Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
24) Фундамента́льная ма́трица − матрица, столбцы которой образуют фундаментальную систему решений некоторой системы дифференциальных уравнений. Фундаментальная матрица , нормальная в точке , выделяется из множества фундаментальных матриц условием , где — единичная матрица. Фундаментальная матрица с переставленными столбцами, очевидно сохраняет свойство фундаментальности и нормальности в .
Наряду с линейной системой дифференциальных уравнений рассмотрим соответствующее матричное уравнение , в котором неизвестная функция принимает значения в пространстве всех квадратных — матриц с элементами из .
Докажем, что для того чтобы заданная матрица-функция была фундаментальной матрицей линейной системы дифференциальных уравнений необходимо и достаточно, чтобы она была решением матричного уравнения () и имела в некоторой точке ненулевой определитель. В этом случае он будет отличен от нуля в любой точке . Фундаментальная матрица является нормальной в точке , если и только если она удовлетворяет матричному начальному условию .
Доказательство. Заметим, что матричная функция будет решением матричного уравнения в том и только том случае, когда любой её столбец φk является решением линейной однородной системы. Действительно, равенство -х столбцов в матричное уравнение имеет вид , что совпадает с линейной однородной системой. Теперь сформулированный критерий вытекает непосредственно из определений и теоремы о структуре множества решений линейной однородной системы, поскольку линейная независимость столбцов определителя эквивалентна, как устанавливалось в курсе алгебры, отличию этого определителя от нуля.