Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Для характеристики изучаемого явления важное значение имеет исследование колеблемости отдельных значений признака относительно своей средней. Вариацию (колеблемость) признаков характеризуют абсолютные показатели (размах вариации, среднее линейное отклонение, средний квадрат отклонения (дисперсия), среднее квадратическое отклонение) и относительные показатели (коэффициенты размаха, среднего линейного отклонения, вариации).
Показатели вариации используют для характеристики степени колеблемости, равномерности, ритмичности работы предприятий, оценки степени однородности при планировании выборочных наблюдений, объективности, типичности среднего показателя и т. д. В статистических расчетах в качестве измерителей колеблемости чаще всего используют среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Размах вариации R – это разность между максимальным и минимальным значениями признака: R = xmax – xmin. Он характеризует амплитуду вариации признака.
Среднее линейное отклонение – это средняя арифметическая из абсолютных отклонений индивидуальных значений признака i от средней арифметической величины :
; .
(простое) (взвешенное)
Достоинство это показателя – учитывает отклонение каждого индивидуального значения признака от среднего значения; недостаток – не учитывается в расчетах отрицательный знак.
Дисперсия – средняя арифметическая из квадратов отклонений индивидуальных значений признака (i) от их средней величины :
дисперсия простая);
(дисперсия взвешенная).
Достоинство показателя в том, что учитывает все отклонения индивидуального значения признака от их среднего значения, недостаток – эти отклонения возведены в квадрат. Применяют его в основном в корреляционном анализе и при расчете ошибок выборочного наблюдения.
В статистических работах в качестве измерителя колеблемости чаще всего используют среднее квадратическое отклонение σ.
Среднее квадратическое отклонение есть корень квадратный из дисперсии:
Среднее квадратическое отклонение (не взвешенное) определяется по формуле
Среднее квадратическое отклонение (взвешенное) определяется по формуле
где i – индивидуальные значения признака;
– среднее значение признака;
fi – частота.
Для вычисления среднего квадратического отклонения (взвешенного):
3) отклонения вариант от средней величины возводятся в квадрат: (i – )2;
4) квадраты отклонений умножаются на веса: (i – )2 fi ;
5) суммируются полученные произведения: ( – )2 fi ;
Среднее квадратическое отклонение является абсолютной мерой колеблемости признаков и выражается в тех же единицах измерения, что и средняя.
Среднее квадратическое показывает, в каких пределах (+,–) отдельные значения признака отклоняются от их среднего значения в среднем.
Чтобы определить, какая совокупность однороднее, применяют относительные показатели вариации.
Относительные показатели вариации – коэффициенты, вычисляемые процентным отношением абсолютных показателей вариации к среднему значению признака.
Коэффициент размаха: .
Коэффициент среднего линейного отклонения:
Коэффициент вариации:
В расчетах в основном используют коэффициент вариации V, вычисляемый процентным отношением среднего квадратического отклонения к средней арифметической.
Коэффициент вариации характеризует степень колеблемости (относительную меру колеблемости) и является коэффициентом неравномерности. Принято считать, что если коэффициент вариации не превышает 30 – 33 %, колеблемость признака незначительная, совокупность однородна, а средняя величина надежная, устойчивая, типичная для данной совокупности. В экономических расчетах разность 100 % и коэффициента вариации представляет собой коэффициент равномерности. Так анализируют, например, равномерность поставок товаров, выполнения плана и другие показатели.
Расчет среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации проведем на основе данных таблицы 1. Промежуточные расчеты оформим в графах 3,4,5.
Таблица 1
|
Влажность муки, % |
Число проб (fi) |
Влажность муки во всех пробах, % |
i – |
(i –)2 |
(i –)2 fi |
|
А |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
12,9 |
10 |
129 |
–0,38 |
0,1444 |
1,444 |
|
13,1 |
20 |
262 |
–0,18 |
0,0324 |
0,648 |
|
13,3 |
40 |
532 |
+0,02 |
0,0004 |
0,016 |
|
13,5 |
30 |
405 |
+0,22 |
0,0484 |
1,452 |
|
Итого |
100 |
1328 |
– |
– |
3,560 |
Средний процент влажности составил 13,28 %:
Для определения среднего квадратического отклонения используем формулу
Вычислим отклонения вариант от средней величины ( – ):
12,9 – 13,28 = – 0,38;
13,1 – 13,28 = – 0,18;
13,3 – 13,28 = + 0,02;
13,5–13,28 = + 0,22.
Возведем их в квадрат ( – )2, т. е. (– 0,38)2 = 0,1444;
(–0,18)2 = 0,0324; (+0,02)2 = 0,0004; (+0,22)2 = 0,0484.
Умножим квадраты отклонений на веса ( – )2 fi:
0,1444 10 = 1,444;
0,0324 20 = 0,648;
0,0004 40 = 0,016;
0,0484 30 = 1,452.
Суммируем полученные произведения ()2 fi = 1,444 + 0,648 + 0,016 + 1,452 = 3,560.
Рассчитаем среднее квадратическое отклонение:
взв. =
Показатель влажности муки в отдельных пробах отклоняется от среднего показателя влажности (13,28 %) в среднем на ± 0,19 %. Коэффициент вариации вычислим по формуле
Колеблемость показателя влажности муки в отдельных пробах от среднего показателя влажности незначительна (1,43 %), отобранные пробы представляют однородную совокупность, то есть средняя величина
(= 13,28 %) надежная, типичная для данной совокупности.