконання вправ
Виконати вправи № 2 (7; 10; 13) із розділу VIII підручника.
V. Підведення підсумків уроку.
VI. Домашнє завдання.
Розділ VIII § 1—2. Запитання і завдання для повторення роз ділу VIII № 5—11. Вправи № 2 (1; 2) розділу VIII.
PAGE 4
Роганін Алгебра 11 клас, урок 14