Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекція 12. Поняття про крайову задачу для лінійного диференціального рівняння II порядку. Функція Гріна.
1. Поняття про крайову задачу для лінійного диференціального рівняння II порядку.
2. Функція Грина.
1. Будемо розглядати рівняння: x//+a(t) x/+b(t) x=f(t) (1), де a(t), b(t), f(t) - неперервні на деякому відрізку . Задача Коші ставиться так: знайти розв’язок x=x(t) рівняння (1): x(t0)=x0, x/(t0)=x0/, t0.
Крайова задача ставиться наступним чином: знайти розв'язок рівняння (1), який задовольняє умовам: . Крайова задача не завжди має розв’язки; однак вона може мати нескінченно багато розв’язків.
Приклад: дано рівняння: x//+x=0. Відомо, що загальний розв’язок цього рівняння x(t)=C1 cos t+C2 sin t. Розглянемо декілька крайових задач для цього рівняння.
1) x(0)=0, x(1)=1. Тоді 0=C1.1+C2.0 => C1=0. З першої умови отримаємо, що розв’язок треба шукати у вигляді x=C2 sin t. З другої умови: 1= C2 sin 1, , тобто , тобто, дана задача має єдиний розв’язок.
2) x(0)=0, x()=1. Як і в попередній задачі x=C2 sin t. З другої умови 1=C2sin. Але така задача розв’язків не має.
3) x(0)=0, x()=0. Аналогічно, з першої умови x=C2 sin t. Але умова 0=С2sin виконується для любого С2. Задача має нескінченно багато розв’язків.
Далі будемо розглядати крайові задачі наступного вигляду:
0, 1, 0, 1 такі, що 02+120, 02+120. Підберемо 0 так, щоб 0x/(t0)=x(t0), аналогічно, 0x/(t1)=x(t1), тобто, умови попередньої задачі тут містяться. Припустимо, що розв’язок цієї задачі існує, причому він єдиний. Крайову задачу можна розв’язувати за наступною схемою.
Розглянемо однорідне рівняння: x//+a(t) x/+b(t) x=0 (2). Нехай х1(t) – розв’язок рівняння (2), який задовольняє першій крайовій умові, нехай х2(t) – розв’язок рівняння (2), який задовольняє другій крайовій умові. Методом варіації довільної постійної знайдемо розв’язок так, щоб він задовольняв обом крайовим умовам.
Помітимо, що розв’язок x1(t) – не задовольняє другій умові. Якби він задовольняв обом умовам, то обом би умовам задовольняв би й розв’язок Сx1(t), тобто крайова задача мали б нескінченно багато розв’язків. Аналогічно, розв’язок x2(t) – не задовольняє першій умові. Крім того, функції x1(t) та x2(t) лінійно незалежні. Дійсно, якщо ці функції лінійно залежні, то їх відношення , тобто, x2=c x1, але x2(t) задовольняє другій умові. Таким чином, розв’язки x1), x2(t) лінійно незалежні та їх визначник Вронського: . Тому можемо написати загальний розв’язок однорідного рівняння: x(t)=C1x1(t)+C2x2(t). Використавши метод варіації довільної постійної, знайдемо: