Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопрос 1.
1.5. Закон электромагнитной индукции и его обобщение
Согласно закону Фарадея в замкнутом проводнике, помещённом в магнитное поле, возникает ЭДС, пропорциональна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего этот контур,
(1.26)
Обобщим этот закон, чтобы найти соотношение междуи в точке пространства.
Учитывая, что ЭДС в замкнутом контуре , а магнитный поток, пронизывающий площадь , ограниченную контуром , получим из (1.26):
(1.27)
Наличие проводника позволяет лишь зафиксировать (обнаружить) ЭДС Таким образом, если имеем в пространстве переменное магнитное поле, то возникает и электрическое поле и они связаны соотношением
Интегрирование здесь ведётся по воображаемому контуру. Если будем рассматривать неподвижные среды, где магнитное поле меняется во времени, а контур фиксирован, то (1.27) можно переписать в виде:
(1.28)
При условии непрерывности подынтегральных функций и, сделав предельный переход, аналогично, как в выражении (1.18) получим
(1.29)
Это дифференциальная форма закона электромагнитной индукции, связывающая и , в точке пространства. Подчеркнём, что из обобщений Максвелла вытекает исключительно важное представление о физической природе поля.
Существование электрического поля связано не только с наличием электрических зарядов, но для его возникновения также достаточно только изменения во времени магнитного поля.
Из (1.29) находим, что
так как т. е. поэтому всегда Перестановка оператора и допустима, так как по предложению в обыкновенной точке поля вектор непрерывен со всеми своими производными.
Из постоянства дивергенции в любой точке поля следует, что если когда-либо в прошлом поле отсутствовало (т. е. было время, когда ), то и всегда Утверждение о том, что всегда находится в соответствии со сделанным ранее указанием на соленоидальность поля вектора , вследствие отсутствия истинного магнетизма (магнитных масс).
Вопрос 2.
1.3. Вектор напряжённости электрического поля
и вектор электрической индукции
Между электрическими зарядами имеется взаимодействие. Впервые это взаимодействие было обнаружено Кулоном. Если имеем 2 точечных заряда и , то сила взаимодействия между зарядами определяется выражением
(1.12)
Выражение (1.12) есть закон Кулона, где – коэффициент, зависящий от свойств среды и выбора систем единиц. Данное взаимодействием обусловлено взаимодействие электрических полей данных зарядов.
Поле заряда определяется его напряжённостью , которая равна той силе, которую испытывает единичный точечный заряд, помещённый в данную точку поля:
(1.13)
,
где – единичный вектор, который вводится для определения направления вектора .
Рис. 1.4
Значение зависит от свойств среды (коэффициент ). Это затруднение можно устранить путём введения дополнительного вектора – вектора электрической индукции или вектора смещения – . Этот вектор был введён Максвеллом путём высказанного им постулата: поток вектора через любую замкнутую поверхность (см. рис. 1.3) при любом распределении заряда внутри этой поверхности и независимо от свойств среды равен количеству электричества (заряду), находящемуся внутри этой поверхности:
(1.14)
Выражение (1.14) представляет постулат Максвелла.
Если заряд распределён внутри объёма с объёмной плотностью , то Поэтому (1.14) можно записать в виде
(1.15)
Формула (1.15) есть интегральная форма постулата Максвелла.
Если под интегральные функции в объёме и на ограничивающей его поверхности непрерывны, то, применив к (1.15) формулу Остроградского, (1.11) получим:
Следовательно,
(1.16)
.
Это дифференциальная форма постулата Максвелла. Она показывает, что заряды, распределённые с объёмной плотностью являются источником вектора . Отсюда видим, что не зависит от свойств среды.
Поле вектора удобно представить в виде линий вектора , в каждой точке которых вектор совпадает по направлению с касательной к этой линии (рис. 1.5), непосредственно в месте расположения заряда. Вне заряда так
Рис. 1.5
Таким образом, при наличии электрических зарядов, линии вектора должны быть разомкнуты, начинаясь на положительном заряде и кончаясь на отрицательном.
ВОПРОС 3.
1.2. Закон сохранения электрического заряда
Согласно лежащему в основе теории электричества закону сохранения электрического заряда, электрические заряды не могут ни возникать, ни исчезать, они лишь могут перемещаться в пространстве.
Если рассматривается какая-либо замкнутая система, то количества отрицательных и положительных зарядов сохраняются постоянными и изменение электрического состояния системы сводится лишь к перераспределению этих зарядов в пространстве.
Рис. 1.3
Если из какого-либо объёма вытекает электрический ток (рис. 1.3), внутри заряд уменьшается, т. е.
(1.8)
Формула (1.8) представляет собой интегральное выражение закона сохранения электрического заряда.
От интегральной формы перейдём к дифференциальной. Если внутри объёма заряд распределён с объёмной плотностью, то Учитывая это из (1.8) имеем
Следовательно,
(1.9)
Выражение (1.9) справедливо при сколь угодно малом объёме . Для конечного объёма можно записать
Эта формула будет точной, если . Возьмём предел отношения
Этот предел может быть вычислен и в математике, он называется дивергенцией (расхождением) вектора и обозначается , т. е.
Из курса математики известно, что вектора в прямоугольной системе координат вычисляется следующим образом:
Таким образом, получим:
(1.10)
Выражение (1.10) представляет дифференциальную форму закона сохранения электрического заряда. Эту формулу также называют уравнением непрерывности ( и должны удовлетворять условиям конечности и непрерывности в любой точке рассматриваемой области).
В (1.9) заменим по формуле (1.10), получим
(1.11)
Это выражение есть формула Остроградского. Она является общей формулой преобразования поверхностного интеграла в объёмный и справедлива для любого вектора, который непрерывен вместе со своими производными во всех точках объёма и на ограничивающей его поверхности .
Если в каждой точке определённой области плотность заряда постоянна во времени, т. е. , то ток, входящий в эту область через ограничивающую замкнутую поверхность , должен быть всё время равен току, выходящему наружу. В этом случае из (1.9) имеем:
а из (1.10) следует, что . Если функции, описывающие процесс, не зависят от времени, то такой процесс, как известно, называется стационарным.
Таким образом, стационарное течение электричества определяется вектором , который в каждой точке области постоянен по величине и направлению. Так как распределения стационарного тока всюду равна нулю, то в стационарном состоянии все линии тока замкнуты сами на себя. Иными словами, поле вектора при постоянном токе является соленоидальным.
Рассмотренный здесь ток представляет движение электрических зарядов. Поскольку среды, в которых наблюдается движение электрических зарядов, называются проводящими, то рассмотренный нами ток называется током проводимости.
4 вопрос
1.6. Ток смещения. Уравнения Максвелла
Стационарное (постоянное) электромагнитное поле – такое поле, которое с течением времени не меняется, т. е. Соберём все результаты, которые получили ранее, полагая
а) ;
(1.30)
б) ;
в) ;
г) ;
д)
При этом уравнение д) находится в полном соответствии с уравнением б), так как =0. Данные уравнения не имеют внутренних противоречий [6].
Переменное электромагнитное поле. В этом случае Уравнения а) и д) из (1.30) запишутся следующим образом:
Если предположить, что уравнения б), в) и г) сохраняются и для переменного электромагнитного поля, то заметим, что уравнение а) совместимо с уравнением в); уравнение д) противоречит уравнению б). Следовательно, уравнение д) справедливо для постоянного тока, не справедливо для переменного тока.
Максвелл устранил это противоречие введением нового понятия – тока смещения и соответствующим обобщением закона полного тока.
Подставляя значение в уравнение из уравнения г), получим:
Следовательно,
(1.31)
Таким образом, получили, что уже не , а всегда равна 0. Максвелл назвал вектором плотности тока смещения , т. е.
(1.32)
Обозначим
(1.33)
Вектор называется вектором объёмной плотности полного тока.
Причём всегда выполняется условие соленоидальности вектора :
(1.34)
В проводящей среде при изменяющемся во времени электромагнитном поле должны наблюдаться оба тока – ток проводимости и ток смещения. Следовательно, для переменного электромагнитного пол уравнение б) запишется более общим уравнением
При наличии же сторонних ЭДС нужно к добавить .
Таким образом, Максвелл составил наиболее общую систему уравнений переменного (нестационарного) электромагнитного поля, которая справедлива для стационарного поля, положив в ней :
(1.35)
;
Уравнения (1.35) и есть уравнения Максвелла, которые лежат в основе теории электромагнитного поля. Из них уравнения – основные, уравнения и – их следствия, уравнение – уравнение непрерывности или дифференциальная форма закона сохранения электрического заряда. Заметим, что уравнения (1.30) для постоянного поля являются частным случаем уравнений (1.35).
Универсальность уравнений Максвелла заключается в том, что они не содержат никаких сред. Исключительно симметричный вид принимают уравнения (1.35) в случае идеального () и незаряженного (=0) диэлектрика (например, вакуум):
(1.36)
В этих уравнениях положено, что . Уравнения (1.36) можно применять во многих случаях и к реальным диэлектрикам, например, к воздуху. Уравнение соответствует тому, что переменное магнитное поле порождает электрическое поле. Уравнение соответствует тому, что переменное электрическое поле порождает магнитное поле.
Уравнения (1.36) дают отличные от нуля решения. Следовательно, может существовать электромагнитное поле независимо от его источника. Такое электромагнитное поле может быть только переменным. Это электромагнитное поле называется электромагнитными волнами.
Вопрос 5.
1.8. Граничные условия
На практике имеем дело не с бесконечно однородными, а с кусочно-однородными телами. При применении формул преобразования (Остроградского и Стокса) мы оговаривали, что их непосредственное использование требует конечности и непрерывности подынтегральной функции и их производных как внутри области интегрирования, так и на её границе. В связи с этим уравнения Максвелла имеют место только в обыкновенных точках поля, в которых все векторы и функции конечны и непрерывны вместе со своими производными.
Однако в пространстве, заполненном веществом, могут существовать особые поверхности, в точках которых векторные и скалярные функции, введённые теорией для описания электромагнитного поля, и их производные терпят разрыв непрерывности. Такими особыми поверхностями являются поверхности соприкосновения (заряженные или незаряженные) или границы раздела между средами с различными параметрами ,.
Существует общий математический приём: вначале эти точки или поверхности исключают из рассмотрения, а потом делают предельный переход, если он даёт результат.
Граничные условия для нормальных составляющих векторов ,:
а) Имеем поверхность соприкосновения (границу раздела) двух сред (рис. 1.8).
Рис. 1.8
Заменим эту поверхность конечным слоем и построим в этом слое элементарный цилиндр. Проведём нормали и . Параметры внутри слоя достаточно быстро меняются от значений ,до значений ,. Для выделенного цилиндра запишем постулат Максвелла
Так как цилиндр очень маленький (элементарный), то поток вектора можно записать по частям, взяв средние значения.
где – среднее значение нормальной составляющей вектора в первой среде через площадку ;
– среднее значение нормальной составляющей вектора во второй среде через площадку ;
– поток вектора через боковую поверхность цилиндра;
– заряд внутри цилиндра.
Будем сжимать слой до поверхности (до нуля), т. е. При
причём .
Поэтому при получим:
Отсюда
где – среднее значение поверхностной плотности заряда.
Теперь устремим т. е. возьмём пределы от левой и правой частей последнего равенства при Нетрудно заметить, что при
В результате такого предельного перехода получим:
(1.39)
.
Выражение (1.39) представляет граничное условие для нормальных составляющих вектора на границе раздела двух сред с конечными значениями ,.
Если спроектировать вектор на какую-либо одну из нормалей или , и учитывая, что , то получим:
(1.40)
В проекции на
(1.41)
В проекции на
Формулы (1.40) и (1.41) представляют разновидности граничного условия (1.39) для нормальных составляющих вектора .
б) Получим граничное условие для нормальной составляющей вектора .
Известно, что . Тогда в соответствии с формулой Остроградского
получим, что и
Рассуждая аналогично, как и для вектора получим:
(1.42)
Формула (1.42) представляет граничное условие для нормальных составляющих вектора
в) Аналогично рассмотренным случаям получим граничное условие для нормальных составляющих вектора плотности полного тока.
Известно, что . Применяя формулу Остроградского
получим, что и
Следовательно,
(1.43)
Формула (1.43) и есть граничное условие для нормальных составляющих вектора
Граничные условия, выраженные формулами (1.39), (1.42) и (1.43), формулируются следующим образом: при переходе через границу раздела между двумя средами с различными параметрами нормальная к поверхности составляющая вектора терпит разрыв непрерывности, равный по величине поверхностной плотности заряда . Нормальные же составляющие векторов иостаются непрерывными.
Рассмотрим некоторые, встречающиеся на практике случаи граничных условий, которые следуют из формул (1.39), (1.42), (1.43).
В этом случае в соответствии с (1.39) нормальная составляющая вектора остаётся непрерывной. В рассматриваемых нами изотропных средах, как известно,
.
Из (1.39) и (1.42) имеем
или
Следовательно, нормальная составляющая вектора на границе раздела сред с различными параметрами терпит разрыв непрерывности и в том случае, когда поверхность не заряжена (). Так же терпит разрыв непрерывности и нормальная составляющая вектора , если .
Учитывая данные равенства и выражение (1.38) , можно записать:
(1.44)
Если то нормальная составляющая объёмной плотности тока проводимости на поверхности раздела двух сред терпит разрыв непрерывности, равный по величине производной по времени от поверхностной плотности заряда , взятой с обратным знаком.
3) Выясним теперь, при каких условиях поверхностный заряд существует и при каких отсутствует. Это важно при введении в теорию идеализированных сред (идеальные диэлектрики и идеальные проводники ), которые находят широкое применение в практических расчётах, так как при этом решение задач значительно упрощается и во многих случаях приводит к вполне удовлетворительным по точности результатам.
Нам уже известно, что
Если , то при отличных от нуля нормальных составляющих вектора должно выполняться условие:
(1.45)
, т. е.
Следовательно, при произвольных, отличных от нуля параметров и соприкасающихся сред, поверхностная плотность зарядов на границе раздела всегда отлична от нуля, за исключением тех частных случаев, когда параметры соприкасающихся сред удовлетворяют уравнению (1.45).
Если же одна из сред является идеальным диэлектриком, например, , то уравнение (1.45) не удовлетворяется и, следовательно, . При этом уравнение (1.44) соответствует уравнению непрерывности потока зарядов к границе раздела. Очевидно, и в том случае, когда одна из сред является идеальным проводником ( ).
Во всех этих случаях поверхностные заряды являются индуктированными в проводящей среде нормальной составляющей вектора . В этом случае, когда обе соприкасающиеся среды – идеальные диэлектрики (, поверхностная плотность заряда , если только поверхность раздела специально не заряжена.
Вопрос 6.
Граничные условия для тангенциальных составляющих векторов и .
Для получения этих граничных условий воспользуемся интегральным выражением закона полного тока. Пусть имеем поверхность раздела двух сред (рис. 1.9). Расширим её до слоя. Возьмём тройку единичных векторов , тогда
Задаёмся направлением обхода элементарного контура. Приближённо можно записать:
где и – среднее значение вектора на и ;
– интеграл по боковым сторонам.
Будем сжимать слой до нуля, т. е. тогда
Получим
.
(1.46)
Для сред с конечными параметрами. Так как и – конечные величины, то и конечная. Для реальных физических полей и – конечная величина. Следовательно при стягивании контура в точку, т. е. и получим:
Рис. 1.9
Выражение (1.46) есть граничное условие для тангенциальных составляющих вектора для сред с конечными параметрами. Применив к этому же контуру (см. рис. 1.9) закон электромагнитной индукции
и полагая, что вектор и его производные всегда конечны, уже без ограничений на параметры сред получим:
(1.47)
Формула (1.47) есть граничное условие для тангенциальных составляющих вектора на поверхности раздела двух сред.
Граничные условия (1.46) и (1.47) формулируются следующим образом: при переходе границы раздела между двумя средами, имеющими конечные параметры ,, тангенциальные составляющие векторов и остаются непрерывными.
Рассмотрим некоторые встречающиеся на практике случаи граничных условий, которые следуют из рассмотренных соотношений.
Можно записать, что
На основании (1.47) имеем:
(1.48)
или .
Из формулы (1.48) следует, что тангенциальные составляющие вектора на границе раздела терпят разрыв непрерывности.
Тангенциальные составляющие вектора терпят разрыв непрерывности на границе раздела сред, для которых
Если одна из сред является идеально проводящей, то вывод граничных условий необходимо пересмотреть. Обратимся к уравнению Максвелла
(1.49)
Замечаем, что при и конечном значении . Так как ни бесконечные значения векторов, ни бесконечные значения их производных не могут отвечать реально существующим физическим полям, то мы должны принять невозможность существования электрического поля в идеально проводящей среде.
Но если в любой точке идеального проводника , то из уравненияследует, что Следовательно, в идеальном проводнике может существовать только постоянное (стационарное) магнитное поле
При изучении явлений, связанных с переменным электромагнитным полем, наличие постоянной составляющей магнитного поля не имеет значения. Поэтому можно считать, что в идеальном проводнике электромагнитное поле существовать не может и в любой его внутренней точке и
Рис. 1.10
Учитывая это положение, запишем граничные условия на поверхности идеального проводника, соприкасающейся с любой средой, включая и (рис. 1.10)
(1.50)
Формулы (1.50) представляют граничные условия на поверхности идеального проводника.
Рассмотрим условие (1.46) для тангенциальной составляющей вектора на поверхности идеального проводника. То, что в идеально проводящей среде переменное электромагнитное поле существовать не может, исключает и возможность существования переменного тока, распределённого по всему идеально проводящему телу с объёмной плотностью . Этот результат находится в соответствии с явлением поверхностного эффекта, т. е. распределение объёмной плотности переменного тока проводимости по сечению проводника неравномерное. Оно возрастает по величине в точках более близких к поверхности проводника. Вытеснение тока к поверхности проводника возрастает с увеличением проводимости и частоты.
При весь ток собирается в бесконечно тонком поверхностном слое проводника. При этом объёмная плотность тока теряет смысл, так как стремится к бесконечности: , , – конечно, следовательно . В этом случае при получении условий (1.46) появляется неопределённость, так как ,
Раскроем эту неопределённость. Из рис. 1.9 следует, что через элементарную площадку протекает ток Если будем сжимать этот слой до поверхности, то при величина не должна измениться и, следовательно, – величина конечная. Называют эту величину поверхностной составляющей плотности тока проводимости в направлении единичного вектора или просто поверхностной плотностью тока, который обозначим через , т. е.
В отличие от объёмной плотности тока , абсолютная величина которой определяет количество электричества, пересекающего в единицу времени единичную площадку, перпендикулярную вектору , поверхностная плотность тока определяет количество электричества, пересекающего в единицу времени единичную линию, перпендикулярную , лежащую на поверхности.
Рис. 1.11
На основании изложенного граничное условие для поверхности идеального проводника запишется в следующем виде:
(1.51)
При использовании формул (1.50) и (1.51) нужно помнить о принятом расположении тройки единичных векторов (рис. 1.11).
Условия (1.50) и (1.51) выражают: на поверхности идеального проводника тангенциальная составляющая вектора и нормальная составляющая вектора всегда равны нулю; нормальная составляющая вектора равна поверхностной плотности заряда на проводнике; тангенциальная составляющая вектора равна соответствующей составляющей вектора поверхностной плотности тока в проводнике.
Вопрос 7.
1.9. Теорема Умова – Пойнтинга
Физическое состояние любой системы наиболее отчётливо проявляется при выяснении происходящих в ней энергетических процессов. В этом отношении важное значение имеет теорема об энергии электромагнитного поля, сформулированная Пойнтингом (интеграл энергии уравнений Максвелла).
Идеи об энергии, развитые английским физиком Пойнтингом в применении к электромагнитному полю, за десять лет перед этим (в 1874 г.) были высказаны русским физиком Н. А. Умовым (1846 – 1915 гг.), который вывел впервые уравнения движения энергии применительно к твёрдым и жидким телам [7].
Теорема об энергии электромагнитного поля имеет большое значение и в том отношении, что позволяет установить необходимые и достаточные условия для однозначности решений системы уравнений Максвелла.
Рассмотрим замкнутый объём, заполненный электромагнитным полем (рис. 1.12). Причём предположим, что особые точки и поверхности отсутствуют. Среда изотропная, однородная. Запишем уравнения Максвелла:
(1.52)
.
Умножим скалярно первое уравнение (1.52) на , а второе уравнение на (1.50) на и вычтем после этого из первого уравнения второе. Получим
(1.53)
Рис.1.12
В векторном анализе доказывается, что
Кроме того, из уравнения (1.52 д) следует, что
.
Умножим скалярно на , получим .
Определим члены и . Для этого вначале найдём:
Отсюда
Аналогично
(1.54)
Таким образом, уравнение (1.53) принимает следующий вид:
Некоторые из полученных членов в уравнении (1.54) имеют известный нам физический смысл:
– тепло, выделяющееся в единицу времени в единице объёма (закон Джоуля – Ленца);
– представляет работу токов сторонних сил, отнесённую к единице времени и единице объёма.
Члены, зависящие от производных и по времени, определяют удельную энергию, обусловленную упругой энергией среды, энергией ориентации отдельных частиц или групп частиц, возникающую в процессе действия внешнего поля, так как в деформируемой среде величины и зависят от величины деформации, а значит и от времени, если деформирующая сила переменная. Этими свойствами среды определяются явления электрострикции и магнитострикции.
В дальнейшем пренебрежём явлениями электрострикции и магнитострикции, так как заметно они проявляются лишь в ограниченном числе материалов. Далее мы положим, что сторонние токе в рассматриваемом объёме отсутствуют. При этих условиях уравнение (1.54) примет вид
Проинтегрируем это уравнение по объёму :
Обозначим:
– вектор Умова – Пойнтинга или вектор излучения;
– плотность электрической энергии;
– плотность магнитной энергии;
– плотность электромагнитной энергии;
– тепло, выделяемое в единицу времени во всём объёме ;
– энергию, выделяемую в объёме.
Тогда
Применяя формулу Остроградского, получим:
(1.55)
где – замкнутая поверхность, ограничивающая объём ;
– внешняя нормаль к поверхности.
Уравнение (1.55) выражает теорему об энергии электромагнитного поля при отмеченных ограничениях.
Тогда или
Всегда величина так как подынтегральная функция квадратичная, она положительная. Поэтому в данном случае количество тепла (всегда ), выделяемого во всём объёме в единицу времени, уравновешивается уменьшением величины в единицу времени. Следовательно, можем рассматривать как меру электромагнитной энергии, за счёт уменьшения которой в единицу времени выделяется тепло .
Положим, что
Тогда
Так как всегда , то в этом случае имеем
Это показывает, что тепло в рассмотренном случае выделяется из области за счёт втекающего в эту область извне потока вектора . Это и позволяет рассматривать вектор как плотность потока электромагнитной энергии, поступающей в одну секунду внутрь области через единицу поверхности, ориентированную перпендикулярно вектору и ограничивающую область . Таким образом, вектор есть
(1.56)
, Вт/м2.
Вектор Умова – Пойнтинга – это есть энергетический вектор, определяющий поток электромагнитной энергии, пронизывающий в единицу времени (в 1 с) единичную площадку, ориентированную нормально к направлению распространения электромагнитной волны (перпендикулярно вектору ).
откуда следует, что
так как всегда .
С другой стороны, всегда . Но если производная от положительной функции по времени отрицательна, т. е. она убывает с течением времени, то наибольшим значением будет её начальное значение, которое мы предположили равным нулю. Следовательно, при указанных предположениях всегда . В таком случае из равенства
следует, что
,
так как подынтегральная квадратичная функция всегда положительна. При этом т. е. Таким образом, в области ограниченной замкнутой поверхностью , электромагнитное поле может существовать только в том случае, если в начальный момент оно там было, или если вектор на поверхности отличен от нуля, т. е. внутрь области может поступать электромагнитная энергия извне.
Заметим, что этот вывод становится неверным , если внутри области находятся сторонние токи, которые могут служить источниками электромагнитного поля.
Вопрос 8.
1.11. Вектор-потенциал и скалярный потенциал
Для облегчения решений уравнений Максвелла вводятся вспомогательные функции: вектор-потенциал и скалярный потенциал. Одним из уравнений Максвелла, которое всегда выполняется, является
.
Это уравнение будет тождественно удовлетворяться, если положить
так как
где – новый пока произвольный непрерывный и имеющий производные вектор.
Вектор называется вектор-потенциалом и широко применяется в общих исследованиях электромагнитного поля.
Ограничимся рассмотрением сред, когда являются постоянными, т. е. среда – изотропная, однородная. В этом случае
т. е.
Следовательно, для изотропной однородной среды не только
но и
(1.60)
Поэтому вместо вектора-потенциала вводится вектор :
Так как то т. е. мы получаем электрический вектор-потенциал.
Заметим, что как , так и вектор определяются неоднозначно.
Действительно, если имеем поле вектора , то оно может быть представлено в виде
где так как
где – скалярная произвольная непрерывная функция, имеющая производные.
Из курса математики известно, что результатом градиента является вектор, который определяется следующим образом:
а модуль этого вектора определяется:
Следовательно, если мы нашли вектор , удовлетворяющий уравнению (1.59), то всякий другой вектор тоже удовлетворяет уравнению (1.59).
Однако эта неоднозначность в определении вектора делает его удобным для вычислений, так как мы можем наложить ряд условий на вектор-потенциал, чтобы упростить вычисления.
Чему должен удовлетворять вектор-потенциал
Из первого уравнения Максвелла
используя уравнение (1.59), получим:
т. е.
Полученное уравнение будет выполняться при условии, если
,
так как
где – произвольная скалярная функция, которая называется электрическим скалярным потенциалом.
Знак минус выбран потому, что данное уравнение должно выполняться и для постоянного поля, когда . В этом случае получаем
т. е. известное из курса физики положение, что напряжённость электрического поля есть минус градиент потенциала.
Следовательно,
(1.61)
.
Определим условия, которым должны удовлетворять и . Для этого используем второе уравнение Максвелла
Если в этом уравнении заменить и по формулам (1.60) и (1.61), то получим:
(1.62)
.
Напомним, что
– оператор Лапласа или лапласиан. Это скалярный дифференциальный оператор второго порядка;
– оператор Гальмитона или набла. Это векторный дифференциальный оператор первого порядка:
(1.63)
Теперь используем третье уравнение Максвелла
или
Применяя формулу (1.61) , получим:
Но
Следовательно,
Теперь имеем скалярные уравнения (1.62) и (1.63). Правая часть этих уравнений проста. Однако уравнение (1.62) очень громоздко. Но если использовать неоднозначность определения , уравнение упрощается, а именно: налагается дополнительное условие в виде . Это равенство называется уравнением связи. Отсюда
(1.64)
Подставив (1.64) в уравнение (1.63), получим
(1.65)
.
Соберём полученные результаты:
(1.66)
(1.67)
.
При условии
(1.68)
.
При этом векторы и определяются по формулам
(1.69)
Уравнение (1.68) называется уравнением связи или калибровочным уравнением. Из данных выражений следует, что решение задачи об электромагнитном поле сводится к решению типового уравнения (1.66) или (1.67) при условии выполнения (1.68). Векторы и определяются по формулам (1.69).
Уравнения (1.66) и (1.67) относятся к известным уравнениям математики – типовым волновым неоднородным уравнениям. Решения этих уравнений разработаны. Совокупное решение (1.66 – 1.69) будет единственно возможным, если оно будет удовлетворять начальным и граничным условиям поставленной физической задачи.
Вопрос 9.
1.10. Волновые уравнения для векторов
Рассмотрим волновые уравнения для случая однородной, изотропной среды. Даны уравнения Максвелла:
(1.57)
Задача заключается в решении уравнений Максвелла. Преобразуем уравнения (1.57) таким образом, чтобы получить отдельно уравнение для и отдельно уравнение для [1,6]. Для этого возьмём от первого уравнения и, используя второе уравнение, получим:
Учитывая, что соберём все члены, содержащие в левую часть, получим:
(1.58)
Аналогично для . Возьмём от второго уравнения и, используя первое, получим:
(1.59)
Уравнение (1.58) есть волновое уравнение для вектора , а (1.59) – волновое уравнение для вектора .
Правые части уравнений (1.58) и (1.59), которые выражаются через заданные функции и , достаточно сложны. Непосредственное решение уравнений (1.58) и (1.59) встречает большие трудности. Для того чтобы облегчить решение этих уравнений, вводятся вспомогательный вектор и функция, так называемые электродинамические потенциалы. При этом уменьшается число уравнений, правая часть их упрощается. После определения вспомогательных функций и определения через них и , не нужно устанавливать соответствие между ними.
Вспомогательными функциями бывают вектор-потенциал и скалярный потенциал, а также вектор Герца.
Вопрос 10.
1.12. Переменное электромагнитное поле. Запаздывающие потенциалы
Переменное электромагнитное поле характеризуется известными нам тремя уравнениями (1.66 – 1.68). В случае переменного электромагнитного поля нет возможности разделить магнитное поле от электрического. Это процесс взаимосвязанный. При решении необходимо знать либо сторонние токи, либо сторонние заряды, начальные и граничные условия.
Если имеем однородное безграничное пространство, то нам нужно знать только токи и заряды. На практике этот случай редок, но он имеет фундаментальное значение.
Рассмотрим этот случай для среды без потерь, т. е. при уравнения (1.66 – 1.68) примут вид:
(1.70)
;
(1.71)
;
.
Уравнение (1.70) может быть записано в виде трёх скалярных уравнений в прямоугольной системе координат. В результате имеем:
(1.72)
где – проекции или функции ;
– означает или ;
– имеет размерность скорости.
Рис. 1.13
Уравнение (1.72) есть неоднородное волновое уравнение. Частным решением его является
(1.73)
где – объём области пространства, в котором задана функция (рис. 1.13);
– точка, находящаяся в объёме , в ней расположен источник поля;
– время, предшествующее времени на величину ;
– время запаздывания, которое необходимо, чтобы процесс распространялся от точки до точки .
Данный потенциал определяется поведением источников в момент времени . Потенциалы в силу наличия времени запаздывания называются запаздывающими. В результате для электрического вектор-потенциала и скалярного потенциала получим:
(1.74)
(1.75)
Формулы (1.74) и (1.75) находят широкое применение для расчёта изучения антенн, когда токи в них заданы.