Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
(краткие теоретические сведения)
Сила тока. Плотность тока
Электрическим током называется упорядоченное движение электрических зарядов. Конвекционным током называют движение зарядов, связанное с перемещением заряженных тел в пространстве. Ток проводимости в веществе осуществляется свободными зарядами (носителями тока) - электронами в металлах, электронами и дырками в полупроводниках, ионами в электролитах. За направление тока принимается направление упорядоченного движения положительных зарядов. Электрический ток называется постоянным, если упорядоченное движение носителей тока стационарно. Линиями тока называют геометрические линии, касательные, в каждой точке которых совпадают со скоростью упорядоченного движения носителей.
Заряд, протекающий за время через элементарную площадку внутри проводника в направлении нормали , определяется средней скоростью свободных зарядов (дрейфовой скоростью) выражением:
,
где - заряд одного носителя тока, - их концентрация, а
- плотность тока. Силой тока называется заряд, проходящий через сечение проводника в единицу времени:
,
где интегрирование проводится по поперечному сечению. Электрический ток называется постоянным, если .
Изменение заряда внутри произвольной замкнутой поверхности равно . В локальной форме это соотношение, выражающее закон сохранения электрического заряда, принимает вид . Для постоянного тока = 0, т.е. линии тока непрерывны.
Упражнение 1
Может ли стационарная плотность тока описывать распределение постоянного тока.
Ответ.
Для постоянного тока условие= 0 должно выполняться для любой замкнутой поверхности, или в локальной форме . В нашем случае = и стационарное распределение плотности тока не соответствует постоянному току.
Закон Ома в локальной форме.
Для поддержания тока в веществе на свободные заряды, из-за наличия сопротивления их движению, должна действовать постоянная сила не электростатической природы, которую можно характеризовать напряженностью . Если такая сила исчезает, то практически мгновенно упорядоченное движение зарядов прекращается. Не смотря на то, что при протекании тока на каждый носитель действует сила, скорость упорядоченного движения (дрейфовая скорость) из-за действия механизма сопротивления остается постоянной и мощность, развиваемая этой силой , выделяется в форме тепловой энергии. При не очень больших значениях величины плотность тока в изотропных проводниках, как следует из опыта, пропорциональна :
,
где - удельная электропроводность вещества, - удельное сопротивление. Из закона сохранения заряда следует, что если в однородном проводнике плотность распределения заряда не меняется,, то линии напряженности непрерывны, а сами заряды могут находиться только на поверхности проводника, т.к. (.
Закон Ома для однородного участка проводника.
Если на участке цепи протекание тока обеспечивается только электростатическим (т.е. кулоновским) полем , то такой участок называется однородным и электрическое поле может быть описано распределением потенциала . При этом сила тока на однородном участке проводника пропорциональна разности потенциалов на концах этого участка (закон Ома для однородного участка цепи). В самом деле:
Величина называется сопротивлением участка и измеряется в Омах (1 Ом = В/А). При выводе было учтено, что , поэтому, т.е. направление тока соответствует направлению от сечения 1 к сечению 2 проводника. Для однородного цилиндрического проводника постоянного сечения . Таким образом
Сторонние силы. ЭДС.
Хотя на отдельном участке цепи ток может поддерживаться электростатическими силами, полная работа этих сил в замкнутой цепи равна нулю. Следовательно, для компенсации тепловых потерь, вызывных сопротивлением протеканию тока, в цепи должны действовать сторонние силы неэлектростатической природы, полная работа которых отлична от нуля, т.е. должны присутствовать источники тока. Эти силы могут иметь разную (химическую, электромагнитную, фотоэлектрическую, радиоактивную и т.д.) природу и их действие на свободные заряды описывается полем напряженности сторонних сил . Тогда работа сторонних сил по переносу заряда пропорциональна величине самого заряда:
,
где 12 называют электродвижущей силой источника (ЭДС) на участке 12. Величина ЭДС является алгебраической величиной, знак которой определяется соответствием направлением обхода 12 и направлением действия сторонних сил (они действуют от отрицательной обкладки источника к цепи положительной). Мощность сторонних сил, развиваемая на участке цепи 12 равна
Закон Ома для неоднородного участка цепи.
На неоднородном участке цепи на свободные заряды действуют как электростатические, так и сторонние силы. Локальный закон Ома принимает вид
,
а закон Ома для неоднородного участка цепи запишется как:
, или
,
здесь - сопротивление всего участка, включая и внутреннее сопротивление источника ЭДС. Работу всех сил по переносу единичного заряда от сечения 1 к сечению 2 и равную называют напряжением на участке цепи (для однородного участка напряжение равно разности потенциалов). Для любого участка с учетом алгебраических знаков справедливо:
Тепловое действие тока. Закон Джоуля-Ленца.
При протекании тока по проводнику, работа, совершаемая силами над свободными зарядами, полностью переходит в тепловую энергию. Объемная плотность тепловой мощности тока равна работе сил над зарядами в единице объема за единицу времени:
.
Тепловую мощность на участке цепи найдем, суммируя объемную мощность по всему объему участка проводника:
.
Это соотношение называется законом Джоуля-Ленца для неоднородного участка цепи.
Закон Ома для неразветвленной цепи.
В неразветвленной замкнутой цепи , поэтому, суммируя напряжения на всех участках цепи , получим:
.
Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа.
Разветвленная цепь общего вида представляет собой совокупность неразветвленных участков, концы которых соединяются в узлах. В любом сечении проводника в пределах отдельного участка сила тока одна и та же. Значение же силы тока в разных участках, вообще говоря, различны из-за ответвлений тока в узлах соединяющих соседние участки. Для нахождения токов в различных участках обозначим их как неизвестные величины и зададим их направления произвольным образом (т.к. заранее истинные направления, как и величины токов неизвестны). Справедливы следующие утверждения:
Первое правило Кирхгофа. Алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в каждом узле, равна нулю:
Сумма сил токов, втекающих в узел, должна равняться сумме сил токов вытекающих из узла, т.к. в противном случае в силу закона сохранения заряда в узле накапливался бы электрический заряд, приводя к изменению электрического поля в проводниках, что не совместимо с постоянством токов.
Второе правило Кирхгофа. Сумма напряжений вдоль любого замкнутого контура цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре:
.
Это соотношение обосновывается так же, как и для неразветвленной цепи, если учесть, что токи на различных участках замкнутого контура могут быть разными как по величине так и по направлению. Согласование их знаков проводят, вводя для каждого контура единое направление обхода (величина тока (или ЭДС) считается положительной, если ее направление совпадает с выбранным направлением обхода контура).
Можно показать, что число независимых уравнений для узлов и контуров всегда достаточно для решения системы уравнений относительно неизвестных токов. Если найденные значения сил токов положительные, ток на соответствующих участках течет в направлении выбранного обхода контура, если отрицательные - против.
Электрический ток при зарядке и разрядке конденсатора.
Рассмотрим процессы зарядки и разрядки конденсаторов в качестве упражнения.
Упражнение 2.
Заряд сферического конденсатора в начальный момент времени равен q0. Как будет меняться со временем заряд q(t) конденсатора, если между его обкладками находится слабо проводящее вещество с удельной проводимостью l и диэлектрической проницаемостью e.
Ответ: Изменение заряда со временем q(t) обусловлено его утечкой через проводящую диэлектрическую среду между его обкладками. Ток утечки определяет быстроту изменения заряда и, в свою очередь, определяется разностью потенциалов на обкладках конденсатора . Разность потенциалов определяется зарядом на обкладках по соотношению . Откуда следует:
.
Разделяя переменные, получим дифференциальное соотношение:
,
интегрирование, которого по времени в пределах от до и по заряду в пределах от до приводит к выражению:
Заметим, что наше рассмотрение носило общий характер и справедливо для описания процесса разрядки любого конденсатора. Для сферического конденсатора , а , где и - радиусы внешней и внутренней обкладок конденсатора. Окончательно получим:
Отметим еще раз, что окончательный ответ не зависит от геометрических параметров конденсатора и описывает процесс разрядки произвольного конденсатора с однородными свойствами среды между обкладками.
Упражнение 3.
Конденсатор емкости C подключили через сопротивление R к источнику постоянного напряжения U0. Через сколько времени напряжение на конденсаторе станет U = U0?
Ответ: Схема процесса зарядки конденсатора от источника напряжения показана на рисунке. Ток зарядки будет увеличивать заряд на обкладках конденсатора по закону . При этом напряжение равно сумме напряжений на конденсаторе и сопротивлении . Исключая ток из этих выражений, получим зависимость изменения напряжения на конденсаторе в виде:
. Интегрируя методом разделения переменных, получим:
,
Полученный результат, представим в виде:
,
график которого изображен на рисунке.
Время, спустя которое напряжение на конденсаторе станет равным , равно:
.
Упражнение 4.
Покажите, что при зарядке конденсатора через сопротивление от источника с электродвижущей силой половина работы, совершаемой источником, идет на сообщение энергии конденсатору и половина на нагревание сопротивления.
Ответ: В каждый момент времени процесса зарядки согласно закону Ома для замкнутой цепи ЭДС источника равна сумме падения напряжения на сопротивлении и напряжения на конденсаторе:
,
а мощность источника равна сумме мощности выделения джоулева тепла и мощности, идущей на увеличения энергии конденсатора:
Работа источника по зарядке конденсатора , таким образом, равна сумме выделившегося в процессе зарядки джоулева тепла и энергии заряженного конденсатора
.
Учитывая, что , получим:
9. Электрический ток
(примеры решения задач)
Сила Тока. Плотность тока
Пример 9.1.
Найдите суммарный импульс электронов в прямом проводе длиной L , по которому течет ток I . Масса электрона m .
Решение.
Суммарный импульс электронов равен импульсу одного электрона умноженному на число электронов в проводе , т.е. . Из определения плотности тока найдем, что, а . Для суммарного импульса получим . Учитывая, что, окончательно получим .
Пример 9.2.
В цилиндрическом проводнике с поперечным сечением радиуса R вектор плотности тока параллелен оси проводника, а его модуль зависит о расстояния r до этой оси по закону , где j0 – известная постоянная. Найдите силу тока в проводнике.
Решение.
Сила тока через элементарную поверхность радиуса и ширины , расположенную в плоскости перпендикулярной оси проводника, равна . Суммируя элементарные токи по всей поверхности поперечного сечения, найдем
.
Пример 9.3.
Металлический шар радиуса a окружен концентрической тонкой металлической оболочкой радиуса b. Пространство между этими электродами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением r. Найдите сопротивление межэлектродного промежутка. Рассмотрите случай .
Решение.
Способ 1: Представим, что шар и оболочка заряжены зарядом соответственно. Через слабо проводящую среду, заполняющую пространство между ними, потечет ток разрядки. В силу сферической симметрии распределения зарядов распределение плотности тока будет обладать такой же симметрией, т.е.. Поэтому полный ток утечки через концентрическую сферическую поверхность радиуса равен и не зависит от . Напряженность электрического поля в проводящем пространстве будет . Соответствующее напряжение на проводящих обкладках равно:
Для величины , получим . Если проводящая среда занимает все пространство , то ее сопротивление равно .
Способ 2: Представим ток сквозь любую замкнутую поверхность окружающую металлический шар как поток поля вектора плотности тока в виде:
,
где - заряд металлического шара (- заряд окружающей сферической оболочки). Разность потенциалов между заряженными поверхностями шара и оболочки равна . Величина сопротивления равная отношению напряжения к току, как и в первом способе решения равна .
Способ 3: Разобьем сферически симметричное пространство проводящей среды на элементарные сферические слои концентрические с металлическими электродами. Сопротивление всей среды при этом разобьется на последовательно соединенные элементарные сопротивления, величина которых равна . Полное сопротивление межэлектродного пространства равно:
.
Пример 9.4.
Два металлических шара одинакового радиуса a находятся в однородной слабо проводящей среде с удельным сопротивлением r. Найдите сопротивление среды между шарами при условии, что расстояние между ними значительно больше a.
Решение.
Представим процесс протекания тока между шарами так, как на рисунке. При этом сопротивление всей среды равно последовательно соединенным сопротивлениям, которые получены в предыдущей задаче и равны.
Поэтому полное сопротивление среды .
Закон Ома для однородного участка цепи
Пример 9.5. Между пластинами плоского конденсатора находится неоднородная слабо проводящая среда, удельное сопротивление которой изменяется по линейному закону, в направлении перпендикулярном к пластинам. Отношение максимального значения к минимальному равно . Ширина зазора d. Найти объемную плотность заряда в зазоре при напряжении на конденсаторе U.
Решение.
Плотность электрического заряда определяется дивергенцией вектора напряженности электрического поля. Так как вектор и вектор плотности тока направлены вдоль х, плотность заряда
запишется как . Записывая дифференциальный закон Ома в виде (где j-плотность тока, которая, в силу его постоянства, является однородной величиной по х), получим:
Интегрируя дифференциальный закон Ома в пределах от х=0 до х=d , получим соотношение между плотностью тока и величиной напряжения:
U =
С учетом которого, выражение для плотности заряда примет вид
Закон Ома для неоднородного участка цепи
Пример 9.6.
Найти разность потенциалов между точками 1 и 2 схемы, если и В. Внутренние сопротивления источников тока пренебрежимо малы.
Решение.
Искомую разность потенциалов, найдем, применяя закон Ома для неоднородного участка цепи, предварительно определив ток I. Зададим положительное направление обхода контура - направление по часовой стрелке. Записав закон Ома для нашего замкнутого контура , найдем:
(Напомним, что величина ЭДС принимается положительной, если при обходе вдоль контура мы движемся от отрицательного электрода к положительному, и отрицательной, в противоположном случае).
Закон Ома для неоднородного участка цепи между точками 1 и 2 (берем верхнюю половину контура) дает:
(еще раз обращаем внимание на правильное согласование знаков).
Исключая ток из написанных выше уравнений, получим искомую разность потенциалов:
,
численное значение, которой равно:
.
Замечание. Отметим, что если (как в условии задачи) направление тока совпадает с выбранным направлением обхода контура, в противном случае (когда ) величина тока отрицательна, т.е. направление тока противоположно направлению обхода. При этом, независимо от соотношения между величинами и, потенциал в точке 1 всегда меньше потенциала в точке 2.
Пример 9.7
На рисунке изображен фрагмент электрической цепи. Известны ЭДС источника = 20 В, его внутреннее сопротивление r = 1 Ом, сопротивление резистора R = 10 Ом и токи I1 = 2 А, I2 = 3 А. Определите электрическое напряжение .
Решение:
Применяя закон Ома для неоднородного участка цепи , запишем с учетом знака всех алгебраических величин:. Для разности потенциалов получим:
В.
Пример 9.7
На рисунке изображен фрагмент электрической цепи. Известны ЭДС источника = 20 В, его внутреннее сопротивление r = 1 Ом, ток I = 2 А, емкость конденсатора C = 1 мкФ и его заряд q = 10 мкКл. Определите электрическое напряжение .
Решение:
Вводя потенциал узла , запишем для участков заданного фрагмента:
,
Складывая, левые и правые стороны полученных выражений найдем:
В.
Закон Ома для замкнутой цепи
Пример 9.8.
Для определения ЭДС и внутреннего сопротивления r источника тока собрали цепь по схеме, приведенной на рисунке. Перемещая контакт реостата полу чили множество пар показаний U вольтметра и I амперметра. По этим данным построили график, показанный на рисунке. Линия графика пересекает оси абс цисс и ординат соответственно в точках и .Найдите вели чины и r. Считайте сопротивление вольтметра очень большим, а сопротивле ние амперметра – пренебрежимо малым.
Решение
Согласно условию вольтметр и амперметр являются идеальными (т.е. не влияют на протекание тока). Вводя величины переменного сопротивления реостата , запишем закон Ома для полной цепи: . Показание вольтметра при каждом положении движка реостата равно . Для зависимости отполучим линейное соотношение:
,
Привязка этой линейной зависимости к графику дает:
при , ,
при , .
Пример 9.9.
Найдите разность потенциалов в точках А и В, если R1 =1 Ом, R2 = 3 Ом, = 4 В (см. рис.), внутреннее сопротивление источника r = 1 Ом.
Решение.
Сопротивления двух ветвей, по которым протекают токи источника, одинаковы, поэтому:, где - ток через источник. Для потенциалов в точках 1, А, В, из закона Ома для однородного участка цепи, следует:
.
Откуда для разности потенциалов в точках А и В получим: . Величину тока найдем, применяя закон Ома для замкнутой цепи , где - полное сопротивление участка 12. Для разности потенциалов получим окончательно:
В
Закон Джоуля-Ленца
Пример 9.10.
Элемент с ЭДС = 6 В дает максимальный ток Im= 3 А. Найдите наибольшее количество теплоты Q, которое может быть выделено во внешнем сопротивлении в единицу времени.
Решение.
Из закона Ома для замкнутой цепи , получим следующее выражение для мощности источника ЭДС:
,
где слагаемые справа представляют мощности выделения джоулева тепла на внутреннем сопротивлении источника и внешнем сопротивлении цепи соответственно. Неизвестное значение найдем, определив максимальный ток данного элемента:.
Мощность выделения тепла на внешнем сопротивлении представится соотношением:
Квадратичная зависимость мощности от тока достигает максимального значения при токе .
Пример 9.11.
Батарея с ЭДС = 240 В и внутренним сопротивлением r=1 Ом замкнута на внешнее сопротивление R = 23 Ом. Найдите полную мощность Р0, полезную мощность Р и КПД h батареи.
Решение.
Перепишем выделенное в рамку выражение предыдущего примера в обозначениях мощности:
,
где: - мощность источника, - мощность выделения джоулева тепла внутри источника, - мощность выделяемая во внешней цепи. Подстановка в выражения для мощностей величины тока , дает для искомых величин:
кВт,
кВт,
/=.
Пример 9.12.
В двух замкнутых электрических цепях, каждая из которых содержит источник тока и внешнее сопротивление, максимальные силы тока одинаковы, а максимальная мощность во внешней цепи в одном случае в два раза больше, чем во втором. Какими параметрами отличаются эти цепи?
Решение. Сила тока максимальна при коротком замыкании, когда внешнее сопротивление равно нулю. При этом и таким образом отношение величины ЭДС к внутреннему сопротивлению в обоих случаях одинаково. Максимальная полезная мощность (мощность, выделяемая во внешней цепи) достигается при , т.е. при
(см. пример 9.7). Эта мощность составляет . Так как отношение одинаково в обоих случаях, то вдвое большая полезная мощность при одинаковых силах тока обеспечивается вдвое большей величиной ЭДС. При этом внутреннее сопротивление источника также вдвое больше.
Правила Кирхгофа
Пример 9.12.
В схеме, изображенной на рисунке, ЭДС = 5 В, сопротивление r = 1 Ом, ток I1 = 3 А. Определите ток I2.
Решение:
На основании правила Кирхгофа для узлов ток во второй ветви разветвленной цепи будет равен . Вводя направление обхода контура и учитывая направления токов и направления действия ЭДС, запишем правило Кирхгофа для замкнутого контура в разветвленной цепи с учетом алгебраических знаков: . Откуда для I2 получим:
А.
Пример 9.13.
При зарядке аккумулятора током I1 = 5 А напряжение на клеммах U1 = 13,8 В. При раз рядке того же аккумулятора током I2 = 8 А напряжение на клеммах U2 = 11,5 В. Определите ЭДС аккумулятора.
Решение:
Схемы процессов зарядки и разрядки показаны на рисунках а) и б) соответственно.
Применяя закон Ома для неоднородного участка цепи 12 для случаев а) и б), получим:
а) ; б) .
Приведенные соотношения а) и б) представляют систему двух уравнений с двумя неизвестными и . Решая эту систему относительно неизвестной величины ЭДС, получим:
=12,9 В.
PAGE 124
EMBED Word.Picture.8
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
б)
1
2