Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МАРИУПОЛЬ, 2003
УДК 530.145 (075)
Квантовая физика. Учебно-методическое пособие для самостоятельной работы студентов. Составитель доцент Савинков Н.А. – Мариуполь: ПГТУ,2003 - 93 с. с ил.
Квантовая физика – учебно-методическое пособие по курсу общей физике (раздел ‘‘Квантовая физика’’) предназначено для самостоятельного изучения студентами теоретического материала по вышеназванному разделу. Содержит также подробно разобранные примеры решения задач по темам этого раздела. Поэтому рекомендуется также к использованию при выполнении модульной расчётно-графической работы. Пособие рассчитано на студентов всех специальностей как очной, так и заочной форм обучения.
Рецензент: доцент Буланчук О.Н.
Утверждено на заседании кафедры физики.
Протокол № 6 от 18 декабря 2002 г.
Предисловие 5
Пролог 6
§1.Как зарождалась квантовая физика 8
1.1 Излучение чёрного тела 8
1.2 Проблема теплового излучения 10
1.3 Оптическая пирометрия 12
1.4 Формула Планка. Квантовая гипотеза Планка 13
§2.Квантовые свойства электромагнитного излучения 16
2.1 Гипотеза световых квантов. Опыт Боте. Фотоны 16
2.2 Внешний фотоэлектрический эффект
и невозможность его классического описания 17
2.3 Формула Эйнштейна для внешнего фотоэффекта.
Практические применения фотоэффекта 20
2.4 Эффект Комптона 23
Примеры решения задач 26
§3.Элементы квантовой механики 33
3.1 Корпускулярно-волновой дуализм материи.
Формула де-Бройля 33
3.2 Экспериментальное подтверждение волновых свойств
вещества. Дифракция микрочастиц 35
3.3 Применения волновых свойств частиц.
Электроно- и нейтронография 39
3.4 Соотношения неопределённостей Гейзенберга 40
3.5 Границы применимости классической физики.
Оценки некоторых микросостояний с помощью
соотношения неопределённостей 45
Примеры решения задач 47
3.6 Состояние частицы в квантовой теории.
Амплитуда вероятностей. Волновая функция
и её статистический смысл 56
3.7 Основная задача квантовой механики.
Временное и стационарное уравнения Шредингера 59
3.8 Принцип причинности в квантовой механике 63
3.9 Движение свободной частицы –
квантово-механическое описание 64
3.10 Частица в одномерной прямоугольной
потенциальной яме 67
3.11 Принцип соответствия 72
3.12 Прохождение частицы под и над потенциальным
барьером. Туннельный эффект 73
3.13 Линейный гармонический осциллятор 78
Примеры решения задач 81
Литература 93
Цель настоящего учебно-методического пособия – оказать помощь студентам в изучении весьма сложного раздела курса общей физики—квантовой физики. Из опыта общения со студентами автора этого пособия видна трудность восприятия таких понятий как волны де-Бройля, соотношения неопределённостей, волновая функция и других. Материал основан на лекциях, читаемых автором на кафедре физики ПГТУ. При изложении теоретического материала автор стремился сконцентрировать внимание читателя на основных законах квантовой физики и, в частности, на вопросах наиболее трудных для понимания и восприятия. Эти вопросы автор стремился изложить более подробно, чем в лекциях и ,по возможности более доступным языком, чем в учебниках. В отличии от лекций приведено больше технических приложений, например, рассмотрены работа электронного микроскопа, фотоэлектронного умножителя и т.д. В пособии излагаются все лекционные вопросы, выносимые обычно автором на самостоятельную работу студентам.
В пособии кроме теоретического материала ,дано большое количество типовых (а также повышенной сложности) задач с решениями. Произведён подробный разбор этих задач. Задачи тесно связаны с основным текстом, часто являются его развитием и дополнением.
Таким образом, автор надеется, что пособие поможет студентам не только при освоении теоретического материала, но и при выполнении семестровой расчётно-графической работы по модулю «Квантовая физика».
Пособие рассчитано на студентов всех специальностей, изучающих физику в ПГТУ.
Автор.
Всё, что вы изучали по физике в течение двух предыдущих семестров ,относится к старой или классической физике,которая господствовала до начала ХХ века.В первой половине ХIХ в физике преобладал механистический взгляд на мир.Блестящие успехи ньютоновской физики и астрономии принесли веру в то,что законы этой механики управляют движением всей Вселенной и являются основными законами природы.Физики применили механику Ньютона и к описанию непрерывного движения жидкостей и газов,а также колебаниям упругих тел.И вновь—успех.Наконец, даже теорию теплоты удалось свести к механике,когда выяснилось,что теплота-это энергия сложного хаотического движения молекул.
С середины ХIХ века началось исследование электрических и магнитных явлений.Когда Фарадей поднёс магнит к катушке медного провода и тем самым вызвал в ней импульс электрического тока, преобразовав механическую работу в электрическую энергию,в науке и технике наступил исторический перелом.Фундаментальные работы Фарадея и Максвелла привели к созданию к концу ХIХ века полной теории электромагнетизма называемой в настоящее время электродинамикой.Вершиной этой теории было осознание того ,что свет—не что иное ,как переменное электромагнитное поле высокой частоты ,распространяющееся в пространстве в форме волн.
Таким образом, стройное здание классической физики было завершено к началу ХХ века.Физики располагали двумя признанными теориями, каждая из которых объясняла свою часть природных явлений: механикой Ньютона и электродинамикой Максвелла. Казалось, что физика завершена. Лишь небольшие частные проблемы оставались в физике, например,теоретическое описание спектра излучения абсолютно чёрного тела.Попытки решения этой маленькой частной проблемы привели в начале ХХ века к целому ряду громких открытий, которые потрясли основы классической физики и дали начало новой квантовой физики.В.Гейзенберг писал:”Бурную реакцию учёных на последние открытия современной физики можно объяснить: эти открытия сотрясают основы физической науки,и возникает ощущение потери почвы под ногами.”
Итак, вы приступаете к изучению основ квантовой физики— науки о строении и свойствах объектов и явлений микромира.Квантовая физика—самое выдающееся творение ХХ века.Многочисленные её технические приложения изменили облик нашей цивилизации.Основные её положения были разработаны в 20-х годах ХХ века выдающимися физиками М.Планком, Л.де-Бройлем, Э.Шредингером, В.Гейзенбергом, П.Дираком, В.Паули, П.Эренфестом и др. В настоящее время квантовая физика стала привычной ,но она не стала от этого менее удивительной. И в этом вы убедитесь сами.
В зависимости от природы источников различают виды излучения. Нас будет интересовать тепловое излучение. Тепловое излучение, являясь самым распространенным в природе излучением, происходит за счёт преобразования внутренней энергии тела (т.е. энергии теплового движения атомов и молекул) в излучение. Это излучение занимает особое место среди других видов излучения.
Тепловое излучение – это единственный вид электромагнитного излучения, которое может находиться в состоянии термодинамического равновесия со своим излучателем, то есть с тем телом, которое излучает.
Одной из важнейших задач физики конца XІX века было экспериментальное и теоретическое исследование теплового излучения "абсолютно чёрного тела ".
Абсолютно чёрное тело (или чёрное тело) — это объект, который полностью поглощает всё падающее на него излучение независимо от направления падающего излучения, его спектрального состава и поляризации, ничего не отражая и не пропуская.
Представим себе ящик (или полость) с абсолютно непроницаемыми стенами (рис. 1). Внутрь ящика помещено нагретое тело. Стенки ящика обладают свойствами полностью отражать падающее на него излучение (коэффициент отражения ρ=1).
Если внутри полости будет вакуум, то тело и стенки ящика будут обмениваться энергией только путём испускания и поглощения электромагнитных волн. В результате многократных испусканий и поглощений электромагнитного излучения плотность энергии излучения в полости достигает определённой величины, соответствующей установившейся температуре. Это излучение и будет называться равновесным или излучением абсолютно чёрного тела (или чёрным излучением). Характер этого излучения не зависит от размеров и формы ящика и свойств, находящихся внутри ящика тел, а зависит только от температуры. Поэтому можно говорить о температуре самого излучения в полости. Равновесное излучение в полости можно исследовать, проделав в стенке полости небольшое (чтобы не нарушить равновесие) отверстие.
Для дальнейшего рассмотрения проблем излучения абсолютно чёрного тела, с которыми столкнулась классическая физика конца XІX века, рассмотрим некоторые количественные характеристики теплового излучения
Энергетическая светимость нагретого тела RT — это энергия излучения с единицы площади поверхности нагретого тела в единицу времени во всём интервале частот (или длин).
RT=
Спектральной характеристикой теплового излучения является лучеиспускательная способность (спектральная плотность энергетической светимости) — rν,T — это энергия излучения с единицы площади поверхности нагретого тела в единицу времени в единичном интервале частот dυ (или длин волн dλ).
rν,T=
(rλ,T= )
Отсюда можно выразить величину RT
RT = rν,T dυ
Поглощающей способностью тела называется отношение энергии поглощённой единицей площади тела в единицу времени в единичном интервале частот dυ к энергии падающей
аυ,T=
Очевидно, что для абсолютно чёрного тела величина аυ,T1
В 1859г Г.Кирхгоф установил закон (закон Кирхгофа).
В равновесном состоянии отношение лучеиспускательной способности тела rν,T к поглощательной аυ,T есть универсальная функция частоты (длины волны) и температуры — функция Кирхгофа:
φ(ν,T)=
(φ(λ,T)=φ(ν,T))
Для абсолютно чёрного тела поглощательная способность равна 1, поэтому для излучения абсолютно чёрного тела φυ,T = rν,T, то есть универсальная функция Кирхгофа есть не что иное, как лучеиспускательная способность абсолютно чёрного тела.
Анализируя спектральный состав (распределение энергии излучения по длинам волн или по частотам) излучения чёрного тела (излучения, идущего через малое отверстие из замкнутой полости — рис.1) экспериментально был получен вид функции φ(λ,T) при различных температурах чёрного тела (рис.2).
Основной проблемой в интерпретации экспериментальных закономерностей теплового излучения в течение долгого времени являлось получение теоретически вида функции φ(υ,T), которая бы хорошо описывала экспериментальные кривые — рис.2. Предпринимались попытки решить эту проблему на основе классических представлений. Решение этой задачи вышло далеко за рамки теории теплового излучения и сыграло огромную роль во всём дальнейшем развитии физики, так как привело к установлению квантового характера излучения и поглощения электромагнитной энергии. Австрийский ученый Стефан (1879 г.), анализируя экспериментальные данные, и Больцман (1884 г.), применяя термодинамический метод, решили эту проблему лишь частично. Они установили зависимость энергетической светимости абсолютно чёрного тела Rэ от температуры
Rэ=σ Т4, (1)
где σ = 5,7 10-8 — постоянная величина.
Соотношение (1) получило название закона Стефана-Больцмана. Однако этот закон не даёт ответа, каков же спектральный состав излучения абсолютно чёрного тела, то есть закон не определяет вида функции φυ,T (или φλ,T).
Экспериментально полученные кривые для φλ,T (рис.2) имеют ярко выраженный максимум. Из кривых видно, что энергия излучения распределена по спектру неравномерно; чёрное тело почти не излучает в области длинных и очень коротких волн. Максимум кривых смещается с изменением температуры. Эта особенность была сформулирована В.Вином в виде закона (закон Вина).
Длина волны, на которую приходится максимум лучеиспускательной способности абсолютно чёрного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре.
λмax= (2)
где b=2,9 10-3 м К — постоянная Вина.
Выражение (2) называют ещё законом смещения Вина, потому что из него следует смещение максимума функции φ(λ,Т) в область более коротких длин волн с возрастанием температуры. Например, при повышении температуры нагретых тел в их спектре начинает преобладать коротковолновое излучение — переход красного каления в белое при нагревании металла.
Следующая строгая попытка получить теоретически функцию φλ,T принадлежит английским учённым Д.Рэлею и Д.Джинсу, которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.. Рассмотрев тепловое излучение в равновесии с веществом, они получили выражение для функции φλ,T:
φλ,T= (φν,T= ), (3)
где kТ=<ε> — средняя энергия осциллятора с собственной частотой ν. Выражение (3) называется формулой Рэлея-Джинса, она хорошо согласуется с экспериментом в области больших длин волн и больших температур (рис.3). В области малых длин волн формула (3) была явно неверна и приводила к абсурдным результатам. Интегральная энергетическая светимость Rэ определенная с использованием формулы (3) оказалась равной бесконечности:
Rэ=dν = =dν =
Таким образом, работы Рэлея и Джинса показали, что последовательное применение классической физики к исследованию спектрального состава чёрного излучения даёт неверные результаты, противоречащие закону с охранения энергии.
Законы теплового излучения, рассмотренные нами выше, используются для измерения температуры раскалённых объектов, например, жидкого металла в печи, или звёзд бесконтактным способом. В этом случае используется зависимость лучеиспускательной способности исследуемого объекта rλ,T (или его энергетической светимости RT) от температуры. То есть, о температуре объекта можно судить по его излучению. Для этого используются приборы — пирометры излучения, а совокупность бесконтактных методов измерения температуры называется оптической пирометрией. Например, оптический пирометр с исчезающей нитью (который применяется в лабораторной работе №81) работает следующим образом (рис. 4).
Рис.4
С помощью объектива О изображение нагретого светящегося объекта (1) совмещается с плоскостью нити накала (3) лампы (2). Нить накала и изображение тела наблюдаются через окуляр О1 и светофильтр Ф, пропускающий красный свет с длиной волны
λ0= 660 нм. Изменением тока подбирают яркость нити такой, чтобы она не была видна на фоне светящейся поверхности измеряемого объекта. В этом случае лучеиспускательная способность нити и поверхности будут одинаковы для длины волны λ0. Соответствующие значения тока миллиамперметра переводятся в так называемую яркостную температуру исследуемого тела. Яркостная температура тура Тя — это температура чёрного тела, при которой для определённой длины волны его лучеиспускательная способность равна лучеиспускательной способности исследуемого тела. Зная поглощательную способность aλ,T тела на длине волны λ0, можно по яркостной температуре определить истинную Т. Истинная температура всегда больше яркостной (Тя<Т), потому что для нечёрных тел всегда aλ,T < 1.
В 1900 г. немецкий физик Макс Планк получил формулу для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно чёрного тела φυ,Т:
φυ,Т = (4)
(В волновом представлении это выражение будет иметь вид
φλ,Т =)
Выражение (4) полностью согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до и носит название формулы Планка. Можно легко показать, что функции (4) удовлетворяет закон Вина и Стефана-Больцмана. Покажем, каким образом можно получить из формулы Планка закон Стефана- Больцмана:
Rэ= φν,T dυ = dν
Введём безразмерную переменную x=hυ/(kT); dx=hdν/(kT); dν=kTdx/h. Тогда формула для Rэ преобразится к виду:
Rэ= σT4,
где σ = ,
где = ;
При малых частотах (или больших длинах волн) hν/kT<<1 и тогда exp(hν/kT )-1 hν/kT, формула Планка переходит в формулу Рэлея-Джинса (3).
Однако для получения формулы (4) Планку пришлось ввести предположение (гипотезу) совершенно противоречащую классическим представлениям. Планк предположил, что энергия излучающего тела может принимать не любые, а вполне определённые дискретные значения; другими словами электромагнитное излучение нагретого тела испускается и поглощается не непрерывно, а определёнными минимальными порциями (квантами), величина которых равна:
E= hν; (5)
Учитывая связь ω= 2πν и ħ= h/2π выражение (5) записывается также в виде
E = 2πν= ħω, (6)
где коэффициент ħ (или h) получил в последствие название постоянной Планка; эта величина была экспериментально определена и равна
ħ= 1,054 10-34 Дж·с
Мы видим, что порции энергии чрезвычайно малы, поэтому скачкообразность изменения энергии не замечали в повседневной жизни.
Постоянная Планка — это важнейшая универсальная константа, играющая в квантовой физике такую же фундаментальную роль, как скажем, скорость света в теории относительности. Таким образом, если излучение энергии некоторой системы происходит порциями (квантами) hυ, то энергия системы может принимать только значения, кратные hυ.
En= nhυ, n= 1,2,3…
Идея квантования энергии и открытие постоянной Планка ознаменовали рождение новой квантовой физики. Физику как науку, стали подразделять на классическую (нерелятивистскую и релятивистскую) и квантовую.
Совершенно необычная для классической физики квантовая гипотеза Планка далеко не сразу была принята и поддержана учёнными. Сам М.Планк, будучи убеждённым приверженцем классической физики, ещё в течение нескольких лет пытался понять квантование энергии и примирить идею квантования с законами классической физики. Однако эти попытки оказались безуспешными.
Квантовая гипотеза Планка получила дальнейшее развитие, прежде всего, в работах А.Энштейна. В 1905 г. появилась работа А.Эйнштейна “ Об эвристической точке зрения на возникновение и превращение света”, которая открывает следующую важную страницу в истории квантовой физики.
Эйнштейн распространил планковскую идею квантования энергии на свет, он выдвинул идею световых квантов. При этом Эйнштейн предположил, что дискретный характер присущ не только процессам испускания и поглощения света, но и самому свету. То есть свет распространяется также в виде дискретных частиц. Один квант (одна порция, одна частица) света получил название фотона. Существование особых световых частиц — фотонов было доказано экспериментально в опыте Боте, который заключается в следующем (рис. 5).
Тонкую металлическую фольгу F устанавливают между двумя быстродействующими счётчиками Cч1 Cч2. Фольга освещается слабым пучком рентгеновских лучей, под действием которых сама становилась источником рентгеновских лучей. Вследствие малой интенсивности первичного пучка (Х), количество переизлучённых фольгой рентгеновских квантов также было очень мало. При попадании в счётчик рентгеновского излучения счётчик срабатывает и посылает электрический сигнал на регистрирующий прибор. Если бы энергия, излучаемая фольгой, распространялась бы в виде волн, то есть равномерно во все стороны, то счётчики срабатывали бы одновременно. На самом деле счётчики срабатывали беспорядочно и независимо друг от друга. То есть, всё происходило так, если бы излучение фольги F распространялось в виде отдельных частиц, которые попадали либо в первый счётчик, либо во второй. Итак, фотон — это есть одна порция или одна частица света. Свет частоты υ, таким образом, это поток фотонов с энергией Е= hν. Являясь частицами, фотоны обладают следующими свойствами:
1.Свет распространяется в вакууме со скоростью с, следовательно, с той же скоростью движутся фотоны.
2. Масса покоя фотона равна нулю
m= 0;
Это значит, что единственное состояние фотона — это движение. Не существует системы отсчёта, в которой он бы покоился. Фотон в состоянии покоя — понятие лишённое физического смысла.
3. Фотон обладает собственным моментом импульса (спином) равным ħ. Если фотон излучается или поглощается веществом, то момент импульса вещества изменяется на дискретную величину nħ, где n= 1,2,3…
4. Фотон обладает импульсом. Выражение для импульса найдём, используя связь между энергией и импульсом из специальной теории относительности (СТО)
Е2- р2с2= m2c4
m= 0 и тогда
Е= рс
Р= = = = ħk,
где k — волновое число.
Одним из экспериментальных доказательств квантовой природы света является внешний фотоэлектрический эффект.
Внешним фотоэффектом называется вырывание электронов из вещества под действием падающего на вещество электромагнитного излучения и, в частном случае, света.
Фотоэффект был обнаружен Г.Герцем в 1887 г. Систематические исследования фотоэффекта были выполнены А.Г.Столетовым в 1889-89 г. и Ф.Ленардом и Дж.Томсоном в 1899 г. Исследования закономерностей фотоэффекта проводят с помощью следующей схемы, показанной на рисунке 6.
Пластинку из исследуемого материала, выполняющего роль катода К, помещают в вакуумную колбу (состояние поверхности материала существенно влияет на фотоэффект, поэтому используют вакуумную колбу). При освещении катода монохроматическим
светом через окошко из катода вырываются фотоэлектроны, которые движутся к аноду благодаря приложенной между катодом и анодом разности потенциалов. В цепи возникает электрический ток, регистрируемый гальванометром G. С помощью этой схемы были сняты вольтамперные характеристики (ВАХ) фотоэффекта, которые показаны на рисунке 7 для двух значений освещённости Е фотокатода (частота света в обоих случаях одинакова).
На обеих кривых наблюдается участок тока насыщения Iнас, когда все вырванные с катода фотоэлектроны достигают анода, и дальнейшее увеличение напряжения не приводит к росту фототока. При некотором внешнем задерживающем (когда на анод подаётся ”-“, а на катод “+”) напряжении (-Uз) между катодом и анодом фототок уменьшается до нуля. Это значит, что при таком напряжении ни одному из электронов, даже обладающему при вылете из катода максимальным значением скорости, не удаётся преодолеть задерживающее поле и достигнуть анода. То есть, в этом случае
Кmax== eUз (7)
В результате многочисленных экспериментов были установлены три основные закономерности фотоэффекта (законы Столетова)
1. Сила фототока пропорциональна освещённости фотокатода (или падающему световому току) при одном и том же спектральном составе излучения
Iф= γЕ
2. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов (или скорость фотоэлектронов) линейно возрастает с увеличением частоты ν падающего света и не зависит от интенсивности света.
3. Для каждого вещества существует минимальная частота ν0 (или максимальная длина волны λ0), при которой ещё происходит вырывание электронов. Эта частота (или длина волны) называется “красной границей” фотоэффекта. Если частота света будет меньше ν0,, то испускание фотоэлектронов происходить не будет, т.е. фотоэффект прекратится. Таким образом, условия наблюдения фотоэффекта запишется
νν0 (λλ0)
Наблюдаемые в опыте закономерности фотоэффекта, оказалось, невозможно объяснить с позиции классических или волновых представлений. Падающая на поверхность металла световая волна вызывает вынужденные колебания электронов в металле. Передаваемая энергия как бы раскачивает электрон, амплитуда этих колебаний может быть достаточной для выхода электронов из металла. Если это так, то кинетическая энергия фотоэлектронов должна зависеть от интенсивности света.
Особенно резкое расхождение эксперимента с волновыми представлениями возникает при очень малой интенсивности света. В этом случае фотоэффект должен протекать с заметным запаздыванием, поскольку требуется определённое время для накопления электроном в металле достаточной для выхода энергии. Однако опыт показывает, что фотоэффект — безинерционен, т.е. появляется практически одновременно с началом освещения.
С классической точки зрения, оказалось, невозможно также объяснить наличие красной границы фотоэффекта.
Качественное непротиворечивое объяснение фотоэффекта было впервые дано А. Эйнштейном в 1905 г. на основе предложенной им квантовой теории фотоэффекта. В соответствие с этой теорией падающее монохроматическое излучение рассматривается как поток световых квантов — фотонов — с энергией E =hν . Поглощение веществом света сводится к тому, что один фотон передаёт полностью свою энергию одному электрону вещества. Если эта энергия фотона достаточна, чтобы освободить электрон от удерживающих его внутри вещества связей, то происходит эмиссия электрона. Следовательно, число фотоэлектронов должно быть пропорционально числу поглощённых фотонов (что согласуется с первым законом). Энергия фотона (hν) увеличивается с частотой, и следовательно, энергия фотоэлектронов также должна увеличиваться с частотой падающего света, что согласуется также с опытом.
Полученная электроном вещества энергия фотона перераспределяется следующим образом. Часть этой энергии, называемой работой выхода А, затрачивается на то, чтобы освободить электрон от удерживающих его внутри вещества связей. Если электрон освобождается светом не у самой поверхности, а на некоторой глубине, то часть энергии, равная Епотерь, может быть рассеяна вследствие случайных столкновений электрона в веществе. Остаток энергии образует кинетическую энергию К электрона, покинувшего вещество. Таким образом
hν= А + Епотерь + К (8)
Для тех электронов, у которых Епотерь = 0, кинетическая энергия будет максимально возможной при А = const для данного металла. Для таких электронов равенство (8) перепишется:
hν = А+Кmax = A+ (9)
Это выражение носит название уравнения Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Оно выполняет роль закона сохранения энергии для фотоэффекта.
Из уравнения Эйнштейна следуют рассмотренные выше экспериментальные законы фотоэффекта. Например, из формулы (9) непосредственно вытекает второй закон фотоэффекта
= hν – А (A= const).
Если уменьшать частоту падающего луча света ν, то кинетическая энергия будет уменьшаться. При некотором значении частоты ν= ν0 (красная граница фотоэффекта) кинетическая энергия станет равной нулю, и фотоэффект прекратится. Тогда из (9)
hν0 = A+0 , отсюда
ν0 = (10)
Выражение (10) определяет связь красной границы фотоэффекта с работой выхода. Работа выхода электронов из металла в сильной степени зависит то состояния поверхности металла, например, от находящихся на поверхности окислов и адсорбированных газов. Поэтому долгое время не удавалось проверить с достаточной точностью формулу Эйнштейна. В 1916 г. Милликен создал прибор, в котором поверхность фотокатода подвергалась очистке в вакууме, после чего измерялась работа выхода и исследовалась зависимость максимальной кинетической энергии фотоэлектронов от частоты. Результаты оказались в полном согласии с формулой (9).
В настоящее время на основе явления внешнего фотоэффекта созданы и работают многие фотоэлектронные приборы.
а) Вакуумный фотоэлемент.
Одним из таких приборов является вакуумный фотоэлемент (рис.8)/
Вакуумированный стеклянный баллон с внутренней стороны (за исключением входного окна) покрыт слоем светочувствительного материала (1). Этот слой выполняет роль фотокатода. В качестве анода используется кольцо (2) (или шарик), помещенное в центр колбы. Свет через окошко попадает на светочувствительный слой и вызывает фотоэффект. Фотоэлемент включается в цепь с э.д.с. ε , и подбирается такое значение ε, чтобы обеспечить ток насыщения. Ток фотоэлемента измеряется гальванометром G. Вследствие безинерционности фотоэффекта перекрывание светового потока приводит к мгновенному падению фототока до нуля. Поэтому фотоэлементы используются в приборах автоматики, в метро, в охранной сигнализации. Кроме того, поскольку для фототока характерна строгая пропорциональность между фототоком и интенсивностью света, фотоэлемент используется в качестве фотометрических приборов. Например, фотоэлектрический экспанометр.
б) Фотоумножители. Фотоэлектронные умножители (рис.9)
используются в технике и научных исследованиях для регистрации сверхслабых световых потоков. Свет падает на фотокатод и выбивает первичные электроны, которые затем направляются вследствие приложенного напряжения между ФК и КS1 на катод вторичной эмиссии — динод КS1 (вторичная электронная эмиссия — это выбивание вторичных электронов из вещества в результате бомбардировки пучком электронов). При этом один электрон выбивает несколько вторичных электронов. Усиленный электронный поток направляется далее на следующий динод КS2 и тд.; таким образом, в приборе будет развиваться электронная лавина. На последнем диноде-аноде — внешним прибором регистрируется электрический ток.
Экспериментальным доказательством квантовых свойств электромагнитного излучения и существования фотона также является эффект Комптона, открытый американским физиком А.Комптоном в 1923 г. Комптон исследовал рассеяние монохроматического рентгеновского излучения на образцах, состоящих из лёгких атомов, таких как графит, парафин и другие. Схема экспериментальной установки показана на рисунке 10.
Диафрагмы D1 и D2 выделяли узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения, который затем падает на рассеивающее вещество и после рассеяния на угол падает в приёмник — рентгеновский спектрограф D, где измеряется длина волны рассеянного излучения. Комптон обнаружил, что в рассеянном излучении наряду с исходной длиной волны λ появляется смещённая линия с длиной волны λ/>λ. Разность длин волн ∆λ= λ/-λ не зависит от длины волны падающего излучения и природы рассеивающего вещества, а определяется только углом рассеяния . С увеличением угла интенсивность смещённой компоненты λ/ растёт, а несмещённой λ — падает (рис.11).
На рисунке представлены результаты измерений на графите при различных углах рассеяния рентгеновского излучения с длиной волны λ= 0,071 нм.
Таким образом, эффектом Комптона называется упругое рассеяние коротковолнового электромагнитного излучения (рентгеновского и γ-излучения) на свободных (или слабосвязанных) электронах вещества, сопровождающееся увеличением длины волны этого излучения.
С классической точки зрения невозможно объяснить эффект Комптона. Согласно классической теории рассеяние света связано с возникновением в веществе под действием падающего света вторичных электромагнитных волн той же частоты.
В лёгких атомах, с которыми проводили эксперименты, энергия связи электрона с атомом мала по сравнению с энергией рентгеновского кванта, передаваемого атому при столкновении. Поэтому энергией связи можно пренебречь и считать электроны квазисвободными, тогда одинаковость величины ∆λ = λ-λ' для всех веществ становится очевидной.
Рассмотрим подробнее процесс столкновения рентгеновского фотона со свободным электроном вещества и получим выражение для ∆λ. Пусть на покоящийся электрон е с энергией покоя
W0 = mc2 падает фотон с энергией Еф = hν и импульсом
Рф= = ħk (рис 12).
После столкновения электрон будет обладать импульсом ре и энергией We=cФотон после столкновения изменяет направление своего движения (рассеивается) Энергия и импульс фотона станут равными Е'ф =hν' (ν'< ν), Pф=hν'/c=ħk'. Согласно законам сохранения энергии и импульса для системы электрон-фотон запишем
hν + mc2 = h ν'+ c (11)
ħ = + ħ (12)
Рис.12.
Разделим первое равенство на с (учтём, что hν/c = ħk) и запишем его в виде
ħ(k-k') +mc =
Возведём это равенство в квадрат, получим
ħ2 ( k2+ k'2-2kk') + 2ħmc (k – k') = pе2 (13)
Запишем закон сохранения импульса (12) в скалярном виде, для этого используем теорему косинусов для ∆АВС
р2е = ħ2 ( k2 + k/ 2 –2 kk' cos ) (14)
Из сравнения выражений (13) и (14)
ħ2k2 + ħ2k' 2 – ħ2 2kk' + 2ħmc( k-k' ) = ħ2k2 + ħk' 2 – ħ22kk' соs
После алгебраических преобразований
mc ( k-k' ) = ħ kk' ( 1-cos )
Умножим это равенство на 2π/ mckk'
2π = (1 - соs), или
∆λ = λ' – λ= (15)
(здесь мы учли, что 2π/k'= λ'; 2π/k = λ)
Величина 2πħ/mc = λс — называется комптоновской длиной волны частицы с массой m ( в данном случае электрона). λс 2,426 10-12 м для электрона. Тогда уравнение (15) можно записать в виде
∆λ = λ' - λ = λc (1-соs) (16)
Экспериментальные результаты, полученные Комптоном, и последующие измерения находятся в полном согласии с соотношением (16); увеличение длины волны при эффекте Комптона зависит только от угла рассеяния .
Наличие несмещённой компоненты λ в рассеянном излучении (рис.10) обусловлено внутренними электронами атомов рассеивающего вещества, которые связаны с ядрами гораздо сильнее, и поэтому такие электроны уже нельзя считать свободными.
Задача 1.
Чёрное тело имеет температуру Т1 = 500К. Какова будет температура Т2 тела, если в результате нагревания поток излучения увеличится в n = 5 раз.
Дано: Решение:
Т1 = 500К Согласно закону Стефана-Больцмана
Ф2 = 5Ф1 энергическая светимость абсолютно
Т2 = ? чёрного тела
Rэ = σT4, (1)
где σ — постоянная Стефана-Больцмана
С другой стороны, по определению, энергетическая светимость—это есть энергия излучения с единицы площади поверхности нагретого тела в единицу времени.
Rэ = =
где Ф — поток излучения.
Отсюда в интегральном виде поток излучения
Ф = RэS
или Ф = σT4S
Температурам Т1 и Т2 соответствуют потоки Ф1 и Ф2
Ф1 = σS
Ф2 = σS
= =
отсюда Т2 = Т1
Произведём вычисления:
Т2 = 500 747,7К.
Задача 2
Поток излучения абсолютно чёрного тела Ф = 10 кВт. Максимум энергии излучения приходится на длину волны
λmax = 0,8 мкм. Определить площадь S излучающей поверхности.
Дано: Решение:
b = 2,9 10-3 мК Cогласно закону смещения Вина
λmах=0,8 мкм длина волны, на которую приходится
максимум энергии в спектре излучения абсолютно чёрного тела
S = ?
λmах = ,
где b — постоянная Вина, Т — термодинамическая температура. Отсюда выразим температуру излучающей поверхности
Т =
Энергетическая светимость абсолютно чёрного тела согласно закону Стефана-Больцмана
Rэ = σТ4= (1)
Из предыдущей задачи используем связь между потоком излучения и энергетической светимостью
Ф = Rэ S (2)
Подставим выражение (1) в (2) и выразим площадь излучающей поверхности
Ф =
S =
Произведём вычисления
S = = 1,0 10-3 м2
Задача 3
При последовательном освещении катода светом с частотой ν = 1,05 1015 Гц и ν /=1,4 1015Гц задерживающая разность потенциалов, при которой фототок прекращается оказалась равной U= 0,4 B и U /= 2,0 B. Найти постоянную Планка.
Дано Решение
ν = 1,05 1015 Гц Запишем уравнение Эйнштейна для внешнего ν /= 1,4 1015 Гц фотоэфекта для двух случаев освещения катода
U = 0,4 B
U' = 2,0 B hν = А+Кmax
h=?
hν' = А+К'max (1)
где А — работа выхода электронов из катода; Кmax и К'max — максимально возможная кинетическая энергия вышедших электронов; h — постоянная Планка.
Задерживающая разность потенциалов создаёт электрическое поле, тормозящее электроны, двигающиеся к аноду. Работа этого электрического поля равна кинетической энергии наиболее быстрых электронов — Кmax
Аэл.поля = еU = Kmax
Сделаем замену в уравнениях (1)
hν = A + eU (2)
hν' = A + eU' (3)
Вычтем из уравнения (3) уравнение (2)
h (ν'-ν) = e (U'-U)
Отсюда выразим h
h =
Произведём вычисления
h = = 6,63 10-34 Дж с.
Задача 4
При поочередном освещении некоторого металла электромагнитным излучением с длинами волн λ1 = 0,35 мкм и
λ2 = 0,64 мкм максимальная скорость фотоэлектронов уменьшилась в n = 2,0 раза. Найти работу выхода этого металла.
Дано: Решение:
λ1 = 0,35 мкм = 0,35 10-6м Запишем уравнение Эйнштейна для
λ2 = 0,54 мкм = 0,54 10-6м фотоэффекта для двух случаев
n = 2,0 освещения катода:
А=?
= А +
= А+ ,
где h — постоянная Планка, с — скорость света, и — максимальные скорости фотоэлектронов. Разделим первое уравнение на второе:
= = n2
Решим теперь это алгебраическое уравнение относительно А
hcλ2 - λ1λ2А = hcλ1n2 - λ1λ2Аn2
A =
Произведём вычисления
А = 3,04 10-19 Дж = =1,9 эВ.
Задача 5
Красная граница фотоэффекта для некоторого металла
λ0 = 290 нм. Определить максимальную кинетическую энергию Кmax фотоэлектронов в эВ, если на металл падает свет с длиной волны λ = 190 нм.
Дано: Решение:
λ0 = 290 нм =2,9 10-7м. Красная граница фотоэффекта (некоторая -
λ = 190 нм = 1,9 10-7м длина волны λ0 такая, что при λ>λ0
фотоэффект прекращается) связана с
Кmax = ? работой выхода следующим образом
= , (1)
где с — скорость света, h — постоянная Планка.
Из уравнения (1) работа выхода для нашего металла
А= (2)
Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта и подставим в него полученное уравнение(2)
= А + Кmax
= + Кmax
Кmax = = hc
Произведём вычисления
Кmax = 3 108 6,63 10-34 = 3,6 10-19 Дж = = 2,25 эВ
Задача 6
Рентгеновское излучение ( λ = 1 нм) рассеивается электронами, которые можно считать практически свободными. Определить максимальную длину волны λmax рентгеновского излучения в рассеянном пучке.
Дано: Решение:
λ = 1 нм = 10-9 м Изменение длины волны при рассеянии рентге-
новского излучения с длиной волны λ на сво- λ'max = ? бодных электронах ( эффект Комптона) опре-
деляется:
∆λ = λ./ -λ = λc (1-cos), (1)
где λ'— длина волны рассеянного излучения ( смещённая компонента); λc — константа — комптоновская длина волны электрона,
λc = 0,0243 Å; — угол рассеяния. Максимальная длина волны λ'max в рассеянном пучке соответствует в свою очередь максимальному значению множителя (1 - соs). Максимальное значение этого множителя равно 1 (при cos= 0 или =900). В этом случае:
λ'-λ = λc1, отсюда
λ'max = λс + λ = 0,243нм + 1нм = 1,243нм
Задача 7
Рентгеновское излучение с длиной волны λ = 20нм испытывает комптоновское рассеяние под углом =900. Найти изменение ∆λ длины волны рентгеновского излучения при рассеянии, а также энергию We и импульс Ре электрона отдачи.
Дано Решение
λ = 20нм = 0,2 10-10
∆λ = ?
We = ?
Pe = ?
Покажем на рисунке схему комптоновского рассеяния; — импульс рассеянного электрона, — импульс рассеянного фотона, — импульс падающего на вещество фотона. Изменение длины волны при комптоновском рассеянии
∆λ = λ /-λ = λс (1- cos), (1)
где λс= 0,0243 Å — комптоновская длина волны электрона, — угол рассеяния.
Из (1) находим
∆λ = λс (1- сos900) = λс = 0,0243Å
Из равенства (1) также находим длину волны рассеянного фотона
λ /= λ + ∆λ = 0,2 + 0,0243 = 0,2243Å
В соответствие с законом сохранения энергии:
= + We , (2)
где ,— энергии падающего и рассеянного фотона, соответственно.
Равенство (2) перепишем в виде
= +Wе ,отсюда
Wе = =
Произведём вычисления
We == 1,07 10-15 Дж
Запишем закон сохранения импульса в векторной форме для комптоновского рассеяния, изображённого на рисунке:
= +
В модульной форме из рисунка следует
Ре = (3)
Используем формулу де-Бройля (см. п. 3.1)
λ =
Тогда равенство (3) перепишем в виде
Ре = = h=
Произведём вычисления
Ре= =
= 4,431 10-23 .
Итак, в предыдущем параграфе мы рассмотрели явления фотоэффекта и эффекта Комптона, которые являются экспериментальным обоснованием того, что свет обладает корпускулярными (или квантовыми) свойствами, то есть ведёт себя как поток особых частиц электромагнитного поля, которые были названы фотонами. В то же время явления интерференции, дифракции, поляризации света свидетельствуют о волновой природе света. То есть согласно классическим представлениям свет-это электромагнитная волна. Таким образом, световой луч в одних условиях ведёт себя как волна с длиной волны λ и частотой ν, а в других – как поток частиц – фотонов с энергией и импульсом . Записанные нами выше соотношения и связывают корпускулярные и волновые свойства света. Таким образом, свет обладает свойствами непрерывных электромагнитных волн и свойствами дискретных фотонов. Говорят, что свет обладает корпускулярно-волновой двойственностью или дуализмом. Сосуществование этих свойств не может быть логически непротиворечиво объяснено классической физикой. С точки зрения последней понятия волны и частицы исключают друг друга. То есть фотон является квантовым объектом, который в принципе невозможно представить себе с помощью классических образов. При этом фотон проявляет свои корпускулярно-волновые свойства в разной степени для различных видов электромагнитного излучения. Для коротковолнового излучения (рентгеновского и -излучения) квантовые свойства проявляются наиболее отчётливо, а волновые свойства проявляются весьма слабо. В области же длинных волн (например, инфракрасное излучение) квантовые свойства излучения проявляются в малой степени, и основное значение имеют волновые свойства.
В 1924 году французский физик Луи де-Бройль выдвинул смелую гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм характерен не только для фотонов и является особенностью не только оптических явлений, но имеет универсальное значение. Движущиеся частицы вещества наряду с корпускулярными свойствами имеют также и волновые. То есть, с движением частицы связан некоторый волновой процесс или волна, и можно ожидать, что она распространяется в направлении скорости частицы. О природе этой волны ничего определённого де-Бройлем не было высказано. Мы пока не будем также выяснять природу этих волн, однако, следует подчеркнуть, что эти волны - не электромагнитные. Они имеют, как мы увидим далее специфическую природу, для которой нет аналога в классической физике.
Итак, согласно де-Бройлю с движением каждой материальной частицы связываются с одной стороны корпускулярные характеристики - энергия и импульс ; с другой стороны движению микрочастицы соответствует некоторой волновой процесс, длина волны которого равна:
(17)
а частота равна:
(18)
Если, частица движется со скоростью ν<<c, то выражение (17) можно представить в виде
Выразив импульс частицы через кинетическую энергию для нерелятивистского случая - соотношения (17) можно записать также в виде
Идею, высказанную де-Бройлем, нелегко сразу понять и принять. И вряд ли это можно наглядно представить. Природа, доступная восприятию наших чувств, не создала наглядных образов, которые могли бы помочь в этом. В самом деле, при слове «частица» к вам может прийти любая ассоциация: песчинка, шар, камешек, но вы никогда не будете представлять морские волны или колеблющуюся струну.
Соотношение (17)-одно из фундаментальных соотношений, лежащих в основе современной физики. Соотношение (17) называется формулой де-Бройля и оно определяет длину волны де-Бройля.
Прежде всего, убедимся, что гипотеза де-Бройля не противоречит понятиям макроскопической физики. Возьмём в качестве макроскопического объекта пылинку и, полагая её массу m=1 мг и скорость подсчитаем соответствующую ей дебройлевскую длину волны
То есть даже у такого небольшого объекта как пылинка длина волны де-Бройля оказывается неизмеримо меньше самого объекта, более того, столь малую величину невозможно в принципе измерить в опыте. Поэтому волновые свойства у пылинки проявляться и наблюдаться экспериментатором не могут.
Иначе обстоит дело, если мы возьмём электрон с кинетической энергией и импульсом . Его дебройлевская длина волны равна
.
Если, например, кинетическая энергия электрона равна, то . Мы получили длину волны порядка размера атома, это уже принципиально наблюдаемая величина. Такой же порядок величины имеет постоянная кристаллической решётки. Поэтому, как и в случае рентгеновских лучей, кристаллическая структура может быть подходящей решёткой для получения дифракции и доказательства существования дебройлевских волн.
Опыты по обнаружению дифракции микрочастиц, являющиеся экспериментальной проверкой гипотезы де-Бройля, были проделаны многими учёными. Мы рассмотрим некоторые из них
В опыте узкий моноэнергетический электронный пучок направлялся на монокристалл никеля (рис13), сошлифованный так, как показано на рисунке. В таком положении сошлифованная поверхность покрыта правильными рядами атомов, перпендикулярных к плоскости падения пучка (плоскости рисунка). Расстояние между рядами атомов. Источником электронов являлась электронная пушка. Рассеянные монокристаллом электроны улавливались детектором электронов , который перемещался в плоскости падения пучка; при этом изменялся угол . Энергия электронного пучка могла изменяться путём изменения ускоряющего напряжения на электронной пушке. При угле и ускоряющем напряжении был зафиксирован особенно отчётливый максимум отражённых электронов, полярная диаграмма которого представлена на рисунке 14.
С классической точки зрения электроны, имеющие произвольную кинетическую энергию, должны рассеиваться равномерно под всевозможными углами в соответствие с законами отражения геометрической оптики. То есть, с классических позиций этот максимум объяснить совершенно невозможно. Максимум можно только истолковать как дифракционный максимум первого порядка от плоской решётки атомов никеля (с периодом, равным расстоянию между рядами атомов ) в соответствие с формулой (условие главных максимумов дифракции света на дифракционной решётке)
, (19)
где к=1-порядок дифракционных максимумов,-угол дифракции.
Процесс дифракции можно также интерпретировать с помощью рисунка 15.
На этом рисунке каждая жирная точка изображает цепочку атомов, расположенных на прямой, перпендикулярной плоскости рисунка. Вычисленная по формуле дебройлевская длина волны для U=54В равна 0,167нм. Соответствующая длина волны, найденная по формуле (19), равна 0,165нм. Столь хорошее согласие говорит о том, что в опыте действительно наблюдалась дифракция электронов на кристаллической решётке никеля, то есть, электроны обладают волновыми свойствами.
Г. Томсон и независимо П.С. Тартаковский (1927г.) выполнили следующий простой опыт. Узкий пучок моноэнергетических электронов с энергией 50эВ направлялся на тонкую металлическую фольгу (рис16),проходил сквозь фольгу и далее попадал на фотопластинку. Электрон при ударе о фотопластинку вызывает такое же действие, как и фотон, т.е. засвечивает фотопластинку. Исходя из классических представлений, в центре фотопластинки мы должны увидеть тёмное пятно. Все электроны должны попасть сюда. На самом деле на фотопластинке наблюдалась система дифракционных светлых и тёмных колец, то есть происходила дифракция электронов на кристаллической структуре фольги и последующая регистрация электронов фотопластинкой.
Позже аналогичные опыты по дифракции были выполнены с тяжёлыми частицами: протонами, нейтронами, атомами и молекулами. Было показано, что дифракционные явления обнаруживаются также и в случае вышеуказанных частиц. То есть, волновые свойства являются универсальными свойствами всех частиц или универсальным свойством материи. Они не обусловлены какими-то особенностями внутреннего строения той или иной частицы, а отражают их общий закон движения.
В описанных выше опытах дифракционная картина наблюдалась для пучка (или потока) частиц. Поэтому возникает резонный вопрос: может быть наблюдаемые волновые свойства, являются особенностями пучка частиц, а каждая отдельная частица не обладает волновыми свойствами? Чтобы ответить на этот вопрос в 1949 году советские физики В.Фабрикант, Л.Биберман и Н.Сушкин осуществили опыт по рассеянию электронов на тонкой металлической фольге, в котором плотность электронного пучка была столь мала, что каждый электрон проходил через фольгу заведомо поодиночке, и каждый рассеянный электрон регистрировался фотопластинкой. Возникающая в этом случае при длительном экспонировании дифракционная картина на фотопластинке ничем не отличалась от дифракционной картины, полученной от обычного пучка электронов (рис.16).
Следовательно, волновые свойства частиц не является свойствами их коллектива, а присущи каждой частице в отдельности.
Основные выводы. Корпускулярно-волновой дуализм присущ всем объектам материального мира. Каждая движущаяся частица с одной стороны является частицей, а с другой – волной. Однако в случае макроскопических объектов (пылинка, песчинка) длина волны де-Бройля столь мала, что волновые свойства никак не могут проявляться и обнаруживаться экспериментатором. Волновые свойства микроскопических объектов (электроны, нейтроны, атомы и т.д.), которые проявляются и обнаруживаются – есть необычные для обыденного восприятия, специфические свойства объектов микромира.
Открытие волновых свойств микрочастиц привело к появлению и развитию новых методов исследования структуры вещества, таких как электронография и нейтронография, а также возникновение новой отрасли – электронной оптики.
Метод электронографии основан на том, что дифракционные эффекты для электронов наблюдаются лишь при условии, что дебройлевская длина волны имеет порядок межатомного расстояния в кристаллах. Электроны имеют значительно меньшую проникающую способность, чем рентгеновские лучи, поэтому электронография, в основном, применяется для исследования структуры поверхностей твёрдых тел, например, в катализе. Метод заключается в том, что полученная при рассеянии электронного пучка поверхностью твёрдого тела электронограмма (дифракционная картина на фотоплёнке) несёт информацию о структуре поверхности и адсорбированных на поверхности атомах и молекулах. Например, для адсорбированных на поверхности молекул могут быть определены межатомные расстояния, моменты инерции и т.д.
Метод нейтронографии основан на получении и на анализе дифракции нейтронов и, в ряде случая, с помощью этого метода можно более успешно (чем с помощью рентгеновских лучей и электронов) исследовать строение вещества. Нейтроны не обладают электрическим зарядом и не испытывают электрических сил взаимодействия с электронами и ядрами тяжёлых веществ.
Наоборот, нейтроны сильно взаимодействуют с ядрами атомов водорода (благодаря наличию у нейтрона и протона магнитных моментов), что приводит к сильному рассеянию нейтронов на водороде и даёт возможность исследовать структуру водородсодержащих веществ (например, органические кристаллы).
Одним из применений новой отрасли – электронной оптики является электронный микроскоп – устройство для получения изображения микрообъектов. В электронном микроскопе, в отличии от оптического, используются не световые лучи, а ускорённые до больших энергий пучки электронов в вакууме (рис.17).
Электронный пучок (1) попадает в область действия магнитной линзы (2), которая фокусирует пучок на исследуемом объекте (3). Пучок подбираемого нужного сечения и интенсивности. Пройдя исследуемый объект и испытав на нём рассеяние, электроны будут нести информацию об объекте (3). Далее рассеянные электроны проходят вторую магнитную линзу – объектив (4) и собираются в промежуточное изображение (5). Затем с помощью проекционной линзы (6) на флуоресцентном экране получается окончательное увеличенное изображение (7) объекта.
Разрешающаяся способность любого микроскопа пропорциональна длине волны. Так как длина волны де - Бройля для применяемых электронов (λ~1пм = =10-12м) в тысячи раз меньше длины волны световых лучей, то разрешение электронных микроскопов намного больше и составляет ()мкм. Для обычных световых микроскопов – ()мкм.
Как мы уже выяснили в п.3.2. дебройлевская длина волны для макроскопических объектов (например, пылинка массой m=1г, движущаяся со скоростью 1 мкм/с) столь мала (λ~10-22м), что лежит за пределами доступной для наблюдения области. Поэтому макроскопические частицы проявляют одну сторону своих свойств – корпускулярную и не проявляют волновую. Вследствие этого движение пылинки происходит по определённой траектории и это движение можно полностью описать законами классической физики путём задания таких параметров как координата, импульс, энергия (Перечисленные величины называются динамическими переменными).
Микрочастица из-за наличия у неё корпускулярных и волновых свойств существенно отличается от классической частицы. Не всегда можно говорить о движении микрочастицы по определённой траектории, потому что в ряде случаев понятие координаты частицы в данной точке не может быть определено. В квантовой физике импульс частицы связан с длиной волны соотношением де-Бройля (17). Так как длина волны есть функция формы волны, а не координаты точки, то импульс не является в этом случае функцией координат. Это означает, что невозможно при таком описании микрочастицы одновременно определить её координату и импульс. Существует принципиальный предел точности, с которой эти переменные могут быть одновременно указаны или измерены. Неопределённости этих величин при их одновременном измерении удовлетворяют соотношению, которое было впервые записано В.Гейзенбергом в 1927г.*
(20)
где -неопределённости координат микрочастицы; - соответствующие неопределённости проекции импульса на координату; -постоянная Планка. Под неопределённостями понимают среднеквадратические отклонения координат и проекций импульса частицы от их средних значений:
и т.д.
В случае одномерного движения частицы соотношения перепишутся в виде
(21)
Выражения (20) и (21) называются соотношениями неопределённостей для координаты и импульса Гейзенберга.
Остановимся более подробно на физическом смысле соотношений (20) или (21). Если положение микрочастицы по оси x известно с неопределенностью , то в тот же момент времени проекцию импульса можно определить только с неопределённостью . Если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты, то , в этом случае неопределённость импульса частицы ; то есть, импульс оказывается совершенно неопределённым.
Соотношение неопределённостей проявляет себя при любой попытке точного измерения положения микрочастицы или её импульса. И каждый раз мы приходим к «неутешительному» результату: всякая попытка уточнения координаты частицы приводит к увеличению неопределённости импульса и наоборот. Эту ситуацию можно проиллюстрировать с помощью следующего простого опыта. Попытаемся определить координату x свободно движущейся частицы. Поставим на её пути щель шириной (рис.18).
Пусть размер щели имеет порядок длины волны де-Бройля нашей частицы. До прохождения частицы через щель она движется вдоль оси y и её проекция импульса на ось имеет точное значение и тогда. Тогда из соотношения неопределённости следует, что координата частицы x-оказывается полностью неопределённой. В момент прохождения щели неопределённость координаты вдоль оси x станет равной . Вследствие дифракции микрочастицы на щели, имеется вероятность того, что частица после прохождения щели будет двигаться в пределах угла (-угол дифракции, соответствующий первому дифракционному минимуму, к=1; максимумами более высокого порядка, чем первый, мы пренебрегаем ввиду их малости). Следовательно, появляется неопределённость импульса вдоль оси x. Из рисунка
Из условия минимумов дифракции на одиночной щели
,
И тогда, используя полученные соотношения для и , имеем
Таким образом, попытка определить координату x микрочастицы привела к появлению неопределённости импульса. Получившееся произведение двух неопределён ностей согласуется по порядку величины с выражением (21).
Соотношения, аналогичные (20) могут иметь место также и для некоторых других пар величин в физике. Такие пары величин называются канонически сопряжёнными. Для двух произвольных канонически сопряжённых величин А и В можно записать
Произведение неопределённостей значений двух сопряжённых переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка . Это утверждение называется принципом неопределённости Гейзенберга. Одним из проявлений этого принципа является соотношение неопределённостей для координаты и импульса.
Другим проявлением принципа является соотношение неопределённости для энергии и времени, которое играет также важную роль в современной физике:
,
где - неопределённость энергии квантовой системы (например, возбуждённого атома водорода), или, по-другому это есть неопределенность (разброс) разности энергии Е2 и Е1 двух состояний системы при её переходе из состояния Е2 в состояние
(рис.19),
продолжительность того отрезка времени, на котором этот переход произошёл (или время жизни системы в состоянии Е2). То есть, энергия системы всегда имеет неустранимую неопределённость , которая связана с временем жизни системы .
Уширение (ещё говорят «размытие») энергетических уровней системы (например, возбуждённого атома) приводит к тому, что частота испущенного системой фотона при переходе системы из возбуждённого состояния в основное также будет иметь неопределённость . С этим связана конечная ширина линии в спектрах атомов.
Итак, из рассмотренного выше видно, что описать движение микрообъекта так же, как это делалось в классической механике, то есть с помощью задания в каждый момент времени его координат и импульса в большинстве случаев невозможно. Потому что сами эти величины не могут быть одновременно определены для этого микрообъекта. Однако, в некоторых ситуациях движению микрочастицы можно приписать (задать) определённую траекторию и рассматривать движение микрочастицы по классическим законом. Соотношение неопределённости позволяет оценить, когда можно, а когда нельзя применять понятия и законы классической механики к движению микрочастицы.
Пример 1. Рассмотрим движение электрона в электронно-лучевой трубке (вспомните лабораторную работу №33). След электронного пучка, выходящего из точки О, на экране трубки имеет радиус см (рис.20). Пусть длина трубки см. Если расходимость электронного пучка в пределах телесного угла , то -неопределённость импульса электронов в направлении оси x.
Из рисунка следует, что
Импульс электрона связан с кинетической энергией К
Электрон в трубке движется к экрану в результате действия на него ускоряющего напряжения В, тогда , отсюда
следовательно, .
Неопределённость импульса очень м ала, (на три порядка меньше самого импульса). Найдём теперь из соотношения неопределённостей неопределённость координаты
Эта величина также очень мала, поэтому можно считать, что движение электрона в электронно-лучевой трубке практически неотличимо от движения по определённой траектории. Поэтому для описания движения электрона в электронно-лучевой трубке можно применять законы классической физики.
Пример 2. Рассмотрим движение электрона в атоме водорода. Можно положить неопределённость координаты равной линейному размеру атома .(т.е. электрон где-то находится в данный момент времени в атоме в пределах сферической области диаметром ). Соотношение неопределённостей запишем в виде
,
где -неопределённость скорости.
Отсюда найдём неопределённость скорости электрона
.
Полученное значение -- велико или мало? Если считать электрон классической частицей, движущейся вокруг ядра по круговой орбите радиусом , то скорость электрона будет .Таким образом, неопределённость скорости сравнима по порядку с величиной скорости, т.е. очень велика. Представление о движении электрона по классической орбите теряет всякий смысл. В этом случае для описания движения электрона в атоме необходимо учитывать его волновые свойства и пользоваться законами квантовой физики.
Основные выводы
1.Вследствие наличия волновых свойств у микрочастиц невозможно определить одновременно точное значение корпускулярной характеристики—координаты x и волновой характеристики частицы—импульса p. Неопределённости в измерении этих двух характеристик связаны соотношением неопределённостей
2. Принцип неопределённостей, сформулированный Гейзенбергом, устанавливает соотношение неопределённостей также для некоторых других канонически сопряжённых величин в физике, например, для энергии и времени-
3. При рассмотрении движения квантового объекта необходимо во многих случаях отказаться от самого понятия классической траектории частицы. Соотношение неопределённостей во многих практических задачах позволяет оценить возможность или невозможность применения понятий классической физики к движению микрочастицы.
Задача №1
Электрон прошёл ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де-Бройля электрона для двух случаев: 1) U1=40В; 2)U2=400кВ.
Решение
Длина волны де-Бройля, связанная с движением
Дано: электрона, в соответствие с формулой де-Бройля
U2=400кВ
U1=40В
,
где p-импульс частицы, h-постоянная Планка
(). Импульс связан с кинетической энергией частицы К. Для нерелятивистского случая, когда кинетическая энергия частицы много меньше её энергии покоя, эта связь определяется
и тогда (1)
В релятивистском случае, когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы
,
где энергия покоя частицы, -скорость света.
И тогда длина волны де-Бройля
Для того, чтобы определить, по какой формуле вести расчёт, в каждом случае сравним кинетическую энергию электрона с энергией покоя электрона.
Электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов , приобретает кинетическую энергию
,
где заряд электрона.
В первом случае , что намного меньше энергии покоя . Следовательно, применяем формулу (1)
Во втором случае кинетическая энергия , что по порядку величины сравнимо с энергией покоя , следовательно, в этом случае необходимо применять формулу (2)
Произведём вычисления
Задача 2
На диафрагму с узкой прямоугольной щелью нормально к плоскости диафрагмы направлен поток моноэнергетических электронов, прошедших ускоряющую разность потенциалов . Определить расстояние между диафрагмой и фотопластинкой, если известно, что на фотопластинке ширина центрального дифракционного максимума. Ширина щели принять равной .
Дано: Решение
Мы рассмотрим только первый дифракционный максимум, ширина которого известна, это есть расстояние между минимумами первого и минус первого порядков (рисунок). Следовательно, мы изображаем на рисунке направление электронов, соответствующее этим минимумам. Этому направлению соответствует угол дифракции . Запишем условие минимумов дифракции электронов на одиночной щели
, (1)
где порядок дифракционных минимумов, длина дебройлевской волны для электронов.
(Выражение (1) было получено и использовалось для дифракции света, здесь мы проводим аналогию между дифракцией световых волн и дифракцией электронных волн де-Бройля). Из (1)
(2)
Из рисунка следует
Поскольку угол -мал, справедливо равенство
(3)
Подставим выражение (3) в (2)
(4)
С другой стороны длина волны по формуле де-Бройля
(5)
Из сравнения выражений (4) и (5)
Для нахождения скорости электронов воспользуемся известным нам соотношением , где ,-заряд и масса электрона, соответственно
Окончательно для величины получим выражение
Задача №3.
Пользуясь соотношением неопределённости определить минимальную энергию электрона в атоме водорода
Решение
Запишем соотношение неопределенностей для координаты и импульса
,
где-неопределённость координаты электрона, неопределенность импульса.
Если линейные размеры атома , то можно считать, что электрон будет находиться где-то в пределах области с неопределённостью
Физически разумная неопределённость импульса не должна превышать значения самого импульса, то есть
Подставим эти оценки в соотношение неопределённостей; получим
(1)
Полная энергия электрона в атоме водорода может быть представлена как сумма кинетической энергии движения электрона вокруг ядра () и потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром ()
(2)
Выразим импульс из (1) и подставим в (2), тогда
(3)
Найдём значение радиуса траектории электрона, при котором . Для этого возьмём производную и приравняем её к нулю
,следовательно
(4)
Подставим теперь выражение для радиуса (4) в выражение для энергии (3) и получим выражение для минимальной энергии
Мы видим, что минимальная энергия совпадает со справочным значением энергии ионизации атома водорода – это та энергия, которую нужно сообщить атому, чтобы оторвать электрон от атома; другими словами – электрон должен выйти из потенциальной ямы глубиной ().
Задача №4
Пользуясь соотношением неопределённости определить ширину первого (основного) энергетического уровня электрона в атоме водорода.
Решение
Если электрон находится на первом энергетическом уровне, то это значит, что атом водорода находится в основном состоянии. В этом состоянии изолированный атом водорода может находиться бесконечно долго, то есть время жизни атома -
Запишем соотношение неопределённостей для энергии и времени
(1)
где - неопределенность энергии системы в данном квантовом состоянии, или по-другому, ширинаэнергетического уровня системы в этом состоянии; -время нахождения системы в этом состоянии (время жизни).
Тогда (1) перепишем в виде
Тогда ширина первого энергетического уровня электрона в атоме водорода
Это значит, что основной энергетический уровень любой квантовой системы не уширён.
Задача №5
Среднее время жизни атома в возбуждённом состоянии . Используя соотношение неопределённостей определить в МГц ширину спектральной линии излучения при переходе атома из этого состояния.
Дано:
(где и -см. предыдущую задачу)
Или уравнение (1) перепишем в виде
Отсюда найдём ширину энергетического уровня атома в возбуждённом состоянии (рисунок)
(2)
С конечной шириной энергетического уровня связан разброс в энергии испускаемых атомом фотонов при переходе атома из возбуждённого состояния с энергией в основное с энергией
Поскольку энергия фотона связана с частотой соотношением , то разбросу энергии будет соответствовать разброс частоты излучения (ширина спектральной линии).
(3)
Подставим выражение (2) в (3)
Произведём вычисления
Задача №6
Доказать, что измерение x-координата микрочастицы с помощью микроскопа вносит неопределённость в её импульс такую, что (Указание: разрешение микроскопа, т.е. наименьшее разрешаемое расстояние вдоль оси x, , где -длина волны)
Решение
Дифракционная теория разрешающей способности микроскопа устанавливает предел наименьших размеров объекта, которые могут быть определены с помощью микроскопа. Они определяются
где -это угол, под которым виден объектив из точки положения объекта. Величина , согласно условию, и является разрешающей способностью микроскопа.
На рисунке покажем импульс фотона, рассеянного в пределах угла на микрочастице А. Проекция импульса фотона на ось как мы видим из рисунка, равна
(1)
Импульс запишем через волновое число
(2)
На основании (1) и (2) запишем
Физически разумная неопределённость импульса фотона (вдоль оси х) не должны превышать самого импульса: ; поэтому можно положить
(3)
При рассеянии фотона на микрочастице А сама микрочастицы будет испытывать отдачу, в результате по закону сохранения импульса её импульс получит такую же неопределённость , что и фотон. Поскольку -наименьшее разрешаемое расстояние вдоль оси х, координата частицы х не может быть измерена микроскопом с большей точностью, чем . Следовательно, неопределённость координаты микрочастицы должна быть равна
(4)
На основании выражений (3) и (4) для микрочастицы А получаем
Это и нужно было доказать в задаче.
Задача №7
Электрон на фотопластинке оставляет видимый след. Определить, можно ли движение электрона в этом случае описать законами классической физики. Размер зерна фотопластинки принять равным ;скорость электрона
Решение
Если электрон оставил видимый след на фотопластинке, значит положение электрона зафиксировано с точностью, определяемой линейными размерами зерна фотоэмульсии, испытавшего воздействие электрона. То есть неопределённость координаты электрона
Запишем соотношение неопределённостей для координаты и импульса электрона.
Отсюда найдём неопределённость импульса электрона
Неопределённость скорости электрона
Эта неопределённость при скоростях электрона очень мала (, т.е. ) и позволяет считать, что электрон движется по определённой траектории с точно заданной в каждой точке скоростью. Следовательно, его движение можно описать законами классической физики и не использовать квантовые законы.
Рассмотренные нами выше идеи де-Бройля, их экспериментальные подтверждения, сформулированное в 1927г. Гейзенбергом соотношение неопределённостей привели к новому этапу развития квантовой физики – созданию квантовой механики, т.е. механики, описывающей движение микрочастицы. Прежде всего, возникла проблема понимания физического смысла волн де-Бройля.
Рассмотрим следующий эксперимент, аналогичный опыту Юнга по изучению интерференции света от двух щелей. Направим на диафрагму с двумя узкими щелями параллельный пучок моноэнергетичных микрочастиц, например, электронов (рис. 21).
За щелями установлена фотопластинка, регистрирующая прошедшие через щели электроны в виде большей или меньшей степени почернения. Каждый электрон может пройти либо через щель 1, либо через щель2. Электрон не может расщепиться на две части и пройти одновременно через две щели. Следовательно, при закрытой щели 2 мы получим на фотопластинке распределение почернения 1, а при закрытой щели 1 распределение 2. Если откроем обе щели, то на фотопластинке можно ожидать распределение 3(пунктиром на рисунке). Однако в действительности такое распределение не осуществляется. Вместо этого вопреки логике и здравому смыслу мы будем получать на фотопластинке распределение, показанное на рисунке б), то есть совокупность тёмных и светлых полос. Мы получаем интерференционную картину. В явлении интерференции от двух щелей проявляется сама физическая суть квантовой теории. Единственный способ объяснения столь «пародоксального» результата это создание математической теории, совместимой с этим результатом. И теория была создана.
Итак, мы имеем неодинаковое распределение почернения на фотопластинке. Максимум почернения соответствует большему числу электронов, пришедших в этом направлении. Минимум почернения соответствует меньшему числу электронов. С другой стороны с движением каждого электрона связана дебройлевская волна. С волновой точки зрения максимум интерференционной картины на фотопластинке соответствует наибольшей интенсивности волн де-Бройля в этих направлениях.
Таким образом, интенсивность волн де-Бройля в данной точке пространства определяет число электронов, попавших в эту точку за 1с.
Интенсивность любой волны всегда пропорциональна квадрату модуля амплитуды: . Следовательно, квадрат модуля амплитуды волн де-Бройля в данной точке фотопластинки пропорционален вероятности попадания частицы в эту точку.
(22)
В этом заключается вероятностный или статистический смысл волн де-Бройля. Для того, чтобы количественно описать эту вероятность (или принято говорить распределение вероятности нахождения микрочастицы в данный момент времени в некоторой области пространства) вводят комплексную функцию координат и времени . Эту функцию называют пси-функцией или волновой функцией. Пси функция является той величиной, которая позволяет находить все вероятности.
Количественно за меру вероятности нахождения частицы в некотором элементе объёма пространства принимают квадрат модуля пси-функции:
(23)
где -величина комплексно сопряжённая. (С учётом (22) и (23) пси-функцию называют ещё амплитудой вероятности).
Из равенства (23) плотность вероятности, т.е. вероятность нахождения частицы в элементе объёма , определяется,
(24)
Эта величина является экспериментально наблюдаемой, в то время как сама пси-функция, будучи комплексной, недоступна наблюдению. Из равенства (24) следует основной физический смысл функции:
Квадрат модуля пси-функции определяет плотность вероятности нахождения микрочастицы в заданном объёме пространства.
Поскольку величина представляет собой вероятность, необходимо волновую функцию нормировать так, чтобы вероятность пребывания частицы во всём объёме пространства (где ) была бы достоверным событием, то есть была бы равна 1
Это равенство называется условием нормировки пси-функции.
Одной из важнейших задач квантовой механики был поиск такого уравнения, которое выполняло бы такую же роль, которую выполняет уравнение движения Ньютона для классической механики. закон Ньютона позволяет для макроскопических тел по заданным начальным условиям и силам, действующим на тело определить положение тела в любой момент времени. Аналогичное уравнение в квантовой механике должно описывать все возможные изменения квантовой системы, а решение этого уравнения должно однозначно определять состояние системы (объекта), т.е. определять функцию. Такое уравнение было постулировано в 1926 году Э. Шредингером; оно называется основным уравнением нерелятивистской квантовой механики, или уравнением Шредингера. Уравнение имеет следующий вид:
(25)
где -мнимая единица, -масса частицы, -потенциальная энергия частицы в силовом поле, где частица движется, -некоторая волновая функция, - оператор Лапласа.
Уравнение (25) является постулатом, оно не может быть выведено ни из каких других уравнений. Его нужно рассматривать как исходное, основное уравнение; справедливость его доказывается тем, что все вытекающие из него следствия самым точным образом согласуются с опытными данными. Записанное нами в виде (25) уравнение Шредингера является общим или временным уравнением Шредингера.
В отсутствии переменных внешних полей функция не будет зависеть от времени . В этом случае уравнение Шредингера (25) можно записать для стационарных состояний. В этих состояниях все наблюдаемые физические величины не изменяются с течением времени. При уравнение (25) имеет решение, получающееся путём разделения переменных
Решение временной части (см.п.3.9.) уравнения (25) приводит к виду функции , где -полная энергия частицы.
Тогда
(26)
Подставим (26) в уравнение (25)
После преобразования
(27)
Полученное уравнения (27) называется стационарным уравнением Шредингера. Функции , удовлетворяющие уравнению Шредингера при заданной , называется собственными функциями. Значения энергии , при которых существуют решения уравнения Шредингера, называют собственными значениями энергии. Эти значения энергии могут быть дискретными (квантованными) или непрерывными.
Принцип причинности или принцип классического детерминизма в классической механике утверждает: по известному состоянию системы в некоторый момент времени (по известным координатам и импульсам всех частиц системы) и силам, приложенным к системе, можно абсолютно точно определить (например, пользуясь вторым законом Ньютона) состояние системы в любой следующий момент времени. То есть состояние системы в начальный момент времени, есть причина, а её состояние в последующий момент следствие.
Микрообъекты не могут иметь одновременно определяемых координат и импульса, отсюда как бы следует вывод, что мы не можем полностью определить состояние системы в начальный момент времени, а, следовательно, нельзя предсказать и её последующие состояния. То есть, как бы нарушается принцип причинности. На самом деле никакого нарушения принципа причинности в применении к микрообъектам не наблюдается. В квантовой механике состояние микрообъекта полностью определяется его волновой функцией , квадрат модуля которой задает плотность вероятности нахождения частицы в точке с координатами . В свою очередь волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера, содержащему производную , то есть задание функции в начальный момент времени определяет её вид в следующие моменты.
Таким образом, принцип причинности в квантовой механике формулируется: задание функции, определяющее состояние микрочастицы в момент времени , предопределяет значение функции для любого последующего момента времени .
Рассмотрим в качестве первого примера одномерное движение свободной микрочастицы, например, электрона вдоль положительного направления оси , т.е. в этом случае силовое поле отсутствует , и тогда полная энергия частицы равна кинетической . Состояние электрона изменяется с течением времени, поэтому мы запишем одномерное временное уравнение Шредингера
Поскольку уравнение будет иметь вид
(28)
Решение уравнения (28) будем искать методом разделения переменных, т.е. представим функцию в виде произведения двух функций, одна из которых зависит от времени, а втораяот координат
(29)
Подставим (29) в (28) и разделим переменные
(30)
Обе части равенства (30) являются функциями независимых переменных и , поэтому такое равенство возможно лишь в том случае, если обе части равны одной и той же константе. Из сравнения левой части равенства (30) со стационарным уравнением Шредингера (27) (в котором мы полагаем ) мы видим, что этой константой может быть только энергия E. Запишем теперь равенство (30) в виде двух дифференциальных уравнений и найдем решение этих уравнений.
Обозначим , , тогда уравнения перепишем в виде
Мы получили два однородных дифференциальных уравнения, которые имеют стандартные решения.
(31)
(32)
где A, B и C – некоторые константы.
Объединяя решения (31) и (32), получим решение уравнения (28)
где , - некоторые константы.
Полученное решение представляет собой суперпозицию двух плоских монохроматических волн одинаковой частоты , одна из которых распространяется в положительном направлении оси x с амплитудой , другая – в отрицательном направлении с амплитудой . Поскольку мы рассматриваем движение частицы при x>0, следует в окончательном решении записать одну из этих волн. С учётом - волновое число, p – импульс частицы окончательное решение запишем в виде
Мы получили плоскую монохроматическую волну с частотой ω и амплитудой . Таким образом, движению свободной частицы в квантовой механике соответствует плоская монохроматическая волна де-Бройля, распространяющаяся в направлении движения частицы.
Плотность вероятности пребывания электрона в какой-либо точке оси x .*
Это означает равновероятность нахождения такой частицы во всех точках пространства вдоль оси х. Поскольку частица является волной де-Бройля, точного положения частицы на оси x указать невозможно. Этот вывод согласуется также с соотношением неопределённости. Действительно, если энергия частицы E – определена, то частица имеет точное значение импульса , значит, неопределённость импульса равна нулю .
Это означает, что неопределённость координаты частицы стремится к ∞: . То есть частица “размазана” равномерно вдоль оси x.
Рассмотрим движение частицы внутри одномерной потенциальной ямы (или потенциального ящика). Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия меньше некоторого максимального (Umax) значения за пределами этой области.
В частности при U=U(x) и Umax=∞ имеется одномерная потенциальная яма бесконечной глубины. Пусть потенциальная энергия вне и внутри ямы имеет следующие значения (рис.22)
Такая яма называется бесконечно глубокой и прямоугольной.
Движение частицы в этом случае ограничено непроницаемыми стенками, частица не может из области I перейти в область II и III, потому что в этом случае на частицу должна действовать сила, работа которой должна бы быть равной ∞.
Примером движения частиц внутри потенциальной ямы является движение коллективизированных электронов (электронного газа) в металле, или движение электронов в атоме.
С течением времени состояние электрона внутри ямы не изменится (т.е. электрон будет в каждый момент времени находиться где-то в пределах ямы). Поэтому запишем в этом случае для области I стационарное уравнение Шредингера; кроме того, учтём, что движение – одномерное, т.е. оператор Лапласа имеет вид
В пределах ямы потенциальная энергия равна U=0, поэтому
Введём обозначения
(33)
Поскольку 2mE=p2 (p – импульс частицы), k имеем смысл волнового числа волны де-Бройля, связанной с движением частицы внутри ямы
(34)
При решении уравнения (34) на функцию ψ накладываются следующие условия. В области II и III частица попасть не может, поэтому пси-функция в этих областях равна нулю. Тогда из условия непрерывности ψ функции следует, что функция должна быть также равна нулю на границах ямы, то есть
(35)
Условия (35) называются граничными (краевыми) условиями нашей задачи.
Решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (34) может быть представлено в виде
где A и α – произвольные константы.
Используя граничные условия, получим
,
отсюда следует, что α=0 (A≠0)
,
поскольку A≠0, то
kℓ=±πn, n=1,2,3…
(n≠0, потому что в этом случае ψ(x)=0, то есть, частица нигде не находится)
(36)
k является волновым числом (), поэтому отрицательное решение в (36) не имеет физического смысла и мы будем рассматривать только положительное решение. Равенство (36) имеет важный физический смысл: , отсюда - длина волны де-Бройля для частицы в яме. То есть на длине волны должно укладываться целое число полуволн де-Бройля (рис.23). Здесь мы имеем дело с классическим аналогом. Вспомните, при распространении упругих волн вдоль верёвки (или струны), закреплённой на концах, на длине верёвки будет укладываться целое число полуволн.
Подставим в (36) выражение (33)
,
отсюда (37)
Мы получили выражение для собственных значений энергии частицы внутри ямы. Как мы видим, энергия принимает ряд строго определённых дискретных (или квантованных) значений, зависящих от числа n. Квантованные значения энергии называются уровнями энергии, а число n – называется главным квантовым числом. Таким образом, электрон в потенциальной яме может находиться на определённом энергетическом уровне En или, говорят ещё, в определённом квантовом состоянии n.
Из выражения (37) найдём расстояние между соседними энергетическими уровнями
Мы видим, что с ростом n величина ∆E увеличивается; учитывая это, изобразим графически энергетические уровни для потенциальной ямы (рис.24).
Сделаем оценку величины ∆En для различных физических ситуаций.
1)Рассмотрим движение свободных электронов в металле. В этом случае мы имеем дело с потенциальной ямой макроскопических размеров: ℓ~10-2 м, и тогда
Энергетические уровни расположены столь густо (расстояние между ними очень мало), что будут восприниматься как непрерывные (или говорят - квазинепрерывные). Квантованием энергии в этом случае можно пренебречь и считать, что электрон может иметь непрерывный ряд значений энергии, т.е. движение электрона в этом случае можно описывать законами классической физики.
2)Рассмотрим движение электрона в атоме водорода. В этом случае размер потенциальной ямы равен размеру атома:
ℓ~10-10 м, и тогда собственные значения энергии образуют последовательность энергетических уровней, расстояние между которыми
.
В этом случае дискретность энергетических уровней становится весьма заметной, мы получаем квантованный набор значений энергии, которые может иметь электрон в атоме водорода.
Итак, мы нашли собственные значения энергии для частицы в потенциальной яме. Найдём теперь соответствующие им собственные функции ψ. Для этого подставим в решение уравнения Шредингера выражение для k из (36)
Для определения коэффициента A воспользуемся условием нормировки пси-функции
Проинтегрировав это выражение, получаем
Тогда собственные функции будут иметь вид
, n=1,2,3… (38)
На рисунке 25(а) показаны графики собственных функций для различных квантовых состояний частицы внутри ямы.
На рисунке 25(б) показаны графически плотности вероятности обнаружения частицы в различных точках внутри ямы (). Из рисунка видно, что в низшем энергетическом состоянии (n=1) с наибольшей вероятностью частицу можно обнаружить в середине ямы, а вероятность нахождения её вблизи краёв мала.
В состоянии с n=2 частица, в основном, находится в левой или правой половинках ямы и не обнаруживается в середине ямы. С ростом энергии частицы (или квантового числа n) максимумы вероятности ψn2(x) располагаются всё ближе друг к другу. При очень больших значениях n картина распределения максимумов ψn2(x) практически сливается и представляется равномерной – это значит, что частица при больших n начинает вести себя как классическая частица.
Итак, выше мы нашли выражение для разности энергии соседних энергетических уровней для частицы в потенциальной яме
Сопоставим эту величину с энергией En электрона, находящегося в потенциальной яме на уровне n -
При увеличении квантового числа n>>1, (2n+1)≈2n и тогда
.
Это означает, что при увеличении числа n величина ∆En становится малой по сравнению с En, то есть происходит относительное сближение энергетических уровней. И при очень больших n квантованная последовательность энергетических уровней переходит практически в сплошной спектр энергии. Частица может принимать любые значения энергии; характерная особенность квантовых систем – дискретность – утрачивается, микрочастица приобретает свойства классической частицы. Отсюда следует важный вывод:
При больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать классическим результатам.
Это утверждение, сформулированное Н. Бором в 1923г. называется принципом соответствия в квантовой механике. Этот принцип имеет также более широкий, чем квантовомеханический, смысл и формулировку.
Всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает её полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы её применимости; причём, в определённых предельных случаях новая теория переходит в старую.
Пусть микрочастица движется слева направо вдоль оси x и встречает на своём пути прямоугольный потенциальный барьер в виде ступеньки высотой U0 (рис.26). Для такого барьера можно записать
Полная энергия частицы равна E. Согласно классическим представлениям поведение микрочастицы должно иметь следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера (E>U0), то частица свободно проходит над барьером; если же энергия частицы меньше U0 (E<U0), то частица отразится от барьера, и будет двигаться в обратном направлении. На языке квантовой физики данная ситуация имеет совершенно другой характер. На барьер слева падает дебройлевская волна, связанная с движением частицы. Даже при E>U0 имеется ненулевая вероятность того, что частица отразится от барьера, и будет двигаться обратно (дебройлевская волна частично отражается от барьера). При E<U0 имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет “сквозь” барьер и окажется в области II (дебройлевская волна частично проходит в область II). Выполним квантовомеханическое описание данных процессов. Для этого составим уравнение Шредингера для областей I и II (по аналогии как мы это делали для частицы внутри потенциальной ямы).
(39)
Введём обозначения
Здесь k1 и k2 имеют смысл волновых чисел для волн де-Бройля в областях I и II. Тогда уравнения (39) перепишутся
(40)
(41)
Рассмотрим два случая.
1)Пусть E>U0. В этом случае общее решение уравнений (40), (41) можно представить в виде
(42)
где A1 и B1 некоторые константы, имеющие смысл амплитуд волн де-Бройля.
(43)
В уравнении (42) решение вида соответствует волне, распространяющейся вдоль положительного направления оси x – прямая волны; решение вида соответствует отражённой от барьера волне, которая распространяется в области I. В области II имеется только прошедшая волна, поэтому в уравнении (43) мы должны положить B2=0.
Воспользуемся условиями, накладываемыми на функцию ψ. Из условия непрерывности функции ψ в точке x=0 следует, что
;
тогда из уравнений (42) и (43) следует
. (44)
Из условия непрерывности первых производных от функции ψ в точке x=0
,
тогда из уравнений (42) и (43)
. (45)
Разделим уравнения (44) и (45) на A1
(46)
(47)
Отсюда выразим отношение амплитуд отражённой и падающей волн , для этого отношение подставим из уравнения (46) в уравнение (47)
.
Совершенно аналогично из уравнений (46), (47) найдём отношение амплитуд прошедшей и падающей волн
.
Как мы знаем, квадрат амплитуды волны де-Бройля в заданной точке пространства пропорционален вероятности попадания частицы в эту точку (). Следовательно, отношение квадратов амплитуд и определяет вероятность отражения частицы от барьера и вероятность прохождения частицы сквозь барьер в область II, соответственно. Математически эти вероятности выразим через коэффициенты отражения R и пропускания (или прозрачности) D. (Коэффициент R – отношение плотности потока частиц, отразившихся от барьера, к плотности потока падающих частиц. D – это отношение плотности потока частиц, прошедших в область II, к плотности потока падающих слева на барьер).
(48)
(49)
Очевидно, что R+D=1. Заметим, что в классическом случае R=0 при E>U
2) Пусть E<U0. В этом случае выражения (48) и (49) также будут справедливы. Однако, - будет мнимым (где ), поэтому выражение (48) в этом случае следует записать в виде
(50)
В выражении (50) числитель и знаменатель – величины комплексно сопряжённые, поэтому R=1, т.е. отражение частиц будет полным. Тем не менее, при x>0 функция ψ не обращается в нуль - . Плотность вероятности обнаружения частицы в области II - - также не равна нулю. То есть, частица как бы проникает под потенциальный барьер, с увеличением глубины проникновения x плотность вероятности убывает экспоненциально.
Способность квантовых частиц в силу своих свойств заходить под барьер приводит к туннельному эффекту – это специфически квантовое явление, не имеющее аналога в классической физике.
Туннельный эффект заключается в следующем. Если частица с энергией E налетает на потенциальный барьер высотой U0 (E<U0) и шириной ℓ (рис.27а), то она с определённой вероятностью может пройти сквозь барьер (как бы по туннелю в этом барьере – заштрихованная область) и оказаться в области III.
Это совершенно невозможное с точки зрения классической физики событие. На рисунке 27 б показан вид волны де-Бройля, связанной с движением микрочастицы, в трёх областях. Слева от барьера мы имеем падающую и отражённую волну, справа – только прошедшую волну. В этом случае коэффициент пропускания (прозрачности) барьера выражается приближённой формулой
Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер получило экспериментальное доказательство в явлении холодной эмиссии (автоэлектронной эмиссии) электронов из металлов. Вспомним, что явление холодной эмиссии заключается в вырывании электронов из металла в сильных электрических полях. Это вырывание происходит при напряжённости электрического поля в сотни раз меньших, чем те напряжённости, которые необходимы для того, чтобы электрон в металле преодолел потенциальный барьер на границе металл – вакуум и покинул металл. Действие электрического поля с напряжённостью E приводит к тому, что потенциальный барьер на границе металл – вакуум будет узким и электрон, имеющий энергию E, меньшую высоты этого барьера, может выйти из металла сквозь барьер благодаря туннельному эффекту. Туннельный эффект играет основную роль также в явлениях радиоактивного α-распада, спонтанном делении атомных ядер и других.
Линейным гармоническим осциллятором называется частица массой m, которая колеблется вдоль некоторой оси под действием квазиупругой силы F, пропорциональной отклонению x частицы от положения равновесия
,
где k – коэффициент упругости (связанный с массой частицы и её собственной циклической частотой ω0 формулой ).
Модель гармонического осциллятора имеет большое значение в физике и широко применяется, когда амплитуда колебаний не велика. Мы уже неоднократно пользовались этой моделью, например, когда рассматривали механические и электромагнитные колебания. Физический, математический, пружинный маятники – примеры классических гармонических осцилляторов.
Потенциальная энергия гармонического осциллятора имеет вид
или (51)
Графиком функции (51) является парабола – рис.28.
Полная энергия классического осциллятора определяется как сумма потенциальной (51) и кинетической энергии: E=U+K. В точках с координатами (-xmax, xmax) полная энергия равна потенциальной энергии, кинетическая энергия в этих точках равна нулю. Таким образом, амплитуда колебаний осциллятора определяется точками с координатами (-xmax, xmax), то есть осциллятор находится в потенциальной яме с координатами (-xmax)≤x≤xmax. Энергия классического осциллятора E может принимать любые значения от 0 до .
Для определения энергии квантового гармонического осциллятора обратимся к одномерному стационарному уравнению Шредингера, которое запишем, использовав выражение (51) для потенциальной энергии
Решение этого уравнения и нахождение ψ-функций представляет собой громоздкую математическую задачу. Не приводя здесь самого процесса решения, запишем лишь окончательное выражение для собственных значений энергии осциллятора, которые следует из этого решения
, (52)
где n=0,1,2…
Из (52) мы видим, что энергия квантового осциллятора может иметь лишь строго определённые дискретные значения, определяемые значениями квантового числа n. Схема соответствующих энергетических уровней дана на рис.29.
Уровни энергии отстоят друг от друга на одинаковую величину. Минимальная энергия называется нулевой энергией колебаний квантового осциллятора (или энергией нулевых колебаний). Не равенство нулю этой энергии является ещё одним существенным отличием квантового осциллятора от классического. По классической теории наименьшая энергия осциллятора равна нулю. Это значит, что осциллятор не колеблется и находится в положении равновесия. Например, рассматривая атомы в узлах кристаллической решётки в первом приближении как гармонические осцилляторы, классическая физика утверждает, что при K=0 (кинетическая энергия) атомы не должны совершать колебаний. Не равенство нулю минимальной энергии квантового осциллятора связано с принципом неопределённости. Если бы энергия частицы была равна нулю, то частица покоилась бы, и её импульс и координата одновременно имели бы определённые значения, что запрещено принципом неопределённости.
Существование нулевой энергии было доказано экспериментально в явлении рассеяния света кристаллами при сверхнизких температурах. Было показано, что при уменьшении температуры кристалла рассеяние света, обусловленное колебаниями атомов, не равно нулю, а стремится к некоторому значению, не зависящему от дальнейшего охлаждения кристалла. Это указывает на то, что при K→0 колебания атомов в кристалле не прекращается.
Задача №1.
Частица находится в основном состоянии в бесконечно глубоком прямоугольном потенциальном ящике шириной ℓ. Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале ∆ℓ=0,1ℓ в средней трети ящика. Пояснить физический смысл полученного результата.
Решение.
Вероятность нахождения частицы в интервале от x до x+dх определяется
, (1)
где Ψ(x) – волновая функция, описывающая состояние микрочастицы. Волновая функция ,описывающая стационарное состояние частицы в потенциальном ящике(при n=1), имеет вид
Из (1) имеем
(2)
Интервал интегрирования ∆ℓ=0,1ℓ представим в виде (при этом мы учитываем, что частица находится где-то в пределах ящика – 0<x<ℓ)
,
или
0,45ℓ≤x≤0,55ℓ.
Тогда выражение (2) перепишем в виде
Найдём этот интеграл, для этого выполним подстановку
Изобразим графически плотность вероятности обнаружения частицы в состоянии n=1. Легко подсчитать значение максимальной плотности вероятности при x=ℓ/2
(3)
Мы получили вероятность нахождения частицы W=0,2 в малом интервале 0,1ℓ в середине ящика, вероятность зависит от величины интервала. Плотность вероятности (не зависящая от величины интервала) будет равна
, что совпадает с (3).
То есть, частица в состоянии с n=1 вероятнее всего будет находиться в центре ящика.
Задача №2.
Частица массой m находится в одномерном потенциальном поле U(x) в стационарном состоянии , A и β – известные постоянные (β>0). Найти энергию E частицы и вид функции U(x), если U(0)=0. Проанализировать полученный результат.
Решение.
Запишем одномерное стационарное уравнение Шредингера, описывающее поведение частицы в потенциальном поле U(x)
(1)
Волновая функция ψ (x) нам задана по условию; найдём первую и вторую производные от этой функции
Подставим выражения для и в уравнение (1)
(2)
При x=0, U(0)=0 по условию, тогда уравнение (2) для точки x=0 будет иметь вид
Отсюда
(3)
Для нахождения функции U(x) подставим выражение для энергии (3) в уравнение (2)
.
Отсюда после преобразований получаем
.
Поскольку β и m – константы, полученное выражение представляет собой потенциальную энергию гармонического осциллятора. Следовательно, наша частица находится внутри параболической потенциальной ямы и совершает колебания между двумя точками с координатами (-xmax;xmax)
Таким образом, не только по известному виду потенциальной функции можно отыскать волновые функции, решив уравнение Шредингера, но также можно решить и обратную задачу – по заданной волновой функции найти вид потенциального поля, в котором движется частица.
Задача №3.
Волновая функция, описывающая движение электрона в основном состоянии атома водорода, имеет вид
,
где A – некоторая константа, a0 – первый боровский радиус. Найти для основного состояния атома водорода наиболее вероятное расстояние электрона от ядра.
Решение.
Функция - сферически симметричная. Наиболее вероятное расстояние rв электрона от ядра соответствует наибольшей вероятности dW обнаружения электрона в элементе объёмом (этот элемент представляет собой сферический слой радиусом r и толщиной dr).
Вероятность определяется
Плотность вероятности обнаружения частицы вдоль направления радиуса сферы r
(1)
Чтобы найти наиболее вероятное расстояние r=rв, исследуем эту функцию на максимум. Для этого возьмём первую производную от выражения (1) и приравняем её к нулю
Решим это уравнение относительно rв.
(2)
, следовательно,
или
Отсюда получаем два корня уравнения (2)
rв1=0 и rв2=a0 (3)
Чтобы найти, в каком из этих корней функция ρw максимальна, возьмём вторую производную и подставим в неё rв1 и rв2. При том значении rв, где производная <0, будет наблюдаться максимум функции ρw.
При r=rв1=0 - min
При r=rв2=a0 - max.
Таким образом, наиболее вероятное расстояние равно первому боровскому радиусу a0.
Задача №4.
Волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками шириной ℓ, имеет вид . Используя граничные условия и нормировку Ψ-функции, определить координаты C1 и C2.
Решение.
По условию задачи частица находится в потенциальном ящике, значит, частица не проникает за пределы ящика. Следовательно, волновая функция за пределами ящика будет равна нулю. Для того, чтобы выполнялось условие непрерывности Ψ-функции на границах ямы (при x=0 и x=ℓ) волновая функция в этих точках должна обращаться в нуль – Ψ(0)=0 и Ψ(ℓ)=0.
Тогда
Отсюда следует C2=0.
Из условия
, C1≠0 следует
, n – целые числа
.
Тогда Ψ-функция запишется
.
Найдём коэффициент C1 из условия нормировки Ψ-функции
Подставим в это выражение волновую функцию
Проинтегрируем это выражение. Используем подстановку
.
Задача №5.
Частица движется вдоль оси x и встречает на своём пути высокий потенциальный барьер бесконечной ширины (рисунок а). Решение уравнения Шредингера для областей I и II имеет вид и . Используя непрерывность Ψ-функции и их первых производных на границе барьера, найти отношение амплитуд A2/A1.
Решение.
Проанализируем условие задачи. Функция ΨI представляет собой суперпозицию падающей слева направо на барьер волны де-Бройля и отражённой от барьера. Функция ΨII представляет собой волну де-Бройля, прошедшую сквозь барьер и распространяющуюся в области II. Эта волна убывает по экспоненте. Изобразим графически волны на рисунке б.
Из условия непрерывности Ψ-функций и их первых производных следует
(1)
(2)
Подставляя условие (1) в функции ΨI(x) и ΨII(x), получаем
(3)
Применяя условие (2) к этим же пси-функциям, получаем
,
при x=0
(4)
Перепишем уравнения (3) и (4) в виде
(5)
Обозначим ; , тогда система (5) будет иметь вид
Выразим y из первого уравнения и подставим во второе
.
Отсюда находим x
Поскольку A1 – амплитуда падающей на барьер волны де-Бройля, A2 – амплитуда прошедшей сквозь барьер в область II волны де-Бройля, полученное нами соотношение характеризует вероятность проникновения частицы сквозь барьер в область II.
Задача №6.
На пути электрона с дебройлевской длиной волны λ1=0,1нм находится потенциальный барьер высотой U=120 эВ. Определить длину волны де-Бройля λ2 после прохождения барьера.
Дано: Решение
λ1=0,1нм =
U=120 эВ
λ2=?
Коэффициент преломления волн де-Бройля на границе барьера определяется
; ,
где p1, p2 – импульсы электрона в первой и второй областях, соответственно, m – масса электрона. Тогда коэффициент преломления
, (1)
где E – энергия электрона в первой области. Выразим энергию электрона E из формулы для λ1
(2)
Из выражения (1) найдём λ2
В это выражение подставим равенство (2) для E
Полученное выражение не зависит от разности энергий (E-U) и поэтому будет справедливым как для случая E>U, так и для случая E<U.
Произведём вычисления
Мы видим, что длина волны де-Бройля электрона во второй области увеличилась, по сравнению с первой областью. Это связано с уменьшением энергии частицы во второй области.
Задача №7.
Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину 0,1нм. Определить в электрон-вольтах разность энергий U-E, при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,99.
Решение.
Дано:
ℓ=0,1нм
W=0,99
U-E=?
Изобразим потенциальный барьер на рисунке. Частица движется слева направо вдоль оси x и с определённой вероятностью проходит сквозь барьер при условии, что энергия частицы E меньше высоты барьера (E<U).
Вероятность прохождения электрона сквозь прямоугольный барьер определяется коэффициентом пропускания (прозрачности) барьера D.
, (1)
где m – масса электрона, ℓ - ширина барьера.
Из выражения (1) найдём разность U-E
Произведём вычисления
.
Задача №8.
Частица массой m находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Координаты x и y частицы находятся в интервалах соответственно (0,a) и (0,b), где a и b – стороны ямы. Найти собственные значения энергии E и нормированные ψ-функции частицы.
Решение.
Изобразим условно двумерную потенциальную яму следующим образом (рисунок). В пределах ямы мы считаем, что U=0. Уравнение Шредингера в этом случае запишем в виде
(1)
Обозначим (аналогично тому, как мы это делали для одномерной ямы)
(2)
Из условия непрерывности Ψ-функции на границах ямы Ψ-функция должна обращаться в нуль (за пределами ямы Ψ=0). Ψ-функцию внутри ямы в этом случае удобно искать в виде произведения двух синусов, потому что на двух сторонах ямы (x=0 и y=0) функции Ψ(x,0) и Ψ(0,y) автоматически равны нулю
, (3)
где A – произвольная константа.
На стороне ямы с координатами (a,y) также Ψ(a,y)=0 (из условия непрерывности)
sink2y≠0 для произвольного y≠b, поэтому
,
(n=0 отпадает, так как в этом случае Ψ=0 – частицы вообще нет)
(4)
Для стороны ямы с координатами (x, b) имеем
для произвольного x≠a, поэтому
,
(5)
Подставим теперь выражение (3) в (1)
Подставим в полученное уравнение выражения (2), (4) и (5) для k1, k2 и k.
Отсюда получим выражение для энергии частицы, зависящее от двух чисел n1 и n2 (имеющих смысл главного квантового числа)
Для записи функции (3) в явном виде необходимо определить постоянную A. Найдём её из условия нормировки Ψ-функции
.
Вычислив этот интеграл, получим
.
Тогда нормированная Ψ-функция, описывающая поведение микрочастицы в двумерной потенциальной яме, будет иметь вид
.
* Соотношения, записанные в виде (20), являются точными соотношениями неопределённостей. В различной литературе часто используется также неточные соотношения, когда справа стоит (или h), а не . Мы будем также при рассмотрении некоторых примеров пользоваться неточными соотношениями, так как во всех принципиальных вопросах существенно знать лишь порядок величины , а не её точное значение.
* В этом случае оказывается условие нормировки пси-функции не выполненным. Такие случаи следует рассматривать как идеализацию реальной ситуации, когда частица находится в большой, но ограниченной области пространства. Однако, данную ситуацию мы здесь подробно не рассматриваем .