Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
108
Министерство образования Российской федерации
Пермский государственный технический университет
Электротехнический факультет
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
(с примереми решения задач синтеза и анализа систем
в компьютерной среде MATLAB)
Учебное пособие
Составитель – д. т. н., профессор кафедры микропроцессорных средств
автоматизации ПермГТУ Казанцев Владимир Петрович
Пермь 2004
УДК 62-52
К 62
Теория автоматического управления. Учебное пособие / В.П. Казанцев. – Пермь: ПГТУ, 2004. – 124 c., илл.
В учебном пособии излагаются методы анализа и синтеза систем автоматического управления (САУ), базирующиеся на применении принципа обратной связи по выходной (управляемой) координате или по вектору координат состояния объекта управления. Продемонстрированы современные методы математического описания линейных объектов и систем, показана взаимосвязь различных методов описания, приведены наиболее распространенные в инженерной практике методы анализа и синтеза непрерывных и дискретных САУ. Ключевые понятия ТАУ в тексте учебного пособия выделены текстом с подчеркиванием.
Учебное пособие содержит значительное число примеров решения задач синтеза и анализа линейных систем управления, в том числе с применением широко распространенной в мире универсальной интегрированной среды программирования MATLAB 6.5 (с пакетом расширения Simulink 4.5) и интегрированной системы программирования Delphi.
Содержание
|
глава |
Наименование главы, раздела |
Стр. |
|
Используемая аббревиатура |
5 |
|
|
Введение |
6 |
|
|
1 |
Основные понятия. Задачи теории управления. Принципы автоматического управления |
8 |
|
2 |
Классификация технических систем управления |
16 |
|
3 |
Основные элементы, функциональные блоки и структуры САУ. Электромеханическая САУ |
22 |
|
4 |
Анализ непрерывных линейных САУ. Способы описания и характеристики линейных САУ. |
27 |
|
4.1 |
Методы описания и исследования динамических управляемых объектов в частотной и временной области |
27 |
|
4.2 |
Статические и динамические характеристики САУ |
29 |
|
4.3 |
Переходные и импульсные характеристики САУ |
33 |
|
4.4 |
Уравнение Лагранжа 2-го рода и дифференциальные уравнения |
34 |
|
4.5 |
Линеаризация САУ |
39 |
|
5 |
Структурные методы исследования линейных САУ |
42 |
|
5.1 |
Преобразование Лапласа, передаточные функции и матрицы |
42 |
|
5.2 |
Типовые динамические звенья и структурные схемы САУ |
47 |
|
5.3 |
Способы соединения звеньев, правила преобразования структурных схем |
52 |
|
6 |
Устойчивость линейных систем управления |
55 |
|
6.1 |
Характеристическое уравнение линейной САУ. Влияние корней характеристического полинома на устойчивость САУ |
55 |
|
6.2 |
Алгебраические критерии устойчивости |
57 |
|
6.2.1 |
Критерий Гурвица |
57 |
|
6.2.2 |
Критерий Рауса |
58 |
|
6.3 |
Частотные критерии устойчивости |
62 |
|
6.3.1 |
Критерий Михайлова |
62 |
|
6.3.2 |
Критерий Найквиста |
64 |
|
7 |
Качество систем управления |
67 |
|
7.1 |
Прямые показатели качества регулирования |
67 |
|
7.2 |
Косвенные показатели качества регулирования |
69 |
|
7.2.1 |
Оценка качества регулирования по расположению корней характеристического уравнения |
69 |
|
7.2.2 |
Интегральные оценки качества |
72 |
|
8 |
Метод пространства состояний |
76 |
|
8.1 |
Векторно-матричное описание САУ |
76 |
|
8.2 |
Схемы пространства состояний |
80 |
|
8.3 |
Понятие матрицы перехода (переходных состояний) |
82 |
|
8.4 |
Управляемость и наблюдаемость САУ |
86 |
|
9 |
Синтез линейных непрерывных САУ |
89 |
|
9.1 |
Общая постановка задачи синтеза |
89 |
|
9.2 |
Типовые параметрически оптимизируемые регуляторы (корректирующие звенья) класса “вход-выход” |
90 |
|
9.3 |
Синтез систем с подчиненным регулированием координат |
95 |
|
9.4 |
Методика структурно-параметрического синтеза контуров регулирования САУ по желаемой передаточной функции |
97 |
|
10 |
Дискретные и дискретно-непрерывные САУ |
101 |
|
10.1 |
Дискретизация и модуляция сигналов. Аналих линейных импульсных САУ |
101 |
|
10.2 |
Математическое описание дискретных систем |
104 |
|
10.2.1 |
Z-преобразование и дискретные передаточные функции |
104 |
|
10.2.2 |
Разностные уравнения |
109 |
|
10.2.3 |
Описание дискретных САУ в переменных состояния |
110 |
|
10.2.4 |
Описание дискретно-непрерывных САУ в пространстве состояний |
114 |
|
10.3 |
Синтез цифровых систем управления |
119 |
|
10.3.1 |
Метод дискретизации аналоговых регуляторов |
119 |
|
10.3.2 |
Метод переменного коэффициента усиления |
120 |
|
Литература |
123 |
Используемая аббревиатура
АСУ – автоматизированная система управления;
АСУ ТП – автоматизированная система управления технологическим
процессом (производством);
ВМУ – векторно-матричное уравнение;
ДПФ – дискретная передаточная функция;
ИМ – исполнительный механизм;
ММ – математическая модель;
ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение;
ОР – объект регулирования;
ОУ – объект управления;
ПФ – передаточная функция;
САР – система автоматического регулирования;
САУ – система автоматического (автоматизированного) управления
ТАУ – теория автоматического управления;
ТП – технологический процесс;
УТС – управление техническими системами;
УР – устройство регулирования;
УУ – устройство управления.
Введение
Техника управления большинством промышленных объектов базируется на применении обратных связей по координатам (переменным состояния) объектов управления (ОУ) и возмущениям внешней (по отношению к ОУ) среды. При этом зачастую системы автоматического управления (САУ) содержат элементы различной физической природы (электрической, механической, химической и др.).
Впервые принцип обратной связи был применен в Греции за 300 лет до н. э. Это был простейший регулятор прямого действия - поплавковый регулятор уровня жидкости. Первой системой с обратной связью, изобретенной в современной Европе, был регулятор температуры голландца Корнелиуса Дреббеля (1572-1633).
В России первая система с обратной связью была создана И. Ползуновым в 1765 г., в основе которой лежал поплавковый регулятор уровня воды, подаваемой в паровой котел.
Первым автоматическим регулятором, нашедшим широкое промышленное применение в Европе, общепризнанно считается центробежный регулятор скорости вращения вала паровой машины, предложенный в 1769 г. англичанином Джеймсом Уаттом (при увеличении скорости вала уменьшалась подача пара в паровую машину).
Основы математической теории управления линейных САУ были заложены крупнейшим английским физиком Дж. Максвеллом и российским ученым И. А Вышнеградским во 2-й половине 19-го века, когда были предложены оценки влияния параметров ОУ на поведение САУ с обратной связью. Алгебраические критерии устойчивости линейных САУ были в разной трактовке предложены Раусом (1877 г.) и Гурвицем (1895 г.).
Общая математическая теория устойчивости линейных и нелинейных САУ разработана российским ученым А. М. Ляпуновым (1892 г.)
Впервые частотные критерии устойчивости систем с обратной связью были сформулированы американскими учеными Х. Найквистом (1932 г.) и Г. Боде (середина 20-го века) при создании электронных усилителей мощности сигналов в телефонии. В эти же годы советские ученые В. В. Солодовников, Ю. И. Неймарк, Я. З. Цыпкин, А. А. Воронов и др. разработали целый ряд частотных методов исследования САУ.
В создание современной теории оптимального управления, основывающейся на понятии пространства состояния динамических систем, большой вклад внесли американские ученые Р. Беллман, Р. Калман, Ю. Ту, Б. Куо, Р. Изерман, а также советские ученые А. А. Фельдбаум, Л.С. Понтрягин, А. М. Летов, Н. Н. Красовский, Б. Н. Петров, Е. П. Попов и многие др.
Фундаментальными свойствами САУ являются устойчивость, качество, управляемость, наблюдаемость, чувствительность, инвариантность.
Предметом изучения данной дисциплины являются следующие объекты:
В результате изучения дисциплины студент должен:
Принципы автоматического управления.
Рассмотрим базовые структурные понятия ТАУ.
Система - любой объект, который одновременно рассматривается, во-первых, как единое целое, и, во-вторых, как нечто, состоящее из множества связанных составных частей (элементов).
Элементы - части или компоненты системы, условно принятые неделимыми.
Связи - соединения между элементами системы (прямые или косвенные, последовательные или параллельные, алгебраические или дифференциальные, линейные или нелинейные и др.).
Любая система характеризуется структурой, параметрами и состоянием.
Структура - способ организации элементов в систему с помощью установления между ними взаимосвязей.
Параметры - свойства (качества) системы, позволяющие описывать систему и выделять ее из окружающей среды и других систем. К параметрам системы относят коэффициенты усиления звеньев, постоянные времени, номинальные значения переменных и др.
Состояние - совокупность значений переменных (координат состояния) системы, существенных с точки зрения решаемой задачи. К координатам состояния системы относят выходные и внутренние переменные объекта, меняющиеся вследствие управления.
Среда - множество элементов и систем за пределами рассматриваемой системы.
Целостность системы проявляется в том, что она определенным образом выделена из среды и обладает свойствами, которыми не обладают составляющие ее элементы.
Математическая модель любой системы может быть представлена в виде сигнального графа (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Представление системы
в форме графа
В качестве элементов системы (вершин) на графе представлены координаты ее состояния (переменные), а связи между ними обозначены дугами (ребрами графа). В зависимости от направления дуг различают входные и выходные воздействия (входы и выходы элементов). Элементы графа осуществляют алгебраическое суммирование входных воздействий и преобразование их в выходные. Связи между элементами задаются соответствующими уравнениями.
Система, имеющая внешнюю среду, называется открытой, в противном случае - изолированной (концепция изолированности систем используется крайне редко).
Достаточно серьезной является проблема выделения системы (объекта исследования или управления) из среды, т. к. всегда возникает проблема обоснованности включения тех или иных элементов в систему. Более того, в зависимости от характера решаемой проблемы один и тот же физический объект (например, производственный участок) может быть представлен в виде различных систем (для конструктора, технолога, социолога, экономиста и др. это разные системы).
В информационно-управляющей, вычислительной технике понятие системы имеет множество смысловых оттенков. Под системой понимают и совокупность программно-аппаратных (программно-технических) средств, и совокупность только аппаратных компонентов, и совокупность только программных продуктов (например, операционные системы и компиляторы).
Относительность точки зрения на систему проявляется также в том, что одну и ту же совокупность элементов можно рассматривать либо как систему, либо как часть некоторой, более крупной системы. В последнем случае множество элементов крупной системы делят на ряд подмножеств, образующих подсистемы. На рис 1.2 приведен вариант разбиения некоторой системы S = {X1, …, X8}, где X1, …, X8 - элементы 1…8 системы, на 3 подсистемы S1, S2, S3, т.е. S = {S1, S2, S3}.
Рис. 1.2. Разбиение системы на подсистемы
Таким образом, каждая система может рассматриваться либо как собственно система, либо как подсистема. В последнем случае вводят понятие иерархии системы, т.е. элементами системы i-го уровня являются системы (i + 1)-го уровня (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Иерархия подсистем
Процесс формирования той или иной системы называется ее композицией, а процесс вычленения ее из системы более высокого уровня - декомпозицией системы.
Синтез САУ - это специфический процесс структурно-параметрической композиции САУ, удовлетворяющей совокупности заданных технических требований.
Моделью называют отображение определенных характеристик объекта с целью его изучения (исследования). Модель позволяет выделить из всего спектра проявлений объекта лишь те, которые наиболее существенны с точки зрения решаемой задачи. Например, в задачах синтеза и анализа систем управления модель одного и того же объекта может быть разной степени детализации (в задачах синтеза модель объекта обычно более простая).
Различают физические и абстрактные модели. К первым относят, в частности, макеты изучаемых объектов, ко вторым - модели, имеющие формальное описание на том или ином языке моделирования (естественном языке, языке схем, чертежей, математическом языке и др.). Модели, составленные с использованием языковых средств математики, называют математическими моделями (ММ).
Микроанализ системы - изучение (моделирование) системы в предположении, что все ее элементы и связи доступны для наблюдения. Сводится к изучению структуры и свойств элементов.
Макроанализ системы - изучение (моделирование) системы в предположении, что далеко не все элементы и связи системы известны. Сводится к построению модели в виде “черного ящика” (макромодели) и изучению ее свойств во взаимодействии с окружающей средой (решается задача идентификации системы).
Система управления - система, в которой осуществляется целенаправленный процесс управления. На рис. 1.4 приведена обобщенная функциональная схема системы управления (структура “автомата”).
Рис. 1.4. Обобщенная функциональная схема
системы управления
В структурном аспекте объект управления - управляемая подсистема.
Им может быть отдельный станок, установка, технологическая линия, бригада рабочих, участок, цех, предприятие и т. п.
Аналогично, в структурном аспекте устройство управления - управляющая подсистема. В качестве устройства управления можно рассматривать специализированное устройство управления, оператора станка, управленческий персонал цеха или предприятия.
Следует отметить, что, несмотря на все возрастающие возможности микропроцессорных средств управления, роль человека (оператора станка, диспетчера ТЭЦ, руководителя структурного подразделения) в экспертной оценке состояния системы управления, выработке стратегии управления и реализации функций управления производством остается определяющей.
Объект управления представлен в виде открытой системы и взаимодействует с внешней средой. Воздействие окружающей среды на объект управления называется возмущающим воздействием (контролируемым или неконтролируемым, детерминированным или стохастическим) и представлено на рис. 1.4 в виде вектора аддитивных воздействий F.
Устройство оценивания обеспечивает непосредственное или косвенное измерение координат состояния объекта управления (Xс) и возмущения внешней среды (Xс). Оно может быть реализовано в виде измерительных устройств (датчиков первичной информации) или наблюдающего устройства (полного или редуцированного).
Устройство управления обеспечивает целенаправленное (оптимальное или квазиоптимальное в смысле некоторого критерия качества) управление на основе информации о заданном Z и текущем X состоянии объекта управления, а также состоянии внешней по отношению к ОУ среды F, т.е. формирует вектор управляющих воздействий U = (Z, X, F), где - оператор (алгоритм) управления.
Алгоритм управления - недвусмысленное правило, инструкция, указание, что и как следует делать, чтобы добиться заданной цели управления в условиях изменения вектора состояния управляемого объекта и вектора возмущающих воздействий.
Цель управления - формальный критерий качества управления. В обобщенной форме цель управления формируется в виде некоторого функционала
J = J{Z(t), X(t), F(t), U(t)}. (1.1)
Задача управления в общем случае формулируется следующим образом: найти такой вектор управления U(t), который обеспечивал бы достижение цели управления J = J{Z(t), X(t), F(t), U(t)} при заданных ограничениях на координаты задающих воздействий Z(t){Z(t)}, координаты состояния объекта управления X(t){X(t)}, координаты возмущающей среды F(t){F(t)} и ресурсы управления U(t) {U(t)}, где {Z(t)}, {X(t)}, {F(t)}, {U(t)} - замкнутые пространства соответственно векторов желаемого состояния, текущего состояния, возмущения и управления.
Задачу управления можно сформулировать в несколько иной форме: найти и реализовать функциональную зависимость (алгоритм управления)
U(t)=U{Z(t), X(t), F(t)}, (1.2)
обеспечивающую наилучшее приближение к заданному критерию качества управления при ограничениях на координаты и ресурсы управления.
Устройство управления (УУ) в САУ представляет собой совокупность регуляторов класса “вход-выход” и (или) регулятор состояния, некоторое множество корректирующих устройств, в том числе компенсирующих взаимное влияние каналов регулирования, а также аналоговых или цифровых фильтров, устройств преобразования координат и т. п.
Система автоматического регулирования (САР) - простейшая система автоматического управления одной выходной координатой ОУ. САР может иметь один или несколько контуров регулирования. Задача регулирования формулируется аналогично задаче управления: найти закон регулирования
U(t)=U{(t)}, (1.3)
где (t) - текущая ошибка регулирования, (t)=Z(t)-X(t), обеспечивающий достижение экстремума критерия J = J{(t)} при заданных ограничениях на координаты и ресурсы управления.
Устройство регулирования – это регулятор, представляющий собой корректирующее динамическое звено с одним входом и одним выходом и преобразующее сигнал ошибки (t) в оптимальное управляющее воздействие U(t).
Как видим, понятие “управление” включает в себя понятие “регулирование” и применимо как к простым, так и к сложным объектам со многими координатами управления. В связи с этим, в дальнейшем именно обобщенные понятия “управление” и “система автоматического управления” будут применяться для любых объектов безотносительно их сложности. Термин “регулирование” будет применяться только для простых систем с одним управляющим воздействием, хотя именно они и будут основным предметом изучения в данном учебном курсе.
Таким образом, процесс управления включает следующую последовательность действий:
1. определение программы управления, т.е. выработка программной траектории Z(t) движения системы в допустимой области изменения вектора состояния САУ (этап планирования);
2. измерение (оценивание) векторов состояния и возмущения X(t), F(t)
(этап контроля);
3. формирование управляющего воздействия, т. е. определение оптимального в смысле принятого критерия качества управления в виде U(t)=U{Z(t), X(t), F(t)} (этап выработки управляющих воздействий или принятия управленческих решений);
4. реализация управляющего воздействия, т.е. целенаправленное воздействие на объект управления (этап собственно управления).
Следует отметить, что ТАУ изучает общие принципы построения САУ и методы их исследования независимо от физической природы процессов, протекаемых в этих системах.
К основным задачам ТАУ относят:
– синтез САУ, удовлетворяющих заданным техническим требованиям (критериям качества управления);
– анализ показателей качества синтезированных САУ в условиях воздействия заданного спектра задающих и возмущающих воздействий.
Задача синтеза САУ, как правило, является более сложной, чем задача анализа и предполагает решение нескольких подзадач:
– определение адекватной объекту управления (ОУ) его математической модели (ММ);
– формулирование критериев качества управления (их формализация);
– синтез структуры САУ (задача структурного синтеза САУ), т. е. установление оптимальных (рациональных) элементов устройства управления и взаимосвязей между ними;
– синтез параметров САУ (задача параметрического синтеза САУ), т. е. определение оптимальных (рациональных) параметров устройства управления.
В теории оптимального управления две последние подзадачи синтеза САУ решают одновременно методами структурно-параметрического синтеза.
Методы синтеза САУ зависят от полноты априорной информации об ОУ и условиях его функционирования и подразделяются на детерминированные (определенные) и стохастические (вероятностные). При этом подавляющее большинство методов синтеза ориентировано на класс линейных САУ в частотной или временной области, что объясняется их относительной простотой. Вместе с тем, класс нелинейных САУ является гораздо более многообразным и сложным, что предполагает либо корректную адаптацию методов синтеза линейных САУ к конкретным ОУ, либо применение специальных методов синтеза нелинейных САУ (в данном пособии нелинейные системы не рассматриваются).
Задача анализа САУ предполагает, в общем случае, также решение нескольких подзадач:
– определение ММ САУ, отражающей ее доминирующие свойства (качества) с учетом допущений принятых на этапе синтеза САУ;
– оценка устойчивости и (или) показателей качества САУ при заданных аддитивных воздействиях на нее;
– оценка управляемости, наблюдаемости, чувствительности САУ к вариациям ее параметров и др.
В практике проектирования промышленных САУ задачи синтеза и анализа решаются параллельно, поскольку сам процесс проектирования обычно носит итерационный характер, требующий неоднократной коррекции и ММ ОУ, и цели управления, и допустимых ресурсов (ограничений) управления и т. п.
По принципу управления (характеру задач управления) различают:
- системы стабилизации;
- системы программного управления;
- следящие системы и системы воспроизведения движений.
В системах стабилизации алгоритм управления призван обеспечить стабилизацию отработки достаточно длительно действующего постоянного задающего воздействия, однако, в общем случае, изменяющегося в некотором диапазоне. В системах промышленной автоматики системы, обеспечивающие стабилизацию технологических координат на заданном уровне, т. е. являются наиболее распространенными.
Системы программного управления предназначены для отработки с заданной динамической точностью задающего воздействия, изменяемого во времени или в функции иных технологических координат ОУ, закон изменения которых заранее известен. Наиболее часто задающее воздействие является программно-временным, т. е. . Характерной особенностью таких систем является функционирование в режиме не только малых, но и больших отклонений координат. В последнем случае координаты САУ могут превысить допустимые по условиям эксплуатации объекта значения, а, следовательно, необходимо принять меры по ограничению этих координат на допустимом уровне.
Следящие системы управления предназначены для отработки задающего воздействия в функции какой-либо переменной ОУ, закон изменения которой заранее неизвестен, т. е. Характерным примером такой САУ является система слежения радиотелескопа за положением в пространстве летящего воздушного объекта. Следящие системы применяют также для дистанционной передачи показаний измерительных приборов, для формирования и дистанционной передачи управляющего воздействия следящих электроприводов на основе измерительно-преобразовательного модуля “сельсинная пара” и др. Системы воспроизведения движений структурно схожи со следящими САУ, однако задающими воздействиями могут быть не только пространственные координаты объекта, но и линейные или угловые скорости и ускорения изделий техники (деталей и агрегатов автомобилей, самолетов, ракет и др.), испытуемых на специализированных стендах.
2. Классификация технических систем управления
Технические САУ можно классифицировать по ряду основных признаков. Рассмотрим их.
- системы ручного управления (человек-оператор вырабатывает и реализует стратегию управления);
- системы автоматизированного управления (человеко-машинные САУ);
- системы автоматического управления (без участия человека).
В линейных САУ все звенья описываются линейными уравнениями. Линейные САУ классифицируют также по ряду дополнительных признаков:
- линейные системы с сосредоточенными параметрами, т. е. системы, в которых процессы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) с постоянными коэффициентами;
- линейные системы с распределенными параметрами, т. е. системы, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных;
- линейные системы с переменными параметрами, т. е. системы, в которых хотя бы один параметр изменяется во времени;
- линейные системы с запаздыванием, т. е. системы, в которых присутствует хотя бы одно звено с чистым (транспортным) запаздыванием.
В нелинейных САУ присутствует хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением. Это может быть нелинейная статическая характеристика звена или нелинейность иного вида, такая как произведение переменных, квадратный корень, степенная функция координат системы и др.
Нелинейные САУ, так же как и линейные, могут быть с сосредоточенными параметрами, с распределенными параметрами, с переменными коэффициентами, с запаздыванием.
- непрерывные (аналоговые);
- дискретные (релейные, импульсные, цифровые);
- дискретно-непрерывные, в том числе цифро-аналоговые.
В непрерывных САУ для всех звеньях непрерывному во времени входному сигналу соответствует непрерывный во времени выходной сигнал. Непрерывные САУ описываются с помощью дифференциальных уравнений. Для описания линейных непрерывных САУ применяют, как правило, аппарат ОДУ, передаточных функций (ПФ) или аппарат линейных векторно-матричных уравнений (ВМУ).
В дискретных и дискретно-непрерывных САУ хотя бы для одного звена непрерывному во времени входному сигналу соответствует дискретный во времени выходной сигнал (со ступенчатой или импульсной формой). Для описания дискретных САУ, содержащих исключительно дискретные звенья, применяют разностные уравнения. Для описания линейных дискретных САУ применяют, кроме того, аппарат дискретных передаточных функций (ДПФ), основанный на Z-преобразовании сигналов, или аппарат дискретных векторно-матричных уравнений (ДВМУ). Для описания дискретно-непрерывных САУ применяют сочетание методов описания линейных и дискретных систем.
- разомкнутые (без обратных связей);
- замкнутые:
- по ошибке регулирования (с регулированием по отклонению выходной координаты от заданного значения);
- по возмущающему воздействию (с регулированием по возмущению);
- по ошибке регулирования и возмущающему воздействию (с комбинированным регулированием).
На рис. 2.1 приведены обобщенные функциональные схемы разомкнутой и замкнутых САР.
Рис. 2.1. Обобщенные функциональные схемы разомкнутой САР (а)
и замкнутых САР (б-г)
Обозначения:
ОР, УР – соответственно объект и устройство регулирования;
xз(t), z(t) – соответственно задающее и возмущающее воздействия;
x(t) – выходная (регулируемая) координата ОР;
иу(t) – управляющее воздействие.
Алгоритм регулирования разомкнутой САР (см. рис. 2.1а) можно представить в виде
. (2.1)
Чаще всего оператор fу устанавливает пропорциональную зависимость между xз(t) и uу(t). Алгоритм (2.1) эффективен лишь при незначительном влиянии возмущающего воздействия z(t) на ОУ и стабильности параметров ОР и УР.
Алгоритм регулирования по отклонению выходной координаты от заданного значения (см. рис. 2.1б) можно представить в виде
, (2.2)
где - ошибка регулирования,
. (2.3)
Поскольку ведется контроль непосредственно регулируемой координаты, алгоритм регулирования (2.2) эффективен как при изменении задающего, так и возмущающего воздействия. Вместе с тем, принцип регулирования по отклонению имеет ряд существенных недостатков:
Алгоритм регулирования замкнутой по возмущению САР (см. рис 2.1в) имеет вид
. (2.4)
Алгоритм регулирования (2.4) обеспечивает компенсацию изменения возмущающего воздействия z(t), однако отсутствие текущего контроля выходной координаты x(t) не всегда обеспечивает необходимую точность отработки задающего воздействия. Отсюда основное назначение таких САР - стабилизация регулируемой координаты в условиях действия возмущения z(t). Заметим, что для реализации таких САР должна иметься возможность измерения или оценки величины возмущающего воздействия.
Алгоритм комбинированного регулирования (см. рис. 2.1г) можно представить в виде
. (2.5)
Данная САР является наиболее эффективной и обладает преимуществами обеих предыдущих систем, однако требует измерения и выходной координаты, и возмущающего воздействия.
Обратные связи по координатам ОУ и возмущений внешней среды подразделяют на отрицательные и положительные, жесткие и гибкие.
В подавляющем большинстве технических приложений обратные связи направлены на стабилизацию показателей качества САУ и являются отрицательными. Положительные обратные связи обычно применяют для компенсации нежелательного влияния тех или иных переменных на качество САУ или придания системе свойств инвариантности по отношению к возмущающим воздействиям.
Жесткие обратные связи действуют как в динамических, так и статических (установившихся) режимах. Гибкие обратные связи действуют только в динамических режимах и предполагают наличие дифференцирующих устройств.
Большинство реальных систем управления функционируют в условиях воздействия некоторого множества задающих и возмущающих воздействий. В этом случае для функционирования УУ требуется контролировать векторы переменных (координат состояния) ОУ и возмущений внешней среды. Само УУ в этом случае либо содержит несколько простых (типовых) регуляторов координат ОУ, либо один регулятор всего состояния системы. Функциональная схема такой САУ приведена на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Функциональная схема САУ
с векторным регулятором состояния
- САУ прямого действия (управляющее воздействие на ОУ не подвергается усилению);
- САУ непрямого действия (управляющее воздействие на ОУ предварительно усиливается с помощью силового преобразователя энергии).
К САУ прямого действия относят простейшие системы регулирования, например, уровня воды в сливном бачке унитаза, температуры “подошвы” утюга и т. п. В САР непрямого действия для усиления сигнала управления объектом применяют электромеханические, гидромеханические, пневмомеханические, электротермические и иные преобразователи энергии.
- детерминированные (вполне определенные) САУ; большинство промышленных локальных систем управления относят именно к этому классу; к числу достаточно сложных детерминированных систем можно отнести, например, АСУТП с ЭВМ в контуре управления (при исследовании САУ часто необходимо учитывать процессы дискретизации по времени и уровню, адаптацию САУ к изменению параметров объекта управления, коррекцию уставок локальных систем и др.);
- стохастические (вероятностные) САУ, в которых можно лишь предсказать вероятность возможного изменения вектора состояния системы; к числу таких систем относятся производственные предприятия, экспертные системы, геофизические системы, системы навигации и радиолокации и т. п.
- стационарные и квазистационарные САУ, не требующие адаптации; параметры ОУ таких САУ неизменны или изменяются в незначительных пределах;
- нестационарные САУ с низкой чувствительностью к изменению параметров ОУ (с реализацией больших коэффициентов усиления и скользящих режимов);
- робастные САУ (с низкой чувствительностью к изменению параметров ОУ, возмущений внешней среды, шумов датчиков и др.);
- нестационарные адаптивные САУ:
- с сигнальной самонастройкой;
- с параметрической самонастройкой;
- самоорганизующиеся САУ (с изменением не только параметров, но и структуры УУ) и самообучающиеся, в том числе на основе нейронных технологий.
- одномерные (со скалярным управлением) и многомерные (с векторным управлением) САУ;
- одно- и многосвязные (с автономными и неавтономными каналами управления) САУ.
- статические системы, характеризующиеся наличием ненулевой установившейся ошибки регулирования выходной переменной при постоянном задающем и возмущающем воздействии;
- астатические системы, характеризующиеся нулевой установившейся ошибкой регулирования выходной переменной при постоянном задающем и возмущающем воздействии.
Рассмотренная классификация, безусловно, не претендует на полноту представления применяемых на практике САУ, однако в достаточной степени отражает многообразие признаков систем управления и, соответственно, подходов к их исследованию. Отметим только, что сложные автоматизированные системы управления технологическими процессами (АСУ ТП) классифицируют также по целому ряду функционально-структурных признаков, определяющих их архитектуру (топологию), и применяемых программно-аппаратурных средств управления: централизованные и распределенные, одноуровневые локальные и многоуровневые иерархические, с архитектурой “файл-сервер” и “клиент-сервер”, специализированные и универсальные с открытой архитектурой т. п.
3. Основные элементы, функциональные блоки
и структуры САУ. Электромеханическая САУ.
Функциональная схема (функциональная структура) САУ отражает признаки ее функционально-структурной организации и определяет взаимосвязь, соподчиненность ее функциональных элементов и блоков.
Основные элементы САУ по функциональным признакам можно объединить в несколько групп:
1) задающие элементы, позволяющие установить заданное значение выходной переменной ОУ (источники эталонного напряжения или тока, потенциометры, сельсины, кодовые задатчики и др.);
2) чувствительные элементы, обеспечивающие измерение переменных ОУ (датчики технологических координат и параметров ОУ);
3) усилительные элементы, служащие для усиления сигналов чувствительных элементов (полупроводниковые усилители, магнитные и электромашинные усилители, масштабирующие операционные усилители и др.);
4) преобразовательные элементы, обеспечивающие преобразование входного сигнала одного вида в другой, и отличающиеся параметрами (уровнем, частотным спектром, способом кодирования и др.); силовые преобразовательные элементы могут характеризоваться также различной физической природой преобразуемых сигналов (электрической энергии переменного или постоянного тока в механическую, термическую, химическую энергию и т. п.).
5) исполнительные элементы, предназначенные для создания управляющих воздействий на ОУ (электромагнитные приводы, электрические двигатели, гидроприводы, пневмоприводы и др.);
6) корректирующие элементы, обеспечивающие изменение статических и динамических свойств САУ (фильтрующие элементы, дифференцирующие и интегрирующие звенья в прямом или обратном канале регулирования, параметрические регуляторы).
Функциональные блоки – совокупности функциональных элементов САУ, обеспечивающих требуемые функции контроля и управления.
Различают следующие функциональные блоки:
- блоки памяти (от уставок реле и напряжений до устройств хранения программ и данных, записанных на магнитных и электронных носителях информации);
- блоки текущей информации (некоторая совокупность датчиков координат состояния объекта управления, датчиков технологических координат, устройств преобразования, кодирования и передачи первичной информации);
- блоки управления, формирующие сигналы оптимального управления
на основе преобразования исходной (заданной) и текущей информации;
- блоки связи ЭВМ с объектом управления (модули ввода/вывода информации) и иными периферийными устройствами, в частности сетевые аппаратные средства.
В зависимости от соподчиненности подсистем контроля и управления различают следующие функциональные структуры САУ и АСУ ТП:
- локальные (одноуровневые) и иерархические (многоуровневые);
- централизованные и децентрализованные (распределенные);
- узловые АСУ (АСУ ТПУ);
- комплексные АСУ (АСУ ТПК);
- АСУ предприятием и отрасли промышленности (АСУ П и АСУ ОП).
Наиболее простой структурной организацией САУ обладают одноуровневые децентрализованные системы контроля и управления. В таких системах каждый производственный участок, технологическая установка снабжаются индивидуальным пунктом управления (ПУ), который оснащается индикаторными и регистрирующими приборами (автоматический контроль и индикация), а также регуляторами технологических координат и параметров (автоматическое управление). На ПУ размещается коммутационная аппаратура дистанционного управления оборудованием, элементы защиты, сигнализации и т. п. Такие ПУ размещают, как правило, в непосредственной близости от объекта управления, что позволяет сократить длину линий связи. ПУ обслуживаются одним оператором (постоянным или работающим в режиме обходчика). Такого рода децентрализованные САУ называют локальными.
Дополняя и, во многом, заменяя человека-оператора, любая система автоматизированного управления копирует его функции. Обобщенная структура локальной автоматизированной (человеко-машинной) САУ приведена на рис. 3.1.
Для выполнения заданных операций оператор должен получить ряд сведений, которые принято называть внешней информацией. Эта неизменная информация хранится в памяти оператора и включает основные характеристики объекта управления (технологического процесса), порядок выполнения операций управления в нормальных и аварийных (нештатных) режимах. За изменением координат ОУ (параметров технологического процесса) оператор следит с помощью органов-рецепторов, из которых наибольшую нагрузку несет зрение. Человеку приходится наблюдать за показаниями индикаторов состояния ОУ, а также реагировать на звуковые (световые) сигналы при фиксации системой предельно-допустимых уровней ряда координат САУ. Далее оператор сопоставляет исходную и текущую информацию и принимает решение (функция центральной нервной системы), реализуя с помощью эффекторов (пальцев, рук, ног, голоса) команды управления.
Рис. 3.1. Функциональная структура локальной САУ
Аналогичные функции (информационную и управляющую) выполняют технические средства (функциональные элементы и блоки) САУ. Сбор, переработку, хранение текущей информации, а также выработку управляющей информации осуществляет процессор.
Сложность элементов внутренней технической структуры САУ находится в тесной связи с характером и степенью сложности объекта управления (технологического процесса).
Примерами локальных САУ применительно к производству бронированных кабелей являются подсистемы размотки кабелей с резиновой изоляцией с трех кабельных барабанов, намотки брони, укладки трехжильного бронированного кабеля на приемный барабан и др. Такие САУ относятся, как правило, к классу электромеханических систем управления.
Необходимо отметить, что электромеханические САУ, обладая массой преимуществ в сравнении с гидромеханическими и пневмомеханическими системами, нашли наибольшее применение в современных системах автоматизации. Более того, свыше 60% потребляемой промышленными предприятиями электроэнергии приходится на силовые электромеханические приводы (электроприводы) производственных установок. Именно это обстоятельство явилось доминирующим при выборе объектов математического описания, примеров синтеза и анализа технических систем управления, приводимых в следующих главах настоящей работы.
Обобщенная функциональная схема электромеханической САУ приведена на рис. 3.2.
САУ содержит две основные подсистемы: объект управления (ОУ) и устройство управления (УУ).
Рис. 3.2. Обобщенная функциональная схема
электромеханической САУ
На схеме используются следующие обозначения:
УЗ – устройство задания. Формирует вектор задающих воздействий XЗ изменения выходных координат ОУ.
УР – устройство регулирования или собственно устройство управления, состоящее из регуляторов, корректирующих звеньев, фильтров, преобразователей координат и т. п. Формирует вектор управляющих воздействий UУ, обеспечивая оптимальные динамические и статические характеристики системы в соответствие с заданным критерием качества управления.
СПЭ – силовые преобразователи энергии (электромашинные, тиристорные, транзисторные и т. п.). Преобразуют электрическую энергию питающей сети в энергию управления электродвигателями, формируя вектор выходных сигналов Eп (регулируемые напряжения или токи двигателей).
ЭД – электродвигатели постоянного или переменного тока. Обеспечивают преобразование подводимой электрической энергии в механическую.
X – вектор координат состояния (переменных) электродвигателей (напряжения, токи, скорости вращения валов и др.)
ПМ – передаточные механизмы. Передают энергию вращения двигателей в энергию вращения или поступательного движения исполнительных механизмов (рабочих органов). X - вектор выходных координат передаточных механизмов электромеханической САУ (линейные или угловые скорости или положения).
РО – рабочие органы. Выходом САУ является вектор Y выходных технологических координат или координат рабочих органов (скорости и положения РО, давление газа или жидкости в магистрали, расход газа или жидкости, натяжение нити или полотна, уровень нефти в резервуаре и др.).
УИс – устройство измерения координат состояния САУ (датчики координат состояния, включая и датчики выходных переменных). Формирует вектор Xдс сигналов обратных связей по состоянию ОУ.
УИв – устройство измерения возмущающих воздействий САУ (датчики координат возмущения ОУ). Формирует вектор Xдв сигналов обратных связей по возмущению системы управления.
Все возмущения, действующие на САУ, подразделяются на 3 вида:
аддитивные – приходят из внешней среды, суммируясь с полезными сигналами (переменными) ОУ;
мультипликативные – возникают внутри или вне системы, умножаясь на переменные ОУ (обусловлены естественными или искусственными перекрестными связями ОУ и внешней среды);
параметрические – обусловлены временным или температурным дрейфом параметров ОУ.
При синтезе САУ, как правило, пренебрегают влиянием внешних возмущений, а при анализе учитывают лишь существенные возмущения, действующие на ОУ. Оценка влияния вариаций параметров объекта управления на показатели качества управления – предмет анализа так называемой чувствительности САУ к параметрическим возмущениям.
4. Анализ непрерывных линейных САУ.
Способы описания и характеристики линейных САУ.
Проектирование и исследование характеристик (показателей качества) спроектированных САУ, т. е. решение задач синтеза и анализа САУ, базируется на знании математических моделей динамических управляемых объектов и систем. Существует множество способов описания САУ. Рассмотрим их.
4.1. Методы описания и исследования динамических
управляемых объектов в частотной и временной области
Автоматические системы управления - динамические системы, содержащие как минимум один вход и один выход и обеспечивающие преобразование входных (задающих и возмущающих) воздействий в выходные (управляемые) переменные. В этом преобразовании могут участвовать достаточно большое число динамических элементов, называемых звеньями САУ. Характерной особенностью звеньев САУ является однонаправленность, т. е. отсутствие или ничтожное влияние выходных сигналов на входные. Данное обстоятельство позволяет осуществить декомпозицию ОУ и САУ в целом на ряд достаточно простых динамических звеньев, описываемых хорошо известными в математике методами. При этом физическая природа входных и выходных переменных звеньев может быть различной. Например, входными (управляющими) воздействиями электродвигателя постоянного тока являются напряжения на обмотках якоря и возбуждения, а выходными переменными – вращающий момент на валу двигателя и скорость вращения якоря, т. е. осуществляется преобразование электрической энергии в механическую.
Для составления уравнений элементов САУ используются фундаментальные законы природы, описываемые уравнениями Ньютона, Лагранжа, Максвелла, Ома, Кирхгофа и др. Математические модели подавляющего большинства технических ОУ уже разработаны, причем с различной степенью детализации (с различными допущениями) и подробно рассматриваются в соответствующих дисциплинах – механике, электротехнике, электромеханике, термодинамике и т. п. При этом для описания элементов САУ используют различные формы, в частности:
1. функциональные схемы и схемы замещения той или иной степени детализации, принципиальные и монтажные схемы и др.;
2. обыкновенные дифференциальные уравнения или дифференциальные уравнения в частных производных;
3. операторные уравнения, передаточные функции и матрицы (функции комплексной переменной s или оператора p Лапласа в непрерывных САУ, функции комплексной переменной z в дискретных САУ);
4. структурные схемы;
5. сигнальные графы;
6. частотные характеристики и диаграммы на их основе;
7. векторно-матричные уравнения;
8. схемы пространства состояний.
Большинство методов описания САУ базируются на теории линейных систем. Если хотя бы один элемент САУ содержит нелинейный элемент, то такая система является нелинейной и требует применения специальных методов исследования [2, 12, 19, 20, 21].
Синтез и анализ САУ осуществляют в частотной или временной области, что предполагает применение различных форм математического описания элементов САУ.
Частотные методы синтеза и анализа применимы к линейным стационарным САУ (непрерывным и дискретным) практически любой сложности. Сущность частотных методов исследования САУ заключается в оценке устойчивости и качества по установившейся реакции системы на гармоническое воздействие различной частоты (оцениваются изменение амплитуды и фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного). При этом переход от операторной формы представления к частотной осуществляется простейшей заменой оператора p на в операторных уравнениях непрерывных САУ и оператора z на в операторных уравнениях дискретных САУ. Наиболее часто для описания и исследования САУ частотными методами применяют:
- логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ) разомкнутой САУ, образующие диаграмму Боде (позволяют оценить абсолютную и относительную устойчивость – запасы по модулю и фазе замкнутой САУ, а также полосу пропускания контура, частоту резонанса и другие характеристики);
- амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) разомкнутой САУ - диаграмму Никольса (позволяет оценить абсолютную и относительную устойчивость замкнутой САУ и косвенно ряд других показателей);
- диаграмму (годограф) Найквиста разомкнутой САУ (позволяет оценить абсолютную и относительную устойчивость замкнутой САУ).
Временные методы синтеза и анализа САУ применимы к линейным и нелинейным, стационарным и нестационарным, непрерывным и дискретным, одно- и многомерным САУ любой сложности. Сущность временных методов анализа заключается в получении прямых или косвенных показателей качества управления по реакции САУ на типовой тестовый сигнал (в виде единичной ступенчатой функции или дельта-функции). Прямые оценки качества регулирования обычно определяют по виду переходной характеристики (время регулирования, время нарастания регулирования, перерегулирование, время запаздывания, частота установившихся колебаний, коэффициент затухания колебаний). К косвенным оценкам качества САУ относят корневые, частотные оценки качества, а также интегральные, в том числе интегральные квадратичные оценки. Они же лежат в основе формальных оптимизационных процедур синтеза САУ.
При исследовании САУ временными методами применяют решение тем или иным методом систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих элементы САУ и связи между ними, относительно заданных переменных с использованием средств вычислительной техники. Наибольшее применение нашли методы Эйлера 1-го порядка, Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядка, а также метод переходных состояний, позволяющий практически с любой требуемой точностью осуществить переход САУ из произвольного начального состояния в следующее состояние, отстоящее на период, заданный в матрице перехода. Последний из методов базируется на векторно-матричном аппарате исследования систем и ориентирован на применение цифровой вычислительной техники (персональных компьютеров) и соответствующих программных систем и математических пакетов расширения.
Заметим, что, хотя между свойствами САУ во временной и частотной областях отсутствует прямая связь, по виду частотных характеристик можно во многом судить о поведении системы во временной области. Целесообразность применения того или иного метода исследования САУ не всегда очевидна и требует обоснования. Применительно к сложным многомерным нестационарным САУ целесообразность применения временных методов исследования и современных вычислительных средств не вызывает сомнений.
4.2. Статические и динамические характеристики САУ
Статические режимы САУ характеризуются установившимися состояниями при неизменных входных воздействиях. Уравнения статики легко получить из уравнений динамики САУ путем приравнивания в них нулю всех производных по времени переменных (координат состояния) и внешних воздействий. В операторных уравнениях и на структурных схемах (см. гл. 5) линейных САУ это эквивалентно нулевой частоте изменения переменных, что достигается приравниванием нулю оператора p.
Таким образом, статическая характеристика системы – это зависимость выходной переменной от какой-либо входной переменной в статическом (установившемся) режиме.
Примером статической характеристики является механическая характеристика двигателя постоянного тока (ДПТ) – зависимость угловой частоты вращения вала двигателя от момента нагрузки на валу в установившихся режимах (рис. 4.1). Как видим, при увеличении нагрузки на валу двигателя скорость вращения вала двигателя падает и появляется статическая ошибка регулирования скорости. При изменении нагрузки от нуля до номинального значения Mсн скорость вращения уменьшается от скорости холостого хода до номинальной скорости .
В номинальном режиме статическая ошибка регулирования скорости вращения
. (4.1)
Рис. 4.1. Статическая механическая
характеристика ДПТ
Найдем выражения для установившейся ошибки регулирования при изменении задающих или возмущающих воздействий линейной системы управления.
Передаточная функция любой замкнутой линейной САУ с отрицательной обратной связью (рис. 4.2) определяется передаточными функциями прямого и обратного каналов регулирования (см. гл. 5.3)
. (4.2)
Рис. 4.2. Структурная схема
замкнутой САУ
Отсюда изображение ошибки регулирования в системе
, (4.3)
а передаточная функция по ошибке
. (4.4)
Как следует из (4.3), ошибка регулирования будет стремиться к нулю при X = const, если , что предполагает реализацию бесконечно большого усиления в устройстве управления и может привести к неустойчивости системы. Кроме того, реальные динамические звенья обладают конечными коэффициентами усиления, что приводит к возникновению ненулевой статической ошибки регулирования.
Между тем, статическая ошибка регулирования в системе при неизменном входном воздействии может быть сведена к нулю, если сделать равной нулю передаточную функцию ошибки по задающему или возмущающему воздействию при p=0. Для этого достаточно в прямой или обратный канал регулирования системы, приведенной два рис. 4.2, ввести интегрирующее звено. На практике интегрирующее звено вводят в структуру устройства управления, применяя И-, ПИ-, ПИД-регуляторы. Это обеспечивает и, тем самым нулевую статическую ошибку регулирования. Такие системы принято называть астатическими первого порядка по задающему или (и) возмущающему воздействию. Для придания системе астатизма более высокого порядка в структуру регулятора вводят соответствующее число интеграторов.
Величина установившейся ошибки регулирования, наличие и порядок астатизма замкнутой САУ определяются не только ее моделью, но и видом входного сигнала. Определим, как вид входного воздействия влияет на величину установившейся ошибки.
Передаточную функцию прямого канала запишем в виде
, (4.5)
где K – коэффициент передачи,
zi, pj – полюсы и нули передаточной функции (4.5).
Для определения величины установившейся ошибки рассмотрим случай единичной обратной связи, т. е. =1.
В установившихся режимах (при p = 0) передаточную функцию (4.4) можно записать в виде
, (4.6)
где Ki – коэффициент ошибки системы, определяемый видом входного воздействия, i = 0, 1, 2.
Поскольку в качестве типовых тестовых сигналов применяют ступенчатое, линейное и квадратичное входное воздействие, то для оценки установившихся ошибок в системе выделяют 3 типа коэффициентов ошибок:
1) коэффициент ошибки по положению (i = 0)
; (4.7)
2) коэффициент ошибки по скорости (i = 1)
; (4.8)
3) коэффициент ошибки по ускорению (i = 2)
. (4.9)
Как следует из выражений (4.3)…(4.9), установившиеся ошибки САУ могут иметь нулевое, бесконечное или постоянное значение в зависимости от числа интеграторов в передаточной функции W1(p) и типа входного сигнала. Установившиеся ошибки для трех типов входных воздействий и трех типов передаточной функции W1(p) – с отсутствием интеграторов, с одним и двумя интеграторами – приведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1
|
Число интеграторов |
Входной сигнал |
||
|
Ступенчатый |
Линейный |
Квадратичный |
|
|
0 |
|||
|
1 |
|||
|
2 |
Динамические режимы САУ характеризуются переходными состояниями системы при изменении входных (задающих и возмущающих) воздействий. При этом различают свободные и вынужденные переходные процессы.
Назовем процесс вынужденным, если промежуток времени между моментом tз (tв) приложения задающего (возмущающего) воздействия X(t) и моментом наблюдения выходной величины Y(t) равен бесконечности. В дальнейшем будем полагать моменты времени приложения воздействий равными нулю. Тогда процесс изменения выходной величины Y(t) в соответствие с теоремой свертывания (умножения изображений) будет иметь вид [19]
, (4.10) где - импульсная переходная функция по внешнему (задающему или возмущающему) воздействию.
Свободный (собственный) процесс в системе определяется решением однородного дифференциального уравнения, описывающего САУ. Он протекает под действием ненулевых начальных условий Y(t0) и в устойчивых системах асимптотически затухает:
, (4.11)
где – матрица перехода системы из начального состояния Y(t0) в текущее состояние Y(t). Понятие и расчет матрицы перехода рассмотрены в гл. 9.3.
Полное решение уравнения движения линейных САУ представляет собой сумму решений уравнений свободного и вынужденного движений.
В качестве примера на рис. 4.3 приведена реакция электродвигателя постоянного тока (полное решение уравнения движения) на ступенчатое приложение номинальной нагрузки Mсн (возмущающего воздействия) к его валу.
При приложении нагрузки скорость двигателя падает, причем имеет место колебательный процесс. Максимальный динамический провал скорости превышает статическое падение скорости (см. рис. 4.1).
Рис. 4.3. Реакция электродвигателя
на возмущающее воздействие
в виде ступени нагрузки на валу
Вынужденное движение соответствует новому установившемуся состоянию - номинальной скорости электродвигателя. Время переходного процесса (перехода в новое установившееся состояние) составляет tр .
4.3. Переходные и импульсные характеристики САУ
Временные характеристики линейной САУ (динамического звена) могут быть определены по ее переходной и импульсной переходной функции.
Одним из наиболее распространенных тестовых воздействий на систему является единичное ступенчатое воздействие x(t), которое может быть представлено в виде функции
(4.12)
или в виде графика, приведенного на рис. 4.4.
Рис. 4.4. Единичное ступенчатое воздействие
на систему
Следует отметить, что ступенчатое воздействие на входе САУ это не только типовое тестовое воздействие. Оно относится к одному из наиболее распространенных программно-временных задающих воздействий, прежде всего, в системах цифрового управления, задающие и управляющие воздействия которых квантованы по уровню.
Переходная функция (переходная характеристика) h(t) – это нормальная реакция системы (переходный процесс), вызванная входным единичным ступенчатым воздействием при нулевых начальных условиях. Переходные функции САУ определяют, как правило, по формулам Хевисайда или методом математического моделирования. Для наиболее широко распространенных динамических звеньев САУ имеются аналитические выражения их переходных функций [2, 12, 19].
Импульсная единичная функция (дельта-функция Дирака) относится также к тестовым сигналам САУ, характеризующим ее свойства во временной области. Она представляет собой производную от единичной ступенчатой функции
. (4.13)
Дельта-функцию можно трактовать как бесконечно короткий по времени импульс с бесконечно большой амплитудой, но с конечной площадью, равной единице.
Нормальная реакция САУ на импульсное воздействие – импульсная переходная функция (весовая функция) w(t) системы. Ее легко получить численным или графическим дифференцированием переходной функции. Для наиболее широко распространенных динамических звеньев САУ в учебниках по теории управления приводятся аналитические выражения их весовых функций [2, 12, 19-21].
Переходные и весовые функции типовых элементарных динамических звеньев приведены в главе 5.
4.4. Уравнение Лагранжа 2-го рода и дифференциальные
уравнения
Математические модели технических средств, систем автоматизации и управления весьма многообразны и могут быть достаточно сложными. В частности, на сложность электромеханических систем управления влияет множество факторов: число, тип и последовательность звеньев (кинематических пар), компоновочные схемы размещения приводов механических подсистем и конструкции передаточных механизмов, наличие устройств уравновешивания и динамической развязки движений и др. Для определения их математических моделей, в общем случае, применяют весьма сложные уравнения Лагранжа-Максвелла.
Механические системы, как правило, имеют значительно большую инерционность по сравнению с инерционностью электромагнитных цепей электроприводов, приводящих их в движение, что позволяет при составлении математических моделей механических систем в форме дифференциальных уравнений использовать более простые уравнения Лагранжа 2-го рода [19]:
, (4.14) где q, , – векторы обобщенных координат, скоростей и обобщенных сил;
– кинетическая энергия механической системы.
Решение уравнения (4.14), т. е. математическую модель механического объекта управления представляют в форме системы обыкновенных дифференциального уравнений, разрешенных относительно вторых производных обобщенных координат (обобщенных ускорений), т. е.
. (4.15)
Для составления уравнений Лагранжа составляют расчетную схему механической системы, учитывающую геометрические размеры механических звеньев, тип и распределение (порядок расположения) кинематических пар, массы звеньев, упругие свойства кинематических связей.
Составление дифференциальных уравнений движения материальной системы на основе уравнений Лагранжа проводят в следующей последовательности:
2) выбирают систему координат и вводят независимые обобщенные координаты q1, q2 ,…, qn ; - вектор обобщенных координат; их число должно быть равно числу n степеней свободы механической системы;
примечание: обобщенные координаты – независимые параметры, однозначно определяющие положение точек материальной системы;
3) определяют обобщенные силы системы Q1, Q2,…, Qn; - вектор обобщенных сил;
примечание 1: для определения обобщенной силы Qi , соответствующей i-й обобщенной координате, надо вычислить сумму работ всех активных сил, включая реакции неидеальных связей, на обобщенном возможном перемещении ; при этом все остальные обобщенные возможные перемещения принимают равными нулю; тогда
; (4.16)
примечание 2: если силы, действующие на систему потенциальны (однозначно определяются только положением материальных точек системы), то обобщенную силу Qi можно найти как частную производную потенциальной энергии по обобщенным координатам, т. е.
, (4.17)
где потенциальная энергия системы Eп определяется как функция обобщенных координат, т. е. Eп =; потенциальная энергия, создаваемая силами тяжести звеньев механической системы, для i-го звена массой mi равна , где - высота подъема центра масс i-го звена, g – ускорение силы тяжести; потенциальная энергия, создаваемая силами упругости упругого звена (например, пружины), для i-го звена равна , где сi – жесткость упругого звена, - угол закручивания (приращение обобщенной координаты);
4) вычисляют кинетическую энергию Eк системы как функцию обобщенных координат и скоростей т. е. ; кинетическая энергия материальной системы определяется как сумма кинетических энергий всех n материальных точек системы
. (4.18)
Использование формулы (4.18) ориентировано на концепцию распределенных масс механической системы и требует определение абсолютных скоростей достаточно большого множества материальных точек системы с массами mi .
Кинетическая энергия в частных случаях движения твердого тела:
- при поступательном движении: , где m – масса твердого тела, v – скорость любой его точки;
- при вращательном движении вокруг неподвижной оси: , где JZ – момент инерции твердого тела относительно оси Z вращения, – угловая скорость вращения;
- при вращательном движении вокруг неподвижной точки: , где J – момент инерции твердого тела относительно мгновенной оси вращения, – модуль мгновенной угловой скорости.
Если в твердом теле удается выделить оси материальной симметрии и, соответственно, главные центральные оси инерции, то кинетическую энергию тела определяют по формуле
, (4.19)
где - осевые моменты инерции твердого тела;
- проекции мгновенной угловой скорости на соответствующие координатные оси.
5) определяют частные производные кинетической энергии по обобщенным скоростям, т. е. , а затем вычисляют их производные по времени:
;
6) находят частные производные кинетической энергии по обобщенным координатам, т. е. ;
7) полученные в п. п. 3-6 результаты подставляют в уравнение (4.14) и дифференциальные уравнения разрешают относительно вторых производных по времени обобщенных координат, т. е. записывают уравнение движения механической системы в форме (4.15).
В качестве примера составления уравнения Лагранжа рассмотрим кинематическую схему маятника, приведенную на рис. 4.5.
Рис. 4.5. Кинематическая схема маятника
1) Число степеней свободы материальной системы n = 1.
2) В качестве обобщенной координаты механической системы примем угол отклонения нити маятника от вертикальной оси.
3) Для определения обобщенной силы Q1 (n=1) надо вычислить сумму работ всех активных сил, включая реакции неидеальных связей, на обобщенном возможном перемещении . Единственной активной силой является сила тяжести маятника P=mg. Так как нить рассматривается нерастяжимой, то она является идеальной связью. Работа силы тяжести на возможном перемещении :
.
Заметим, что работа является отрицательной, т. к. знаки вращающего момента, вызванного силой P и приращения , разные.
Отсюда с учетом (4.16)
.
Полученная обобщенная сила имеет размерность момента (нм).
Обобщенная сила Q1 может быть определена иначе - на основе расчета потенциальной энергии системы :
.
4) Кинетическая энергия системы (твердого тела с массой m) при вращательном движении вокруг неподвижной оси:
,
где JZ – момент инерции твердого тела относительно оси Z вращения, направленной перпендикулярно плоскости рисунка; для невесомой нити и точечной массы m имеем ;
– угловая скорость вращения.
5) Частная производная кинетической энергии по обобщенной скорости , а ее производная по времени
.
6) Кинетическая энергия Eк не зависит от обобщенной координаты , а, следовательно, частная производная кинетической энергии по обобщенной координате .
7) После подстановки полученных выражений в уравнение Лагранжа (4.14) получим
(4.20)
или с учетом допущений, принятых для нити и массы маятника
. (4.21)
Полученные дифференциальные уравнения (4.20), (4.21) являются динамическим уравнением движения маятника.
4.5. Линеаризация САУ
При анализе и синтезе САУ применяются математические модели (ММ), представляемые, как правило, обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). Большинство реальных ОУ в широком диапазоне изменения их переменных являются нелинейными, однако, как показывает практика, в области достаточно малых отклонений координат (переменных) они могут быть аппроксимированы линейными ММ. Свойство линейности ММ ОУ позволяет при исследовании САУ воспользоваться преобразованием Лапласа к ММ в форме ОДУ и свести интегрирование ОДУ к простым алгебраическим преобразованиям. Кроме того, линейность преобразований и получаемых линейных подпространств координат лежит в основе векторно-матричных моделей САУ и их исследования в пространстве состояний, т. е. во временной области. Последнее обстоятельство позволяет применить при синтезе и анализе САУ упоминаемые ранее компьютерные системы MATLAB, MathCAD, Maple V, Mathematica и др., базирующиеся на матричных методах исследования линейных систем.
Любая линейная система удовлетворяет свойствам суперпозиции и гомогенности. Первое свойство означает, что произвольная сумма аддитивных воздействий x1(t) + x2(t) на входе САУ дает реакцию y1(t) + y2(t) на выходе САУ. Второе свойство предполагает выполнение условия масштабируемости, т. е. при изменении входного сигнала x1 в k раз выходной сигнал y1 линейной САУ изменится соответственно в k раз.
Подавляющее большинство механических и электрических элементов САУ являются линейными в достаточно широком диапазоне изменения их переменных (координат) относительно стационарного режима, чего нельзя сказать о гидравлических, пневматических, термодинамических и иных элементах. Вместе с тем, даже такие элементы САУ можно линеаризовать при условии достаточно малых отклонений координат в окрестности точки стационарного режима (рабочей точки).
Любую непрерывную функцию y(x) в окрестности рабочей точки x = x0 можно разложить в ряд Тейлора
(4.22)
В окрестности рабочей точки при малых отклонениях переменной x от x0 выражение (4.22) можно аппроксимировать линейной формой
, (4.23)
где k – тангенс угла наклона касательной к кривой в точке x0.
Выражение (4.23) можно преобразовать к виду
(4.24)
или
. (4.25)
Данный метод линеаризации иногда еще называют методом касательной линеаризации в рабочей точке x0 или вдоль рабочей траектории .
Рассмотрим простейший пример линеаризации модели идеального маятника как статического элемента САУ (см. рис. 4.4).
Уравнение движения маятника, отклоненного на угол от вертикали, в осях “угол - вращающий момент” в соответствие с (4.20) имеет вид
, (4.26) где M – вращающий момент;
g – ускорение свободного падения.
Линеаризуем (4.26) в окрестности рабочей точки M0(), где примем равным нулю:
(4.27)
или . (4.28)
Рассмотрим пример линеаризации нелинейного уравнения, описывающего зависимость электромагнитного момента M двигателя постоянного тока от тока якоря iя и магнитного потока Ф,
M = CмФ iя , (4.29)
где Cм – конструктивная постоянная двигателя.
Уравнение (4.29) относится к классу нелинейных уравнений, поскольку содержит произведение координат электродвигателя – магнитного потока и тока якоря. Линеаризуем (4.29) в окрестности рабочей точки M0(Ф0, iя0), соответствующей, например, номинальному режиму работы двигателя, т. е. при M0 = Mн, Ф0 = Фн, iя0 = iян :
. (4.30)
Пренебрегая в (4.30) произведением приращений координат получим линеаризованное уравнение в приращениях
. (4.31)
В этом уравнении Ф0 и iя0 предполагаются величинами постоянными, а, следовательно, уравнение (4.31) относится к классу линейных (линеаризованных в рабочей точке) уравнений.
Если управление двигателем осуществляется одновременно по цепям якоря и магнитного потока (цепи возбуждения двигателя), то рабочая точка в процессе управления будет смещаться относительно начального (номинального) режима, образуя семейство рабочих точек или рабочую траекторию. В этом случае при применении уравнения (4.31) говорят о линеаризации исходного нелинейного уравнения (4.29) вдоль рабочей траектории
M0 = Cм Ф0 i я0.
Помимо касательной линеаризации при исследовании нелинейных САУ в частотной области применяют метод гармонической линеаризации, а при исследовании стохастических САУ - стохастической линеаризации [2, 12, 19, 20].
5. Структурные методы исследования линейных САУ
Исследование линейных динамических систем, математические модели которых представлены в форме обыкновенных дифференциальных уравнений, может быть упрощено, если вместо рассмотрения переменных, характеризующих состояние системы во времени (оригиналов), рассматривать соответствующие им изображения, получаемые на основе преобразования Лапласа. Применение такого подхода позволяет заменить операции дифференцирования и интегрирования более простыми арифметическими операциями умножения и деления изображения на оператор p и, тем самым, значительно облегчить исследование САУ. Преобразования Лапласа лежат в основе получения передаточных функций линейных динамических звеньев, объектов и систем управления. Они также являются основой составления и преобразования структурных схем – удобной и наглядной форме структурного описания и исследования динамических свойств линейных САУ.
5.1. Преобразование Лапласа, передаточные функции и матрицы
Возможность линеаризации технических объектов и систем предоставляет в распоряжение исследователей аппарат преобразования Лапласа.
Прямое преобразование Лапласа (определение изображения) непрерывной функции времени f(t) имеет вид [2, 19]
, (5.1)
где p – оператор Лапласа (комплексная переменная).
Обратное преобразование Лапласа (определение оригинала) функции комплексной переменной F(p) имеет вид
. (5.2)
При решении большинства практических задач применяются таблицы преобразований Лапласа, полученные на основе выражения (5.1). В табл. 5.1 приведены некоторые наиболее важные соотношения непрерывной функции времени t и функции комплексной переменной p.
Как видим, переменную p в преобразовании Лапласа можно рассматривать как оператор дифференцирования при описании САУ во временной области, т. е.
. (5.3)
Таблица 5.1
|
Наименование функции |
Оригинал функции f(t) |
Изображение функции F(p) |
|
Импульсная |
1 |
|
|
Импульсная с чистым запаздыванием |
||
|
Ступенчатая |
||
|
Линейная |
||
|
Степенная |
||
|
Асимптотически затухающая |
||
|
Асимптотически нарастающая |
||
|
Синусоидальная |
||
|
Косинусоидальная |
||
|
Синусоидальная асимптотически затухающая |
||
|
Косинусоидальная асимптотически затухающая |
||
|
Дифференцирующая |
Механизм использования преобразования Лапласа для упрощения решения уравнений динамики САУ, т. е. определения реакции выходной координаты системы на некоторое входное воздействие, предполагает следующую последовательность действий:
5) суммирование реакций при необходимости оценки влияния на систему одновременно нескольких входных воздействий (реализация принципа наложения или, иначе, принципа суперпозиции линейных систем).
Преобразования Лапласа лежат в основе получения одной из основных характеристик линейных стационарных (с постоянными параметрами) систем – передаточной функции, описывающей динамическую связь переменных отдельных звеньев системы и системы в целом в терминах “вход-выход”.
Передаточная функция W(p) линейной САУ – отношение преобразования Лапласа выходной переменной Y(p) к преобразованию Лапласа входной переменной X(p) при условии, что все начальные условия () системы при t = 0 равны нулю, т. е.
. (5.4)
Заметим, что передаточная функция системы несет информацию о взаимосвязи только ее выходной и входной переменных и не несет никакой информации о ее внутренних переменных.
Пусть дифференциальное уравнение системы имеет вид
, (5.5)
где X(t), Y(t) – соответственно входное воздействие и выходная реакция системы, ai , bi – постоянные коэффициенты, i =1,…, n-1.
Тогда с учетом (5.3), (5.4) получим передаточную функцию системы
. (5.6)
Если полином, стоящий в знаменателе, приравнять нулю, то мы получим характеристическое уравнение, названное так потому, что его корни (полюса) определяют характер движения системы. Корни полинома, стоящего в числителе, называют нулями системы. В полюсах передаточная функция (6.6) обращается в бесконечность, в нулях – в нуль. Расположение полюсов и нулей на комплексной p-плоскости определяет характер собственного (свободного) движения системы. Выбор рационального расположения полюсов и нулей замкнутой системы за счет применения корректирующих звеньев – один из широко применяемых подходов к синтезу САУ.
Проектировщик должен отчетливо представлять, как влияют нули и полюса передаточной функции САУ на реакцию системы на то или иное аддитивное воздействие. Полюсы замкнутой САУ определяют отдельные составляющие переходной характеристики, а ее нули определяют удельный вес каждой из этих составляющих. На рис. 5.1 приведено условное отображение на плоскости комплексного переменного временной реакции устойчивой, находящейся на границе устойчивости и неустойчивой САУ на импульсное воздействие (полюса отображены треугольниками).
Рис. 5.1. Реакция САУ на импульсное воздействие при различном
положении корней на комплексной плоскости
В системе MATLAB имеются специальные команды, позволяющие определить расположение нулей и полюсов передаточной функции САУ на комплексной плоскости. Рассмотрим пример. Пусть передаточная функция САУ имеет вид
.
Запишем скрипт MATLAB, обеспечивающий вывод на печать значений нулей (zero), полюсов (pole) и картины их расположения на комплексной плоскости (pzmap):
num=[1 3 2]; % Формирование полинома числителя
den=[1 3 4 1]; % Формирование полинома знаменателя
sys=tf(num,den); % Формирование передаточной функции
z=zero(sys)
p=pole(sys)
pzmap(sys) % Размещение нулей и полюсов на комплексной плоскости
В результате расчета получаем:
z =
-2
-1
p =
-1.3412 + 1.1615i
-1.3412 - 1.1615i
-0.3177
Рис. 5.2. Расположение корней САУ на комплексной плоскости
Передаточные функции подавляющего большинства САУ характеризуются принадлежностью нулей к левой комплексной полуплоскости. Если все нули передаточной функции системы находятся в левой полуплоскости, то САУ называется минимально-фазовой. Между тем, при смене знака при операторе p в числителе передаточной функции фазовые характеристики САУ изменятся при одинаковых АЧХ. Передаточные функции таких САУ, содержащих нули в правой полуплоскости называют неминимально-фазовыми. При синтезе таких систем могут иметь место проблемы обеспечения устойчивости и качества управления.
Технические системы управления могут иметь несколько входов (аддитивных задающих и возмущающих воздействий) и несколько выходов, причем входные воздействия могут оказывать влияние на несколько выходных (управляемых) переменных. Такие системы называют многосвязными многомерными. Для их описания и исследования применяют не передаточные функции, а передаточные матрицы.
Пусть число управляемых величин равно n, число задающих воздействий m, а число возмущающих воздействий – k. Совокупности выходных, задающих и возмущающих переменных можно записать в виде соответствующих векторов-столбцов X=col(x1… xn), Z=col(z1… zm), F=col(f1… fk). Уравнение такой n-связной системы можно записать в векторно-матричной операторной форме
A(p)X(p) = B(p)Z(p) + C(p)F(p), (5.7)
где A(p), B(p), C(p) – операторные передаточные матрицы,
; ,
.
Разрешая уравнение (5.7) относительно вектора выходных переменных получим
. (5.8)
Первое слагаемое в (5.8) представляет собой реакцию системы на задающие воздействия, второе – на возмущающие воздействия. Для получения оригинала выходной переменной как функции времени необходимо использовать обратное преобразование Лапласа (5.2) или таблицы преобразований (отдельно для каждого входного воздействия) и просуммировать реакции при необходимости оценки влияния на систему одновременно нескольких входных воздействий.
5.2. Типовые динамические звенья и структурные схемы САУ
Для наглядного представления структуры сложной динамической системы управления как совокупности элементов и связей между ними применяют структурные схемы и графы. Структурные схемы, как и сигнальные графы, представляют собой графическое изображение структуры САУ. Элементы структурной схемы САУ представляют в виде типовых динамических звеньев, характеризующихся однонаправленностью, одним входом и одним выходом, что позволяет применить для их описания аппарат передаточных функций. Если реальное динамическое звено не обладает однонаправленностью, т. е. выход оказывает влияние на вход, то такой элемент представляют в виде направленного звена с обратной связью. Если у элемента несколько входов, в его структуру включают суммирующие звенья (сумматоры) – специфические многовходовые безынерционные звенья с единичными коэффициентами передачи по каждому входу, причем каждый вход сумматора обозначается знаковой функцией (+ или –). Если у элемента несколько выходов, это означает, что его нельзя рассматривать как элементарное звено и к нему необходимо применить декомпозицию, выделив соответствующие числу выходов звенья.
На структурных схемах динамические звенья изображают прямоугольниками, входные и выходные воздействия - подходящими и отходящими от прямоугольников стрелками и текстовыми надписями, обозначающими формальный их вид. Внутри прямоугольников вводят обозначения передаточных функций звеньев. Сумматоры сигналов (переменных САУ), как правило, обозначают окружностями, сами сигналы - подходящими к окружностям стрелками с указанием имен переменных и знаков алгебраического суммирования (+ или –). Следует отметить, что в технической литературе, компьютерных системах автоматизированного проектирования и управления, системах сопровождения жизненного цикла САУ (САПР, АСУ ТП, CAD/CAM, SCADA, CALS) встречается множество графических обозначений сумматоров сигналов, однако в силу своей простоты все они интуитивно понятны.
В обобщенной форме структурная схема динамического звена приведена на рис. 5.3.
Рис. 5.3. Обобщенная структурная схема динамического звена
Типовые элементарные динамические звенья, их реакции на единичные ступенчатое и импульсное воздействия приведены в табл. 5.2.
В качестве примера составления структурных схем динамических объектов управления рассмотрим электродвигатель постоянного тока, регулируемый по цепям якоря и возбуждения [3, 18]. Функциональная схема и схемы замещения электродвигателя приведены на рис. 5.4.
В структуре электродвигателя можно выделить три основных цепи (см. рис. 5.4б, 5.4в, 5.4г):
- цепь якоря, питаемая регулируемым напряжением Uя; Rэ, Lэ – соответственно эквивалентное активное сопротивление и эквивалентная индуктивность якорной обмотки; Eд – э.д.с. электродвигателя; iя – ток якоря;
- цепь возбуждения, питаемая регулируемым напряжением Uв; Rв, Lв – соответственно эквивалентное активное сопротивление и эквивалентная индуктивность обмотки возбуждения; iв – ток возбуждения;
- электромеханическая цепь, обеспечивающая преобразование электромагнитной энергии в механическую энергию вращения вала ротора; Jд – приведенный к валу двигателя момент инерции электродвигателя и вращаемого механизма; M, Mc – соответственно электромагнитный момент электродвигателя и момент сопротивления на его валу; - скорость вращения вала двигателя.
Таблица 5.2
|
Название звена и его передаточная функция W(p) |
Переходный процесс h(t) |
Импульсный переходный процесс w(t) |
|
1. Масштабирующее (безынерционное) звено W(p) = k |
h(t) 0 t |
w(t) 0 t |
|
2. Интегрирующее звено |
h(t) 0 t |
w(t) 0 t |
|
3. Идеальное дифференцирующее звено W(p) = kp |
h(t) 0 t |
w(t) 0 t |
|
4. Реальное дифференцирующее звено |
h(t) 0 t |
w(t) 0 t |
|
5. Апериодическое звено |
h(t) k 0 T t |
w(t) 0 T t |
|
6. Колебательное звено |
h(t) k 0 t |
w(t) 0 t |
|
7. Изодромное звено |
h(t) 0 t |
w(t) 0 t |
Для описания динамических моделей электрических цепей электродвигателя воспользуемся законами Кирхгофа, а для описания механической цепи – 2-м законом Ньютона. Тогда получим:
Рис. 5.4. Функциональная схема (а) и схемы замещения (б-г)
электродвигателя постоянного тока
,
, (5.9)
,
где , - электромагнитные постоянные времени соответственно обмотки якоря и обмотки возбуждения, , .
Электромагнитные цепи двигателя взаимосвязаны. При подаче напряжения по цепи якоря протекает ток , создающий электромагнитный момент, вращающий ротор, т. е.
, (5.10)
где - конструктивная постоянная двигателя.
Ток, протекающий по обмотке возбуждения, создает магнитный поток Ф, пронизывающий обмотку якоря и наводящий в ней э.д.с. вращения, т. е.
, (5.11)
где - конструктивная постоянная двигателя, в системе СИ равная по величине .
Анализируя выражения (5.10), (5.11), заметим, что произведение переменных приводит к нелинейности математической модели электродвигателя, регулируемого одновременно по цепям якоря и возбуждения. Полагая, что электродвигатель регулируется только по цепи якоря (напряжение возбуждения , ), математическая модель электродвигателя примет вид линейной модели 2-го порядка
, (5.12)
.
Для перехода от дифференциальных уравнений (5.12) к операторным уравнениям произведем замену . Тогда получим
, (5.13)
.
По операторным уравнениям (5.13) составим структурную схему электродвигателя, приведенную на рис. 5.5.
Рис. 5.5. Структурная схема электродвигателя,
регулируемого по цепи якоря
Как видим, структурная схема электродвигателя содержит 4 типовых линейных динамических звена: апериодическое, интегрирующее и 2 безынерционных звена, а также 2 суммирующих элемента.
5.3. Способы соединения звеньев.
Правила преобразования структурных схем
Одним из основных вопросов теории управления является составление и преобразование структурных схем САУ.
Структурные схемы САУ, как уже отмечалось, графически отображают причинно-следственную связь их переменных. При непосредственном применении прямого преобразования Лапласа к исходным дифференциальным уравнениям звеньев структура САУ может отображать собой далеко не оптимальную в концепции “вход-выход” систему. Пользуясь определенными правилами исходную структурную схему САУ можно упростить, сведя ее к структуре (конфигурации) с меньшим числом звеньев, но более сложных по структуре, или к конфигурации, содержащей только простейшие типовые звенья, но с общепринятой в конкретной предметной области структурой.
В теории управления техническими системами традиционно применяется три основных типа соединения динамических звеньев: последовательное, параллельное и с обратной связью. Кроме того, наличие нескольких входов у линейных динамических звеньев позволяет в ряде случаев методами структурных преобразований схем существенно упростить исследование динамической модели САУ при заданных входе и выходе. При этом ряд многих взаимосвязанных звеньев сводится к одному или относительно небольшому числу взаимосвязанных звеньев. При анализе таких структурных схем гораздо отчетливее проявляется роль каждого звена в преобразовании входного воздействия САУ, чем это было бы при рассмотрении дифференциальных уравнений, описывающих САУ.
В основе преобразований структурных схем линейных САУ лежат присущие линейным системам свойства суперпозиции, коммутативности, ассоциативности и др. Основные правила преобразований структурных схем приведены в таблице 5.3.
Особую значимость в теории управления имеет 4-е структурное преобразование (см. табл. 5.3). Поскольку в основе построения подавляющего большинства САУ используется введение обратных связей по регулируемой координате или возмущающему воздействию преобразованную структурную схему можно рассматривать как обобщенную структурную схему любой замкнутой системы. При этом W1 представляет собой передаточную функцию разомкнутой САУ, а W2 - передаточную функцию звена обратной связи. Знак “+” в знаменателе передаточной функции соответствует отрицательной обратной связи, знак “–” – положительной обратной связи по регулируемой координате.
В качестве примера найдем передаточные функции электродвигателя постоянного тока, регулируемого по цепи якоря (см. структурную схему, рис. 5.5), для двух случаев: в координатах “напряжение якоря – скорость вращения” и “момент сопротивления на валу – скорость вращения”.
Таблица 5.3
|
Номер п/п |
Название структурного преобразования |
Исходная структурная схема |
Преобразованная структурная схема |
|
1 |
Перестановка звеньев |
||
|
2 |
Последовательное соединение звеньев |
||
|
3 |
Параллельное соединение звеньев |
||
|
4 |
Встречно-параллельное соединение звеньев |
||
|
5 |
Перенос линии связи до звена |
||
|
6 |
Перенос линии связи за звено |
||
|
7 |
Перенос сумматора до звена |
||
|
8 |
Перенос сумматора за звено |
В первом случае разомкнутая цепь двигателя содержит последовательно включенные апериодическое, безынерционное и интегрирующее звенья, а в обратной связи - одно безынерционное звено с передаточной функцией . Применяя 2-е и 4-е правила преобразования структурных схем, получим
, (5.14)
где , - соответственно коэффициент передачи двигателя и электромеханическая постоянная времени, , .
Во втором случае разомкнутая цепь двигателя содержит одно интегрирующее звено, а в обратной связи - последовательно включенные безынерционное звено с передаточной функцией , апериодическое звено и безынерционное звено с передаточной функцией . Применяя 2-е и 4-е правила преобразования структурных схем, получим
. (5.15)
Устойчивость САУ – одно из необходимых, но не достаточных условий ее функционирования. Проблема неустойчивости системы, как правило, обусловлена стремлением обеспечить качество САУ (достаточное условие функционирования) за счет введения корректирующих звеньев и обратных связей по контролируемым координатам. Вместе с тем, в ряде случаев именно введение обратной связи делает устойчивой систему, неустойчивую в разомкнутом состоянии.
Поскольку большинство реальных САУ являются нелинейными, то необходимо четко представлять, когда оценка устойчивости линеаризованной модели системы является правомочной. А. М. Ляпуновым сформулированы следующие условия устойчивости системы по ее линеаризованной модели:
1) если линейная система устойчива, то устойчива и реальная САУ; при этом никакие отброшенные при линеаризации члены не могут изменить ее устойчивости;
2) если линейная система неустойчива, то неустойчива и реальная САУ; при этом никакие отброшенные при линеаризации члены не могут сделать ее устойчивой;
3) если линейная система находится на границе устойчивости, то судить об устойчивости реальной САУ нельзя, и необходим анализ отброшенных при линеаризации членов.
Необходимо различать устойчивость “в малом” и устойчивость “в большом”. Система является устойчивой “в малом”, если она обладает ограниченной реакцией на ограниченное входное воздействие (задающее или возмущающее). Система устойчива “в большом”, если она устойчива при любых значениях входных воздействий.
6.1. Характеристическое уравнение линейной САУ. Влияние
корней характеристического полинома на устойчивость САУ
Устойчивость линейных систем не зависит от величины входных воздействий. Если линейная система устойчива, то в такой системе свободный (собственный) процесс, как отмечалось в разделе 5.2, с течением времени стремится к нулю.
Свободный процесс определяется решением однородного дифференциального уравнения, описывающего замкнутую линейную систему, или корнями характеристического уравнения передаточной функции замкнутой САУ.
Дифференциальное уравнение свободного движения одномерной линейной системы имеет вид
. (6.1)
Решение этого уравнения представляет собой сумму затухающих экспонент
, (6.2)
где - постоянные, определяемые начальными условиями,
- корни характеристического уравнения системы
. (6.3)
Рассмотрим подробнее понятие характеристического уравнения, оперируя понятием передаточной функции.
Любую одноконтурную замкнутую линейную САУ можно представить в виде передаточной функции
, (6.4)
где - передаточная функция прямого канала САУ (от входного воздействия до выхода),
; (6.5)
- передаточная функция канала обратной связи (от выхода до входного воздействия),
. (6.6)
Обозначим передаточную функцию разомкнутой САУ как , т. е.
. (6.7)
Тогда с учетом (6.2) – (6.4) характеристическое уравнение замкнутой САУ будет иметь вид
. (6.8)
Очевидно, что полином (6.8) знаменателя передаточной функции замкнутой САУ можно представить в виде (6.1), полученном непосредственно по модели САУ в форме дифференциального уравнения.
Аналитическая формулировка условий устойчивости САУ по корням характеристического полинома дана А. М. Ляпуновым в следующем виде.
Для того чтобы САУ была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все полюсы передаточной функции (6.4) имели отрицательные действительные части или все корни ее характеристического уравнения (6.8) были левыми. Если хотя бы один полюс находится в правой полуплоскости, система неустойчива. Если имеется пара корней, расположенных на мнимой оси, а остальные корни принадлежат левой полуплоскости, то система находится на границе устойчивости.
Для суждения об устойчивости САУ нет необходимости в вычислении корней ее характеристического уравнения, достаточно лишь определить характер их расположение на комплексной плоскости или соотношения между коэффициентами характеристического уравнения. Правила, позволяющие оценить устойчивость САУ без нахождения корней характеристического уравнения, называют критериями устойчивости. Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости линейных САУ.
К алгебраическим критериям устойчивости линейных САУ относятся критерии А. Гурвица и Э. Рауса.
Формулировка критерия: автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением n-го порядка
, (6.9)
устойчива, если при a0>0 положительны все диагональные определители (определители Гурвица) ∆1, ∆2, …, ∆n , т. е.
, (6.10) где ∆1=a1, ∆2 = a1a2 - a0a3, ∆3 = a3(a1a2 - a0a3),… .
Если хотя бы один из определителей Гурвица отрицателен, то система неустойчива. Если главный определитель ∆п= 0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.
Рассмотрим применение критерия Гурвица для оценки устойчивости линейных систем 1…4 порядка. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.
1. Для уравнения первого порядка (n=1) условие устойчивости: а0>0 и ∆1=а1>0, т.е. для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля.
2. Для уравнения второго порядка (n=2) условие устойчивости:
.
Таким образом, для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.
3. Для уравнения третьего порядка (n=3) условие устойчивости:
При n=3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительны и произведение средних коэффициентов уравнения (а1, а2) было больше произведения крайних (а0, а3).
4. Для уравнения четвертого порядка (n=4)
кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия
.
Таким образом, для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель Гурвица ∆п-1 были положительными.
Запасом устойчивости САУ по алгебраическому критерию Гурвица считается некоторая величина , при которой самый минимальный определитель Гурвица не должен быть меньше этой величины, т. е. при .
Критерий Гурвица удобно применять для систем не выше 4-го порядка. При n>4 целесообразно применять критерий Рауса.
Для оценки устойчивости системы по этому критерию составляется матрица Рауса, представляющая собой таблицу
. (6.11)
Формулировка критерия: САУ будет устойчивой, если будут положительны все элементы первого столбца таблицы Рауса (включая а0 и а1), рассчитываемые по выражению:
, (6.12)
где i – номер строки, j – номер столбца.
Если хотя бы один коэффициент первого столбца отрицателен, то система неустойчива. При этом число перемен знака среди этих коэффициентов соответствует числу правых корней характеристического уравнения.
Рассмотрим пример.
Пусть характеристическое уравнение системы 5-го порядка имеет вид:
(6.13)
В соответствие с (7.12) имеем:
Все коэффициенты первого столбца таблицы (6.11) положительны, что означает - система устойчива.
Проверим полученный результат с помощью системы программирования MATLAB, непосредственно вычислив корни характеристического уравнения. Для этого воспользуемся функцией “pole”. Ниже приведен скрипт и результат вычисления корней, а также их расположение на комплексной плоскости (рис. 7.1).
num1=[1]; den1=[1024 1024 512 128 16 0]; sys1=tf(num1,den1);
sys=feedback(sys1,[1]) % Формирование передаточной функции
% замкнутой системы
Transfer function:
1
---------------------------------------------------------------
1024 s^5 + 1024 s^4 + 512 s^3 + 128 s^2 + 16 s + 1
pole(sys) % Вычисление корней
ans =
-0.2804 + 0.3267i
-0.2804 - 0.3267i
-0.2500
-0.0946 + 0.1101i
-0.0946 - 0.1101i
pzmap(sys) % Размещение корней на комплексной плоскости.
Рис. 6.1. Расположение корней характеристического полинома
(6.13) на комплексной плоскости
Как видим, корни имеют отрицательные действительные части, а, значит, система устойчива.
Рассмотрим еще один пример. Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид
(6.14)
В соответствие с (7.12) имеем:
Система неустойчива, причем имеет место две перемены знака среди коэффициентов 1-го столбца таблицы Рауса, а, следовательно, два корня с правыми корнями. Ниже приведены скрипт MATLAB и картина расположения корней на комплексной плоскости (рис. 6.2).
num=[1];
den=[1 1 2 8];
sys=tf(num,den) % Формирование передаточной функции
Transfer function:
1
-------------------
s^3 + s^2 + 2 s + 8
pole(sys) % Полюса передаточной функции
ans =
-2.0954
0.5477 + 1.9988i
0.5477 - 1.9988i
pzmap(sys) % Размещение корней на комплексной плоскости.
Рис. 6.2. Расположение корней характеристического полинома
(6.14) на комплексной плоскости
6.3. Частотные критерии устойчивости
Алгебраические критерии устойчивости для систем выше четвертого-пятого порядка становятся трудоемкими для вычисления и не обладают наглядностью. Поэтому на практике широкое распространение получили частотные критерии устойчивости, такие как критерий Михайлова и критерий Найквиста. Эти критерии базируются на применении частотных характеристик и принципа аргумента. Частотные критерии позволяют не только определить устойчивость системы, но и оценить ее относительную устойчивость (запасы устойчивости по амплитуде и фазе), а также подсказать, как следует изменять параметры системы для повышения относительной устойчивости.
6.3.1. Критерий Михайлова
Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид (6.9). Заменим в нем оператор p на . Тогда кривой Михайлова будет называться функция вида
. (6.15)
Выделим в (6.15) действительную и мнимую части:
(6.16)
Разложим на множители
,
где li – корни данного уравнения, i=1…n.
Рассмотрим суть принципа аргумента. Каждому корню li на комплексной плоскости соответствует некоторая точка Ai. Если соединить эту точку с нулем, то можно говорить о векторе (рис. 6.3). Длина вектора равна модулю комплексного числа li, а угол, образуемый положительной действительной осью и вектором li, есть аргумент комплексного числа li.
Рис. 6.3. Размещение корня
характеристического уравнения
на комплексной плоскости
Рассмотрим, как будет вести себя вектор при изменении частоты от -∞ до +∞. Считаем движение против часовой стрелки положительным. Заметим, что , а (см. рис. 6.3). Тогда для корней, находящихся в левой части комплексной плоскости при изменении частоты , вектор описывает угол +p . Для корней, находящихся в правой полуплоскости, вектор при изменении частоты опишет угол -p .
Будем полагать, что порядок системы равен п, причем m корней положительно. Тогда остальные п-т корней будут отрицательны. Суммарный угол поворота всех векторов будет определяться выражением:
. (6.17)
Очевидно, что при изменении частоты от 0 до +∞ приращение аргумента будет вдвое меньше:
. (6.18)
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все правые корни были равны нулю и отсутствовали чисто мнимые корни, а значит для устойчивости системы необходимо соблюдение условий
(6.19)
(6.20)
Выражения (6.19) и (6.20) представляют собой математическую формулировку критерия Михайлова.
Конформное (подобное) отображение кривой Михайлова на комплексной плоскости Re(ω), Im(ω) носит название годографа Михайлова. Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до ∞, начав свое движение с положительной полуоси, последовательно проходил n квадрантов комплексной плоскости, нигде не обращаясь в ноль (рис. 6.4).
Как следствие из критерия Михайлова вытекает, что корни уравнений (6.16) устойчивых САУ должны чередоваться, поскольку вещественная и мнимая координатные оси должны пересекаться годографом поочередно.
Очевидно, что, если годограф Михайлова не проходит последовательно n квадрантов или начинается не на положительной вещественной полуоси, то система неустойчива.
Рис. 6.4. Годографы Михайлова устойчивых САУ 1…4 порядка
В отличие от критериев Гурвица, Рауса и Михайлова, которые основаны на анализе характеристического уравнения замкнутой системы, критерий Г. Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике (АФЧХ) разомкнутого контура системы. В этом заключается существенное преимущество критерия, т.к. построение АФЧХ разомкнутого контура для большинства реальных систем оказывается проще, чем построение годографа Михайлова. Особенно упрощается это построение для одноконтурных систем, состоящих из типовых звеньев.
Найквист в своем критерии рассматривает вспомогательную функцию, определяемую по формуле
, (6.21)
где - частотная передаточная функция разомкнутого контура.
Для физически реализуемых САУ степень полинома не выше степень полинома . Тогда степени числителя и знаменателя в (6.21) одинаковы и равны n.
Полюса этой передаточной функции являются полюсами разомкнутой САУ, а нули - полюсами замкнутой системы. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы все нули (6.21) располагались в левой половине комплексной плоскости.
Согласно теореме Коши [19] необходимо на комплексной плоскости выбрать контур (контур Найквиста), который охватывал бы всю ее правую половину, и исследовать, не находятся ли внутри ее какие-либо нули функции (6.21). Конформное отображение контура Найквиста в плоскость сводится к построению на комплексной плоскости вектора (годографа Найквиста), начало которого находится в точке (-1, j0), а конец скользит при изменении частоты от 0 до ∞ по АФЧХ разомкнутой системы .
Аргумент частотной передаточной функции (6.21) при изменении частоты от 0 до ∞ определяется формулой
. (6.22)
Рассмотрим три случая.
Тогда для устойчивости замкнутой системы в соответствие с (6.22) необходимо, чтобы
.
Система в замкнутом состоянии будет устойчива, если изменение аргумента функции j(jw) при изменении частоты от 0 до ¥ составит ноль.
Критерий Найквиста для первого случая:
замкнутая система будет устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не пересекает отрезок (-¥; -1), т.е. не охватывает критическую точку (-1; j0).
На рисунке 6.5а изображен годограф системы, устойчивой в замкнутом состоянии, а на 6.5б – неустойчивой системы.
Рис. 6.5. Годографы Найквиста устойчивой (а) и неустойчивой (б) системы
Система находится на границе устойчивости, если годограф, соответствующий амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы, хотя бы один раз пересечет точку (-1; j0).
2. Разомкнутая система неустойчива, причем число ее правых корней равно m.
Замкнутая система устойчива, если изменение аргумента при изменение частоты от 0 до ¥ представляется формулой:
.
При анализе устойчивости системы будем считать положительным переходом годографа при изменении частоты от 0 до ¥ пересечение им отрезка вещественной оси (-¥, -1) сверху вниз, отрицательным - снизу вверх. Если АФЧХ начинается на отрезке (-¥, -1), то будем считать это за 0,5 перехода с соответствующим знаком. Тогда критерий Найквиста звучит так:
если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет m положительных корней, то система в замкнутом состоянии будет устойчива лишь в том случае, если разность между количеством положительных переходов и количеством отрицательных переходов отрезка действительной оси будет равна m/2, т.е. если годограф разомкнутой системы пересекает отрезок в положительном направлении m/2 раз.
3. Система в разомкнутом состоянии устойчива, однако введение обратной связи делает ее неустойчивой.
Замкнутая система неустойчива, если изменение аргумента при изменении частоты от 0 до ¥ представляется формулой:
.
Критерий Найквиста для данного случая звучит так:
если система в разомкнутом состоянии устойчива, а в замкнутом состоянии неустойчива, то годограф пересекает отрезок в отрицательном направлении m/2 раз.
Объединяя все три случая можно дать следующее определение критерия Найквиста:
система в замкнутом состоянии будет устойчива, если разность между числами положительных и отрицательных переходов годографа разомкнутой системы отрезка действительной оси будет равна m/2, где т – количество корней характеристического уравнения разомкнутой системы, находящихся в правой полуплоскости.
7. Качество систем управления
Любая САУ кроме устойчивости должна обеспечивать заданные качественные показатели управления. Качество управления (регулирования) оценивается количественными показателями, отражающими близость фактического процесса управления к желаемому. Задача обеспечения качества системы решается на этапе ее синтеза за счет формирования необходимой структуры устройства управления, введения обратных связей по координатам состояния и включения корректирующих звеньев в структуру устройства управления. Поскольку промышленные системы управления относятся к динамическим системам, их качество оценивают по поведению как в переходном, так и в установившихся режимах. Требования к установившимся режимам работы САУ, расчет статической ошибки регулирования, понятия статических и астатических систем рассмотрены в гл. 4.2. Ниже будут рассмотрены требования к качеству систем управления и способы оценки качественных показателей, прежде всего, в динамических, т. е. переходных режимах.
Различают прямые и косвенные показатели качества регулирования.
7.1. Прямые показатели качества регулирования
Прямые показатели качества определяются по виду переходных характеристик. При этом качество систем стабилизации оценивают по виду переходной характеристики по отношению к возмущающим воздействиям, качество систем программного управления – по отношению к задающим воздействиям, качество следящих САУ оценивают как по отношению к возмущающим, так и задающим воздействиям.
При анализе качественных показателей систем во временной области помимо ступенчатого воздействия к типовым тестовым воздействиям относят также линейное, параболическое и импульсное воздействия. Реакцию на один тестовый сигнал можно всегда выразить через реакцию на другой тестовый сигнал. Поскольку ступенчатый входной сигнал является наиболее простым, то именно он обычно выбирается в качестве тестового сигнала. Реакция системы на импульсный тестовый сигнал представляет интерес только в тех случаях, если в реальных условиях система подвержена воздействию очень коротких импульсов с достаточно большой амплитудой.
Графики переходных процессов получают экспериментально или путем решения дифференциального уравнения, описывающего систему в координатах “вход-выход”.
За основные показатели качества регулирования по виду переходных процессов принимают (рис. 7.1):
Рис. 7.1. Прямые показатели качества регулирования
1) время регулирования tр (время установления, время переходного процесса) – момент времени, после которого переходная характеристика остается внутри зоны, отличающейся от ступенчатого входного воздействия xвх на ±δ%; эта зона установления переходного процесса принимается, как правило, равной (2…5)%;
2) время нарастания регулирования tнр – время первого согласования переходной характеристики с входным воздействием;
3) время максимума tм переходной характеристики – момент времени, при котором переходная характеристика достигает своего максимального значения ymax ;
4) перерегулирование – относительная величина, рассчитываемая по формуле
; (7.1)
6) число колебаний m за время регулирования tр, определяемое по формуле
.
Проведение экспериментальных исследований для определения прямых оценок качества регулирования не всегда допустимо по условиям технологии, а численное решение дифференциального уравнения может оказаться достаточно трудоемкой задачей и требует применения вычислительной техники. В связи с этим в инженерной практике широкое применение нашли косвенные оценки качества.
7.2. Косвенные показатели качества регулирования
Косвенными оценками качества называют некоторые количественные величины, в той или иной мере характеризующие прямые показатели качества регулирования. К косвенным оценкам качества относят, в частности, рассмотренные выше показатели относительной устойчивости системы - запасы устойчивости по модулю и фазе, однако их недостаточно для суждения о таких важных показателях качества регулирования, как быстродействие, время нарастания регулирования, наличие и величина перерегулирования, число колебаний и др. Ниже рассмотрены некоторые методы косвенной оценки таких показателей качества регулирования. К ним относят корневые, частотные и интегральные оценки качества.
7.2.1. Оценка качества регулирования по расположению
корней характеристического уравнения
Одним из косвенных показателей качества систем управления является степень удаленности корней характеристического уравнения замкнутой САУ от мнимой оси комплексной плоскости. Пусть ближайшие к мнимой оси комплексно-сопряженные корни устойчивой системы имеют значение
. (7.1)
Расстояние (рис. 8.2) ближайших к мнимой оси комплексно-сопряженных корней называется степенью устойчивости системы.
Угол φ, образуемый лучами, проведенными из начала координат через эти корни, характеризует колебательность системы. Степенью колебательности системы (коэффициентом затухания колебаний) называют количественную характеристику, определяемую выражением
. (7.2)
Чтобы система обладала заданной колебательностью, все корни характеристического уравнения должны вписываться в угол 2φ (см. рис. 7.2). Для большинства систем управления допустимое перерегулирование не должно превышать (10…20)%, что соответствует m=0,2…0,5.
Рис. 7.2. Область расположения корней
с заданными показателями и
При корневых методах оценки качества системы, т. е. по расположению корней характеристического полинома, исходят из следующих соображений.
Решение однородного уравнения, характеризующего свободное движение системы, представляет собой сумму затухающих экспонент вида (6.2). Полагая, что качество САУ в основном определяется ближайшим к мнимой оси вещественным корнем или ближайшей к мнимой оси парой комплексно-сопряженных корней (доминирующих корней), можно записать
.
Полагая, что зона δ установления переходного процесса составляет (2…5)% от установившегося значения , можно найти требуемое соотношение степени устойчивости системы и времени регулирования tр:
. (7.3)
Следовательно, задаваясь временем регулирования, можно рассчитать минимальное (по модулю) значение вещественных частей корней характеристического уравнения.
Аналогично можно связать степень колебательности m системы со степенью затухания колебаний. Пусть по условиям технологии требуется, чтобы каждая последующая амплитуда колебаний затухала в k раз по сравнению с предыдущей. Тогда
. (7.4)
Пусть k=10, тогда в соответствие с (7.4) получим m=0,336 и
.
Таким образом, задаваясь временем регулирования и соотношением амплитуд колебаний k, можно определить допустимую область расположения корней на комплексной плоскости или решить обратную задачу расчета параметров и k переходного процесса по расположению доминирующих корней характеристического уравнения. Следует отметить, что данный подход дает приемлемую точность оценки качества регулирования, если действительные части остальных корней характеристического уравнения больше действительной части доминирующих корней, по крайней мере, в 5 раз [6].
Для построения в плоскости параметров областей, обеспечивающих требуемые показатели качества регулирования целесообразно использовать метод D-разбиения [6]. В качестве примера используем уравнение Вышнеградского, описывающего в параметрической форме характеристический полином 3-го порядка,
. (7.5)
где A и B – обобщенные параметры характеристического уравнения.
Подставим выражение для комплексного корня в (7.5). Тогда получим
.
Приравнивая нулю вещественную и мнимую части, получим
, (7.6)
Полагая в (7.6), получим границу области устойчивости системы в параметрической форме
(7.7)
или
- уравнение гиперболы Вышнеградского (кривая 1, рис. 7.3).
Рис. 7.3. Границы областей устойчивости,
колебательности и апериодичности на
диаграмме Вышнеградского
Полагая в (7.6), получим границу области апериодичности системы в параметрической форме (кривые 2 и 3 на рис. 7.3)
.
Поскольку на кривой 1 ω ≠ 0, а на кривых 2 и 3 ω = 0, то области I и III являются областями комплексных, а область II – вещественных корней (см. рис. 7.3). Следовательно, если параметры A, B принадлежат области II, то переходные процессы имеют апериодический характер, причем, чем эти параметры больше, тем процессы более затянуты. Если параметры принадлежат области I, то переходные процессы имеют колебательный характер, причем, чем больше A и меньше B, тем выше колебательность. Область III является областью монотонности решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего (7.5), а, следовательно, переходные процессы, имея колебательный характер, тем не менее, затухают монотонно (без перерегулирования).
Диаграмма Вышнеградского [19] помимо приведенных кривых содержит кривые равных вещественных частей комплексных корней (равной степени устойчивости), причем для двух случаев расположения корней, когда ближайшими к мнимой оси являются комплексные корни и, когда ближайшим к мнимой оси расположен вещественный корень (на рис. 7.3 эти кривые не показаны). В частности, на границе областей I и III (кривая 4) все три корня равно удалены от мнимой оси.
Требования повысить быстродействие и одновременно снизить перерегулирование в системе являются противоречивыми друг другу, что заставляет искать компромисс. В общем случае, с точки зрения переходного процесса наилучшей считается САУ, у которой все корни характеристического уравнения n-го порядка равны друг другу (на практике редко реализуется), т. е.
, i=1, 2, 3…n.
В этом случае перерегулирование не превышает 10%, а время нарастания регулирования является минимальным.
Если все корни являются вещественными, то система характеризуется отсутствием перерегулирования, т. е. апериодическими переходными процессами. Время регулирования будет тем меньше, чем меньше среднегеометрический корень или, иначе, чем ближе к мнимой оси расположен центр корней.
При анализе качества системы корневыми методами необходимо учитывать влияние нулей передаточной функции на переходный процесс.
Прежде всего, нужно проверить, насколько близки нули к полюсам.
Если нуль и полюс совпадают, то их нужно сократить, и они не будут влиять на качество системы. Порядок системы при этом, естественно, будет понижен.
Если полюсы и нули передаточной функции не совпадают, то полюсы определяют отдельные составляющие переходного процесса (апериодические и гармонические), а нули определяют удельный вес каждой из этих составляющих. Чем ближе нуль передаточной функции расположен к какому-либо полюсу, тем меньше его вклад в переходную характеристику составляющей, соответствующей данному полюсу.
7.2.2. Интегральные оценки качества
Наибольшее применение для косвенной оценки качества САУ находят интегральные оценки вида [6, 11, 12, 19]:
; (7.8)
; (7.9)
; (7.10)
; (7.11)
, (7.12)
где - текущая ошибка регулирования, являющаяся функцией времени,
С – некоторый весовой коэффициент, характеризующий допустимую скорость изменения ошибки регулирования, а, следовательно, выходной координаты в переходном процессе.
В критерии (7.8) подынтегральное выражение линейно относительно ошибки регулирования и такая оценка применяется только для апериодического переходного процесса, когда ошибка имеет положительный знак.
Интегральная квадратичная оценка (ИКО) вида (7.9) применяется при колебательном характере переходных процессов, характеризующихся сменой знака ошибки регулирования. Интегральная квадратичная оценка (7.10) применяется в тех случаях, когда требуется учитывать ограничения энергии управления.
Широко используемым видом оценки качества является интеграл от модуля ошибки (ИМО) – (7.11), позволяющем учесть смену знака подынтегральной функции.
Чтобы уменьшить вклад начальной ошибки в интеграл (7.11) и учесть связанную с этим ошибку была предложена [6] оценка в виде интеграла от взвешенного модуля ошибки (ИВМО) в виде (7.12).
Рассмотрим пример. Пусть передаточная функция замкнутой системы 2-го порядка имеет вид:
, (7.13)
где - коэффициент затухания.
Нормированное значение собственной частоты принято . На рис. 7.4 приведены кривые, отражающие изменение двух из приведенных выше интегральных оценок системы (ИКО и ИВМО) в функции коэффициента затухания [6].
Рис. 7.4. Интегральные оценки
качества системы второго порядка
Как видим, оценка ИВМО по сравнению с ИКО имеет ярко выраженный минимум (хорошую избирательность), соответствующий = 0,707, что для данной системы 2-го порядка обеспечивает наиболее быстрое протекание переходного процесса с перерегулированием около 4,3%.
Рассмотрим еще один пример. Пусть передаточная функция замкнутой системы имеет достаточно общий вид нерекурсивного фильтра n-го порядка:
. (7.14)
Безусловная оптимизация систем первого-четвертого порядка (n=1…4), описываемых передаточными функциями (7.14), по критерию ИВМО дает оптимальные значения коэффициентов полиномов знаменателей этих передаточных функций, приведенные в табл. 7.1. Значения коэффициентов нормированы относительно собственной частоты колебаний .
На рис. 7.5 приведены кривые переходных процессов, соответствующих оптимальным по критерию ИВМО фильтрам первого-четвертого порядка.
Таблица 7.1
|
Порядок системы |
Полином знаменателя передаточной функции |
|
n=1 |
|
|
n=2 |
|
|
n=3 |
|
|
n=4 |
Значения коэффициентов нормированы относительно собственной частоты колебаний . На рис. 7.5 приведены кривые переходных процессов, соответствующие оптимизации фильтров первого-четвертого порядка по критерию ИВМО.
Рис. 7.5. Переходные характеристики, соответствующие
оптимизации систем по ИВМО
Графики построены в зависимости от нормированного времени .
Кроме приведенных оценок для оптимизации систем управления применяются и другие интегральные критерии качества, в частности, лежащие в основе синтеза фильтров Баттерворта, широко применяемых при настройке контуров электромеханических систем управления.
8. Метод пространства состояний
Широкое распространение компьютеров и мощных систем программирования побуждает к исследованию САУ во временной области, а, следовательно, к непосредственному использованию описания динамических систем управления в форме обыкновенных дифференциальных уравнений без перехода к операторной форме. Кроме того, как уже отмечалось, векторно-матричные формы описания и исследования применимы не только к одномерным, линейным, стационарным САУ, но и к широкому классу многомерных, нелинейных и нестационарных САУ.
Чтобы получить пригодную для компьютерного синтеза и анализа модель САУ, необходимо представить ее в переменных состояния системы, используя далеко не единственный набор переменных. Следует отметить, что описание систем во временной области в векторно-матричной форме лежит в основе современной теории управления и оптимизации. В настоящей главе рассмотрены вопросы применения метода пространства состояния к непрерывным системам управления.
8.1. Векторно-матричное описание САУ
Состояние системы – это совокупность значений переменных системы (координат состояния), существенных с точки зрения решаемой задачи. В общем случае, в это число включают не только выходные и внутренние переменные САУ, но и задающие воздействия, и доминирующие возмущающие воздействия внешней среды. Чем полнее достоверной информации о состоянии системы в текущий момент времени, тем проще определить будущие значения всех ее переменных. Инженерно-технический персонал, разрабатывающий и эксплуатирующий технические системы управления, оперирует, как правило, с такими физическими переменными, которые могут быть измерены с помощью соответствующих датчиков. К таким физическим переменным САУ относят ускорение, скорость, перемещение, давление, расход, температуру, уровень и т. п. Координатами датчиков технологических координат САУ являются другие переменные - напряжение, ток, частота следования импульсов, двоичный код и т. п., что дает исследователю возможность выбора для синтеза и анализа необходимого набора координат состояния САУ.
Векторно-матричная модель многомерной, нелинейной, нестационарной САУ записывается в виде [6, 10, 11, 19]
,
, (8.1)
где X(t), U(t), F(t), Y(t) – соответственно векторы состояния, управления, возмущения и выходных (управляемых) координат системы,
– вектор первых производных координат состояния,
– нелинейные, нестационарные функции координат состояния, управления и возмущения системы.
В уравнении (8.1) вектор управления U(t) является, в общем случае, некоторой нелинейной нестационарной функцией задающих координат, координат состояния и возмущения САУ и призван обеспечить оптимальное управление системой. Описание многомерных, нелинейных, нестационарных САУ в форме (8.1) не позволяет, как правило, получить инженерное решение задачи структурно-параметрического синтеза оптимального управления U(t) или такое решение приводит к неоправданным затратам на реализацию (в техническом или экономическом аспектах). В большинстве случаев такие модели сводят к одномерным или многомерным линейным (линеаризованным) квазистационарным моделям, для которых имеются развитые методы и инженерные методики синтеза оптимального управления.
Линейную (линеаризованную) модель многомерной стационарной (квазистационарной) САУ представляют в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши:
,
, (8.2)
……………………………………………………
.
Эту же систему дифференциальных уравнений можно представить в векторно-матричной форме [6, 11, 19]:
, (8.3)
где - векторы (векторы-столбцы) соответственно состояния и управления САУ,
, ;
- символ транспонирования (иногда для обозначения транспонирования применяют буквенный символ “т”);
- стационарные матрицы соответственно состояния и управления,
, .
В общем случае, на объект управления помимо управляющих воздействий действуют возмущающие воздействия. В этом случае векторно-матричную модель системы представляют в виде
, (8.4)
где - вектор-столбец возмущающих воздействий САУ, C – стационарная матрица возмущений,
,
.
Выходные (управляемые) переменные не всегда непосредственно принадлежат вектору состояния. В линейных САУ они линейно связаны с переменными состояния, управляющими и возмущающими переменными. В этом случае к уравнениям (8.3), (8.4) присоединяют алгебраические линейные уравнения
(8.5)
или , (8.6)
где - вектор выходных переменных САУ, ;
K, L, M – стационарные матрицы соответственно размерностей (rn), (rm), (rd).
Следует отметить, что приведенные уравнения (8.1)…(8.6) дают описание лишь объекта управления или разомкнутой системы, если вектор управления U(t) не является функцией координат состояния САУ. В замкнутых линейных САУ управление обычно формируют как линейную форму координат состояния и, в общем случае, возмущения САУ.
В качестве примера приведем векторно-матричное описание ранее рассматриваемого электродвигателя постоянного тока как объекта регулирования по цепи якоря. Пусть выходной (регулируемой) координатой является скорость вращения двигателя. Полагая, что напряжение возбуждения , а магнитный поток , математическую модель электродвигателя можно представить в виде:
,
. (8.7)
Воспользуемся векторно-матричной моделью линейных САУ в виде (8.4), (8.5). Зададимся векторами состояния, управления и возмущения в виде:
; ;
(8.8)
По уравнениям (8.7) найдем матрицы состояния, управления и возмущения:
; ; . (8.9)
Поскольку выходная переменная всего одна и ей является координата состояния , уравнение выхода преобразуется к скалярной форме
. (8.10)
По описанию системы в форме векторно-матричных уравнений (ВМУ) можно непосредственно получить эквивалентную передаточную функцию (ПФ) и, наоборот, зная ВМУ системы, можно получить ее ПФ. Для этого в системе MATLAB имеется две функции: функция tf и функция ss.
Пусть ВМУ системы имеет вид (8.3), (8.5). Применительно к системе MATLAB ВМУ записывают в виде
Для получения ВМУ в системе MATLAB необходимо определить функцию ss(A,B,C,D). Для преобразования ВМУ к ПФ системы необходимо записать:
sys _ss=ss(A,B,C,D); % Формирование ВМУ системы;
sys_tf=tf(sys _ss), % Преобразование ВМУ к ПФ системы.
Для обратного преобразования ПФ к ВМУ необходимо записать:
sys_tf=tf(num,den); % Формирование ПФ системы;
sys_ss=ss(sys_tf); Преобразование ПФ к ВМУ системы.
Рассмотрим пример. Пусть ПФ системы имеет вид
.
Тогда запишем скрипт преобразования ПФ к ВМУ и обратного преобразования ВМУ к ПФ:
num=[0.4];
den=[1 2 1 0.6];
sys_tf=tf(num,den); % Формирование ПФ системы;
sys_ss=ss(sys_tf); %Преобразование ПФ к ВМУ системы;
a =
x1 x2 x3
x1 -2 -0.5 -0.075
x2 2 0 0
x3 0 4 0
b =
u1
x1 0.25
x2 0
x3 0
c =
x1 x2 x3
y1 0 0 0.2
d =
u1
y1 0
sys_tf=tf(sys_ss) % Преобразование ВМУ к ПФ системы
Transfer function:
0.4
--------------------- .
s^3 + 2 s^2 + s + 0.6
8.2. Схемы пространства состояний
Для графического отображения САУ, модель которых представлена в векторно-матричной форме, служат схемы пространства ее состояний [6, 11, 19, 24]. Эти схемы являются аналогом структурных схем систем, описание которых дано в операторной форме. Вместе с тем, принципиальным отличием схем пространства состояний от структурных схем является использование в них только идеальных интегрирующих и безынерционных (масштабирующих) звеньев, а также суммирующих звеньев.
Обобщенная схема пространства состояния непрерывной линейной САУ, отвечающей векторно-матричному уравнению (8.4), приведена на рис. 8.1.
Применение идеальных интеграторов на схемах пространства состояний обусловлено, во-первых, широко распространенной нормальной формой представления дифференциальных уравнений систем (формой Коши), а, во- вторых, удобством моделирования САУ с применением как аналоговых, так и цифровых вычислительных машин.
Рис. 8.1. Обобщенная схема пространства состояния САУ
Кроме того, в условиях множественности выбора переменных состояния системы такой подход предполагает естественным в качестве координат состояния (компонент вектора состояния) принять выходные сигналы интеграторов.
Для составления схем переменных (пространства) состояния САУ применяют приемы непосредственного (прямого), последовательного и параллельного программирования [6, 11, 24]. Очевидно, что множественность вариантов преобразований структурных схем при этом влечет за собой и множественность схем пространства состояний одной и той же САУ.
В качестве примера рассмотрим составление схемы переменных состояния электропривода постоянного тока, математическая модель которого представлена в виде (5.14), используя прием непосредственного программирования. Схема переменных состояния приведена на рис. 8.2.
Рис. 8.2. Схема переменных состояния электродвигателя
При составлении схемы принято, что .
Заметим, что схема пространства состояния электродвигателя (см. рис. 8.2) выглядит сложнее его структурной схемы (см. рис. 5.5), однако минимизация числа типовых звеньев (интегрирующих, масштабирующих и суммирующих) упрощает исследование динамических свойств САУ с применением аналоговых и цифровых вычислительных машин, а также широко распространенных математических систем программирования и их векторно-матричных пакетов расширения [6-8, 16, 22, 23, 29, 30].
8.3. Понятие матрицы перехода (переходных состояний)
Конечной целью исследования любой технической системы управления является определение соответствия ее заданным критериям качества управления. Эта задача в концепции современной теории управления решается путем решения векторно-матричного уравнения состояния относительно желаемой, как правило, выходной переменной САУ.
Если известно в момент времени t = 0 начальное состояние X(0) объекта управления и вектор управляющих воздействий U(0), то уравнение движения системы во времени t (здесь и далее полагается, что возмущения F(t), действующие на систему, равны нулю) определяется выражением [6, 11, 19]:
. (8.12)
Первое слагаемое в векторно-матричном выражении (8.12) отражает свободное движение многомерной линейной САУ. Второе слагаемое в (8.12) отражает вынужденное движение многомерной линейной САУ.
Матрицу , определяющую динамические процессы в системе, называют переходной матрицей состояния или просто матрицей перехода. Существует ряд методов нахождения этой матрицы, базирующихся на описании САУ как во временной области (в форме дифференциальных или векторно-матричных уравнений), так и в области комплексного переменного p (в операторной форме или в форме структурных схем). Наиболее часто для определения матрицы перехода во временной области используют матричную экспоненциальную функцию в виде разложения ее в ряд с ограниченным числом k () членов ряда [6, 11, 19, 24]:
, (8.13)
где E – единичная матрица,
! – знак факториала.
Решение векторно-матричного уравнения (8.3) можно получить и в области комплексного переменного p, применив к (8.3) преобразование Лапласа:
, (8.14)
где – преобразование Лапласа переходной матрицы состояния,
т. е. .
В частности, для свободного движения системы под действием ненулевого начального состояния X(0) можно записать
. (8.15)
В инженерной практике для нахождения переходной матрицы состояния многомерных САУ применяют системы программирования, упомянутые в главе 5.4. Они базируются на численных методах решения уравнения (8.13) для заданного времени t = T перехода системы из некоторого начального состояния в последующее, отстоящее на время T, состояние.
В системе программирования MATLAB 6.5 для расчета переходной матрицы состояния используется функция EXPM(A), где A - матрица состояния системы. В системе программирования MathCAD 11 необходимо записать оператор
,
где n - порядок системы,
identity(n) – встроенная функция формирования единичной матрицы размерности nn.
Число членов разложения ряда под знаком суммы принято двадцати. Это очень высокая, может быть, и неоправданная, точность вычисления матрицы перехода, однако это позволяет получить своего рода эталонное решение уравнений динамики системы.
В качестве примера рассмотрим нахождение матрицы перехода для рассматриваемого ранее объекта управления – электродвигателя постоянного тока, регулируемого по цепи якоря с помощью реверсивного преобразователя.
Пусть векторно-матричная модель объекта управления задана уравнениями (8.4), (8.8), (8.9).
Зададимся численными значениями параметров электродвигателя:
Rэ=1 Ом; Tэ=0, 02 Гн; Kд=0,5 (Вс); Jд = 1 .
В соответствие с (8.9) получим
; ; . (8.16)
Для расчета переходной матрицы состояния воспользуемся численной процедурой вычисления ряда (8.13), причем зададимся приращением времени перехода из начального состояния в последующее состояние системы T = 0,01 с.
Тогда, используя функцию EXPM(A) системы MATLAB, получим
. (8.17)
Задаваясь некоторым ненулевым начальным состоянием объекта управления в момент времени t = 0, например iя(0) = 0 (А), (рад/с), т. е. , получим численные значения компонент вектора состояния в момент времени t = 0,01 с:
.
Умножая полученный вектор состояния на переходную матрицу состояния можно получить вектор состояния в момент времени 0,02 с и т. д. Результатом операции по применению матрицы перехода системы в новое установившееся состояние является переходный процесс, отражающий свободное движение системы. На рис. 8.3 приведена таблица расчета переходного процесса в системе программирования Delphi на первых 7-ми тактах расчета, а также кривые переходного процесса (в % от экстремальных значений координат электродвигателя).
Рис. 8.3. Таблица расчета и графики свободного
движения электродвигателя
Как видим, свободное движение системы из заданного начального состояния представляет собой достаточно интенсивную остановку электродвигателя в режиме рекуперации энергии в сеть за время, близкое к одной секунде. Если в начальный момент времени просто разорвать цепь питания якоря, то свободное движение будет происходить в режиме свободного выбега под действием момента сопротивления на валу электродвигателя за значительно большее время.
Аналогичным образом определяется движение системы под действием ненулевого управляющего воздействия Uя, т. е. вынужденное движение системы. Пусть при нулевом векторе начального состояния системы на якорную обмотку подали напряжение Uя = 10 В. Для расчета реакции электродвигателя воспользуемся численным методом решения векторно-матричного уравнения (8.3). Такт расчета примем равным приращению времени перехода системы из одного состояния в следующее, задаваемого матрицей перехода, т. е. . На рис. 8.4 приведена таблица расчета реакции системы на первых 7-ми тактах расчета, а также кривые вынужденного переходного процесса (в % от экстремальных значений координат электродвигателя). Установившееся значение скорости электродвигателя в данном случае является экстремальным и равно 5 рад/с, установившееся значение тока якоря равно нулю.
Суммирование реакций САУ в соответствие с (8.11) дает результирующую реакцию системы (рис. 8.5).
Рис. 8.4. Таблица расчета и графики вынужденного
движения электродвигателя
Рис. 8.5. Таблица расчета и графики полного переходного
процесса в электродвигателе
Заметим, что время переходных процессов в режиме малых отклонений координат одинаково и не зависит от величины начальных условий и внешних воздействий, что свойственно всем линейным системам.
Сразу отметим, что эти реакции системы на управляющее воздействие, скорее всего, будут неудовлетворительными, что объясняется произволом выбора приращения управляющего воздействия (управление нами выбрано постоянным и равным 10 В на протяжении всего времени переходного процесса). Определение оптимального изменения во времени управляющего воздействия – задача структурно-параметрического синтеза системы управления.
. (8.18)
8.4. Управляемость и наблюдаемость САУ
Описание систем в пространстве состояний с успехом используется для синтеза (оптимальной коррекции) систем управления. Для этого оптимальное управление U(t) формируют как функцию доступных измерению координат состояния системы, т.е. реализуют оптимальный регулятор состояния. Возможность создания замкнутой по вектору состояния оптимальной системы управления предполагает, что она удовлетворяет условиям управляемости и наблюдаемости.
Линейная стационарная система управления (8.3) является управляемой, если существует такое управление U(t) размерности , которое может перевести систему из произвольного начального состояния X(0) в заданное конечное состояние X(t). Это условие записывается в виде
, (8.19)
где H – гиперматрица управляемости порядка .
Условие (8.19) означает, что система (8.3) будет полностью управляемой, если ранг гиперматрицы H равен n, т. е. матрица управляемости содержит n независимых векторов-столбцов, а, следовательно, ее определитель не равен нулю.
Если управление является скалярной функцией времени, т. е. U(t)=u(t), то гиперматрица H будет представлять собой квадратную матрицу порядка .
Управляемость системы можно определить и по структуре сигнального графа системы – он должен иметь пути от управляющего воздействия к каждой из переменных состояния.
Рассмотрим систему третьего порядка, описываемую передаточной функцией
. (8.20)
Ей соответствует сигнальный граф в переменных состояния, приведенный на рис. 8.6.
Рис. 8.6. Сигнальный граф системы третьего порядка
Видно, что существуют пути от управляющего воздействия u ко всем переменным состояния системы, следовательно, она является управляемой.
Для объекта (8.20) можно записать матричное дифференциальное уравнение
,
где X – вектор состояния системы, , n = 3.
Тогда матрица управляемости
,
а, следовательно, убеждаемся, что система является управляемой.
Понятие наблюдаемости системы связано с возможностью оценки ее переменных состояния.
Линейная стационарная система управления, описываемая уравнениями (8.3), (8.5) является наблюдаемой, если существует конечное время T такое, что в результате наблюдения выходной переменной Y(t), , может быть определено начальное состояние X(0) при заданном управлении U(t).
Это условие записывается в виде
, (8.21)
где G – гиперматрица наблюдаемости порядка , q – размерность вектора Y(t).
Условие (8.21) означает, что система будет полностью наблюдаемой, если ранг гиперматрицы G равен n, т. е. матрица наблюдаемости содержит n независимых векторов-столбцов а, следовательно, ее определитель не равен нулю.
Если объект управления одномерный, т. е. выходная переменная одна, то матрица K является вектором-строкой размерности , а матрица наблюдаемости G будет представлять собой квадратную матрицу порядка . Условие наблюдаемости для одномерных САУ можно записать в виде
. (8.22)
Система будет наблюдаемой, если каждая переменная состояния вносит свой вклад в формирование вектора выходных переменных Y(t).
Наблюдаемость системы можно определить и по структуре сигнального графа системы – он должен иметь пути от каждой переменной состояния к выходной переменной.
Для объекта (8.20) выходной переменной является координата y(t), равная переменной x1(t) , а, следовательно, матрица K имеет вид:
.
Условие наблюдаемости САУ (9.19) можно записать в виде:
.
Система является наблюдаемой, поскольку ранг матрицы G полный и каждая переменная состояния вносит свой вклад в формирование выходной переменной y(t). Из рассмотрения графа системы (см. рис. 9.6) также следует, что от каждой координаты состояния имеются пути к выходной переменной, а, значит, система полностью наблюдаема.
Для автоматизации исследования систем управления на предмет управляемости и наблюдаемости в системе программирования MATLAB имеются функции соответственно ctrb и obsv [6, 16].
9. Синтез линейных непрерывных САУ
9.1. Общая постановка задачи синтеза
Под синтезом САУ понимают нахождение ее структуры и параметров, обеспечивающих заданное качество управления при известных входных воздействиях.
Понятие качества САУ, как уже отмечалось, связано с прямыми или косвенными количественными оценками качества функционирования системы во временной или частотной области (временем регулирования, перерегулированием, полосой пропускания, запасами устойчивости по амплитуде и фазе, интегральными квадратичными критериями качества и др.).
На практике задачу синтеза начинают с того, что задают структуру и параметры неизменяемой части САУ. К неизменяемой части САУ относят объект управления, включающий все технические средства, преобразующие управляющее воздействие в выходную координату (силовые преобразователи энергии, приводы, передаточные механизмы, управляющие органы и др.), а также датчики измеряемых координат, устройства преобразования и передачи информации от объекта к устройству управления.
На предварительном этапе синтеза выбирают элементы объекта управления из числа типовых (серийно выпускаемых) изделий, основываясь на основных условиях его функционирования (временных диаграммах, средних или предельных значениях мощности, момента, скорости, ускорения и т. п.). Далее составляется математическая модель объекта управления в той или иной форме, причем учитываются лишь его доминирующие свойства. Если порядок линейного (линеаризованного) объекта управления превышает трех-пяти, его целесообразно разбить на ряд подобъектов или описать упрощенной моделью. При этом используют известные методы декомпозиции сложных объектов, разделения движения объекта на медленные и быстрые движения, методы подобия, эквивалентирования и т. п. Следует отметить, что большинство технических объектов хорошо изучено и их математические модели с разной степенью детализации приведены в научно-технической литературе [1, 3, 4, 6, 10, 17, 18, 24].
После определения неизменяемой части объекта управления переходят к синтезу структуры и параметров устройства управления. При этом используют несколько подходов.
Первый подход базируется на задании конкретной структуры устройства управления (структуры регулятора или корректирующего устройства – в случае одноконтурной системы). Как правило, задаются типовыми регуляторами класса “вход-выход” (например, пропорционально-интегральными) или простейшими корректирующими звеньями (например, реальными пропорционально-дифференцирующими). Корректирующие звенья обычно размещают последовательно с объектом управления (в прямом канале регулирования), однако в ряде случаев хороший эффект дает установка их в канале обратной связи или на входе системы. Качество системы управления задают в виде требований к статической точности и оценок качества переходного процесса или частотных свойств САУ (см. гл. 7). Далее решается задача расчета параметров устройства управления (параметрического синтеза), удовлетворяющего требованиям к статике и динамике замкнутой САУ.
Второй подход основывается на составлении структурной схемы системы управления без задания собственно структуры регуляторов: выбирается число контуров регулирования, их соподчиненность, расположение регуляторов в структуре устройства управления и др. В основе подхода - избранные принципы управления и требования к статическим и динамическим показателям системы. В частности, при синтезе систем управления роботами часто используют кинематическую развязку движений и принцип автономного управления координатами линейных и угловых перемещений схвата манипулятора. При синтезе систем управления электроприводами доминирует принцип подчиненного регулирования координат (вложенных друг в друга контуров регулирования) и принцип последовательной коррекции динамических свойств контуров. Таким образом, при таком подходе последовательно решаются задачи структурного и параметрического синтеза регуляторов.
Третий подход основан на синтезе оптимальных САУ в смысле заданного критерия качества управления при заданных ограничениях на ресурсы управления. При таком подходе задается формальный критерий качества, например, интегральная квадратичная оценка (ИКО) и решается задача его минимизации или максимизации. Результат синтеза – структура и параметры устройства управления (регулятора – в одноконтурных системах), удовлетворяющих требуемому критерию качества управления. Этот подход применяется при синтезе САУ методом аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР), синтезе модальных регуляторов состояния, апериодических регуляторов состояния и т. п.
Системы управления, синтезированные на основе двух первых подходов, часто называют системами со стабилизируемыми показателями качества управления. Системы управления, синтезированные на основе третьего подхода, называют системами с оптимизируемым показателем качества управления.
9.2. Типовые параметрически оптимизируемые регуляторы
(корректирующие звенья) класса “вход-выход”
В качестве регуляторов технических систем управления применяются электронные, механические, гидравлические, электропневматические и другие регуляторы с той или иной динамической характеристикой, позволяющей скорректировать динамику замкнутой САУ. Независимо от технологического назначения регуляторов (регуляторы скорости, положения рабочего органа, давления, расхода, температуры и т. п.) все они подразделяются на 2 больших класса: параметрические регуляторы класса “вход-выход” и регуляторы состояния САУ.
В данном разделе рассматриваются типовые регуляторы 1-го класса. На функциональных схемах систем управления они обозначается в виде элементов, отражающих их переходные характеристики, на структурных схемах – в виде динамических звеньев, отражающих их передаточные функции. В качестве примера на рис. 9.1 приведена функциональная и структурная схема пропорционально-интегрального (ПИ) регулятора.
Рис. 9.1. Функциональная (а) и структурная (б) схема
пропорционально-интегрального (ПИ) регулятора
Регуляторы класса “вход-выход” можно представить в виде усилительного звена - операционного усилителя (A1), с двумя комплексными сопротивлениями Zвх во входной цепи и Z0 в цепи обратной связи операционного усилителя (рис. 10.2).
Рис. 9.2. Регулятор класса “вход-выход”
на основе операционного усилителя
Математическую модель таких регуляторов чаще всего представляют либо в виде передаточной функции (структурной схемы), либо в виде дифференциальных уравнений (переходной функции). Входной сигнал Uвх представляет собой разность между задающим сигналом и сигналом обратной связи по регулируемой координате и пропорционален ошибке регулирования. Алгебраическое суммирование этих сигналов осуществляется на инверсном входе усилителя, а, следовательно, выходной сигнал Uвых операционного усилителя будет противоположного знака.
Пренебрегая инверсией знака выходного сигнала регулятора, запишем его передаточную функцию:
. (9.1)
В качестве комплексных сопротивлений Zвх и Z0 обычно применяют различные RC – цепи, что позволяет получить регуляторы (корректирующие устройства) с различными структурами.
В табл. 9.1 приведены принципиальные схемы, передаточные функции и переходные характеристики регуляторов класса “вход-выход” с типовыми структурами: пропорциональной (П), интегральной (И), дифференциальной (Д), пропорционально-интегральной (ПИ) и пропорционально-интегрально-дифференциальной (ПИД).
Помимо приведенных в табл. 9.1 регуляторов при построении систем управления применяют также пропорционально-дифференциальный (ПД) регулятор, интегрально-интегрально-пропорциональный () регулятор и др.
Передаточные функции ПИ- и ПИД-регуляторов часто представляют в виде изодромных звеньев соответственного 1-го и 2-го порядка:
(9.2)
- передаточная функция ПИ-регулятора,
где Tиз – постоянная времени изодромного звена первого порядка,
Tиз = R0C0 (см. принципиальную схему ПИ-регулятора, табл. 9.1);
(9.3)
- передаточная функция ПИД- регулятора,
где Tиз1, Tиз2 – постоянные времени изодромного звена, Tиз1 = R0C0,
Tиз2 = RвхCвх (см. принципиальную схему ПИД-регулятора, табл. 9.1).
ПИ-регулятор в компенсационных системах управления обеспечивает компенсацию одной большой постоянной времени объекта управления, а ПИД-регулятор – двух больших постоянных времени, обеспечивая тем самым форсирование динамических процессов и улучшение динамики САУ.
Следует отметить, что на практике применяются более сложные схемы регуляторов, обеспечивающие ограничение полосы пропускания частот входного сигнала. Это осуществляется цепями внутренней или внешней коррекции частотной характеристики операционных усилителей. Реальная полоса пропускания даже пропорциональных регуляторов ограничивается сотнями Гц или единицами кГц. При этом дифференциальные регуляторы реализуют реальное дифференцирование входного сигнала, что позволяет повысить помехозащищенность системы управления.
Таблица 9.1
|
Струк-тура |
Принципиальная схема регулятора |
Передаточная функция |
Переходная функция и переходный процесс |
|
П |
|||
|
И |
|||
|
Д |
|||
|
ПИ |
|||
|
ПИД |
Некоторые регуляторы могут содержать дополнительные цепи настройки их параметров (подстроечные резисторы), позволяющие в некоторых пределах подстраивать параметры контура регулирования, устанавливать допустимые уровни ограничения координат САУ, выполнять функции коррекции “дрейфа нуля” и защиты САУ при возникновении аварийных (нештатных) ситуаций.
Регуляторы включают, как правило, последовательно с объектом управления. Они призваны скорректировать динамику САУ с целью удовлетворения требованиям к ее статическим и динамическим показателям. При синтезе САУ вместо понятия “регулятор” часто применяют понятие “корректирующее устройство” (“корректирующее звено”), включаемое последовательно с объектом управления или в обратной связи по регулируемой координате.
В практических приложениях наибольшее распространение нашли корректирующие устройства, позволяющие варьировать и его полюсами, и его нулями [10, 11, 19]:
– реальное пропорционально-дифференцирующее звено первого порядка
, (9.4)
где a и b – соответственно полюс и нуль передаточной функции, причем при |a| > |b| осуществляется коррекция системы с опережением по фазе, при |b| > |a| – коррекция системы с отставанием по фазе; проблема параметричес-кого синтеза корректирующих устройств сводится к определению параметров K, a, b;
– реальное пропорционально-дифференцирующее звено второго и более высокого порядка
, (9.5)
где aj, bi – соответственно полюса и нули корректирующего звена, выбором которых стремятся стабилизировать требуемые показатели качества скорректированной системы (m>1, n>1);
- апериодическое звено (фильтр) первого порядка
, (9.6)
применяемое как для фильтрации сигналов измерительного тракта, так и в качестве предшествующего фильтра (фильтра на входе замкнутой системы управления) [6, 11, 18,24].
9.3. Синтез систем с подчиненным регулированием координат
Стуктурная схема многоконтурной САУ с подчиненным регулировани-ем координат объекта управления приведена на рис. 9.3.
Основные положения принципа подчиненного регулирования координат изложены ниже.
1. Объект управления представляют в виде n последовательно соединенных простейших линейных динамических звеньев с одним-двумя доминирующими полюсами (интегральных, апериодических первого-второго порядка) – Wоу,1(p), Wоу,2(p), …, Wоу,n(p), где n - число контролируемых переменных).
Рис. 9.3. Стуктурная схема многоконтурной системы с подчиненным
регулированием координат объекта управления
2. В передаточную функцию младшего подобъекта управления Wоу,1(p) включают фильтр с эквивалентной малой (некомпенсированной) постоянной времени контура T, определяющей такие важнейшие свойства системы управления, как быстродействие, точность и помехозащищенность.
3. Устройство управления представляют в виде n последовательно соединенных регуляторов класса “вход-выход”.
4. Синтез САУ начинают с младшего (внутреннего) контура регулирования и заканчивают старшим (внешним) контуром, применяя единую типовую методику (см. гл. 9.4).
5. Каждый синтезированный замкнутый контур регулирования аппроксимируют оптимальным звеном первого-второго порядка и после синтеза присоединяют к объекту управления последующего контура.
6. Ограничение координат объекта управления на допустимых уровнях осуществляют ограничением задающих воздействий соответствующих контуров регулирования.
В многоконтурных электромеханических системах подчиненного регулирования координат наиболее распространены настройки отдельных контуров на технический (модульный) и симметричный оптимум.
Настройка на технический оптимум.
При настройке контуров регулирования на технический оптимум (ТО) передаточные функции замкнутых контуров регулирования представляют в виде фильтров Баттерворта второго порядка:
, (9.7)
где i = 1…n.
Передаточная функция оптимального регулятора в этом случае имеет вид:
(9.8)
Переходный процесс в младшем контуре регулирования представлен кривой 1, рис. 9.4. Время регулирования младшего контура составляет около 8 T, в остальных контурах оно будет как минимум в раз больше,
Рис. 9.4. Кривые оптимальных переходных
процессов в САУ
Настройка на симметричный оптимум.
При настройке контуров регулирования многоконтурной САУ на симметричный оптимум (СО) их передаточные функции представляют в виде оптимальных звеньев третьего порядка. Для этого передаточные функции замкнутых контуров регулирования, настроенных на ТО (см. выше), и соответствующих регуляторов умножают на изодромное звено вида
(9.9)
где i – номер синтезируемого контура регулирования, i = 1,…,n.
Такая настройка контуров регулирования обеспечивает астатизм первого порядка по задающим воздействиям (теоретически нулевую статическую ошибку регулирования выходной координаты). Однако отработка скачкообразных задающих воздействий сопровождается высоким перерегулированием выходной координаты контура, достигающим 56% (кривая 2 на рис 9.4). Для снижения перерегулирования на вход i–го замкнутого контура регулирования устанавливают задатчик интенсивности или апериодическое звено (предшествующий фильтр первого порядка) с постоянной времени . Переходный процесс в САУ с предшествующим фильтром первого порядка представлен кривой 3 на рис. 9.4.
Типовая методика синтеза контуров регулирования по желаемой передаточной функции разомкнутого контура, имеющих, в частности, настройку на технический и симметричный оптимум, приведена ниже.
регулирования САУ по желаемой передаточной функции
Рассматриваемая методика широко применяется при синтезе систем подчиненного регулирования координат электроприводов и базируется на компенсации больших постоянных времени объекта управления устройством управления. Последовательность этапов синтеза:
Линейный объект управления разбивают на n последовательно соединенных динамических звеньев с одним или двумя доминирующими полюсами (апериодические первого-второго порядка и интегрирующие); в объект регулирования каждого контура последовательно включают фильтр (апериодическое звено первого порядка) с эквивалентной малой постоянной времени T,i , i = 1,…, n; величину эквивалентной малой постоянной времени T,i каждого контура регулирования выбирают как минимум в 2 раза больше эквивалентной малой постоянной времени предыдущего контура регулирования, т. е. T , i 2T , i-1, i = 2,…, n.
В результате структурно-параметрической декомпозиции в объекте каждого контура регулирования должны быть выделены 1-2 больших постоянных времени и одна эквивалентная малая постоянная времени T , i .
За критерий качества регулирования каждого контура будем принимать желаемую передаточную функцию разомкнутого контура. Для электромеханических САУ целесообразно применять настройки контуров регулирования на ТО или СО. Желаемую передаточную функцию разомкнутого контура в этом случае записывают в виде:
а) при настройке на ТО:
, (9.10)
б) при настройке на СО:
(9.11)
Передаточная функция оптимального регулятора i–го контура определяется в виде:
(9.12)
где Wоу, i (p) – передаточная функция объекта регулирования, входящая в
i – й контур регулирования;
Wос, i (p) – передаточная функция звена отрицательной обратной связи i-го контура регулирования.
Далее производится расчет численных значений параметров синтезированных регуляторов (коэффициентов передач, постоянных времени интегрирования и дифференцирования).
Современные электронные устройства управления непрерывных систем управления реализуют, как правило, на основе операционных усилителей в интегральном исполнении. В частности, в системах управления электроприводами наибольшее распространение получили следующие серии операционных усилителей: К140, К153, К553, К1533 и др.
Расчет параметров принципиальной схемы регулятора сводится к расчету численных значений резисторов и конденсаторов во входной цепи и цепи обратной связи операционного усилителя.
Рассмотрим поэтапно применение рассмотренной методики для синтеза контура регулирования тока якоря электродвигателя постоянного тока. Структурная схема системы регулирования приведена на рис. 9.5.
Рис. 9.5. Структурная схема контура регулирования тока якоря
1. Объект управления представляет собой 2 апериодических звена первого порядка, описывающих тиристорный преобразователь (Kтп и Tтп – его параметры) и якорную цепь двигателя. При синтезе контура регулирования тока якоря обратной связью по э.д.с. двигателя Eд можно, как правило, пренебречь, поскольку скорость ее изменения значительно ниже скорости изменения тока якоря.
К большим постоянным времени объекта управления относится постоянная времени Tэ электромагнитной цепи, к малым – постоянная времени Tтп тиристорного преобразователя. Тогда эквивалентная малая постоянная времени контура регулирования тока Tт = Tтп.
2. Зададимся настройкой контура регулирования тока на ТО, т. е. критерием качества в виде (9.10).
3. Структура регулятора тока якоря в соответствие с (9.12) после элементарных преобразований будет иметь вид
, (9.13)
т. е. является пропорционально-интегральной (ПИ).
Параметры этого регулятора:
, , , причем только 2 из них являются независимыми, поскольку .
4. Для расчета параметров регулятора рассмотрим его принципиальную схему на основе операционного усилителя (рис. 10.15).
Заметим, что принципиальная схема регулятора содержит 4 элемента Rзт , Rот , Rост и Сот, значения которых неизвестны, однако в распоряжении проектировщика имеется лишь 2 параметра регулятора (см. п. 3). Зададимся значением емкости Сот, например Сот = 1 мкФ. Тогда в соответствие с табл. 9.1 получим Rост = Tэ / Сот , Rзт = Rост / Kрт .
Поскольку сумма входных токов операционного усилителя в потенциально нулевой точке M (см. рис. 9.6) равна нулю, то . Отсюда , где Uзт , Uост – напряжения задания и обратной связи по току, соответствующие максимально допустимому току якоря.
10. Дискретные и дискретно-непрерывные САУ
10.1. Дискретизация и модуляция сигналов.
Аналих линейных импульсных САУ
В отличие от непрерывных систем в дискретных системах имеется хотя бы одна координата состояния или управления, имеющая дискретный характер.
Достаточным условием дискретности систем управления является разрывная статическая характеристика какого-либо звена.
Рис. 10.1. Функциональная схема
дискретной САУ
Обозначения:
ДЭ – дискретный элемент;
НЧ – непрерывная часть;
- входной непрерывный сигнал;
- непрерывный сигнал ошибки;
- дискретный сигнал;
- непрерывный выходной сигнал.
Звено, в котором происходит дискретизация сигнала, называется дискретным элементом. На рис. 10.1 в качестве дискретного элемента выступает дискретный регулятор.
Дискретный характер имеют релейные, импульсные и цифровые сигналы.
Релейные САУ оперируют с сигналами, промодулированными по амплитуде. Например, релейное управление может быть реализовано с помощью двухпозиционного реле в соответствие с выражением
, (10.1)
где Um – амплитуда управляющего воздействия,
- знаковая функция текущей ошибки управления,
(10.2)
В импульсных САУ имеются сигналы, промодулированные по времени [10]. В зависимости от вида модуляции различают следующие системы:
АИМ - амплитудно-импульсные;
ШИМ - широтно-импульсные;
ЧИМ - частотно-импульсные;
ФИМ - фазо-импульсные и др.
Период T квантования сигналов в импульсных системах, как правило, постоянный. Например, широтно-импульсное нереверсивное управление можно представить в виде
, (10.3)
где - скважность управления как некоторая функция текущей ошибки управления. С другой стороны, скважность - это отношение времени tу генерации управляющего воздействия с амплитудой Um к периоду T управления, т. е. .
Цифровые системы управления оперируют с сигналами, представленными в виде цифровых кодов. Для этого непрерывные сигналы цифровой системы управления должны быть подвергнуты квантованию по времени и по уровню. Квантование непрерывного сигнала по времени реализуется с помощью импульсного модулятора, а квантование по амплитуде – с помощью амплитудного квантователя (рис. 10.2).
Рис. 10.2. Квантование непрерывных сигналов в цифровых САУ
В соответствие с теоремой Котельникова-Шеннона импульсный модулятор должен обеспечивать дискретизацию непрерывного сигнала по времени с частотой, по крайней мере, в 2 раза превышающей максимальную частоту изменения непрерывного сигнала. В любом случае, частота квантования по времени должна быть выбрана такой, чтобы обеспечить наилучшее восстановление непрерывного сигнала (исходных данных) на интервале времени kT t (k+1)T по дискретным выборкам в k–е моменты времени, где k – номер такта квантования, T – период квантования.
Таким образом, процесс восстановления непрерывного сигнала может рассматриваться как процесс экстраполяции. Функция f(t) на интервале T может быть представлена в виде ряда Тейлора
, (10.4)
где - оценки производных в момент времени t = kT,
;
;
… .
Таким образом, для повышения точности экстраполяции сигнала требуется либо использовать информацию о многих выборках в прошедшие моменты времени, либо повышать частоту квантования по времени. Поскольку временное запаздывание оказывает неблагоприятное влияние на устойчивость систем управления с обратной связью, на практике обычно идут по второму пути, ограничиваясь удержанием лишь первого члена разложения ряда (10.4), т. е. принимают .
Импульсный модулятор, в котором удерживается лишь член f(kT), содержит 2 элемента (см. рис. 10.2) – квантователь непрерывного сигнала по времени с периодом T и фиксатор Ф нулевого порядка (экстраполятор нулевого порядка). Квантователь можно рассматривать как идеальный ключ, замыкающийся на бесконечно короткое время через каждые T секунд. Тогда выходной сигнал квантователя будет представлять собой решетчатую функцию
, (10.5)
где - значение входного непрерывного сигнала в момент времени kT замыкания ключа, k = 0…,
- единичная импульсная функция (-функция), генерируемая в момент времени k замыкания ключа.
Фиксатор сохраняет неизменным значение сигнала в течение периода T квантования, формируя непрерывную кусочно-ступенчатую функцию времени. Передаточная функция фиксатора, реагирующего на импульсные воздействия вида (10.5), имеет вид
. (10.6)
Реакция импульсного модулятора (квантователя и фиксатора) на некоторое непрерывное воздействие f(t) приведена на рис. 10.3. Вертикальными стрелками обозначена реакция собственно квантователя, реализующего процесс дискретизации по времени.
В схемотехническом плане функции квантователя и экстраполятора (фиксатора) нулевого порядка реализуют с помощью устройства “выборки-хранения” (УВХ) [11, 18, 24].
Амплитудный квантователь обеспечивает квантование входного сигнала по уровню и выполняется на основе аналого-цифровых преобразователей (АЦП). При достаточно большом числе двоичных разрядов АЦП (12…24) квантованием по уровню при исследовании цифровых САУ обычно пренебрегают и цифровые САУ рассматривают как импульсные (амплитудно-импульсные с фиксатором нулевого порядка). В дальнейшем изложении материала понятия “дискретные системы” и “цифровые системы” будут ассоциироваться именно с понятием “импульсные системы”.
Рис. 10.3. Реакция импульсного модулятора
на непрерывное воздействие f(t)
10.2. Математическое описание дискретных систем
Математическое описание, анализ и синтез дискретных систем осуществляют с применением метода Z-преобразования (дискретных передаточных функций), разностных уравнений или метода переменных состояния.
10.2.1. Z-преобразование и дискретные передаточные функции
Преобразование Лапласа квантованного по времени сигнала f(kT) имеет вид
(10.7)
Сделаем замену , что позволит получить Z-преобразование вида
(10.8)
где z - комплексная переменная, действительная и мнимая части которой определяются как
,
,
где
Анализ проекций комплексной переменной z на оси Re(z) и Im(z) позволяет сделать вывод, что область устойчивости дискретной САУ на комплексной плоскости ограничена окружностью единичного радиуса. Именно в этом случае действительные части корней характеристического полинома W(p) отрицательны.
Физический смысл сомножителя при функции f (kT) - взятие ее текущего (k = 0) и предшествующих дискретных значений (k = 1, 2, …).
В инженерной практике для описания динамических звеньев дискретных САУ (объектов управления, регуляторов, фильтров и т. п.) применяют дискретные передаточные функции (ДПФ) вида
(10.9)
где X(z), Y(z) – соответственно входная и выходная переменные дискретного звена. Следует отметить, что практически реализуемые ДПФ должны иметь порядок полинома знаменателя не менее порядка полинома числителя.
Способы получения ДПФ:
1) Прямой способ (прямое дискретное преобразование Лапласа) сводится к следующему:
x(t) x(kT) X(z)
y(t) y(kT) Y(z) Чтобы получить прямое дискретное преобразование Лапласа сигнала x(t), необходимо заменить этот сигнал дискретными значениями x(kT). Каждое значение x(kT) домножить на z-k, а затем полученный степенной ряд свернуть в конечную сумму (10.7), которая, по сути, представляет собой дискретное преобразование Лапласа X(z). Аналогично получают прямое дискретное преобразование Лапласа сигнала y(t). Прямое z-преобразование является однозначным преобразованием. Обратное преобразование Лапласа,
т. е. переход от x(kT) к x(t), является неоднозначным, т. к., в общем случае, неизвестно поведение функции в промежутках между срабатыванием импульсного квантователя (замыканиями ключа).
Следует отметить, что, хотя прямое преобразование Лапласа является однозначным, одно и то же динамическое звено может иметь бессчетное число дискретных передаточных функций в зависимости от применяемого метода экстраполяции. В частности, интегрирующее звено может быть представлено следующими дискретными передаточными функциями:
, (10.10)
, (10.11)
, (10.12)
, (10.13)
где T – такт квантования, 0 1 .
Первая и вторая передаточные функции получены с применением экстраполяции нулевого порядка (метода прямоугольников), причем оценка производной выходного сигнала осуществляется соответственно в k-й и
(k-1)-й моменты времени, реализуя неявный и явный методы Эйлера.
Третья передаточная функция получена с применением метода Тастина (метода трапеций), причем усредненная оценка производной выходного сигнала осуществляется по двум точкам – в k-й и (k-1)-й моменты времени, т. е. смещена на 0,5T влево от момента времени kT.
Четвертая передаточная функция (семейство передаточных функций) получена на основе метода прямоугольников с произвольной смещенной оценкой производной выходного сигнала ( = var) .
Дискретные передаточные функции дифференцирующего звена могут быть получены из приведенных выше путем перестановки полиномов числителя и знаменателя.
2) С помощью таблицы z-преобразований [2, 6, 10].
В табл. 10.1 приведено Z-преобразование наиболее часто встречающихся в САУ функций на основе экстраполяции вида (10.11).
Таблица 10.1
|
x(t) |
X(p) |
X(z) |
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
1 |
|
|
1(t) |
||
|
t |
||
Продолжение табл. 10.1
|
1 |
2 |
3 |
|
sin |
||
|
cos |
||
|
sin |
||
|
cos |
3) Через импульсную переходную характеристику
. (10.14)
Замечание: все приведенные выше преобразования относятся к дискретным системам без фиксатора (экстраполятора нулевого порядка). При необходимости формирования непрерывной кусочно-ступенчатой функции времени последовательно с этими ДПФ необходимо включить звено с передаточной функцией (10.6).
ДПФ систем с фиксатором имеет вид:
(10.15)
где Wн(p) – передаточная функция непрерывной системы,
Z – оператор Z-преобразования.
К ДПФ и соответствующим структурным схемам применимы те же правила структурных преобразований, что и для непрерывных систем.
В системе Matlab имеются специальные функции, позволяющие преобразовать непрерывную передаточную функцию в ДПФ и обратно: c2d и d2c. Рассмотрим пример преобразования непрерывной передаточной функции, описывающей двигатель постоянного тока, в ДПФ. Пусть электродвигатель описывается звеном 2-го порядка и имеет параметры, соответствующие (8.16). Тогда непрерывная ПФ будет иметь вид:
.
Запишем скрипт MATLAB, полагая, что такт квантования T=0,01 с:
num=[2];
den=[0.02 1 4];
sysc=tf(num,den); % Формирование непрерывной ПФ
sysd=c2d(sysc,0.01) % Формирование ДПФ
T=[0:0.01:1]; % Задание параметров вычислений
step(sysd,T) % Расчет переходного процесса
Transfer function:
0.004254 z + 0.003602
---------------------- .
z^2 - 1.591 z + 0.6065
На рис. 10.4 приведена схема набора модели в среде Simulink, а на рис. 10.5 изображен переходный процесс в дискретной САУ при подаче на якорную цепь электродвигателя ступеньки напряжения 1В.
Рис. 10.4. Схема набора дискретной модели электродвигателя
Рис. 10.5. Переходный процесс в электродвигателе
Как следует из графика, при заданном такте квантования T=0,01с переходный процесс практически идентичен переходному процессу в непрерывной САУ (см. рис. 8.4).
10.2.2. Разностные уравнения
Для синтеза и анализа цифровых систем управления во временной области широко используют разностные уравнения.
Разностное уравнение дискретной системы может быть получено из описания системы в форме обыкновенных дифференциальных уравнений или непосредственно по ее непрерывной передаточной функции
. (10.16)
Дифференциальное уравнение, соответствующее (10.16), имеет вид:
(10.17)
Полагая такт квантования T ничтожно малым, получим
,
,
,
,
… .
Тогда можно записать
,
откуда разностное уравнение дискретной системы
. (10.18)
Заметим, что в разностном уравнении (10.18) фигурируют значения входной и выходной переменных только в текущий (k-й) и прошлые дискретные моменты времени, причем разностное уравнение разрешено относительно выходной переменной в k-й момент времени. Такое представление разностного уравнения является обоснованным, поскольку применительно к системам реального временим в памяти компьютера могут храниться только текущие и прошлые значения переменных.
Если известна дискретная передаточная функция какого-либо звена, то получение разностного уравнения не представляет труда. Для этого достаточно преобразовать ДПФ к виду, разрешенному относительно выходной переменной при операторе z в нулевой степени, что эквивалентно k-му моменту времени. В частности, разностные уравнения, описывающие процессы в интегрирующих звеньях (формулы 10.10…10.13), принимают вид:
10.2.3. Описание дискретных САУ в переменных состояния
Цифровые (импульсные) системы управления представляют либо в виде структурных схем с дискретным временем (схем переменных состояния), либо в виде векторно-матричных разностных уравнений [6, 11, 24].
Схемы в переменных состояния дискретных САУ базируются на описании систем в форме ДПФ. При этом, также как и для непрерывных САУ, применяют один из 3-х способов: прямого (непосредственного), параллельного или последовательного программирования. Все способы примерно одинаково трудоемкие, однако существуют самые общие рекомендации по их применению:
1) если ДПФ можно представить в виде суммы простейших ДПФ 1-го порядка, то целесообразно применять параллельное программирование;
2) если ДПФ можно представить в виде произведения простейших ДПФ 1-го порядка, то целесообразно применять последовательное программирование;
3) в остальных случаях целесообразно непосредственное программирование.
Рассмотрим пример. Пусть ДПФ является моделью двигателя постоянного тока (см. гл. 10.2.1), и представлена в виде
(10.19)
Для составления схемы переменных состояния воспользуемся пакетом Simulink системы программирования MATLAB. Схема непосредственного программирования приведена на рис. 10.6. Логика программирования легко воспринимается: выходная переменная y(z) формируется как сумма произведений коэффициентов полинома числителя и знаменателя на z в соответствующих степенях. В схеме применено 4 блока задержки (Unit Delay) на период T квантования. На рис. 10.7 приведена эквивалентная схема переменных состояния, содержащая всего 2 блока задержки.
Рис. 10.6. Схема переменных состояния дискретной системы, полученная
способом непосредственного программирования
Рис. 10.7. Модифицированная схема переменных состояния
дискретной системы
Заметим, что для моделирования идеальных дискретных систем (без непрерывной части) необязательно применение фиксаторов, поскольку значения входного и выходного сигналов берутся точно в дискретные моменты времени (моменты квантования).
Переходный процесс в обеих дискретных моделях электродвигателя одинаков и приведен на рис. 10.8. Как видим, он полностью совпадает с переходным процессом, полученным моделированием дискретного объекта по его передаточной функции (см. рис. 10.5).
Рис. 10.8. Переходный процесс в дискретной модели электродвигателя,
представленной схемой переменных состояния
Схемы переменных состояния способами параллельного и последовательного программирования составляются аналогично [11, 24].
Векторно-матричное уравнение, описывающее электродвигатель как дискретный объект управления, можно составить, используя непосредственно схему переменных состояния (см. рис. 10.7). Введем обозначения переменных:
r – входное воздействие (выход блока Step);
x1 – выход 1-го импульсного модулятора (выход блока Unit Delay1);
x2 – выход 2-го импульсного модулятора (выход блока Unit Delay2);
y – выход системы (выход блока Sum2).
Введем расширенный вектор дискретного состояния системы в моменты времени, непосредственно предшествующие срабатыванию квантователей (замыканию ключей),
.
Обозначим значком “+” состояние переменных системы в моменты времени непосредственно после замыкания ключей. Тогда можно записать
,
,
.
С учетом введенных обозначений поведение дискретной системы в моменты замыкания ключей можно описать в виде:
, (10.20)
где S – матрица состояния дискретной системы (матрица ключей),
.
Для того чтобы связать расширенный вектор состояния с выходной координатой – скоростью двигателя, уравнение (10.19) необходимо дополнить уравнением выхода
,
где .
Векторно-матричную модель дискретной системы можно представить также по аналогии с моделью в пространстве состояний непрерывной системы (8.11), базируясь на применении разностных уравнений, в виде
,
. (11.19)
Очевидно, что векторно-матричные разностные уравнения (10.20) могут быть разрешены не только относительно будущего (k+1)T состояния, но и относительно текущего kT состояния дискретной системы.
Рассмотрим пример. Перейдем от модели электродвигателя постоянного тока в форме ДПФ (10.19) к модели в форме разностного уравнения:
Выберем переменные состояния
,
.
Запишем разностные уравнение в форме (10.20):
,
,
Схема набора модели в системе Simulink приведена на рис. 10.9. Она базируется на использовании блока Descrete State-Space (дискретная модель в переменных состояния), входящего в библиотеку блоков Descrete. Переходный процесс в приведенной системе аналогичен процессу, изображенному на рис. 10.8.
Рис. 10.9. Схема набора модели дискретной системы
в переменных состояния
Заметим, что множественность выбора координат состояния приводит к множеству схем переменных состояния. В связи с этим целесообразным следует считать выбор таких переменных, которые в наибольшей степени приближены к фактическим координатам дискретной системы.
10.2.4. Описание дискретно-непрерывных САУ
в пространстве состояний
Дискретно-непрерывные системы включают элементы как дискретных, так и непрерывных систем. Именно такое сочетание элементов наиболее характерно для большинства технологических процессов с дискретным (цифровым управлением) и при математическом описании систем необходимо учитывать возможности дискретной аппроксимации сигналов и звеньев. Действительно, при достаточно больших тактах дискретного управления тот же электродвигатель не может быть представлен дискретным звеном, поскольку его дискретная модель будет противоречить теореме Котельникова-Шеннона.
Математические модели дискретно-непрерывных систем в контексте современной теории управления представляют либо в виде схем пространства состояний, либо в виде векторно-матричных разностных уравнений.
Рассмотрим пример составления схемы пространства состояний дискретно-непрерывной системы управления электродвигателем постоянного тока. Пусть электродвигатель с силовым преобразователем представлен непрерывным звеном 2-го порядка (см. в гл. 8.3)
. (10.21)
Установим на вход объекта дискретный регулятор, реализующий ПИ-закон регулирования, с передаточной функцией
. (10.22)
Коэффициент передачи звена отрицательной обратной связи по скорости примем равным 0,1.
Схема пространства состояния объекта управления приведена на рис. 10.10, а схема моделирования замкнутой дискретно-непрерывной САУ в среде Simulink - на рис. 10.11. Для упрощения модели объект управления на этой схеме представлен передаточной функцией вида (10.21).
Рис. 10.10. Схема пространства состояний объекта управления
Для преобразования дискретного сигнала управления Uу(z) в непрерывный сигнал Uу(p) между регулятором и объектом управления включен экстраполятор нулевого порядка (Zero-Order Hold ). Примем такт квантования T = 0,05с.
При математическом описании дискретно-непрерывных систем следует различать два момента:
Введем обозначения переменных состояния (см. рис. 10.10, 10.11):
r – задающее воздействие;
x1 – скорость двигателя;
Рис. 10.11. Схема моделирования замкнутой дискретно-непрерывной
системы
x2 – ток якоря;
x3 – выходной сигнал звена задержки в работе регулятора на такт T.
Введем расширенный вектор состояния
.
Переменные состояния в дискретные моменты времени замыкания ключей:
,
,
,
.
Модель дискретной части системы в векторно-матричной форме:
, (10.23)
где S – матрица ключей,
.
Переменные состояния между моментами времени замыкания ключей:
,
,
.
Векторно-матричная модель дискретно-непрерывной системы в промежутках времени между замыканиями ключей
, (10.24)
где - расширенная матрица состояния системы,
.
На основе уравнений (10.23), (10.24) состояния дискретно-непрерывной САУ можно получить уравнение ее движения в функции времени (уравнение переходных состояний). Для этого, прежде всего, необходимо в соответствие с формулой (8.13) найти матрицу перехода для непрерывной системы.
Пусть дано начальное состояние системы . Тогда в начальный момент времени t = 0 и на интервале времени от t = 0 до t =T
,
где H(A, T) – матрица переходных состояний дискретно-непрерывной системы, H(A, T) = Ф(A, T) S.
Рассуждая аналогично, можно записать уравнение переходных состояний для произвольного числа тактов квантования:
. (10.25)
На рис. 10.12 приведен переходный процесс в рассматриваемой дискретно-непрерывной системе управления электроприводом. Как видим, скорость электропривода в режиме малых отклонений координат устанавливается с небольшим колебанием примерно за 6 тактов квантования (0,3 с), что является вполне приемлемым для большинства технических приложений, однако может оказаться неприемлемым для систем предельного быстродействия.
Рис. 10.12. Переходный процесс в дискретно-непрерывной
системе управления электроприводом
Ниже будут рассмотрены некоторые методы синтеза оптимальных цифровых САУ.
10.3. Синтез цифровых систем управления
Существует достаточно большое множество методов синтеза цифровых систем управления, основанных на описании управляемых динамических процессов, как в частотной области, так и во временной области [6, 10, 11, 18, 19, 24, 27].
Для синтеза цифровых САУ применяют, в частности:
10.3.1. Метод дискретизации аналоговых регуляторов
Данный метод основан на применении рассмотренных выше процедур синтеза линейных аналоговых САУ. В качестве критериев оптимальности принимают общепринятые при синтезе таких систем интегральные квадратичные функционалы, а, следовательно, динамические процессы в оптимизированных контурах регулирования соответствуют реакциям тех или иных оптимальных фильтров, например фильтров Баттерворта n-го порядка. Синтезированное аналоговое устройство управления содержит, как правило, один или несколько последовательно включенных регуляторов (корректирующих устройств) класса “вход/выход”.
Суть метода заключается в замене передаточных функций синтезированных непрерывных регуляторов их дискретными аналогами. Отсюда и второе название данного метода синтеза – метод аналогий.
Для преобразования аналоговых передаточных функций регуляторов в дискретные применяют замену непрерывного оператора p Лапласа его дискретным аналогом z = f(p). В качестве примера рассмотрим дискретизацию непрерывного ПИД-закона регулирования. Процедура преобразования иллюстрируется рис. 10.13.
Рис. 10.13. Преобразование непрерывного ПИД-регулятора
в его дискретный аналог
Входным воздействием регулятора является ошибка регулирования (e(t) для непрерывного и e(kT) для дискретного регулятора), выходным – сигнал управления (u (t) для непрерывного и u (kT) для дискретного).
Приведенное преобразование основано на замене:
(10.26)
- при формировании интегральной составляющей ПИД–закона регулирования;
(10.27)
- при формировании дифференциальной составляющей ПИД–закона регулирования.
Заметим, что с целью обеспечения точности отработки интеграла от ошибки регулирования при замене оператора p на z применена экстраполяция первого порядка (метод трапеций). Следует отметить, что метод билинейного преобразования, по сути, сводится к применению именно метода трапеций.
Параметры Крег, Ки, КД получены в результате синтеза аналогового ПИД- регулятора, Т – временной интервал между двумя соседними значениями управляющего воздействия (такт управления).
Применение этого метода синтеза предполагает, что дискретизацией аналоговых сигналов по уровню в силу достаточной длины разрядной сетки цифровых средств управления можно пренебречь, а такт управления достаточно мал (как правило, на порядок меньше минимальной постоянной времени объекта управления). Также предполагается, что периоды прерывания Т импульсного элемента датчиков обратной связи и регуляторов одинаковы и неизменны, причем синхронизированы во времени. Как показывают исследования [18, 24] в цифровых электромеханических САУ такт прерывания должен составлять (0,005…0,05)с. Обеспечение этих условий позволяет получить динамические характеристики цифровой САУ практически такие же, что и в непрерывной системе.
10.3.2. Метод переменного коэффициента усиления
В основе метода лежат теорема об n интервалах дискретного управления и применение дискретных уравнений переходных состояний [11, 19, 24]. Дискретный регулятор на начальном этапе синтеза представляется в виде последовательной цепочки, состоящей из квантователя ошибки e(t) регулирования по времени с тактом T, фиксатора Ф нулевого порядка и безынерционного звена с переменным коэффициентом Кj усиления (рис. 10.14).
Рис. 10.14. Структура дискретного
регулятора на начальном
этапе синтеза
Входным воздействием регулятора является ошибка регулирования e(kT), выходным – сигнал управления u(kT). Ошибка регулирования e(kT) на входе звена с переменным коэффициентом усиления Kj фиксируется с помощью экстраполятора нулевого порядка при каждом такте дискретизации Т.
В соответствие с теоремой об n интервалах дискретного управления система будет оптимальной по быстродействию (в концепции импульсных САУ), если переходные процессы в ней заканчиваются через n тактов управления, причем без перерегулирования выходной координаты, где n - порядок линейного объекта управления. Критерий оптимальности системы (максимум быстродействия) в этом случае записывается в виде tрег = nT min. Цель синтеза – определение n значений коэффициентов Кj, обеспечивающих достижение предельного быстродействия САУ.
Для дискретной САУ с рассматриваемым регулятором можно записать n дискретных уравнений переходных состояний (10.21)
(10.28)
где V(jT) – вектор состояния САУ на предыдущем такте управления;
– вектор состояния на текущем такте управления после замыкания ключевых элементов (фиксации новых значений переменных состояния);
Ф(Кj, Т) – расширенная матрица перехода системы, зависящая от искомых коэффициентов Кj ;
S(Kj) – матрица переключения импульсных элементов.
По истечении n тактов управления, соответствующих минимальному времени управления, выходная координата приравнивается заданному значению и составляется система уравнений:
,
…
,
где - установившиеся значения переменных состояния, определяемые по схеме переменных состояния.
В результате решения системы n неоднородных алгебраических уравнений находят численные значения коэффициентов Кj .
На заключительном этапе синтеза оптимальный регулятор представляют в виде дискретной передаточной функции
. (10.29)
В отличие от рассмотренного ранее метода синтеза такт управления
здесь выбирается исходя из ограничений ресурсов управления (чем меньше требуемое время регулирования, тем большими ресурсами управления должна обладать САУ).
К существенным недостаткам метода следует отнести довольно высокую чувствительность синтезированных САУ к вариациям параметров объекта управления и “чужим” аддитивным воздействиям. Например, система, оптимизированная по критерию быстродействия по задающим воздействиям, может оказаться далеко не оптимальной в смысле этого критерия при отработке возмущающих воздействий.
Литература
Цель
Среда
Xс
Устройство
оценивания
состояния
Объект управления
Устройство
управления
(i+1) – й уровень
системы
i – й уровень
системы
S3i+1
Si
S3.4i+2
S3.3i+2
S3.2i+2
S3.1i+2
S3i+1
S2i+1
S1i+1
Si
S
4
5
3
7
6
8
2
1
Y
-
X
0
M
Mн
Mсн
УИв
УИс
УЗ
РО
ПМ
ЭД
СПЭ
УР
Uу
Eп
Xз
F
ОУ
УУ
Xдв
Xдс
УР
ОР
xз(t)
uу(t)
x(t)
z(t)
uу(t)
ОР
УР
xз(t)
x(t)
z(t)
-
uу(t)
ОР
УР
xз(t)
x(t)
z(t)
-
uу(t)
ОР
УР
xз(t)
x(t)
z(t)
-
-
a)
б)
г)
в)
Uу(t)
У
УУ
Xз(t)
X(t)
Z(t)
Система
Устройство
оценивания
возмущения
Xв
Длина нити l
Масса груза m
0
t
1
x
`
0
t
Mсн
tр
Xвх (p)
Xвых (p)
k
k
k/T
k/T
k/T
kT
1
Iв
Uв
M
iя
Я
Uя
Rв
Lв
Iв
Uв
Eд
Rэ
Lэ
iя
Uя
Jд
Mс
M
Eд
M
iя
-
-
Uя
Mc
Y
X
W1
W2
Y
X
W2
W1
Y
X
W1
W2
Y
X
W1 W2
+
+
Y
X
W1
W2
Y
X
W1 + W2
+
Y
X
W1
W2
Y
X
Y
Y
X
W
X
Y
Y
W
W
X
X
Y
W
Y
X
X
W
+
+
Z
Y+Z
X
W
+
+
Z
Y
Y+Z
X
W
Y
+
+
Z
X
X+Y
W
Y
+
+
Z
X
W
W
а)
б)
в)
г)
ω=0
Im(ω)
0
Re(ω)
-1
ω=0
1
1
1
0
t
t
ω → ∞
Ai
0
B
α
β
jω
- β
t
t
σ
jω
an
n=4
n=3
n=2
0
n=1
Re(ω)
Im(ω)
ymax
t
-1
Re(ω)
Im(ω)
0
б)
a)
ω=0
0
1
y
xвх
2δ
T0
tр
tнр
tм
α
0
φ
B
A
0
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
III
II
I
1
4
3
2
5
4
3
2
1
ИВМО
ζ
I
7
6
2,0
1,6
1,2
0,8
0,4
0
t
0,5
t
0
n=1
t
5
t
ИКО
20
15
t
10
t
t
1
t
y
X
U
F
n=4
n=3
1,0
n=2
C
B
A
-
M
iя
-
Mc
Eд
Uя
-
iя(t)
-c
-b
-a
1/p
1/p
1/p
1
1
x3
x2
x1
y(p)
u(p)
а)
Uвых
Uвх
Uвых
Uвх
б)
Uвых
Z0
Zвх
Uвх
A1
A
С0
Uвх
R0
Rвх
Rвх
С0
Uвых
Uвх
R0
A
f(kT)
t
0
Uвх
Uвых
Uвх
Uвых
R0
A
Cвх
0
T
2T
(k-1)T
t
…
Амплитудный квантователь
Импульсный модулятор
Cвх
Ф
t
0
Uвх
Uвых
f ( t )
u*(t)
y(t)
e(t)
x(t)
-
Рис. 9.6. Принципиальная схема
ПИ-регулятора тока якоря
НЧ
ДЭ
uу
-
Объект управления
Устройство управления
xn
…
x1
…
xз,n-1
xз,1
xз,n
-
W р,n(p)
W р,1(p)
Wоу,1(p)
Wоу, n(p)
Wос,1(p)
Wос,n (p)
t
2
3
1
1
8%
4,3%
56%
7,1 T
4,7 T
3,1 T
0
Uу
-
-
iя
Uт
Eд
Uя
Uзт
M
Uост
Rзт
Rост
Rот
Uзт
Uвых
Сот
A
Rвх
t
0
Uвх
Uвых
Rвх
A
R0
Uвых
Uвх
A
С0
Uвых
Uвх
t
0
Uвх
Uвых
Uвых
Uвых
f(t)
…
kT
t
0
Uвх
Uвых
Крег
e (kT)
e (z)
u (kT)
u (z)
+
+
+
КД P
Ки / p
Крег
e (t)
e (p)
u (t)
u (p)
+
+
+
u (kT)
T
e (kT)
e (t)
Ф
Кj
Квантователь
(8.11)
(10.20)
2
2
25
1
50
x1
x2
Uу
-
-