больше чем возможность появления белого шара
Работа добавлена на сайт samzan.net:
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Классическое определение вероятности
- Вероятность.
- Классическое определение вероятности.
1. Вероятность
Известно, что случайное событие в результате испытания может произойти, а может и не произойти. Однако объективная возможность различных событий в одном и том же испытании может, вообще говоря, быть различной.
Пример 1.
В урне 12 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 3 из них белые и 9 черные. Из урны наудачу вынимают одни шар. Очевидно, что возможность появления черного шара «больше», чем возможность появления белого шара. В этом случае говорят; «вероятность появления черного шара больше вероятности появления белого шара».
Под вероятностью события понимают численную меру объективной возможности появления этого события.
Поставим своей задачей научиться находить эту численную меру объективной возможности события, т. е. находить вероятность события, причем ограничимся лишь вычислением вероятностей в классической модели.
Под классической моделью понимают такое множество элементарных событий, которое образует полную группу несовместных событий и все элементарные события равновозможны.
Пример 2.
При бросании игральной кости множество элементарных событий:
a1 — «появление одного очка»,
А2 — «появление двух очков»,
А3 — «появление трех очков»,
А4 — «появление четырех очков»,
А5 — «появление пяти очков»,
А6 — «появление шести очков»
образует классическую модель. Вероятность каждого из этих элементарных событий Ai (i= I, 2, 3, 4, 5, 6) считаем равной 1/6.
Пример 3.
Рассмотрим теперь события: А — «появление четного числа очков», В — «появление не больше двух очков». Нетрудно заметить, что событие А произойдет, если произойдет по крайней мере одно из событий А2, А4, А6. В этом случае говорят, что событию А благоприятствуют события А2, А4, А6. Очевидно, что событию В благоприятствуют события А1 и А2.
То элементарное событие, при котором интересующее нас событие наступит, называется благоприятствующим этому событию.
При бросании игральной кости имеем 6 элементарных событий, из них 3 благоприятствуют событию А. Вероятность события А считаем равной =. Аналогично, вероятность события В равна =. Кратко это записывается так:
Р(А)=, Р(В)=.
2. Классическое определение вероятности
Определение. Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к общему числу п равновозможных событий:
Р(А)= (1)
Это определение носит название классического определения вероятности. Из (1) следует, что Р(U)=1 и P(V)=0, т, е. вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю. Если АU и АV, то 0 < Р(А)< 1.
Итак, вероятность любого события А удовлетворяет неравенствам 0Р(А)1.
Невозможному событию соответствует вероятность Р(А) = 0, а достоверному – вероятность Р(А) = 1.
Рассмотрим ряд примеров непосредственного вычисления вероятностей.
Пример 4.
В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется черным (событие А)?
Решение. Имеем m = 9, п = 12, и поэтому Р(А)==.
Пример 5.
В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Решение. Общее число различных исходов есть n = 1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m = 200. Согласно формуле (1), получим Р(A) = 200/1000 = 1/5-0,2. •
Пример 6.
Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.
Решение. Обозначим событие, состоящее в появлении черного шара, через А. Общее число случаев n = 5 + 3 = 8. Число случаев т, благоприятствующих появлению события А. равно 3. По формуле (1) получим Р(А)= m/n = 3/8 = 0,375.
Пример 7.
В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые (событие А)?
Решение. Здесь число элементарных событий n = С 211 = = 55.
Число случаев, благоприятствующих событию А: m = C 24 == 6.
Следовательно, Р(А) = .
Пример 8.
Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара.. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?
Решение. Обозначим событие, состоящее в появлении двух черных шаров, через А. Общее число возможных случаев п равно числу сочетаний из 20 элементов (12 + 8) по два:
n = C 220 = = 190.
Число случаев т, благоприятствующих событию А, составляет
m =С 28 = = 28.
По формуле (1) находим вероятность появления двух черных шаров: Р(A) = m/n = 28/190 = 14/95 = 0,147.
Пример 9.
В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.
Решение. Число всех равновозможных независимых исходов п равно числу сочетаний из 18 по 5. т. е.
С518 = = 8568.
Подсчитаем число исходов т, благоприятствующих событию А. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 качественных и 2 бракованных. Число способов выборки двух бракованных деталей из 4 имеющихся бракованных равно числу сочетаний из 4 по 2:
С24 = = 6.
Число способов выборки трех качественных деталей из 14 имеющихся качественных равно
С314 = = 364.
Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных деталей, поэтому общее число комбинаций т составляет
т = С24 С314 = 6 364=2184.
Искомая вероятность события А равна отношению числа исходов т, благоприятствующих этому событию, к числу п всех равновозможных независимых исходов: Р(А ) = 2184/8568 = 0,255.
Пример 10.
В урне а белых и b черных шаров. Из урны наугад вынимают k шаров. Найти вероятность того, что среди них будет l белых, а следовательно, k — l черных (l a, k — lb).
Решение. Число элементарных событий п = С kа+ь. Подсчитаем число элементарных событий, благоприятствующих интересующему нас событию А — среди k взятых шаров будет l белых и k — l черных. Очевидно, что число способов, которыми можно выбрать l белых шаров из а, равно Сla, а число способов, которыми можно к ним «довыбрать» k — l черных шаров, равно С k-1b. Каждая комбинация белых шаров может сочетаться с каждой комбинацией черных, поэтому m = С lа • С k-lь . Следовательно,
Р(A) = С lа • С k-lь / С kа+ь (2)
Пример 11.
В партии из 12 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наугад деталей 4 стандартных.
Решение. Нетрудно заметить сходство между этой и предыдущей задачами. Здесь в качестве «урны» фигурирует партия деталей, среди которых 7 стандартных («белые шары») и 5 нестандартных («черные шары»), а роль вынимаемых шаров играет контрольная партия из шести деталей. Поэтому искомую вероятность находим по формуле (2) для случая а = 7, b = 5, k = 6, l=-4:
Пример 12.
Десять различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что три определенные книги окажутся поставленными рядом,
Решение. Представим себе, что три определенные книги связаны вместе. Тогда число возможных способов расположения связки на полке равно числу перестановок из 8 элементов (связка плюс остальные 7 книг), т.е. P8 = 8!, Внутри связки 3 книги можно переставлять P3 =3! раз. При этом каждая комбинация внутри связки может сочетаться с каждой из Р8 комбинацией. Поэтому число т благоприятствующих случаев равно P8 P3, , т. е. m = P8 P3. Число п возможных случаев, очевидно, равно P10 = 10!.
Таким образом, искомая вероятность
Пример 13.
Первенство по футболу оспаривают 18 команд, среди которых 5 лидирующих. Путем жеребьевки команды распределяются на две группы по 9 команд в каждой. Какова вероятность попадания всех лидирующих команд в одну группу (событие A)? Какова вероятность попадания двух лидирующих команд в одну группу и трех — в другую (событие B)?
Решение. Очевидно, что
Событию А благоприятствуют столько событий, сколькими способами 5 лидирующих команд могут образовать девятки с четырьмя командами из числа остальных 13 команд. Поэтому обе группы могут быть образованы С 413 способами. Следовательно, mA = 2С 4 13 и
Рассуждая аналогично, находим что число mB событий, благоприятствующих событию В, равно
Следовательно,
Задания для самостоятельной работы
Задача1. В ящике с деталями оказалось 300 деталей I сорта, 200 деталей II сорта и 50 деталей III сорта. Наудачу вынимают одну из деталей. Чему равна вероятность вынуть деталь I, II или III сорта?
Задача 2. В урне находятся 20 белых и 15 черных шаров. Наудачу вынимают один шар, который оказался белым, и откладывают его в сторону. После этого берут еще один шар. Найдите вероятность того, что этот шар также окажется белым.
Задача 3. В урне находятся 7 белых и 5 черных шаров. Найдите, вероятность того, что:
1) наудачу вынутый шар окажется черным;
2) два наудачу вынутых шара окажутся черными.
Задача 4. Считая выпадение любой грани игральной кости одинаково вероятным, найдите вероятность выпадения грани с нечетным числом очков.
Задача 5. В коробке имеются 30 лотерейных билетов, из которых 26 пустых (без выигрышей). Наугад вынимают одновременно 4 билета. Найдите вероятность того, что из 4 билетов два окажутся выигрышными (см. пример 9).
Задача 6.В урне находятся 12 шаров, из которых 4 белые, а остальные черные. Найдите:
а) вероятность того, что взятый наугад шар является черным;
б) вероятность того, что два взятых шара окажутся белыми.
Задача 7. В партии из 30 деталей имеется 6 бракованных. Найдите:
а) вероятность того, что взятая наугад деталь окажется бракованной;
б) вероятность того, что из двух наугад выбранных деталей ни одна не окажется бракованной.
Задача 8. Учащийся из 30 экзаменационных вопросов программы подготовил 25. Билеты содержат по три вопроса. Какова вероятность того, что все вопросы, содержащиеся в билете, известны учащемуся?
Задача 9. Партия из 50 деталей содержит 4 бракованных. Какова вероятность того, что среди 10 случайно выбранных детален бракованных нет?
Задача 10. Группа из четырех мальчиков и четырех девочек делится случайным образом на две равные группы. Найдите вероятность того, что в каждой группе число мальчиков и девочек одинаково.
PAGE 4
2. территория современной Тюменской области ~ самой большой области в стране
3. Microsoft Access
4. Риформинг как способ получения бензинов с улучшенными характеристиками
5. 512.122093 СЫПАТАЙ ЄЛІБЕК~ЛЫНЫЊ ~МІРБАЯНЫ МЕН К~РЕСКЕРЛІК ЌЫЗМЕТІ С.html
6. Показатели трудоемкости и производительности труд
7. Лекция Борукаева И
8. Виды программного обеспечения Общие требования к программным системам
9. Прокурорский надзор за исполнением административного законодательства
10. Ж~йелерді~ ~~рылымды~ сенімділігін есептеу
11. СЕВЕРООСЕТИНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ МИНЗДРАВСОЦРАЗВИТИЯ РОССИИ Кафедра общей гигие
12. Жизнь и деятельность Витторио Карпаччо
13. і Умови ознайомлення дошкільнят з природою
14. нибудь альтернативу так как протез болтается во рту и толку от него очень мало дикции никакой постоянно выв
15. Тема страшного мира в лирике Блока Фабрика Сытые
16. Планетарная электроэнергетическая система1
17. Лабораторная работа- Проблема занятости студентов на примере студентов дневного отделения
18. Насильство як засіб домінування й панування
19. РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕНОЙ СЛУЖБЫ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
20. мировую систему социализма дать ему теоретическое толкование выявить хозяйственные тенденции и противор