Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция XIII
1. Черное излучение.
Черным излучением называется электромагнитное излучение, находящееся в равновесии с веществом. Поскольку электромагнитное излучение состоит из фотонов, то черное излучение – это равновесный идеальный бозе-газ: фотоны практически не взаимодействуют друг с другом (сечение взаимодействия , где - постоянная тонкой структуры) и являются бозонами (говорят, что спин фотона равен 1, но это не вполне точно, так как нет ни одной системы отсчета, в которой бы фотон покоился).
Равновесие фотонов с веществом устанавливается за счет их поглощения и испускания. Поэтому число частиц не фиксировано и при расчетах необходимо использовать большое каноническое распределение. Среднее число частиц при фиксированных температуре и объеме определяется из условия минимума свободной энергии , см. (V.2.14). Поэтому
, (XIII.1.1)
т.е. химический потенциал фотонов равен нулю. Этот вывод не меняется, если считать фиксированным не объем, а давление. В этом случае
, (XIII.1.2)
где - термодинамический потенциал Гиббса.
Числа заполнения характеризуются квантовыми числами
, (XIII.1.3)
Здесь волновой вектор светового кванта (фотона), а индекс отличает два независимых состояния поляризации. Энергия каждого фотона равна
(XIII.1.4)
Среднее число фотонов в - ом квантовом состоянии определяется распределением Бозе-Эйнштейна (IX.3.5) с химическим потенциалом
(XIII.1.5)
Это выражение называется распределением Планка.
При вычислении среднего числа фотонов согласно (IX.3.6), нужно сумму по квантовым состояниям заменить интегралом по фазовому пространству.
(XIII.1.6)
Здесь учтено, что , в соответствии с двумя возможными поляризациями. Поэтому среднее число фотонов, приходящихся на спектральный интервал равно
(XIII.1.7)
Спектральная плотность энергии
(XIII.1.8)
называется формулой Планка, см рис. XIII.1.
Рис. XIII.1.
Положение максимума этого распределения определяется из трансцендентного уравнения
и равно
(XIII.1.9)
(закон смещения Вина).
При низких частотах распределение Планка переходит в формулу Рэлея-Джинса,
, (XIII.1.10)
которая эквивалентна закону равнораспределения: на каждую колебательную степень свободы приходится две половинки в средней энергии. Использование этой формулы при высоких частотах приводит к “ультрафиолетовой катастрофе”.
При высоких частотах распределение Планка дает формулу Вина:
(XIII.1.11)
которая снимает противоречие. В 1911 году Вильгельм Вин (1864-1928) получил Нобелевскую премию “За открытие законов теплового излучения”, еще до присуждения в 1918 году Нобелевской премии Максу Планку “За открытие кванта энергии”.
2. Термодинамические функции черного излучения.
Вычисление термодинамических функций равновесного излучения упрощается из-за равенства нулю химического потенциала. Поскольку
, (XIII.2.1)
то согласно (IX.3.7) и (XIII.1.6) имеем
(XIII.2.2)
Сравнение этого равенства с формулой (XIII.1.8) дает
(XIII.2.3)
Это соотношение, справедливое для ультрарелятивистского газа, было использовано ранее при получении закона Больцмана (см. Лекцию VI).
Фигурирующий в (XIII.2.2) интеграл, согласно (XII.1.3) равен
(XIII.2.4)
(здесь число Бернулли ). Закон Больцмана представляют в виде
(XIII.2.5)
Отсюда с учетом (XIII.2.2) для свободной энергии получаем
(XIII.2.6)
а для энтропии имеем
(XIII.2.7)
Теплоемкость
(XIII.2.8)
пропорциональна во всем диапазоне температур, а не только при , поскольку закон дисперсии линеен при всех импульсах.
Вычислим поток электромагнитной энергии с единицы поверхности в единицу времени, см рис. XIII.2.
Рис. XIII.2.
Подставляя сюда выражение (XIII.2.5) для полной интенсивности испускания черного тела получаем
(XIII.2.9)
В частности для светимости Солнца формула (XIII.2.9) дает значение
(XIII.2.10)
Измеренное значение светимости Солнца . Таким образом, на каждый квадратный сантиметр земной поверхности при нормальном падении солнечных лучей попадает
.
Здесь – радиус Солнца, – астрономическая единица длины (расстояние от Солнца до Земли).
3. Реликтовое излучение.
Плотность среднего числа фотонов в соответствии с распределением (XIII.1.7) равна
, (XIII.3.1)
где учтено значение дзета-функции Римана
Арно Пензиас и Роберт Вильсон получили половину Нобелевской премии по физике 1978 года за открытие космического микроволнового фонового излучения (другую половину получил Петр Леонидович Капица (1894-1984) за фундаментальные изобретения и открытия в области низких температур). Существование этого излучения было предсказано теоретически Георгием Антоновичем Гаммовым еще в 1946 году в рамках модели горячей Вселенной.
Это остаточное излучение с температурой , возникшее после “Большого взрыва” называется реликтовым излучением.
Согласно (XIII.3.1) в каждом кубическом сантиметре Вселенной находится реликтовых фотонов:
(XIII.3.2)
Для интерпретации результата Пензиаса и Вильсона выразим формулу Планка через длину волны фотона :
(XIII.3.3)
Поэтому плотность энергии фотонов, находящаяся в ящике объемом
(XIII.3.4)
Если размеры ящика увеличить адиабатически в раз, то число фотонов в кубике уменьшится в раз. Энергия каждого фотона уменьшится при этом в раз (см., например, (VI.1.2)). Таким образом, плотность энергии уменьшится в раз:
, (XIII.3.5)
где . Поэтому при
(XIII.3.6)
форма распределения Планка остается неизменной. Это соотношение сразу же следует из формулы Больцмана. Если в качестве воображаемого ящика будет служить вся Вселенная, то при ее расширении будет уменьшаться и энергия фотонов. Таким образом, если в процессе расширения фотоны вырываются из электрон-протонной плазмы при температуре рекомбинации (см. ниже), то согласно (XIII.3.6) с тех пор линейные размеры Вселенной увеличились примерно в полторы тысячи раз.
О том, как было открыто реликтовое излучение, у нас еще будет повод поговорить при обсуждении флуктуаций физических величин.
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4