Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.Рівномірний розподіл
Рівномірний розподіл на відрізку [a, b] (чи з параметрами a, b) – це абсолютно неперервна випадкова величина з такою щільністю:
f(x)=
Відшукаємо константу з умови
Звідки const=1/(b-a).Отже,
f(x)=
f
1/(b-a)
a b x
Відшукаємофункціюрівномірногорозподілузаформулою F(x)=
Якщоx<0, тоF(x) = ,
при ,F(x)= – рівняння прямої,
приx>b,F(x)=1.
Отже,F(x)=
Обчислимочислові характеристики рівномірного розподілу.
Із механічного змісту математичного сподівання та дисперсії, якщо Х – рівномірно розподілена на [a;b], то
MX= ,DX=.
Розглянемо приклади випадкових величин, що мають рівномірний розподіл:
[-0,5*10-n ;0,5*10-n].
2. Нормальний закон розподілу ймовірностей
Означення.Неперервну випадкову величину називають нормально розподіленою, якщо її густина ймовірностей
, (1)
де - додатній , а - дійсний параметри .
Методами математичного аналізу можна показати, що графік функції (1) має вигляд (рис.1) :
Рис.14.22
Цей графік називають нормальною кривою або кривою Гаусса .
Якщо = 0, то нормальний закон називають центрованим .
Якщо ж параметри а , то нормальний закон називають зведеним:
. (2)
Функцію (2)називають функцією Лапласса, вона парна, табульована для , що відповідає значенням функції .
Функція (1) задовольняє властивостям густини ймовірностей :
Справді , функція зростаюча , а значить
.
Справді , , оскільки інтеграл Гаусса
. (3)
Знайдемо числові характеристики нормально розподіленої випадкової величиниХ.
=
.
Тут враховано інтеграл (62) і що невласний інтеграл .
Отже,математичне сподівання нормально розподіленої випадкової величини Х дорівнює параметру її густини ймовірностей:
. (4)
За формулами і , дисперсія
=.
Використано інтеграл (62) Гаусса і що
(використано правило Лопіталя) .
Отже,дисперсія нормально розподіленої випадкової величини Х а середнє квадратичне відхилення - другому параметру густини ймовірностей(60) .
При густина ймовірностей (60) має найбільше значення (рис.13.22). Якщо значення середнього квадратичного відхилення зменшується ,то зростає ймовірність того,
що значення випадкової величини знаходиться в околі точки й зменшується у протилежному випадку .
Отже, дисперсія справді характеризує розсіювання значень випадкової величини Х відносно її математичного сподівання .
Знайдемо ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величинаХ прийме значення .
Використовуючи формулу, отримаємо
=
.
Введемо функцію Лапласса
. (5)
тоді . (6)
Функція (5) Лапласа непарна , її значення табульовані . Для а для приймають .
Приклад. Нехай випадкова величинаХ нормально розподілена, причому , а . Знайти ймовірність .
Оскільки , то за формулою (6) маємо =
.
Знайдемо ймовірність того, що для нормально розподіленої випадкової величиниХ модуль відхилень її значень від математичного сподівання менший заданого числа , тобто ймовірність .
Використовуючи формулу (65) , отримаємо
.Оскільки , то
. (7)
Ймовірність (66) не залежить від , тобто матимемо цей же результат і для :
. (8)
Приклад . Знайти ймовірність влучання в полосу шириною 2 м , якщо помилки під час стрільби підпорядковані нормальному закону розподілу з параметрами
Оскільки ,то на основі формули (8)=.
З формул (7) і (8) випливає, що з ростом зменшується ймовірність значень нормально розподіленої випадкової величиниХ , які належать інтервалу або .
На основі геометричного змісту визначеного інтегралаплоща криволінійної трапеції) для , попередній висновок випливає безпосередньо з рис.2.
Найбільша з площ відповідає
Рис.2
для , а найменша – для .
Позначимо у формулі (65) , тоді отримаємо
. (9)
Якщо , то .
Остаточно, , тобто ймовірність того, що модуль відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х менший , дорівнює 0.9973. У цьому полягає правило “трьох сігм”.
На практиці часто правило “трьох сігм” використовують у вигляді: якщо закон розподілу випадкової величиниХ невідомий , але більшість її значень знаходяться в інтервалі , то випадкова велинаХмає нормальний закон розподілу .
З формули (67) при отримуємо :
1) якщо , то
2) якщо , то
3) якщо , то
(рис.14.24).
Рис.2
Якщо задана ймовірність випадкової події , то не можна стверджувати що вона з’явиться чи ні в одному дослідженні.
Під час введення статистичного означення ймовірності випадкової події було показано, що з ростом числа досліджень з’являються певні закономірності в її появі (дослідження Мера, К. Пірсона і інші).
Теоретичним обгрунтуванням цих закономірностей є теорема Бернуллі :
Якщо ймовірність події в одному дослідженні, а -- її відносна частота при дослідженнях, то
. (10)
Теорема Бернуллі є найпростішим частковим випадком однієї з найосновніших теорем теорії ймовірностей, так званогозакону великих чисел .
Границю (10) називаютьзбіжністю по ймовірності.
Аналогічний результат має місце й для випадкових величин .
Окремі значення випадкових величин можуть значно відрізнятися від її середнього значення. Середнє ж арифметичне великого числа значень випадкової величини мало відрізняється від її середнього значення .
Узагальненям теореми Бернуллі на випадок випадкових величин є теорема Чебишева :
Якщо випадкові величини попарно незалежні й мають однакові математичні сподівання , а їх дисперсії
обмежені, то
. (11)
Теорему Чебишева широко використовують на практиці. Для вивчення деякої випадкової величини проводять вимірювань і отримують значення . Можна вважати, що математичне сподівання цих значень дорівнює . За формулою (11),
, тобто при досить великому числі вимірювань їх середнє арифметичне як завгодно мало відрізняється від точного значення вимірюваної величини.
Теорема Чебишева є теоретичним обгрунтуванням широко застосовного в математичній статистиці вибіркового методу. Він грунтується на тому, що результати, отримані під час вивчення невеликої кількості значень деякої величини, узагальнюють на всю величину.
Наприклад, про якість великої партії зерна судять з проб невеликої його кількості, взятих у різних місцях партії.