Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МЕТОДИЧЕСКИЕ
УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ
для контрольной работы
по теме «Математические методы в экономике»
для студентов очной заочной форм обучения
Составитель: Р.З. Гильмутдинов
Рецензент: зав. кафедрой математики и информатики Уфимского филиала Оренбургского государственного университета доцент Юмагузин А.Р.
В данных указаниях даются необходимые теоретические сведения, формулы, методические рекомендации, решения типичных задач и варианты заданий контрольной работы для студентов заочной формы обучения.
Рассмотрены следующие темы: исследование экономических задач методами дифференциального исчисления; изучение экономических систем с помощью линейных балансовых моделей, сетевое планирование и управление, исследование эластичности производственных функций,элементы линейного программирования и матричных игр.
Содержание
Введение
1. Тема 1. Исследование функций в экономике методами дифференциального исчисления
2. Тема 2. Линейные балансовые модели
3. Варианты индивидуальных контрольных заданий
Литература
Введение
Методические указания посвящены решению простейших задач экономики математическими методами: исследование экономических функций методами дифференциального исчисления, в частности, эластичностью; изучение экономических систем на основе линейных балансовых моделей.
В конце методических указаний даются варианты индивидуальных заданий контрольной работы. Номер варианта «n» каждого студента определяется как сумма двух последних цифр номера зачетной книжки или студенческого билета.
В каждом задании контрольной работы студент должен подставить вместо n номер своего варианта, записать потом задание и достаточно подробное решение, если потребуется – поострить графики функций. По возможности следует ход решения задачи и ответ прокомментировать с точки зрения экономики и дать рекомендации.
Тема 1. Исследование функций в экономике методом дифференциального исчисления
Приведем некоторые необходимые для решения задач понятия и формулы дифференциального исчисления в экономике ([1], [3]).
Пусть – количество произведенной продукции за время t. Производительность труда есть производная объема произведенной продукции.
Отношение , т.е. фактически производная логарифмической функции называется темпом изменения функции.
Поясним понятие предельных издержек. Пусть х – объем производства некоторой продукции, – производственная функция, описывающая зависимость издержек производства (суммарные затраты) от объема производства. Тогда предел
,
равный производной выражает предельные издержки производства и характеризует приблизительно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.
Определение. Удельные затраты – это средние затраты на единицу продукции, т.е.
.
Задача 1. Объем продукции рабочего описывается уравнением
, ,
где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп её изменения через 1 час после начала работы и за 2 часа до конца рабочего дня.
Решение. Производительность труда равняется производной от объема продукции, :
.
Скорость изменения производительности труда равен производной от производительности труда:
.
Темп изменения производительности труда равен , т.е. фактически :
.
Вычисляем эти показатели при :
, ;
, ;
, .
Вывод: к концу работы производительность труда снижается, причем смена знака и к концу рабочего дня на «минус» свидетельствует, что увеличение производительности в начале рабочего дня сменяется её снижением в конце рабочего дня.
Задача 2. Зависимость спроса товара от цены выражается формулой
.
Найти предельный спрос при цене: ,
Решение. Скорость изменения функции равна её производной, здесь
Отсюда , .
Знак «минус» показывает, что с увеличением цены спрос на товар падает.
Темп изменения равен
при , при .
Задача 3. Найдите предельную производительность ресурса, если функция выпуска имеет вид , а затраты ресурса равны:
1. 2 усл. ед.
2. 5 усл. ед.
Определите, начиная с какого момента увеличение затрат экономически невыгодно.
Решение. Производительность равна . При , при .
Здесь с увеличением затрат ресурса производительность падает. Причем при , т.е. при увеличение затрат экономически невыгодно.
Задача 4. Пусть издержки производства вычисляются по формуле
.
1. Определить предельные издержки при .
2. При каких значениях х издержки производства возрастают все медленнее; всё быстрее?
3. При каком объеме производства х удельные затраты будут минимальными?
Решение.
1. Предельные издержки равны
.
Здесь
2. Далее, , здесь при и при . То есть если выпуск продукции меньше 1 усл. ед., то издержки производства возрастают всё медленнее. Если , то издержки растут всё быстрее.
3. Удельные затраты (Кср) равны
.
Далее, , при – это точка минимума (почему?) Кср(х).
Задача 5. Функция спроса от цены имеет вид
.
Постройте график функции. Определите при каких р спрос эластичен, нейтрален, неэластичен.
Решение. Эластичность вычисляется по формуле:
,
а для функции спроса
, ,
,
.
Здесь спрос эластичен: при .
Спрос нейтрален: при .
Спрос неэластичен: при .
Вывод: при увеличении цены больше спрос эластичен, т.е. товар меньше востребован.
Тема 2. Линейные балансовые модели
Приведем основные формулы.
Запишем линейную балансовую модель в матричной форме ([2])
, (2.1)
или
,
где ;
, ; ; .
Определение. Матрица называется продуктивной, если для любого вектора существует решение уравнения (2.1) балансовой модели (неравенство вида означает, что все элементы этого вектора (матрицы) удовлетворяют этому неравенству ).
Существует несколько критериев продуктивности, приведем некоторые.
Критерий 1. Если и для некоторого положительного вектора уравнение (2.1) имеет решение , то матрица А продуктивна.
Критерий 2. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и неотрицательна.
Критерий 3. Если сумма элементов любого столбца неотрицательной матрицы А меньше 1, то А – продуктивна.
Задача 6. Исследовать на продуктивность матрицу:
.
Решение. Учитывая, что
,
имеем
.
Докажем существование С-1 и найдем обратную матрицу С-1.
,
значит С-1 существует.
.
Видно, что все элементы матрицы неотрицательны, значит матрица А продуктивна.
Примечание. В данной задаче подошел критерий № 2. Критерий № 3 – достаточный признак, он не подходит, так как
.
Критерием № 3 можно, например, воспользоваться для определения продуктивности матрицы
.
Здесь сумма элементов каждого столбца меньше единицы, значит матрица А продуктивна.
Задача 7. Пусть экономическая система состоит из 3 отраслей, назовем условно топливно-энергетическая отрасль, промышленность, сельское хозяйство. Пусть
является транспонированной матрицей прямых затрат, – вектор норм добавленной стоимости [2]. Определить:
1. равновесные цены
2. равновесные цены, если произойдет увеличение нормы добавленной стоимости на 1,11 в топливно-энергетической отрасли.
Решение.
1. Определим равновесные цены исходя из формулы [2]:
.
Имеем (проделайте вычисления самостоятельно!):
.
Отсюда
.
2. Теперь по условию задачи . Вычисляя, находим
.
Таким образом, продукция первой отрасли подорожала на 14,5%, второй – на 3,5%, третьей – 4,17%.
Если знать объемы выпуска, можно подсчитать вызванную этим повышением инфляцию.
Варианты индивидуальных контрольных заданий
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
В каждом задании студент подставляет свое значение n-номер своего варианта, который получается сложением двух последних цифр номера зачетной книжки или студенческого билета.
Задание 1. Объемы продукции рабочей бригады описывается уравнением
, ,
где t – рабочее время в часах.
Вычислить производительность труда, скорость и темп её изменения через 2 часа после начала работы и за 1 час до её окончания.
Задание 2. Функция спроса от цены имеет вид:
.
Постройте график функции. Определите при каких значениях р спрос эластичен, нейтрален, неэластичен.
Задание 3. Экономическая система состоит из 3 отраслей: топливно-энергетическая, промышленность, сельское хозяйство. Пусть
–
– транспонированная матрица прямых затрат, – вектор норм добавленной стоимости.
1. Определить равновесные цены.
2. Определить равновесные цены, если произойдет увеличение нормы добавленной стоимости на 1,1 в топливно-энергетической отрасли.
Литература
1. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, изд. «Дело и Сервис», 1999. – 368.
2. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник. – М.: «Финансы и статистика», 2000. – 224.