Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
19. Метод секущих. В методе Ньютона на каждой итерации необходимо вычислять значение ф-ии и ее производной. На практике применяют методы, которые требуют вычисления на каждой итерации только значения ф-ии. Заменим в методе Ньютона производную в точке разделенной разностью по двум точкам т.е. Получаем итерационную формулу Данная формула наз-ся методом секущих для решения уравнения геометрическая интерпретация метода состоит в следующем. Проведем секущую через 2 точки кривой с координатами (. Пересечение этой секущей с осью абсцисс дает приближение Метод секущих является двухшаговым, т.е. новое приближение определяется двумя предыдущими итерациями и . Метод секущих сходится медленнее метода Ньютона- Объем вычислений на каждой итерации метода секущих гораздо меньше, т.к. не нужно вычислять значение производной. В знаменателе последней формулы стоит разность значений функции на двух соседних итерациях. |
20.Числен.методы решен ОДУ.Постан.задачи Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются ур-ния, содержащие одну или несколько производных от искомой ф-ии . Их можно записать в виде: Где независимая переменная. Наивысший порядок входящей в уравнение (1) производной, называется порядком дифференциального уравнения. Запишем уравнения 1 и 2 порядков: В ряде случаев из общей записи диф.ура удается выразить старшую производную в явном виде: Такая форма записи наз-ся уравнением, разрешенным относительно старшей производной. Линейным диф.ур-нием на-ся ур-ние, линейное относительно искомой ф-ии и ее производных. Решением диф.ура (1) называется ф-ия , которая после ее подстановки в ур-ние превращает его в тождество. Общее решение обыкновенного ДУ -ого порядка содержит произвольных постоянных т.е. общее решение имеет вид Частное решение ДУ получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения. Для ур-ния 1 порядка общее решение зависит от одной произвольной постоянной: Если постоянная принимает определенное значение то получим частное решение В зависимости от способа задания дополнительных условий для получения частного решения дифференциального уравнения существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. |
21. Метод Эйлера. Простейшим ЧМ решения задачи Коши для обыкновенного ДУ является метод Эйлера. Он основан на разложении искомой ф-ии в ряд тейлора в окрестностях узлов в котором отбрасываются все члены, содержащие производные 2 и более высоких порядков. Запишем это разложение в виде: Заменяем значения ф-ии в узлах значениями сеточной ф-ии Кроме того, используя уравнение полагаем Для простоты будем считать узлы равностоящими, т.е. Учитывая введенные обозначения и пренебрегая членами порядка из (16) получаем Полагая i=0 с помощью соотношения находим значение сеточной ф-ии при Требуемое здесь значение задано начальным условием . Т.е. . Аналогично могут быть найдены значения сеточной ф-ии в других узлах: ………… Построенный алгоритм называется методом Эйлера. Разностная схема этого метода представлена соотношениями (17). Они имеют вид рекуррентных формул, с помощью которых значение сеточной ф-ии в любом узле вычисляется по ее значению в предыдущем узле . В связи с этим, этот метод относится к одношаговым. Задаются начальные значения а также величина шага и количество расчетных точек . Решение получается в узлах Вывод результатов предусмотрен на каждом шаге. Если найденные значения необходимо хранить в памяти машины, то следует ввести массив значений . |