Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
http://de.ifmo.ru/--books/0051/index.html
1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Понятие о характеристиках уравнений в частных производных. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка со многими независимыми переменными. Канонические формы линейных уравнений с частными производными второго порядка. Уравнение Трикоми. Постановка основных краевых задач для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Корректность постановок задач математической физики. Задача Коши. Теорема Ковалевской. Пример Адамара.
- уравнение вида
где F- заданная действительная функция точки х=(xt, ..., х п )области Dевклидова пространства Е п, и действительных переменных
(и(х)- неизвестная функция) с неотрицательными целочисленными индексами i1 ,..., in, k=0, ..., т,по крайней мере одна из производных
функции Fотлична от нуля; натуральное число тназ. порядком уравнения (1).
Определенная в области Dзадания уравнения (1) функция и(х), непрерывная вместе со своими частными производными, входящими в это уравнение и обращающая его в тождество, наз. регулярным решением. Наряду с регулярными решениями в теории Д. у. с ч. п. важное значение имеют решения, перестающие быть регулярными вблизи изолированных точек или многообразий особого вида: к ним относятся, в частности, элементарные (фундаментальные) решения. Они позволяют строить широкие классы регулярных решений (так наз. потенциалов) и устанавливать их структурные и качественные свойства.
В предположении непрерывности частных производных 1-го порядка функции Fотносительно переменных в теории уравнений вида (1) фундаментальную роль играет форма порядка т:
относительно действительных параметров l1, ...,l п, к-рая наз. характеристической формой, соответствующей уравнению (1).
Когда F- линейная функция переменных р i1, ... in, уравнение (1) наз. линейным. Линейное уравнение с частными производными 2-го порядка можно записать в виде:
где Aij, Bj, С и f - заданные в области Dдействительные функции точки х. Уравнение (3) наз. однородным, если f(x)=0 для всех В случае уравнения (3) форма (2) является квадратичной:
с коэффициентами Aij, зависящими только от точки В каждой точке квадратичная форма Qпри помощи неособого аффинного преобразования переменных li=li(x1, ..., xn), i=1, ..., п, может быть приведена к канонич. виду
где коэффициенты a, i=1, . . ., п, принимают значения 1, -1, 0, причем число отрицательных коэффициентов (индекс инерции) и число нулевых коэффициентов (дефект формы) являются аффинными инвариантами. Когда все ai= 1 или все ai =-1, т. е. когда форма Q соответственно положительно или отрицательно определена (дефинитна), уравнение (3) наз. эллиптическим в точке Если один из коэффициентов aiотрицателен, а все остальные положительны (или наоборот), то уравнение (3) наз. гиперболическим в точке х. В случае, когда l,l<l<n-1, коэффициентов ai положительны, а остальные п- Iотрицательны, уравнение (3) наз. ультрагиперболическим. Если же хотя бы один из этих коэффициентов (но не все) равен нулю, то уравнение (3) наз. параболическим в точке х. Говорят, что в области Dсвоего задания уравнение (3) является уравнением эллиптического, гиперболического или параболического типа, если оно соответственно эллиптично, гиперболично или параболично, в каждой точке этой области. Эллиптическое в области Dуравнение (3) наз. равномерно эллиптически м, если существуют действительные числа k0 и k1 одинакового знака такие, что
для всех Когда в разных частях области D
уравнение (3) принадлежит к различным типам, то говорят, что оно является уравнением смешанного типа в этой области. Лапласа уравнение
теплопроводности уравнение
и волновое уравнение
являются типичными примерами линейных эллиптич., параболич. и гиперболич. уравнений 2-го порядка соответственно (подробнее см.Линейное гиперболическое уравнение и система, Линейное параболическое уравнение и система, Линейное эллиптическое уравнение и система).
Трикоми уравнение
относится к уравнениям смешанного типа в любой области плоскости переменных х 1, х 2, пересечение к-рой с осью х 2 = 0 не пусто (подробнее см. Смешанного типа уравнение с частными производными).
В случае линейного уравнения с частными производными порядка т
где L1- линейный дифференциальный оператор с частными производными порядка ниже т, форма (2)имеет вид
Если при фиксированном значении можно найти такое аффинное преобразование li=li(m1, ..., m п) i=1, ..., п, в результате к-рого полученная из (5) форма содержит лишь l,0<l<n, переменных m, то говорят, что уравнение (4) в точке хпараболически вырождается. При отсутствии параболич. вырождения и если конич. многообразие
не имеет действительных точек, кроме l1=0, ..., ln=0 то уравнение (4) в точке хназ. эллиптическими Уравнение (4) наз. гиперболическим в точкех, если в пространстве переменных l1,..., l п существует прямая d такая, что если принять ее за координатную прямую в новых переменных m1, . . ., mn, полученных аффинным преобразованием l1, ..., ln, то относительно координаты, изменяющейся вдоль d, преобразованное уравнение (6) имеет ровно тдействительных корней (простых или кратных) при любом выборе остальных координат m.
Аналогичным образом по характеру формы (2) происходит классификация по типам уравнения (1) и в нелинейном случае. Поскольку в этом случае коэффициенты формы (2) зависят, наряду с точкой х, от искомого решения и от его производных, классификация по типам имеет смысл лишь для этого решения. См. также Нелинейное уравнение с частными производными.
Когда Fпредставляет собой iV-мерный вектор F=(F1 , ...., FN )с компонентами
зависящими от и от M-мерных векторов
векторное равенство (1) наз. системой дифференциальных уравнений с частными производными относительно неизвестных функций u1, ..., иМ или относительно неизвестного вектора и=(u1, ..., и М). Максимальный порядок производных от искомых функций, входящих в данное уравнение системы, наз. порядком этой системы (уравнения). Когда M=N и порядок каждого уравнения системы (1) равен т, определитель
где
- квадратная матрица, представляет собой форму порядка Nm относительно действительных скалярных параметров l1, ...,l п и наз. характеристическим детерминантом системы (1). Классификация по типам системы (1) происходит по характеру формы (7) точно так же, как при рассмотрении одного уравнения порядка т. Фигурирующие в левой части уравнения (1) величины могут быть комплексными. Комплексное Д. у. с ч. п. очевидным образом заменяется системой Д. у. с ч. п.
Д. у. с ч. п. может вовсе не иметь решения. Однако встречающиеся в приложениях Д. у. с ч. п., как правило, имеют целые семейства решений. При выводе этих уравнений из общих законов, к-рым подчинены изучаемые явления природы, естественно возникают дополнительные условия, налагаемые на искомые решения. Центральное место в теории Д. у. с ч. п. занимают задачи отыскания именно таких регулярных решений, к-рые удовлетворяют этим условиям. Условия задач, к-рым должно удовлетворять искомое решение, существенно зависят от типа рассматриваемого уравнения.
Для эллиптич. уравнений обычно рассматриваются так наз. краевые задачи, к-рые, напр., в случае уравнения 2-го порядка в основном охватываются следующей постановкой: ищется регулярное в области Dрешение и(х)уравнения (1), удовлетворяющее условию
где S- граница области D, f и Н- заданные действительные функции, dst- элемент площади поверхности S, а под
при xОSпонимаются пределы соответствующих производных функции и(х), когда точка хизнутри области Dстремится к S.
В такой общей постановке задача (8) далека от своего сколько-нибудь полного решения. Сравнительно хорошо исследованы такие частные случаи этой задачи, какими являются тал наз. первая и вторая краевые задачи (см. Дирихле задача и Неймана задача )для линейных уравнений, удовлетворяющих условию равномерной эллиптичности.
В отличие от краевых задач для эллиптич. уравнений, в к-рых носителем данных является вся граница области, где ищется решение, для широких классов уравнений гиперболич. и параболич. типов носителями дополнительных данных могут служить определенным образом ориентированные незамкнутые поверхности пространства Е n, причем от них существенно зависит область определения искомого решения. К таким задачам относятся, напр., Коши задача с начальными данными, характеристическая задача Коши" Особо ставятся краевые задачи для уравнений смешанного типа. В теории Д. у. с ч. п. значительное внимание уделяется обширному классу смешанных задач. См. Смешанная задача для гиперболического уравнения и системы. Смешанная и краевая задачи для параболического уравнения и системы.
Задача считается в классич. смысле корректно (правильно) поставленной, если она имеет и притом единственное устойчивое решение. Задачи, не удовлетворяющие этим требованиям, до недавнего времени считались лишенными смысла. Начиная с 40-х гг. 20 в. широта диапазона математич. проблем физики, механики и техники заставила расширить не только понятие корректности постановок задач для Д. у. с ч. п., но и понятие самого решения. Были введены так наз. обобщенные решения. Наряду с вопросами существования и единственности точных решений тех или иных задач для Д. у. с ч. п. в приложениях значительную важность приобрели понятия в определенном смысле приближенных решений и фактическое построение таких решений.
Исторически одним из первых методов, позволяющих строить решения ряда задач для важных классов Д. у. с ч. п., является метод разделения переменных, или Фурье метод, к к-рому тесно примыкает метод интегральных преобразований (см. Фурье интеграл). От применения этого метода берет свое начало спектральная теория дифференциальных операторов.
Сравнительно позже был создан параметрикса метод, на основе к-рого построен потенциалов метод. Этот метод позволяет привлекать к исследованию краевых задач для эллиптич. уравнений аппарат интегральных уравнений. Далеко идущим развитием метода параметрикса являются методы теории функций комплексного переменного, успешно применяющиеся при исследовании эллиптич. уравнений с двумя независимыми переменными. См. Дифференциальное уравнение с частными производными;методы комплексного переменного.
Когда изучаемое Д. у. с ч. п. представляет собой уравнение Эйлера для многомерной задачи вариационного исчисления, часто пользуются вариационным методом. Вариационный метод весьма удобен в тех случаях, когда уравнение Эйлера является уравнением эллиптич. типа. См. также Дифференциальное уравнение с частными производными;вариационные методы решения.
Начиная с 30-х гг. 20 в. при исследовании Д. у. с ч. п. широко используются методы функционального анализа, среди к-рых центральное место занимают Шаудера метод и его дальнейшее развитие - метод априорных оценок. Эти методы позволяют сравнительно легко установить существование слабых решений и сильных решений как для линейных, так и для нек-рых классов нелинейных Д. у. с ч. п. См.Дифференциальное уравнение с частными производными;функциональные методы решения.
Среди методов, успешно приводящих к цели при построении приближенных решений Д. у. с ч. п., чаще всего применяются методы конечных разностей исчисления. См. также Гиперболического типа уравнение, численные методы решения; Параболического типа уравнение,численные методы решения; Эллиптического типа уравнение, численные методы решения.
|
|
1. Уравнение колебаний струны 1.1. Уравнение малых поперечных колебаний Уравнение колебаний струны относится к уравнениям гиперболического типа. Функция U(x,t) характеризует вертикальное перемещение струны.
а=const- зависит от упругости, жесткости, массы и т. д. Существуют следующие методы решения уравнения колебаний струны: Метод Даламбера (метод бегущих волн, метод характеристик); Метод Фурье (метод стоячих волн, метод разделения переменных). |
||
1.2. Метод Даламбера (метод бегущих волн, метод характеристик)
|
|
- уравнение колебаний струны. |
(1) |
Рассмотрим неограниченную струну и зададим начальные условия:
|
|
|
(2) |
где-функция, задающая форму струны в начальный момент времени,
|
-скорость точки струны в начальный момент. |
Уравнение решается в явном виде с помощью замены переменных:
, где
|
,-некоторая функция только переменной η, то есть не зависит от . |
|
Интегрируя это равенство по η при фиксированном ξ, получим:
.
Вернемся к старой переменной:
|
. |
(3) |
- описывает волну, бегущую направо.
Например, функция f имеет вид x-at=0, следовательно x=at, то есть “горб” движется направо со скоростью а.
- описывает волну, бегущую налево.
x+at=0, следовательно x=-at, то есть “горб” движется налево со скоростью а.
Функция (3) является общим интегралом уравнения (1). Теперь необходимо удовлетворить начальным условиям (2):
|
. |
(4) (5) |
Интегрируя (5), получим:
|
, где С=const. |
(6) |
Из равенств (4) и (6) находим
|
. |
(7) (8) |
Выражения (7), (8) подставляем в (3).
.
|
|
1.4. Метод Фурье (метод стоячих волн, метод разделения переменных) 1.4.1. Метод разделения переменных для струны, закрепленной на концах Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах. Итак, будем искать решение уравнения
удовлетворяющее однородным граничным условиям
и начальным условиям
Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Будем искать решение уравнения в виде
где X(x)- функция только переменного , T(t)- функция только переменного . Подставим (4) в уравнение (1), получим:
Чтобы функция (4) была решением уравнения (1), равенство (5) должно удовлетворяться тождественно, то есть для всех значений независимых переменных , . Правая часть равенства (5) является функцией только переменного x, а левая- только . Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части (5) при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, то есть
Из соотношения (6) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X(x) и T(t) .
Граничные условия (2) дают: . Отсюда следует, что функция X(x) должна удовлетворять дополнительным условиям
так как иначе мы имели бы T(t)≡0 и U(x, t)≡0, в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Таким образом, в связи с нахождением функции X(x) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях: найти такие значения параметра λ, при которых существуют нетривиальные решения задачи:
а также найти эти решения. Такие значения параметра называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи (10). Итак, найдем знак : 1 случай , например, .
Общее решение уравнения может быть записано в виде Граничные условия дают: 2 случай Пусть . При также не существует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (7) имеет вид то есть A=0 и B=0 и, следовательно, . 3 случай , например . Характеристическое уравнение имеет вид Общее решение уравнения: Граничные условия дают: , где n- любое целое число. Обозначим p через , .
определяемое с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же значениям соответствуют решения уравнения (8).
где и - произвольные постоянные. Возвращаясь к задаче (1) – (3), заключаем, что функции Обратимся к решению в общем случае. В силу линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений
также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (2). Начальные условия позволяют определить и . Потребуем, чтобы функция (13) удовлетворяла условиям (3):
Если функции и удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то
Подставив (15) в (13), мы удовлетворим краевым условиям и получим решение уравнения. |
Вывод уравнения. Струна – гибкая тонкая нить или проволока (струна фортепиано, скрипки, арфы). Будем считать, что она находится под действием сильного натяжения T0 и в состоянии равновесия без внешнего воздействия вытянута вдоль оси x. Если вывести струну из положения равновесия или подвергнуть действию внешней силы, она начнет колебаться, произвольная точка A в момент t займет положение (рис. 1). Будем рассматривать только малые поперечные колебания струны и считать, что они происходят в одной плоскости, т. е. все точки струны движутся вдоль оси y. Описать движение струны − значит задать функцию .
Рис.1
Обозначим через линейную плотность внешней силы, − линейную плотность струны, , здесь dm – масса элемента dx. Выделим произвольный кусочек струны, который в равновесии располагался между точкой A с координатой x и точкой B с координатой x+dx (рис. 2), и выпишем для него второй закон Ньютона*. Проекция суммы сил на ось y равна: . Благодаря малости колебаний жесткостью струны можно пренебречь и считать натяжение T0 постоянным, кроме того, , , в результате проекция суммарной силы равна:
.
Ускорение выделенного кусочка utt, его масса , следовательно,
. (1)
Мы получили уравнение малых вынужденных поперечных колебаний струны в общем случае. Уравнение (1) – линейное неоднородное ДУ второго порядка с переменными коэффициентами.
Рис.2
Если струна однородна, , то, обозначив , , получим ДУ с постоянными коэффициентами
. (2)
Именно его обычно называют уравнением вынужденных колебаний струны. При отсутствии внешнего воздействия, f(x,t)=0, приходим к уравнению свободных колебаний струны (однородному ДУ):
. (3)
При выводе (2) мы предполагали, что внешняя сила распределена вдоль струны непрерывно; иногда приходится иметь дело с силой P(t), сосредоточенной в некоторой точке C (рис. 3). Второй закон Ньютона для элемента струны dx, содержащего точку C, имеет вид
,
причем левая часть равенства стремится к нулю при бесконечном уменьшении dx. Обозначив пределы при стремлении x к C слева и справа, соответственно, через и , приходим к соотношению
. (4)
Рис.3
Видно, что непрерывная функция u(x,t) имеет в точке C угловую точку, т. е. скачок производной.
Замечание. При выводе уравнений колебаний мы пренебрегали сопротивлением воздуха; если его учесть, в уравнениях появится слагаемое с первой производной , так как сила сопротивления пропорциональна скорости.
Начальные и граничные условия. ДУ с обыкновенными и, тем более, с частными производными имеют, вообще говоря, бесчисленное множество решений. При изучении ОДУ говорилось об общем решении такого уравнения, содержащем произвольные постоянные; при различных значениях этих постоянных возникают различные частные решения (возможно еще особое решение). Чтобы фиксировать конкретное решение ОДУ, надо задать дополнительные условия. Для ОДУ второго порядка это могут быть значения функции и ее первой производной в некоторой точке (задача Коши*) или значения функции в двух точках (краевая задача). Аналогично обстоит дело с ДУ в частных производных, но теперь общее решение содержит не произвольные постоянные, а произвольные функции. (Впрочем, задача построения общего решения часто и не ставится.)
Колебания ограниченной струны длины l, начавшиеся в момент времени t0, описываются функцией u(x,t), где , . Концы струны могут быть закреплены в положениях равновесия (рис. 4, а), тогда на концах промежутка должны выполняться условия
; (5а)
если же концы струны движутся по определенным законам, условия примут вид
. (6а)
а) б)
Рис.4
Свободными называют концы струны, прикрепленные к невесомым колечкам, которые без трения скользят по стержням, расположенным при x = 0 и x = lвдоль оси y (рис. 4, б). В этом случае
, (5б)
так как y-составляющие сил, действующих со стороны струны на колечки, должны быть равны нулю. Если к колечкам приложены внешние силы и , (5б) заменится на
, (6б)
где , .
Возможен также случай упруго закрепленных концов (рис.4, в), когда к колечкам приложены упругие силы, стремящиеся вернуть концы в равновесные положения. Эти силы подчиняются закону Гука*: . Суммы упругой силы и y-составляющей силы натяжения струны на каждом конце должны обращаться в нуль, поэтому
. (5в)
Если точка упругого закрепления перемещается по определенному закону, (5в) переходит в
. (6в)
Определение. Условия на границе (5) или (6) называются граничными, краевыми или предельными; (5а) и (6а) – условия I рода, (5б) и (6б) – II рода, (5в) и (6в) − III рода. Условия (5) – однородные, (6) – неоднородные. Все перечисленные условия линейны.
Условия «б» и «в» для струны могут показаться искусственными. Но в других физических задачах, также сводящихся к уравнению струны, например при изучении продольных колебаний в стержне или распространении звука в газовой трубе, естественными оказываются как раз эти условия.
ГУ еще не задают процесс колебаний струны однозначно, нужно указать форму струны и распределение скоростей в некоторый момент времени t0 (принимаемый за начальный):
(7)
– начальные условия или данные Коши.
Начальные и граничные условия вместе однозначно определяют решение уравнения струны.
Формулировка I начально-краевой задачи: найти функцию , , , удовлетворяющую:
(8)
Аналогично ставятся II и III НКЗ. Если граничные условия при x=0 и x=l относятся к разным типам, такие задачи называются смешанными. В дальнейшем для простоты считаем, что начало отсчета времени совпадает с началом колебаний, т. е. .
Частные случаи.
1. Влияние ГУ в некоторой точке, достаточно удаленной от границ, скажется через большой промежуток времени (потом докажем это строго), следовательно, до некоторого момента времени влиянием границ можно пренебречь и рассматривать задачу для неограниченной области, так называемую задачу Коши:
(9)
2. Если точка находится вблизи одной границы, а влиянием другой можно пренебречь, приходим к задаче на полуоси:
(10)
3. Если начальный момент достаточно удален, его влияние в реальной системе ослабевает (благодаря трению); такая задача без начальных условий характерна при периодическом граничном режиме:
(11)
Редукция общей задачи. Благодаря линейности уравнения и всех начальных и граничных условий можно свести решение общей НКЗ к решению нескольких более простых задач. Рассмотрим редукцию на примере I НКЗ (8).
Пусть функции , , являются решениями (8) с неоднородностями и дополнительными условиями . Тогда имеет место суперпозиция решений, т. е. функция удовлетворяет задаче
Как следствие, решение общей НКЗ (8) может быть представлено в виде суммы
,
где – решения следующих частных НКЗ:
(12)
(13)
(14)
Упражнение 1. Пусть на струну действуют постоянные во времени внешние силы с линейной плотностью F(x). Ее положение равновесия определится уравнением (1), в котором :
.
Найти форму однородной струны в поле силы тяжести, , если ее концы подвешены на одной высоте.
Ответ: .
Упражнение 2. Показать, что энергия механических колебаний струны с закрепленными концами равна:
, (15)
в частности, для однородной струны
()
Упражнение 3. Вывести уравнение продольных колебаний стержня или струны:
; (16)
здесь – объемная плотность и - модуль Юнга* материала стержня. Для однородного стержня, , получаем уравнение струны с другой постоянной:
. ()
Построение общего решения. Функция u(x,t), описывающая свободные колебания бесконечной струны, должна удовлетворять уравнению (3) и НУ (7), заданным на всей вещественной оси:
(17)
Мы построим самое общее решение уравнения (3) в такой форме, что легко будет удовлетворить начальным условиям задачи (17).
Введем новые независимые переменные
или .
Используя правило дифференцирования сложных функций, получим
;
.
Уравнение (3) в новых переменных имеет вид
или .
Следовательно, не зависит от , т. е. является функцией только : . Интегрируя, получим
(постоянная при интегрировании по может зависеть от ). Первое слагаемое является произвольной функцией , второе – произвольной функцией : . В исходных обозначениях
, (18)
где и – произвольные функции своих аргументов. Решение (18) называется решением Даламбера, это самое общее решение уравнения (3), содержащее две произвольные функции.
Оба слагаемых в (18) допускают простую физическую интерпретацию. Пусть , тогда . Если наблюдатель вышел в момент t = 0 из точки x0 и передвигается вдоль оси x направо со скоростью c, его координата меняется по закону . Для такого наблюдателя смещение струны остается постоянным. Следовательно, первое слагаемое описывает возмущение, которое движется направо со скоростью c, не меняя свою форму, так называемую прямую волну (рис. 5). Второе слагаемое дает обратную волну, которая движется со скоростью c налево. Общее решение уравнения струны возникает при наложении прямой и обратной волн.
Рис. 5
Решение задачи Коши. Подберем произвольные функции и так, чтобы u(x,t) удовлетворяла НУ задачи (17). Подстановка (18) в НУ дает
.
Продифференцировав первое равенство, находим и . Интегрированием получим
, .
Поскольку , . Подставляя выражения для и в (18), получаем решение Даламбера задачи Коши (17):
. (19)
Если функция дважды непрерывно дифференцируема и функция один раз непрерывно дифференцируема на всей вещественной оси, решение u(x,t), задаваемое формулой (19), будет иметь непрерывные первые и вторые производные. Такое решение задачи называется классическим.
Упражнение 4. Проверить прямой подстановкой, что при сформулированных выше условиях на и , формула (19) дает решение задачи Коши (17), т. е. справедлива теорема существования.
Замечание. Поскольку всякое решение задачи Коши, если оно существует, представимо в виде (19), справедлива теорема единственности.
В реальных ситуациях начальными данными могут оказаться функции, не удовлетворяющие указанным требованиям гладкости (например, в начальный момент струна имеет форму ломаной линии). Тем не менее, разумно считать, что формула (19) все равно дает решение задачи (17), хотя u(x,t) и не имеет всюду непрерывные производные до второго порядка. Такое решение называется обобщенным. Теория обобщенных функций и строгое определение обобщенного решения выходят за рамки данного курса.
Физическая интерпретация решения Даламбера
1. Рассмотрим решение в точке в момент времени ; оно зависит от начального смещения в двух точках и и от начальных скоростей на промежутке . Этот интервал вырезается на оси xпрямыми , которые называются характеристиками уравнения (3) для точки , рис. 6. Начальные условия на остальной струне на решение в этой точке вообще не влияют. Именно поэтому в пределах некоторого времени можно не учитывать влияние удаленных концов струны на движение ее среднего участка.
Рис.6
2. Пусть начальные скорости точек струны равны нулю, , струну отклонили и плавно отпустили, тогда
.
Предположим, что начальное возмущение отлично от нуля лишь в конечном промежутке ; проведем через точки и характеристики, в результате полуплоскость (x,t) разобьется на шесть областей (рис. 7). Область I соответствует точкам, до которых в данный момент времени доходят и прямая, и обратная волны; II − только обратная, III – только прямая. До областей IV и V к данному моменту времени возмущение еще не дошло; до точек VI возмущение успело дойти и пройти через них, теперь они покоятся в равновесном положении.
Можно описать эту ситуацию несколько иначе: будем наблюдать за возмущением в некоторой точке . До момента она покоится, после момента возмущение в точке исчезает; и – моменты прохождения переднего и заднего фронтов через точку .
3. Пусть начальные отклонения точек струны равны нулю, , струну толчком вывели из положения равновесия, в этом случае
, где ,
т. е. по-прежнему имеем дело с распространением прямой и обратной волн. Если лишь в конечном промежутке , можно повторить рассуждения предыдущего пункта. Для областей I – V выводы совпадают; в области VI
.
Рис.7
Таким образом, действие начального импульса приводит к тому, что с течением времени точки струны сдвигаются на одинаковый отрезок и после прохождения заднего фронта остаются неподвижными в этом новом положении.
Упражнение 5. Пусть u(x,t) – решение задачи Коши (17). Выберем в качестве начального момент времени и рассмотрим задачу Коши для уравнения (3) с начальными условиями
. (20)
С помощью формулы Даламбера следует показать, что решение задач Коши (17) u(x,t) и (3, 20) совпадают при . Т. е. можно произвольный момент времени выбрать за начальный, взяв в качестве НУ возмущение, достигнутое к этому моменту. Именно это утверждает принцип Гюйгенса*.
Задача Коши для вынужденных колебаний бесконечной струны. Вынужденные колебания бесконечной струны описываются задачей (9):
Решение этой задачи можно найти как сумму решений задачи о колебаниях свободной струны (17) и задачи о вынужденных колебаниях струны, в начальный момент невозмущенной:
;
здесь - решение задачи (17), задаваемое формулой Даламбера; определяется задачей
. (21)
Мы могли бы построить сейчас решение (21) в виде интегральной формулы; метод, который при этом используется, будет продемонстрирован в дальнейшем, при решении аналогичной задачи Коши для многомерного волнового уравнения. Там мы вернемся к решению (21), а сейчас объявим результат:
Метод Фурье (метод стоячих волн, метод разделения переменных)
1.4.1. Метод разделения переменных для струны, закрепленной на концах
Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах.
Итак, будем искать решение уравнения
|
, |
(1) |
удовлетворяющее однородным граничным условиям
|
U(0, t) = U(l, t) = 0 |
(2) |
и начальным условиям
|
. |
(3) |
Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Будем искать решение уравнения в виде
|
, |
(4) |
где X(x)- функция только переменного ,
T(t)- функция только переменного .
Подставим (4) в уравнение (1), получим:
|
. |
(5) |
Чтобы функция (4) была решением уравнения (1), равенство (5) должно удовлетворяться тождественно, то есть для всех значений независимых переменных , . Правая часть равенства (5) является функцией только переменного x, а левая- только .
Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части (5) при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, то есть
|
. |
(6) |
Из соотношения (6) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X(x) и T(t) .
|
(7) (8) |
Граничные условия (2) дают:
.
Отсюда следует, что функция X(x) должна удовлетворять дополнительным условиям
|
X(0) =X(l) =0, |
(9) |
так как иначе мы имели бы T(t)≡0 и U(x, t)≡0, в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения.
Таким образом, в связи с нахождением функции X(x) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях: найти такие значения параметра λ, при которых существуют нетривиальные решения задачи:
|
(10) |
а также найти эти решения. Такие значения параметра называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи (10).
Итак, найдем знак :
1 случай , например, .
Запишем характеристическое уравнение для (10):
.
Общее решение уравнения может быть записано в виде
.
Граничные условия дают:
,
то есть и .
Но в рассмотренном случае - действительно и положительно, так что .
Поэтому , и, следовательно, , а мы ищем нетривиальное решение.
2 случай Пусть .
При также не существует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (7) имеет вид
.
Граничные условия дают:
то есть A=0 и B=0 и, следовательно, .
3 случай , например .
Характеристическое уравнение имеет вид
.
Общее решение уравнения:
.
Граничные условия дают:
.
Если , то . Поэтому
, где n- любое целое число. Обозначим p через ,
.
|
- нетривиальное решение задачи (10), |
(11) |
определяемое с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же значениям соответствуют решения уравнения (8).
|
, |
(12) |
где и - произвольные постоянные.
Возвращаясь к задаче (1) – (3), заключаем, что функции
являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (3) и представимыми в виде произведения (4) двух функций.
Обратимся к решению в общем случае. В силу линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений
|
(13) |
также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (2).
Начальные условия позволяют определить и . Потребуем, чтобы функция (13) удовлетворяла условиям (3):
|
. |
(14) |
Если функции и удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то
|
. |
(15) |
Подставив (15) в (13), мы удовлетворим краевым условиям и получим решение уравнения.
1.4.2. Неоднородное уравнение струны (вынужденные колебания струны)
Найти решение неоднородного уравнения
|
, |
(1) |
где заданная функция.
Эти вынужденные колебания общего типа можно представить себе как результат сложения двух колебательных движений, из которых одно есть чисто вынужденное колебание, то есть такое, которое совершается по действием силы, причем струна в начальный момент не выведена из состояния покоя, другое есть свободное колебание, которое струна совершает без действия силы, только вследствие начального возмущения. Аналитически это приводит к введению вместо U двух новых функций V и W.
Ищем решение в виде суммы двух функций U(x,t)=V(x,t)+W(x,t) одна из которых удовлетворяет однородному уравнению и неоднородным начальным условиям, например, функция , решение которого мы рассмотрели в разделе 1.4.1, а вторая удовлетворяет неоднородному уравнению и однородным начальным условиям.
.
Рассмотрим систему (3). и разложим в ряд по синусам.
Разложим функцию f(x,t) в ряд Фурье по синусам на отрезке :
|
, |
(4) |
|
, |
(5) |
,
Как и в случае свободных колебаний, мы будем искать функцию W в виде ряда:
|
. |
(6) |
Решим уравнение системы (3). Для этого найдем производные:
,
|
, |
(7) |
|
, |
(8) |
Подставим выражения (4), (7), (8) в уравнение (3) и решим его.
|
. |
(9) |
Необходимо удовлетворить начальным условиям:
|
. |
(10) |
Для определения мы получили обукновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Начальные условия дают:
откуда следует:
Эти дополнительные условия полностью определяют решение уравнения (9).
-решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями и
- решение однородного уравнения с заданными начальными условиями. Таким образом, искомое решение запишется в виде
.
|
|
2. Уравнение теплопроводности 2.1. Метод разделения переменных для конечного стержня Уравнение теплопроводности относится к уравнениям параболического типа. Уравнение теплопроводности имеет вид: , - температура стержня в точке в момент времени , Рассмотрим однородный стержень длины , теплоизолированный с боков и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой (см. рисунок 1). Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности необходимо к уравнению присоединить начальные и граничные условия. Для задач этого типа задается только одно начальное условие, а именно, начальная температура в начальный момент времени. Итак,
Краевые условия:
где -начальное распределение температуры в стержне. Концы стержня закреплены в термостате. В данном случае тепловая энергя стержня не сохраняется, так как система не является изолированной. Будем искать решение в виде произведения двух функций
Необходимо определить знак . 1 случай: Пусть . Рассмотрим уравнение (5):
Это решение не подходит, так как если ,то , а поэтому нарушается второй закон термодинамики, то есть происходит передача энергии от холодного к горячему. Докажем это математически, подставив начальные условия (6) в (7): Значит или , но тогда мы получаем тривиальное решение и не можем удовлетворить начальным условиям. Следовательно, при уравнение (1) имеет только нулевое решение. 2 случай: Пусть , тогда , следовательно,. 3 случай: Пусть и , тогда . Характеристическое уравнение имеет вид: Общее решение может быть записано в виде:
Подставим краевые условия.
Существуют нетривиальные решения уравнения (5), равные
Этим значениям соответствуют решения уравнения (4)
Удовлетворим начальным условиям (2): .
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2.2. Неоднородное уравнение теплопроводности Рассмотрим неоднородное уравнение теплопроводности:
с начальным условием
и граничным условием
Будем искать решение этой задачи в виде ряда Фурье по собственным функциям, соответствующей однородной краевой задачи:
считая при этом t параметром. Для нахождения функции надо определить функции .
где
Подставляя представление (4) для решения в исходное уравнение (1) имеем:
Пользуясь начальным условием для
Решая обыкновенное дифференциальное уравнение (7) с нулевым начальным условием (8), находим:
Воспользуемся выражением (6) для и преобразуем найденное решение (10):
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2.3. Уравнение теплопроводности для бесконечного стержня Рассмотрим задачу с начальными данными на бесконечной прямой. А именно, найдем ограниченную функцию, определенную в области , удовлетворяющую уравнению теплопроводности
и начальному условию
где функция задает начальное распределение температуры. Сделаем преобразование Фурье по переменной от уравнения и начального условия
Чтобы получить итоговое решение, нужно провести обратное преобразование Фурье .
Эта функция дает решение уравнения теплопроводности с заданным начальным условием. |
|||||||||||||||||||||
|
|
2.4. Уравнение теплопроводности для стержня, излучающего с боковой Рассмотрим конкретную задачу:
Наличие слагаемого() означает, что с боковых стенок стержня идет излучение. Длину Применим метод разделения переменных. , причем . Пусть
Рассмотрим уравнение (5). Напишем характеристическое уравнение:
Учитывая краевые условия имеем , Найдем решение характеристического уравнения для уравнения (4):
Общее решение задачи имеет вид: Удовлетворим условию (2):
Два раза проинтегрируем по частям: ,
|
2.5. Уравнение теплопроводности с неоднородными краевыми условиями
Рассмотрим уравнение теплопроводности с неоднородными краевыми условиями на конкретном примере.
Найти решение уравнения
|
(1) |
с начальными и краевыми условиями:
|
. |
(2) (3) |
Сделаем замену следующим образом: .
.
Указанную замену функции сделали именно для получения нулевых краевых условий.
Начальное условие (2) дает:
|
(4) |
то есть изменилось начальное условие.
Далее задача решается аналогично случаю с однородными краевыми условиями, которая была рассмотрена в разделе 2.1 этой главы.
|
(5) |
Удовлетворим начальному условию (4):
Подставив в выражение (5), получим
,
-решение задачи.
С физической точки зрения приведенное краевое условие означает, что стержень нагревается только с одного конца. При больших временах полученное решение стремится к линейной функции.
|
Опр.1 |
3. Уравнение Лапласа 3.1. Введение При исследовании стационарных процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением этого типа является Уравнение Лапласа
Функция U называется гармонической в области T, если она непрерывна в этой области вместе со своими производными до 2-го порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа. При изучении свойств гармонических функций были разработаны различные математические методы, оказавшиеся плодотворными и в применении к уравнениям гиперболического (например, уравнение колебаний струны) и параболического типов (например, уравнение теплопроводности). Мы будем искать решение краевых задач для простейших областей методом разделения переменных. Решение краевых задач для уравнения Лапласа может быть найдено методом разделения переменных в случае некоторых простейших областей (круг, прямоугольник, шар, цилиндр и др.). Рассмотрим некоторые из них. |