Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
43.Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы. Приложение аффинных преобразований к решению задач.
О. Аффинным преобразованием пл-ти наз. такое преобразование пл-ти на себя, при котором: 1)любые три точки одной прямой переходят в три точки так же другой прямой 2)и при этом сохраняется их простое отношение
Пр. Всякое движение, подобие, гомотетия есть аффинное преобразование.
Лемма: Если 2а аффинных преобразования и переводят т.А в т.А’; т.В в т.В’ (),то , где М – любая точка прямой
Док-во:
] , т.к. и - аффинные и т. , то =, тогда рассматривая простое отношение точек, а оно в аффинном преобразовании сохраняется
и действуют на т. М одинаково: . ч.т.д.
Т: (основная теорема об аффинных преобразованиях)
Для 2х аффинных реперов и - произвольные реперы плоскости. -ет и (!) аффинное преобразование f, при котором R→R’ т.е. (аф.пр. преобразует т. соответственно в т. ). , при этом точка M(x,y)R переходит в точку M’(x,y)R’ (с теми же координатами).
Док-во: ] R и R’ 2а произвольных репера
и
I.-сущ.
Зададим очевидно, это отображение – биекция(М1 и М2 различны, значит образы имеют разные координаты- инъекция; сюръекция- у каждой точки есть прообраз)
, ,
Док-ем, что f аффинное преобразование
1)Возьмем три точки, которые лежат на одной прямой , ,
По определению
Составим уравнение прямой для точек
, составим уравнение прямой . Т.к. точки ,, имеют те же координаты что и , , только в репере , то и уравнения прямых этих точек будут такими же что и в репере .
Т.к. , , одной прямой, то и ,, одной прямой.
2) отношение между точками , , задается =
т.о. f- аффинное преобразование
II-единств. (от противного) Пусть кроме f есть - еще одно аффинное преобразование такое, что
. Док-ть: .
Док-во:
Возьмем M,ч./з. т. М проведем прямую так, чтобы она пересекала ОE1 и ОE2 в 2х различных точках. . Применим лемму:
1. по лемме
2. по лемме
3. по лемме
f и совпадают.ч.т.д.
Основные свойства.
1) Аффинное преобразование любой репер переводит в репер.
2) Аф.пр. прямую переводит в прямую
f – аф. преоб., l-прямая. Возьмем . в системе
Применим преобразование к реперу , где по основной теореме такое аф.пр. единственно и каждую т. переводит
Обозначим . Док-ть: -прямая
: в прямая.
3) Аффинное преобразование сохраняет отношение «лежать между».
4) Аффинное преобразование отрезок переводит в отрезок; луч в луч; параллельные прямые в параллельные и др.
Теор.(о группе). Мн-во всех аф. пр-ий плоскости образует группу.
Док-во: G-группа всех преобразований, A- множество всех аф.пр-ний.. Воспользуемся теоремой о подгруппе: Подмн-во группы явл. подгруппой, если выполняются два усл-ия : 1) 2). . В нашем случае 1) аф.пр.,то аф.пр.; 2) аф.пр аф.пр
Док-во: 1). f – аффинное преобр-ние плоскости, (одной прямой) , то,(1)
g- аф.пр. пл-ти. Обозначим , (2)
Из (1)и(2) - аффинное преобр-ние. 2) f – аффинное преобр-ние – аффинное преобр-ние, т.к. сохраняется отношение 3х точек и они принадлежат одной прямой (это следует из существует.
Формулы аналитического задания афф-го преобразования.
Аффинное преобразование задается следующими формулами: ,где
О. Точка плоскости наз. инвариантной (неподвижной, двойной) точкой афф-го преобр-я, если она переходит в себя в этом преоб-и. М-двойная, если f(M)=M.
Опр. Прямая наз инвариантной (неподвижной, двойной), если любая ее точка переходит в точку этой же прямой. Опр. Нетождественное аффинное преобразование назыв перспективно-аффинным или родственным преобразованием (родством), если оно имеет по крайней мере две неподвижные точки.
Примеры аффинных преобразований, не являющихся подобиями: сжатие, косое сжатие, сдвиг плоскости.
Задача Док-ть, что в люб. Δ медианы пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1.считая от вершины.
Док-ть это св- во для равностороннего Δ.
Док-во: В равностор треуг медианы явл серединными перпендикулярами, которые пересекаются в одной точке. 1) ] AD,BE-медианы, т.к. Δ- равносторонний
=> AD,BE - высоты и биссектрисы.
2) AD ∩ BE=0 3) рас-м ΔAОE, , катет леж1ащий против угла в равен половине гипотенузы. 4) рас-м ΔAОB, , т.к. , тогда , т.е. точка О делит медиану в отношении .
Сущ. аф. пр. которое . При аф. пр. сохраняется отношение трех точек, значит середина отрезка перейдет в . Значит медиана перейдет в медиану, их образы так же пересекаются в одной точке, т.к. сохранятеся отношение трех точек, то точка будет делить медиану в отношении 2:1