19. Метод секущих.

В методе Ньютона на каждой итерации необходимо вычислять значение ф-ии и ее производной. На практике применяют методы, которые требуют вычисления на каждой итерации только значения ф-ии. Заменим в методе Ньютона производную  в точке разделенной разностью по двум точкам т.е.

Получаем итерационную формулу

Данная формула наз-ся методом секущих для решения уравнения  геометрическая интерпретация метода состоит в следующем.

Проведем секущую через 2 точки кривой  с координатами (.

Пересечение этой секущей с осью абсцисс дает приближение

Метод секущих является двухшаговым, т.е. новое приближение  определяется двумя предыдущими итерациями и . Метод секущих сходится медленнее метода Ньютона-

Объем вычислений на каждой итерации метода секущих гораздо меньше, т.к. не нужно вычислять

значение производной.

В знаменателе последней формулы стоит разность значений функции на

двух соседних итерациях.

20.Числен.методы решен ОДУ.Постан.задачи

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются ур-ния, содержащие одну или несколько производных от искомой ф-ии . Их можно записать в виде:

Где  независимая переменная.

Наивысший порядок  входящей в уравнение (1) производной, называется порядком дифференциального уравнения. Запишем уравнения 1 и 2 порядков:

В ряде случаев из общей записи диф.ура удается выразить старшую производную в явном виде:

Такая форма записи наз-ся уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

Линейным диф.ур-нием на-ся ур-ние, линейное относительно искомой ф-ии и ее производных.

Решением диф.ура (1) называется ф-ия , которая после ее подстановки в ур-ние превращает его в тождество.

Общее решение обыкновенного ДУ -ого порядка содержит  произвольных постоянных  т.е. общее решение имеет вид

Частное решение ДУ получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения.

Для ур-ния 1 порядка общее решение зависит от одной произвольной постоянной:

Если постоянная принимает определенное значение  то получим частное решение

В зависимости от способа задания дополнительных условий для получения частного решения дифференциального уравнения существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача.  

21. Метод Эйлера.

Простейшим ЧМ решения задачи Коши для обыкновенного ДУ является метод Эйлера. Он основан на разложении искомой ф-ии в ряд тейлора в окрестностях узлов  в котором отбрасываются все члены, содержащие производные 2 и более высоких порядков. Запишем это разложение в виде:

Заменяем значения ф-ии  в узлах  значениями сеточной ф-ии  Кроме того, используя уравнение  полагаем

Для простоты будем считать узлы равностоящими, т.е.

Учитывая введенные обозначения и пренебрегая членами порядка   из (16) получаем

Полагая i=0 с помощью соотношения находим значение сеточной ф-ии  при

Требуемое здесь значение  задано начальным условием  . Т.е. .

Аналогично могут быть найдены значения сеточной ф-ии в других узлах:

…………

Построенный алгоритм называется методом Эйлера. Разностная схема этого метода представлена соотношениями (17). Они имеют вид рекуррентных формул, с помощью которых значение сеточной ф-ии  в любом узле  вычисляется по ее значению  в предыдущем узле . В связи с этим, этот метод относится к одношаговым.

Задаются начальные значения  а также величина шага  и количество расчетных точек . Решение получается в узлах  Вывод результатов предусмотрен на каждом шаге. Если найденные значения необходимо хранить в памяти машины, то следует ввести массив значений .