Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекція 6. Прямі в просторі.
Якщо зафіксувати деякий вектор , то він задає напрямок у просторі. Тим самим визначена множина прямих паралельних даному напрямку. Для визначення конкретної прямої з цієї множини, досить вказати точку на ній (див мал. 1). Щоб визначити цю пряму аналітично, тобто вказати рівняння, яке пов’язує координати довільної точки прямої , скористаємось колінеарністю векторів та (він називається напрямним вектором прямої) : , де – довільне число. Таким чином одержане векторне рівняння прямої .
Ця ж рівність для кожної координати вектора дає параметричні рівняння прямої : . (1)
Тут є параметром – кожна точка прямої визначена деяким його значенням. Якщо з рівностей (1) виключити параметр , то одержимо Рис. 1 канонічні рівняння прямої: (2)
Розглянемо деякі частинні випадки. Припустимо, що одна з координат напрямного вектора прямої (2) рівна нулю, наприклад, . Тоді пряма, очевидно, перпендикулярна осі абсцис. Якщо ж , то пряма перпендикулярна до площини , тобто паралельна осі аплікат.
Пряму також можна задати, вказавши дві точки та на ній. Нехай – довільна точка шуканої прямої. Тоді вектор буде напрямним і можемо записати канонічні рівняння прямої, заданої двома точками: .
Пряма у просторі може також бути визначена як лінія перетину двох непаралельних площин:
(3)
Ці рівняння описують площини, проте дають мало уявлення про власне пряму. Щоб записати пряму, задану рівнянням (3), у канонічному вигляді, необхідно визначити напрямний вектор прямої та деяку точку на ній. Напрямний вектор, очевидно, має бути паралельним кожній з площин, а отже, перпендикулярним до нормалей та обох площин, тому можна вважати, що . Для того, щоб визначити точку на Рис. 2 прямій (3), покладемо одну із змінних, наприклад , рівною і розв’яжемо систему відносно змінних та .
Приклад 1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямій .
Напрямний вектор заданої прямої визначаємо із її параметричних рівнянь: . Шукана пряма паралельна заданій, отже, вектор буде напрямним і для неї. За формулами (2) визначаємо канонічні рівняння нашої прямої: .
Приклад 2. Скласти канонічні рівняння прямої , .
Напрямний вектор шуканої прямої визначимо як векторний добуток нормалей площин: , або . Знайдемо ще точку, що належить шуканій прямій. Покладемо, наприклад, та розв’яжемо систему . Помноживши перше рівняння на та додавши до другого, знайдемо . Отже, тоді , і точка належить прямій. Залишилось записати канонічні рівняння цієї прямої: .
Зауваження. Очевидна неоднозначність канонічних рівнянь (2) – можна було використати іншу точку на прямій та використати будь-який колінеарний вектор за напрямний.
Означення 1. Пучком площин, що проходять через вісь , називається вся сукупність площин, що проходять через пряму .
Теорема. Нехай вісь пучка задана як лінія перетину двох непаралельних площин : та : . Тоді при довільних та , таких, що , пучок задається рівнянням:
(4)
Доведення. Покажемо, що по-перше, рівняння (4) – не тотожність. Дійсно, з припущення про те, що випливає , тобто та збігаються. По-друге, вісь належить пучку. Це видно з того, що для кожної точки прямої виконуються рівності та , а отже, виконано рівняння (4). По-третє, залишилось показати, що кожна площина , що проходить через вісь , описується рівнянням (4). Для цього розглянемо деяку точку , яка не лежить на осі . Тоді величини та не дорівнюють нулю водночас, а тому визначене відношення , або . Якщо існує перше, то позначимо його через , якщо існує друге, то через . Таким чином, для довільної площини пучка можна визначити коефіцієнти та , при яких площина описується рівнянням (4).
Зауваження. Рівняння пучка у вигляді (4) описує і обидві площини та . Якщо ж покласти у рівнянні (4) , то одержимо рівняння, яке описує всі площини пучка за винятком площини .
Приклад 3. Записати рівняння площини, що проходить через пряму та точку . Шукана площина належить пучку з віссю , або і описується рівнянням при деякому значенні . Щоб визначити , підставимо в це рівняння координати заданої точки : , отже . Тому шуканою є площина .
Взаємне розташування прямої та площини.
Розглянемо основні задачі про взаємне розташування прямої та площини.
Використаємо рівняння прямої у параметричній формі (1) та підставимо їх у рівняння площини. Таким чином з’ясуємо, при якому значенні параметру має місце перетин прямої з площиною. Визначивши таким чином коефіцієнт , знайдемо координати точки перетину прямої та площини.
Приклад 4. Знайти точку перетину прямої з площиною .
Підставимо параметричні рівняння прямої у рівняння площини: , звідки . Отже, – точка перетину даної прямої з площиною.
Неважко зрозуміти, що або , де – це кут між нормаллю площини та напрямним вектором прямої. Тому . Пряма та площина паралельні, коли , а перпендикулярні – при , тобто .
Приклад 5. Знайти кут між прямою та площиною .
Тут – напрямний вектор прямої, а – нормаль площини. Тоді
Для того, щоб пряма лежала у площині необхідно і достатньо виконання двох умов: пряма паралельна площині і одна точка прямої належить площині. Запишемо ці умови аналітично: .
Переконайтесь самостійно, що умова перетину двох непаралельних прямих еквівалентна умові компланарності векторів , та , де та .
Приклад 6. Знайти точку, симетричну точці відносно площини .
Опустимо перпендикуляр із точки на площину та знайдемо точку перетину його з площиною. Точка
буде серединою відрізку , де – шукана симетрична точка. Отже, перпендикуляр має проходити через точку , а його напрямним вектором буде нормаль заданої площини. Таким чином одержимо рівняння цього перпендикуляра: . Точку знайдемо, як описано в прикладі 4: . Далі, оскільки точка – середина відрізку , то її координати є напівсумою відповідних координат точок та , звідки й знаходимо .
Приклад 7. Знайти відстань точки від прямої .
Побудуємо площину, що проходить через точку перпендикулярно до заданої прямої: , або . Відшукаємо точку перетину цієї площини із заданою прямою: . Шукана відстань дорівнює довжині відрізку : .
Приклад 9. Знайти найкоротшу відстань між двома мимобіжними прямими та .
Побудуємо площину , якій належить одна з прямих, приміром, , паралельну до іншої – . Тоді шукана відстань буде відстанню від довільної точки прямої (нам відома одна з її точок – точка ) до площини . Позначимо напрямні вектори заданих прямих відповідно та , відому точку на – . Нехай буде довільна точка на шуканій площині . Для визначення рівнянні площини використаємо компланарність векторів , та : , звідки одержимо рівняння площини . Нормальне рівняння цієї площини матиме вигляд , тому .
Другий спосіб: , вектор буде ортогональним до обох прямих, тоді .
PAGE 3
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8