Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вариант № 9
В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить дифференцированием.
1. .
Проверка: .
Ответ: .
2. . Интегрируем по частям: . . Проверка: .
Ответ: .
3. .
Проверка: .
Ответ: .
4. . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную часть на простые дроби.
. Полагаем , получим . Из равенства следует . Приравнивая коэффициенты при , получим . Или . Таким образом,
Проверка:
. Ответ: .
5. . Вычисляем интеграл с помощью разложения на простые дроби. . Полагая , получим . Приравняем коэффициенты при : . Приравняем коэффициенты при : . Следовательно, .
Проверка: .
Ответ: .
6. . Интегрируем с помощью замены переменной. .
Проверка: . Ответ: .
7. . Интегрируем с помощью замены переменной. .
Проверка: .
Ответ: .
8. . Интегрируем с помощью замены переменной.
.
Проверка: .
Ответ: .
9. . Интегрируем с помощью замены переменной. .
Проверка: .
Ответ: .
Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.
10. . Интеграл расходится. Ответ: . Интеграл расходится.
11. . Интеграл сходится.
Ответ: . Интеграл сходится.
Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
12. . Найдём точки пересечения линий: .
Тогда . Ответ: .
13. . Это эллипс. Найдём точки пересечения линий: . . Ответ: .
14. Вычислите длину дуги кривой (L): (спираль Архимеда).
. Получили равенство . Отсюда находим: . Ответ: .
15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S) вокруг оси OX.
.
Ответ: .
16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L) вокруг оси OX.
. .
Следовательно, . Ответ: .
Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей математике.
17. . По справочнику находим: .
Ответ: . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы.)
18. . По справочнику находим: . В данном случае . Ответ: .
19. Найдите силу давления воды на прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой H, погружённый в воду вертикально вниз так, что его основание находится на поверхности воды.
Уравнение образующей конуса , при условии, что начало координат располжено в точке вершины конуса. Тогда на уровне y элементарный слой будет иметь боковую поверхность, равную . Давление на эту элементарную поверхность будет равно . Следовательно,
. Ответ: .
20. Деревянная прямоугольная балка плавает в воде. Вычислите работу, необходимую для извлечения балки из воды, если известны её размеры «a, b, c». Удельный вес г/см3.
Полный вес балки равен . Этот вес уравновешивается выталкивающей силой за счёт погружённой в воду части балки. Пусть глубина погружения равна h0. Тогда . При поднятии балки на высоу x, появляется вес балки, который не скомпенсирован силой выталкивания: . Элементарная работа по поднятию балки на высоту dx составит величину . Интегрируя, находим: . Ответ: .
x
x
y
R