Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторна робота № 31
СКІНЧЕННІ РІЗНИЦІ ТА ДЕЯКІ ЇХ ВЛАСТИВОСТІ.
Мета роботи – вивчення та набуття навичок складання алгоритмів та написання програм роботи зі скінченними різницями.
31.1. Загальні відомості
Скінченною різницею першого порядку називають різницю
Відповідно різницею другого порядку називають різницю
Таким чином, у загальному вигляді формула для обчислення скінченної різниці -го порядку має вигляд
Нехай значення деякої функції , що відповідає рівновіддаленим значенням аргументу . Різниці першого порядку, або перші різниці можна записати у вигляді , . Різниці перших різниць називають різницями другого порядку, або другими різницями. Різниці -го порядку утворюються з різниць -го порядку наступним чином:
…………………….
Скінченні різниці зручно розміщувати у вигляді таблиці
Таблиця 1 – Діагональна таблиця різниць
|
…….. |
|||||
Кожне число будь-якого стовпчика (крім ) цієї таблиці є різницею двох суміжних чисел стовпчика зліва. Воно записується між відповідними значеннями зменшуваного та від’ємника. Всі різниці записують цілими числами в одиницях молодшого розряду значень функції у вузлах інтерполювання.
Для різниць можна знайти вирази через значення функції у вузлових точках:
,
й т.д.
Аналогічно
,
Таким чином
де - біноміальні коефіцієнти
Деякі властивості скінченних різниць:
Властивості 1 – 3 випливають з означення скінченої різниці.
Ця формула справедлива коли стале, тобто коли значення аргументу утворюють арифметичну прогресію з різницею .
Різниці порядків вищі, ніж , будуть дорівнювати нулю.
Приклад
Скласти таблицю різниць многочленна від початкового значення при .
Розв’язання. Виходячи з умови задачі ; ; ; …, обчислюються відповідні значення ; ; й т.д. Далі послідовно обчислюються різниці та записуються у таблицю. Різниці записуються в одиницях молодшого розряду значень функції. Оскільки задана функція є поліномом третього ступеня, то треті різниці її сталі (див. табл. 2).
Таблиця 2
|
0,0 |
1,00 |
||||
|
-1125 |
|||||
|
0,5 |
-0,125 |
250 |
|||
|
-875 |
750 |
||||
|
1,0 |
-1,00 |
1000 |
0 |
||
|
125 |
750 |
||||
|
1,5 |
-0,875 |
1750 |
0 |
||
|
1875 |
750 |
||||
|
2,0 |
1,000 |
2500 |
0 |
||
|
4375 |
750 |
||||
|
2,5 |
5,375 |
3250 |
0 |
||
|
7625 |
750 |
||||
|
3,0 |
13,000 |
4000 |
0 |
||
|
11625 |
750 |
||||
|
3,5 |
24,625 |
4750 |
… |
||
|
16375 |
… |
||||
|
4 |
41,000 |
… |
|||
|
… |
… |
… |
Сформульовані вище властивості сталих скінченних різниць стосуються точних різниць функції. Проте, значення функції таблиці подаються, як правило, наближено з деякою точністю і при обчисленні різниць похибка наростає. Похибка табличних значень функції дорівнює 0,5 одиниці молодшого розряду. Похибка перших різниць дорівнює одиниці молодшого розряду (0,5+0,5=1), похибка других різниць – двом одиницям молодшого розряду (1+1=2), третіх – чотирьом одиницям (2+2=4) молодшого розряду й т.д. Отже похибка -х різниць дорівнює одиниць молодшого розряду.
Якщо, наприклад, треті різниці точних значень функції в молодшому розряді, який залишаються в таблиці, відрізняються не більше як на 0,5 одиниці (ці різниці в межах вибраної точності вважаються сталими), то ці треті різниці, що обчислюються, можуть відрізнятись між собою на одиниць останнього розряду за рахунок наростання похибки.
Таким чином вище викладене дозволяє сформулювати наступне:
Різниці -го порядку на деякій ділянці таблиці називаються практично сталими, якщо всі вони відрізняються між собою не більше як на одиниць останнього розряду табличних значень функції.
У цьому випадку різниці -го порядку обчислювати немає потреби, оскільки вони складатимуться лише з невірних цифр і в межах заданої точності можна вважати, що вони дорівнюють нулю.
Якщо на деякій ділянці таблиці із сталим кроком різниці порядку практично сталі, то можна вважати, що функція в межах заданої точності поводить себе, як поліном -го ступеня. Тому, коли обчислюють проміжні значення функції на цій ділянці, обмежуються обчисленням інтерполяційного полінома -го ступеня.
30.2. Послідовність виконання роботи
30.2.1. Увімкнути комп’ютер та завантажити ТВ.
30.2.2. Скласти блок-схему програми для обчислення значення похибки многочлена Лагранжа.
30.2.3. Скласти текст програми обчислення похибки многочлена Лагранжа з необхідними коментарями. Набрати текст програми, відлагодити її.
Запустити програму та зробити необхідні обчислення: ввести дані прикладу 2, та ввести дані за завданням викладача.
30.2.4. У разі успішного виконання програми перенести виведені результати до протоколу.
30.2.5. Переписати текст програми, що вірно працює, до протоколу.
30.3. Зміст протоколу.
30.3.1. Протокол лабораторної роботи має містити теоретичну частину в обсязі необхідному для виконання та захисту лабораторної роботи, блок-схему та текст програми.
29.3.2. Результати виконання лабораторної роботи повинні бути відображені відповідно до вимог п.30.2.
30.3.3. Студенти, що не мають належним чином оформлений протокол до виконання та захисту лабораторної роботи не допускаються
PAGE 4