Рівномірний розподіл Рівномірний розподіл на відрізку [a b] чи з параметрами a b це абсолют
Работа добавлена на сайт samzan.net:
1.Рівномірний розподіл
Рівномірний розподіл на відрізку [a, b] (чи з параметрами a, b) – це абсолютно неперервна випадкова величина з такою щільністю:
f(x)=
Відшукаємо константу з умови
Звідки const=1/(b-a).Отже,
f(x)=
f
1/(b-a)
a b x
Відшукаємофункціюрівномірногорозподілузаформулою F(x)=
Якщоx<0, тоF(x) = ,
при ,F(x)= – рівняння прямої,
приx>b,F(x)=1.
Отже,F(x)=
Обчислимочислові характеристики рівномірного розподілу.
Із механічного змісту математичного сподівання та дисперсії, якщо Х – рівномірно розподілена на [a;b], то
MX= ,DX=.
Розглянемо приклади випадкових величин, що мають рівномірний розподіл:
- При регулярному русі транспорту час очікування його рівномірно розподілений на відрізку [0,T], де Т – проміжок часу між двома прибуттями транспорту на зупинку.
- Момент приходу корабля у порт можна вважати рівномірно розподіленим на протязі доби, якщо корабель плив здалеку.
- Іноді розподіл вважають рівномірним на відрізку, якщо відомо, що він зосереджений на відрізку, а жодної іншої інформації про цей розподіл немає.
- Похибки заокруглення з точністю до 10-n- рівномірно розподілені на відрізку
[-0,5*10-n ;0,5*10-n].
- Рулетка -- рівномірний розподіл від 0° до 360°.
2. Нормальний закон розподілу ймовірностей
Означення.Неперервну випадкову величину називають нормально розподіленою, якщо її густина ймовірностей
, (1)
де - додатній , а - дійсний параметри .
Методами математичного аналізу можна показати, що графік функції (1) має вигляд (рис.1) :
Рис.14.22
Цей графік називають нормальною кривою або кривою Гаусса .
Якщо = 0, то нормальний закон називають центрованим .
Якщо ж параметри а , то нормальний закон називають зведеним:
. (2)
Функцію (2)називають функцією Лапласса, вона парна, табульована для , що відповідає значенням функції .
Функція (1) задовольняє властивостям густини ймовірностей :
- .
Справді , функція зростаюча , а значить
.
- .
Справді , , оскільки інтеграл Гаусса
. (3)
Знайдемо числові характеристики нормально розподіленої випадкової величиниХ.
=
.
Тут враховано інтеграл (62) і що невласний інтеграл .
Отже,математичне сподівання нормально розподіленої випадкової величини Х дорівнює параметру її густини ймовірностей:
. (4)
За формулами і , дисперсія
=.
Використано інтеграл (62) Гаусса і що
(використано правило Лопіталя) .
Отже,дисперсія нормально розподіленої випадкової величини Х а середнє квадратичне відхилення - другому параметру густини ймовірностей(60) .
При густина ймовірностей (60) має найбільше значення (рис.13.22). Якщо значення середнього квадратичного відхилення зменшується ,то зростає ймовірність того,
що значення випадкової величини знаходиться в околі точки й зменшується у протилежному випадку .
Отже, дисперсія справді характеризує розсіювання значень випадкової величини Х відносно її математичного сподівання .
Знайдемо ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величинаХ прийме значення .
Використовуючи формулу, отримаємо
=
.
Введемо функцію Лапласса
. (5)
тоді . (6)
Функція (5) Лапласа непарна , її значення табульовані . Для а для приймають .
Приклад. Нехай випадкова величинаХ нормально розподілена, причому , а . Знайти ймовірність .
Оскільки , то за формулою (6) маємо =
.
Знайдемо ймовірність того, що для нормально розподіленої випадкової величиниХ модуль відхилень її значень від математичного сподівання менший заданого числа , тобто ймовірність .
Використовуючи формулу (65) , отримаємо
.Оскільки , то
. (7)
Ймовірність (66) не залежить від , тобто матимемо цей же результат і для :
. (8)
Приклад . Знайти ймовірність влучання в полосу шириною 2 м , якщо помилки під час стрільби підпорядковані нормальному закону розподілу з параметрами
Оскільки ,то на основі формули (8)=.
З формул (7) і (8) випливає, що з ростом зменшується ймовірність значень нормально розподіленої випадкової величиниХ , які належать інтервалу або .
На основі геометричного змісту визначеного інтегралаплоща криволінійної трапеції) для , попередній висновок випливає безпосередньо з рис.2.
Найбільша з площ відповідає
Рис.2
для , а найменша – для .
Позначимо у формулі (65) , тоді отримаємо
. (9)
Якщо , то .
Остаточно, , тобто ймовірність того, що модуль відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х менший , дорівнює 0.9973. У цьому полягає правило “трьох сігм”.
На практиці часто правило “трьох сігм” використовують у вигляді: якщо закон розподілу випадкової величиниХ невідомий , але більшість її значень знаходяться в інтервалі , то випадкова велинаХмає нормальний закон розподілу .
З формули (67) при отримуємо :
1) якщо , то
2) якщо , то
3) якщо , то
(рис.14.24).
Рис.2
3.Про закон великих чисел
Якщо задана ймовірність випадкової події , то не можна стверджувати що вона з’явиться чи ні в одному дослідженні.
Під час введення статистичного означення ймовірності випадкової події було показано, що з ростом числа досліджень з’являються певні закономірності в її появі (дослідження Мера, К. Пірсона і інші).
Теоретичним обгрунтуванням цих закономірностей є теорема Бернуллі :
Якщо ймовірність події в одному дослідженні, а -- її відносна частота при дослідженнях, то
. (10)
Теорема Бернуллі є найпростішим частковим випадком однієї з найосновніших теорем теорії ймовірностей, так званогозакону великих чисел .
Границю (10) називаютьзбіжністю по ймовірності.
Аналогічний результат має місце й для випадкових величин .
Окремі значення випадкових величин можуть значно відрізнятися від її середнього значення. Середнє ж арифметичне великого числа значень випадкової величини мало відрізняється від її середнього значення .
Узагальненям теореми Бернуллі на випадок випадкових величин є теорема Чебишева :
Якщо випадкові величини попарно незалежні й мають однакові математичні сподівання , а їх дисперсії
обмежені, то
. (11)
Теорему Чебишева широко використовують на практиці. Для вивчення деякої випадкової величини проводять вимірювань і отримують значення . Можна вважати, що математичне сподівання цих значень дорівнює . За формулою (11),
, тобто при досить великому числі вимірювань їх середнє арифметичне як завгодно мало відрізняється від точного значення вимірюваної величини.
Теорема Чебишева є теоретичним обгрунтуванням широко застосовного в математичній статистиці вибіркового методу. Він грунтується на тому, що результати, отримані під час вивчення невеликої кількості значень деякої величини, узагальнюють на всю величину.
Наприклад, про якість великої партії зерна судять з проб невеликої його кількості, взятих у різних місцях партії.
2. Правоохранительная служба в Следственном Комитете РФ.html
3. В конструкции аппарата используются стандартные изделия эллиптические днища фланцы цилиндрические обе
4. ва обладают равными правами и обязанностями
5. новому ставят вопрос о месте и роли рекламы в жизни нашего общества
6. на тему- Турист как один из факторов микросреды туроперейтинга.
7. Практикум по общему землеведению [Текст] - для пед1
8. Статья- Минимизация рисков в ходе занятий физическими упражнениями со школьниками
9. тематическому анализу сокращенная форма обучения 2012-2013 уч
10. Новогодняя сказка В ролях- Дед Мороз ~ Дегтярева Татьяна Васильевна Дед Мороз подставной Малае
11. тема диктует принцип единообразия практики что автоматически влечет признание решений высших судов своеобр
12. .Вступ
13. Система форм (источников) права
14. Организация преступного сообщества
15. первых это регулятивная функция.html
16. Интеллект и рынок
17. Проблематика пьесы МГорького На дне
18. Основания прекращения брака Статьей 16 СК РФ предусмотрены основания прекращения брака одним из которы
19. Тематика курсовых работ по дисциплине Теория государства и права Теория государства и права в си
20. правового образования