Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 6. Принципы статистического управления качеством
Под качеством понимается совокупность тех свойств изделий или процессов, которые характеризуют их пригодность к выполнению определённых требований. Такие свойства мы назовём признаками качества. Возможные значения или виды проявления признака называются значениями признака. То, какое значение может иметь в каждом конкретном случае признак качества, зависит от случайных обстоятельств. Переменные с зависящими от случая значениями называется случайными или стохастическими переменными. Конкретные проявления случайных признаков - реализации или значения. В таблице 6.1. приведены пять различных случайных переменных (признаков качества) и их реализации.
Таблица 6.1. Случайные переменные (признаков качества) и их реализации
|
Признак качества |
Значения |
|
1 |
Размеры чехла для сидения в автомобиле подходит, велик, мал |
|
2 |
Вкусовые свойства продукта питания отличные, хорошие, удовлетворительные, плохие |
|
3 |
Температура выхлопных газов двигателя температура в градусах Цельсия |
|
4 |
Длина заготовки размер в см, мм или ещё меньших единицах в зависимости от точности измерительного прибора |
|
5 |
Количество опечаток, приходящееся на страницу 0,1,2, 3 и т. д. |
Определение значений признака качества называют измерением. В зависимости от вида признака качества используют различные шкалы измерений. Существует несколько видов шкал.
Шкала наименований
По шкале наименований классифицируют значения признака только по отношению эквивалентности. Отношение порядка не определено. Процесс изме рения заключается в определении одинаковости или отличия признака качества в данном изделии по отношению к заранее определённым значениям. Эти значения являются наименованиями классов. Первый признак качества в таблице 6.1. определён по шкале наименований.
Порядковые шкалы
По порядковым шкалам значения признаков могут быть не только классифицированы по критерию "одинаково или нет", но и расположены в естественно-возрастающей или убывающей последовательности, то есть в порядке возрастания или убывания признака (больше/меньше, лучше/хуже, более/менее). Часто для значений признаков используют натуральный ряд чисел. Тогда говорят о ранговых числах. Второй признак качества в таблице 6.1. измерим по порядковой шкале и его четыре значения можно обозначить ранговыми числами: отличный = 1, хороший = 2, удовлетворительный = 3, плохой = 4. Результаты измерения по порядковым шкалам единственны до монотонно возрастающего преобразования. Так, например, четыре вышеназванные значения признака можно было бы обозначить следующим образом: отлично = 10, хорошо = 20, удовлетворительно = 30, плохо = 40. Тем самым был бы также отражён естественный порядок расположения четырёх значений признака. Монотонно возрастающие преобразования сохраняют отношение порядка.
Метрические шкалы
В соответствии с метрической шкалой между значениями признака определены не только отношения порядка и эквивалентности, но также и расстояния (различия) или отношения между ними. Значения признаков - это действительные числа, обладающие ещё и размерностью. Метрическими назы вают измерения, результаты которых единственны до линейного преобразования. Три последние признака в таблице 6.1. измеримы по метрической шкале. Среди метрических шкал различают несколько типов шкал.
- Шкала интервалов
Здесь отношение порядка и эквивалентности определено не только между значениями признаков качества, но и между расстояниями между ними, как, например, при измерении температуры в градусах Цельсия (третий признак в таблице 6.1.).
- Шкала соотношений
Это шкала интервалов, в которой определён нулевой элемент - начало отсчёта. Измеримы и отношения между значениями признака (четвёртый признак в таблице 6.1.)
- Абсолютная шкала
К шкале соотношений добавляется естественная единица. Пятый признак качества в таблице 6.1. измерим по абсолютной шкале.
Назовём признаки, измеримые только по шкале наименований или по порядковой шкале качественными признаками, так как по этим признакам не определены расстояния между значениями признака. Выражения признаков по обеим шкалам - качественные, а не количественные, даже если они определены цифрами или ранговыми числами. Признак, определяемый по метрической шкале, называется количественным признаком. Он будет дискретным, если совокупность его значений образует счётное множество. Однако значения количественного признака не ограничивается множеством натуральных или целых чисел. Количественный признак является непрерывным, если множество его проявлений несчётно, то есть любое действительное число в данной области можно рассматривать как значение признака.
Тип признака качества важен для статистиков в отношении выбора используемых математических методов. Различные типы признаков качества в обобщенном виде представлены в табл. 6.2.
Таблица 6.2. Типы признаков качества
|
шкала наименований |
порядковая или ранговая шкала |
метрическая шкала |
||
|
шкала интервалов |
шкала отношений, абсолютная шкала |
|||
|
виды признаков |
качественные признаки (классификация) |
количественные признаки (непрерывные и дискретные) |
||
|
определяющие отношения |
= ≠ |
= ≠ < > |
= ≠ < > + - |
= ≠ < > + - ∙ : |
|
интерпретация |
возможно различие одинаково - неодинаково |
возможно различие меньше - больше |
различия имеют эмпирический смысл |
отношения имеют эмпирический смысл* |
|
допустимые преобразования |
обратимые однозначные (биективные) |
монотонно возрастающие (изотопные) |
линейные у = ах + b (а > 0) |
подобия у = ах (а > 0) |
|
примеры статистических характеристик |
мода, частота |
медиана, квартили * |
среднее арифметическое, стандартное отклонение * |
среднее геометрическое, коэфф. корреляции * |
|
примеры |
названия предметов, номера автомашин, номера почтовых отделений, семейное положение, предметы обучения |
школьные оценки, военные звания, сорта продуктов (сельхозпродукты), шкала землетрясений Меркали, сила ветра по Бофорту, оценка сенсорных реакций |
Температура [°С], температура [°F], календарные даты |
температура [°К], доход, возраст, величины, измеряемые в системе см, г, сек, сила ветра [м/сек; уз.], время (производства, простоя), количество (ошибок, разрывов нити, простоев) |
|
степень информативности |
Низкая→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→высокая |
|||
|
чувствительность по отношению к неточностям измерения |
Низкая→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→высокая |
* В любом случае имеет силу также и то, что стоит в этой строке слева.
Основу статистических методов исследования в системах управления качеством всегда составляет множество данных, полученных по результатам измерения одного или нескольких параметров, характеризующих ход технологического процесса или показатели качества изделий.
Множество результатов измерений некоторого параметра (однородного признака процесса или партии изделий) называется гене ральной совокупностью N. Если число N ограничено (что чаще всего бывает на практике), то такая генеральная совокупность называется конечной. Каждый отдельный результат измерения исследуемого параметра (признака) на зывается элементом генеральной совокупности.
Результаты измерений технологи ческих процессов или изделий соответствуют определению случайных величин. Случайная величина X - это величина, которая при любом испытании случай ным образом принимает определенное действительное числовое значение и облада ет функцией распределения, определяемой формулой F(X)=P(X<x), где дискретная величина х принимает все без исключения значения на действительной числовой оси.
При многократном измерении исследуемого параметра технологического процесса или изделия соответствующими измерительными средствами получают ряд значений параметра, который называют рядом измерений.
Ряд измерений объема N состоит из n значений исследуемого параметра, которые обозначаются соответствующими буквами латинского алфавита, снабженными индексом, указывающим порядковый номер измерения и представляют собой значения, которые исследуемый параметр X принимает в каждом конкретном случае.
Значение отдельного результата измерения исследуемого параметра называется наблюденным значение или реализацией случайной величины.
В тех случаях, когда мы имеем дело с количественным значением некоторого параметра, величина которого может принимать любое значение в некотором определенном интервале на числовой оси, то такой параметр называется непрерывной случайной величиной
Например; температура процесса диффузии, глубина залегания р-n перехода, диаметр валика при точении и т.д.
Случайная величина X называется дискретной, если она может принимать конечное или счетное число различных значений х1,х2,...,хn,
Примерами дискретных случайных величин на практике могут быть: подсчет числа простоев станков в цеху за смену; X может принимать значение 0,1,2,...; и т.д.
- номер грани при бросании игрального кубика; X может принимать значения 0,1,2,3,4,5,6;
- число вызовов на автоматической телефонной станции в течение заданного промежутка времени; X может принимать значения 0,1,2,3... и т.д.
При контроле качества продукции в массовом и крупносерийном производстве, как правило, проводят измерение важнейшего параметра (параметров) у большого количества единиц продукции.
Последовательность значений результатов измере ний контролируемого параметра называется исходной таблицей.
|
Таблица 6.3. Исходные результаты Отклонения от номинального размера, мкм 48 39 43 44 34 34 32 43 40 46 25 31 34 49 39 37 45 48 41 49 43 46 35 42 32 41 34 34 42 42 38 40 46 47 34 42 38 40 38 36 30 43 41 40 40 35 35 41 38 45 37 42 38 36 44 39 32 48 43 39 43 30 44 36 42 34 49 49 49 51 37 30 50 48 44 35 45 34 33 41 43 45 44 34 33 39 41 39 46 31 40 52 45 39 35 45 33 42 42 36 44 52 40 39 44 40 34 37 43 32 32 42 45 35 37 43 48 48 50 32 40 48 32 43 36 39 42 40 37 30 44 50 47 37 33 34 42 43 43 47 44 50 46 39 41 48 44 42 35 51 |
Пример. На токарном автомате были изготовлены 150 валиков. Номинальный диаметр 20 мм, допуски: нижнее отклонение +0,035 мм, верхнее +0,053 мм (рис.6.1.). Исходные значения положительных отклонений в микрометрах (мкм) от номи нального диаметра (150 измерений диаметра валика) представлены в табл. 1. Исходная таблица результатов измерений величины отклонения диаметра вали ка от номинального значения является неупорядоченной и не несет наглядной информации о реальном распределении диаметров валиков. Единственный вывод, который можно сделать исходя из таблицы - это то, что все отклонения значений диаметров валиков положительные и содержат неупоря доченные отклонения от +25 до +52 мкм. |
|
Рис 6.1. Чертёж валика |
Числовые характеристики исследуемого параметра. В качестве характеристик, получаемых в результате измерений значений иссле дуемого параметра, используют числовые характеристики, которые называются ста тистическими мерами.
Статистические меры служат для описания и сравнения получаемых эмпириче ских распределений.
Важнейшей и чаще всего применяемой на практике статистической характери стикой является мера положения, которая определяет положение центра группиро вания исследуемого параметра на числовой оси.
Мера положения определяется средним значением параметра, описывающим одним числом результаты некоторого ряда измерений.
Для статистических исследований на практике используют следующие средние значения: среднее арифметическое, медиана, мода и среднее геометрическое (рис.6.2.).
Параметр, характеризующий ширину распределения исследуемого признака на числовой оси, называется мерой рассеяния. К мерам рассеяния эмпирического рас пределения относятся размах, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.
Рис. 6.2. Классификация статистических мер распределений
Меры положения
Среднее арифметическое . На практике в повседневной жизни нам прихо дится часто сталкиваться с рядом измерений интересующего нас признака и нахо дить его среднее арифметическое: среднемесячная доля брака в цеху, средний рас ход сырья на единицу продукции, средняя заработная плата рабочих, среднемесяч ная температура воздуха и т.д. и т.п.
Если мы имеем ряд измерений некоторого признака X объемом n (Х1,Х2,Х3,...,Хn), то среднее арифметическое ряда измерений определяют по форму ле:
Медиана . Важной характеристикой эмпирического распределения для ря да измерений исследуемого параметра является медиана или срединное значение. Если имеется ряд измерений объемом n, то для вычисления медианы необходимо все значения результатов измерений расположить в порядке возрастания или убы вания.
Если число результатов измерений будет нечетным числом (n=2k+l), то медиа ной будет член упорядоченного ряда под номером:
k+1,
При четном числе результатов измерений (n=2k) медианой будет полусумма двух членов упорядоченного ряда под номерами k и k+1:
Мода М0 . При обработке результатов измерений непрерывной величины (в на шем примере - диаметр валика, полученного при точении заготовок на токарном ав томате) под модой М0 понимается наиболее вероятное значение измеряемого пара метра в рассматриваемом экспериментальном распределении. В таблице частот для измерений диаметра валика наибольшая частота (наибольшее вероятное значение) приходится на седьмой интервал с границами 42,5 - 44,5 мкм, где было наибольшее (34 и 150) число попаданий результатов измерений.
Величина моды будет:
мкм.
Как и медиана, мода не подвержена воздействию крайних членов упорядочен ного ряда измерений. Она определяется лишь результатами измерений, лежащих в центре группирования.
При графическом представлении эмпирического распределения в виде полигона частот мода М0 равна значению середины интервала измеряемого признака, кото рому соответствует максимум ординаты полигона. Многовершинные распределе ния частот (с несколькими максимумами) обладают несколькими модами, поэтому для характеристики распределения удобнее избрать моду М0, а не среднее арифме тическое, так как мода лучше отражает типичные распределения, чем, например среднее арифметическое или медианы.
На практике мода чаще всего применяется в демографической статистике. В технике и на производстве, при решении технических задач мода М0, как параметр эмпирического распределения, не получила широкого применения.
Среднее геометрическое . Если мы имеем ряд измерений значений исследуемо го параметра объемом n
(x1,x2,x3,...,xn),
то среднее геометрическое для такого ряда определяется по формуле:
Обычно значение среднего геометрического вычисляют, логарифмируя формулу:
При определении среднего геометрического предполагается, что Х>0 для любых членов результатов измерений.
Среднее геометрическое, так же как и среднее арифметическое, зависит от всех n измерений эмпирического распределения, но крайние значения влияют на среднее геометрическое не в такой степени, как на среднее арифметическое. Между сред ним арифметическим и средним геометрическим имеет место фундаментальное со отношение ≤ , равенство имеет место только для случая, когда все Xi равны между собой.
На практике среднее геометрическое принимают, прежде всего, в экономиче ской статистике, например, для определения среднего темпа возрастания или сред ней нормы прироста.
В заключение следует отметить, что каждая из рассмотренных мер положения имеет свои достоинства и свои недостатки, однако на практике особенно широкое распространение получило среднее арифметическое, которому чаще всего отдается предпочтение перед всеми другими средними.
Меры рассеяния.
Для описания эмпирических распределений исследуемых па раметров недостаточно определить только меру положения — среднее значение рас пределения. На практике два эмпирических распределения с одинаковыми средни ми могут иметь совершенно разный вид (рис.6.3.).
Рис. 6.3. Полигоны частот I и II с одинаковыми средними арифметическими и разными дисперсиями
Таблица 6.4. Меры положения и меры рассеяния
|
Статистические меры для описания и сравнения распределений |
Меры положения определяют положение центра группиро вания на числовой оси |
Математическое ожидание Среднее арифметическое |
сильное воздействие крайних значений - ≤ - на практике получило особенно широкое распространение |
|
|
Медиана, серединное значение |
n - нечетное n - четное |
- не подвержена воздействию крайних членов упорядочен ного ряда измерений - определяется результатами измерений, лежащих в центре группирования |
||
|
Мода, наиболее вероятное значение |
- не подвержена воздействию крайних членов упорядочен ного ряда измерений - определяется результатами измерений, лежащих в центре группирования - многовершинные распределе ния частот (с несколькими максимумами) обладают несколькими модами, поэтому для характеристики распределения удобнее мода - применяется в демографической статистике |
|||
|
Среднее геометрическое |
менее сильное воздействие крайних значений, чем на - ≤ - применяется в экономиче ской статистике |
|||
|
Меры рассеяния характеризуют ширину распределения на числовой оси |
Размах Разность между макс. и мин. измеренными значениями параметра |
R= Xmax - Xmin |
- дает возможность оценить рассеяние результатов измерений без проведения сложных вычислений |
|
|
Дисперсия Среднее значение квадратов отклонений |
- мера отклонения - квадрат (чтобы +) величины его отклонения от среднего значения - деление на n-1 делает несмещенную оценку генеральной совокупности -недостаток: размерность – квадрат величины |
|||
|
Среднеквадратическое отклонение Квадратный корень из дисперсии |
Чтобы характеризовать свойство эмпирических распределений - рассеяние или разброс наблюдаемых величин, используют такие меры рассеяния, как размах R, среднеквадратическое отклонение S и дисперсию S2.
Размах R мы уже определяли при построении гистограммы как разность между максимальным и минимальным измеренными значениями исследуемого параметра в полученном ряде измерений по формуле (3):
R= Xmax - Xmin (4)
Размах удобен тем, что дает возможность оценить рассеяние ряда результатов измерений параметра без проведения сложных вычислений.
Дисперсия S2. В практике статистических исследований эмпирических распре делений используют дисперсию, как меру рассеяния.
Рассеяние исследуемого параметра определяется отклонениями значений от дельных элементов ряда от его среднего значения в результате действия различных факторов. Поскольку отклонения имеют место в разные стороны, то есть они могут быть как положительными, так и отрицательными, то в качестве меры отклонения каждого отдельного элемента принимают квадрат величины его отклонения от среднего значения (Xi-X)2.
Поэтому в качестве меры рассеяния для всех элементов экспериментального ря да принимают среднее значение квадратов отклонений, которое называют диспер сией:
(деление на n-1 делает несмещенную оценку генеральной совокупности; дис персия для генеральной совокупности обозначается знаком σ2).
Размерность дисперсии S2 - квадрат исследуемого параметра, что создает из вестное неудобство.
Потому на практике в качестве меры рассеяния чаще всего используют средне квадратическое отклонение S.
Среднеквадратическое отклонение S - это взятый с положительным знаком квадратный корень из дисперсии:
Меры положения и меры рассеяния используют для числовой характеристики, как генеральной совокупности, так и выборок из нее.
При этом следует иметь в виду, что для генеральной совокупности значения ме ры положения и меры рассеяния являются точно определенными.
Что касается выборок, то эти значения могут меняться в зависимости от объема выборки и случайных значений параметров элементов, попавших в выборку. Имен но поэтому меры положения и рассеяния, определенные для выборки не равны точ но этим мерам для генеральной совокупности, а являются более или менее прибли женными их оценками. Поэтому меры положения и рассеяния для выборки назы вают статистическими оценками мер положения и рассеяния генеральной совокуп ности, и те и другие обозначаются в математической статистике разными символа ми (Таблица 4).
Таблица 6.5. Обозначения параметров
|
Параметры (мера) |
Параметр генеральной совокупности |
Статистическая оценка |
|
Математическое ожидание (среднее арифметическое) |
μ |
|
|
Медиана |
- |
|
|
Мода |
- |
М0 |
|
Дисперсия |
σ2 |
S2 |
|
Среднеквадратическое отклонение |
σ |
S |
|
Размах |
- |
R |
Среднеквадратическое отклонение
Квадратный корень из дисперсии
Дисперсия
Среднее значение квадратов отклонений
Размах
Разность между макс. и мин. измеренными значениями параметра
Среднее арифметическое,
математическое ожидание
Среднее геометрическое
Мода, наиболее вероятное значение
Медиана, серединное значение
характеризуют ширину распределения на
числовой оси
определяют положение центра группиро вания на числовой оси
Меры рассеяния
Меры положения
Для описания и сравнения распределений
Статистические меры