Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Основные вопросы
Средняя величина – это обобщающая, типическая характеристика совокупности исторически конкретных общественных явлений (процессов) по одному количественному признаку, показывающая уровень признака в расчете на единицу совокупности.
Основное назначение средней состоит в том, чтобы одним числом дать представление о совокупности различающихся между собой величин.
Средние величины должны вычисляться:
При подборе формы средней величины следует исходить из экономического содержания осредняемого показателя. Например:
Признак, по которому рассчитывают среднюю величину, называют осредняемым и обозначают . Отдельные значения признака называют вариантами и обозначают 1, 2, 3…n , среднюю величину – .
Число вариант обозначают n, число повторений вариант обозначают f и называют частотой, весом или первичным носителем признака.
В статистике наиболее часто применяются следующие виды средних величин: средняя арифметическая простая и взвешенная, средняя гармоническая взвешенная, средняя хронологическая и средняя геометрическая.
методика расчета и условия применения
Средняя арифметическая простая – частное от деления суммы индивидуальных значений признака у всех единиц совокупности на число единиц данной совокупности n:
Применяется она в тех случаях, когда отдельные значения признака встречаются по одному разу или одинаковое число раз и когда первичные данные не сгруппированы.
При наличии большого числа единиц совокупности первичные данные целесообразно систематизировать, сгруппировав повторяющиеся варианты значений признака. Для расчета средней величины значения признака (i) умножают на число повторений вариантов (веса fi), суммируют полученные произведения и делят их на сумму весов (частот):
Эта формула носит название средней арифметической взвешенной.
В качестве весов могут выступать не только абсолютные, но и относительные величины (удельные веса в числе единиц совокупности).
Средняя арифметическая взвешенная применяется при наличии данных первичных значений признака и числа единиц совокупности, например, заработной платы отдельных рабочих и количества рабочих, себестоимости единицы продукции и количества продукции, урожайности отдельных культур и количества посевных площадей, выработки одного продавца и численности продавцов, процента продукции первого сорта и количества произведенной продукции.
Рассмотрим методику расчета средней величины по формуле средней арифметической взвешенной по данным дискретного ряда в таблице 1 для исчисления средней заработной платы.
Таблица 1
Заработная плата работников магазинов за отчетный период
|
Номер магазина |
Заработная плата одного продавца, тыс. р. (i) |
Количество продавцов, чел. (fi) |
Фонд заработной платы, тыс. р. (i fi) |
|
А |
1 |
2 |
3 |
|
1 |
16 |
5 |
80 |
|
2 |
13 |
8 |
104 |
|
3 |
11 |
7 |
77 |
|
Итого |
– |
20 |
261 |
Средняя заработная плата одного продавца ар.взв. определяется отношением фонда заработной платы всех продавцов i fi к численности продавцов трех магазинов fi, т. е. по формуле
Чтобы определить фонд заработной платы всех продавцов, необходимо сложить произведения заработной платы продавцов на количество продавцов по каждому магазину ( табл. 1, графа 3)
Промежуточные расчеты оформим в графе 3 таблицы 1. Количество продавцов известно по условию задачи ( fi = 20, табл. 1, гр. 2). Зная показатели числителя и знаменателя формулы, определяем среднюю заработную плату одного продавца:
При вычислении средней заработной платы применялась формула средней арифметической взвешенной, где в качестве весов выступало количество продавцов, т. е. первичный носитель признака.
Статистические данные часто могут быть представлены в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми и открытыми интервалами.
Рассмотрим методику расчета средней величины в интервальном ряду. На основании исходных данных, которые приводятся в графах А, 1, таблицы 2, определяется средний процент влажности муки.
Таблица 2
Расчет среднего процента влажности муки
|
Группы образцов по влажности муки, % |
Число проб (fi) |
Фактическая влажность муки, % |
Середина интервала (i) |
Влажность муки во всех пробах, % (i fi) |
|
А |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
До 13,0 |
10 |
12,8 – 13,0 |
12,9 |
129 |
|
13,0 – 13,2 |
20 |
13,0 – 13,2 |
13,1 |
262 |
|
13,2 – 13,4 |
40 |
13,2 – 13,4 |
13,3 |
532 |
|
Свыше 13,4 |
30 |
13,4 –13,6 |
13,5 |
405 |
|
Итого |
100 |
— |
— |
1328 |
В примере значения осредняемого признака: «влажность муки» – представлены в виде интервалов, причем в первой и последней группах интервалы открытые. В таком случае величина интервала первой группы условно принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы равной величине интервала предыдущей.
В данном примере интервалы второй и третьей группы равные (13,2 – 13,0 = 0,2;
13,4 – 13,2 = 0,2). Нижняя граница интервала в первой группе определяется вычитанием из верхней границы размера интервала последующей группы (13,0 – 0,2 = 12,8), а верхняя граница в последней группе вычисляется прибавлением к нижней границе размера интервала предыдущей группы (13,4 + 0,2 = 13,6).
Занесем расчетные показатели влажности в гр. 2 таблицы 2.
Для нахождения среднего значения признака необходимо преобразовать интервальный ряд в дискретный, вычислив центр интервала в каждой группе.
Центр интервала определяем по формуле средней арифметической простой. Так, центры интервалов будут равны:
Занесем расчетные показатели в гр. 3 таблицы 2 и введем условные обозначения исходных данных. Влажность муки обозначаем символом i , число проб – символом fi. Дальнейший расчет аналогичен изложенному в таблице 1.
Для определения среднего процента влажности ( следует влажность муки во всех пробах ( i fi) разделить на число проб в партии ( fi), т. е. по формуле средней арифметической взвешенной
Число проб в партии известно по условию ( fi = 100, табл. 2, гр. 1). Влажность муки во всех пробах рассчитаем как сумму произведений показателей влажности муки на число проб в каждой группе:
i fi = 12,9 10 + 13,1 20 + 13,3 40 + 13,5 30 = 129 + 262 + 532 + 405 = 1328 (%).
Промежуточные расчеты оформим в гр. 4 таблицы 2. Зная показатели числителя и знаменателя, найдем средний процент влажности муки во всех пробах:
Средний процент влажности в 100 пробах составил 13,28 %.
Средняя гармоническая величина применяется в тех случаях, когда известны не первичные, а вторичные носители признака (i fi), например, фонд заработной платы и заработная плата отдельных работников, затраты производства на всю продукцию и себестоимость единицы продукции, валовой сбор и урожайность отдельных культур, выработка всех продавцов и выработка одного продавца, количество продукции первого сорта и процент продукции первого сорта. В этих случаях отсутствуют данные о частотах. Средняя гармоническая взвешенная имеет вид:
где Мi = i fi , т. е. Мi – вес, который по своему значению является произведением варианты на частоту. Например, фонд заработной платы Мi – это произведение варианты (i – заработная плата отдельных рабочих) на частоту (fi – число рабочих), т. е. Мi – вторичный носитель признака.
Если надо найти среднюю заработную плату, имея данные о вторичном носителе признака – фонде заработной платы ( i fi) и заработной плате работников отдельных предприятий (i), необходимо предварительно вычислить количество работников, разделив фонд заработной платы на заработную плату продавцов каждого магазина.
Рассмотрим методику расчета средней величины по формуле средней гармонической взвешенной по данным таблицы 3 (гр. А, 1, 2).
Таблица 3
Данные о заработной плате работников магазинов
за отчетный период
|
Номер магазина |
Заработная плата одного продавца, тыс. р. (i) |
Фонд заработнойплаты, тыс. р. (i fi) |
Количество продавцов, чел. () |
|
А |
1 |
2 |
3 |
|
1 |
15 |
105 |
7 |
|
2 |
12 |
48 |
4 |
|
3 |
14 |
126 |
9 |
|
Итого |
– |
279 |
20 |
Вводим условные обозначения исходных данных. Осредняемый признак – заработную плату одного продавца – обозначим символом i, фонд заработной платы – вторичный носитель признака – символом i fi.
Чтобы определить количество продавцов, необходимо фонд заработной платы (i fi) разделить на заработную плату одного продавца (i) по каждому магазину. Промежуточные расчеты оформим в гр. 3 таблицы 3. Средняя заработная плата составит:
В этом случае при определении средней заработной платы применялась формула средней гармонической взвешенной.
Для расчета средней величины по данным на несколько дат при равных промежутках между датами применяется средняя хронологическая величина.
Средняя хронологическая – это частное от суммы индивидуальных значений признака, из которых первое и последнее значения взяты в половинном размере, на число единиц данной совокупности без одного (n–1), и рассчитывается по формуле
Среднюю хронологическую применяют для расчета среднего уровня моментного равноотстоящего динамического ряда, например, для расчета средних товарных запасов за квартал, полугодие, год; средних цен по данным о цене на несколько дат, когда отсутствуют данные о количестве товаров; средней численности высших учебных заведений (тема 7 «Ряды динамики»).
В тех случаях, когда отсутствуют данные о количестве проданных товаров, средняя цена по данным о цене на несколько дат (за квартал, полугодие, год) рассчитывается по формуле средней хронологической (табл. 4).
Таблица 4
Данные о ценах товара Б на рынке города
|
Наименование товара |
Цена за 1 кг (р.) на дату |
|||
|
22.03 |
22.04 |
22.05 |
22.06 |
|
|
Б |
28 |
26 |
29 |
32 |
Так, во втором квартале средняя цена товара Б равна :
Средняя геометрическая величина – это корень n – й степени из произведения значений признаков:
,
где n – число сомножителей.
Средняя геометрическая применяется для вычисления среднего темпа роста явления за отдельные периоды его развития. В качестве значений признака выступают цепные темпы роста, выраженные в коэффициентах (пример расчета показан в теме 7 «Ряды динамики»).