Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
9b. Элементарная площадь может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая Равенства получаем Проведя такие вычисления для каждого элементарного отрезка [], просуммируем полученные выражения: Данное выражение для принимается в качестве значения определенного интеграла: (34) называется формулой Симпсона. Метод Симпсона обладает более высокой точностью чем метод прямоугольников и трапеций. Главный член погрешности метода Симпсона имеет вид: Отличие ф-лы Симпсона от методов прямоуг. и трапеции, в том что для метода симпсона нужно почти вдвое меньше табличных значений ф-ии, поскольку для метода прямоугольников нужны дополнительные данные в полуцелых точках. |
8b. Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: Складывая все эти равенства, получаем формулу трапеций для численного интегрирования: Важным частным случаем рассмотренных формул является их применение при численном интегрировании с постоянным шагом . Формула трапеций примет вид: В общем случае погрешность Главный член погрешности формулы трапеций: Поскольку погрешность численного интегрирования определяется шагом разбиения, то уменьшая его можно добиться большей точности. [метод прямоугольников использует непосредственно замену определенного интеграла интегральной суммой (24). В качестве могут выбираться левые или правые границы элементарных отрезков. Обозначая ; получаем формулы метода прямоугольников: Вид формулы в полуцелых узлах:
Главный член погрешности формулы прямоугольников:
] |
7b. При численном дифф-нии ф-ии, заданной в виде таблицы с шагом эта погрешность зависит от и ее записывают в виде Пок-ль степени называется порядком погрешности аппроксимации производной. При этом предполагается что значение шага . Погр-ть аппроксимации наз-ся погрешностью усечения. Определяется величиной остаточного члена. При уменьшении шага , как правило погр-ть уменьшается. Но в отличие от погрешности аппроксимации, погрешность округления при вычислениях на ЭВМ, возрастает с уменьшением шага . Поэтому суммарная погр-ть численного дифф-ния может убывать при уменьшении шага лишь до некоторого предельного значения, Для оптимальной точности нужно выбрать шаг , так что - малое число. Другой способ – подбор некоторой гладкой аппроксимирующей ф-ии, например многочлена. Предположим что , заданная в виде таблицы с постоянным шагом может быть аппроксимирована интерполяц. многочленом Ньютона () Дифференцируя этот многочлен по : Можно получить формулы для вычисления производных любого порядка: ….. Интерполяционный многочлен Ньютона дает выражения для производных через разности (k=1,2,…) . |