Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
УРОК 13
Тема уроку: Зростання і спадання функції.
Мета уроку: Познайомити учнів з правилами знаходження проміжків зростання (спадання) функції.
І. Аналіз контрольної роботи.
ІІ. Сприймання і усвідомлення ознаки спадання та зростання функції на деякому проміжку.
За допомогою похідної можна встановлювати проміжки зростання і спадання функції.
Відомо, що функція y = f(x) називається зростаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких х1 і х2, що належать проміжку, із умови х2 > х1 випливає, що f(x2) > f(x1).
Дотична в кожній точці графіка зростаючої функції, як видно з рис. 32, утворює з додатним напрямом осі ОХ або гострий кут, або кут, що дорівнює нулю (в останньому випадку дотична паралельна осі ОХ).
Виходячи із геометричного змісту похідної: tg α = f’(xo), це означає, що похідна в кожній точці проміжку невід’ємна, тому для зростаючої функції f(x) виконується умова: .
Функція y = f(x) називається спадною на проміжку, якщо для будь-яких х1 і х2, що належать цьому проміжку, із умови х2 > х1 випливає, що f(x2) < f(x1). Дотична в кожній точці графіка спадної функції (рис. 33) утворює з віссю ОХ або тупий кут, або кут, що дорів нює нулю, тому для функції f(x), яка спадає на деякому проміжку, вико нується умова f'(x) < О.
На рис. 34 видно також, що одна і та ж функція може на одному про міжку області її визначення зростати, а на іншому — спадати. Характер по ведінки функції на кожному із цих проміжків визначається знаком її по хідної.
Отже, наочне уявлення дозволяє сформулювати властивості зроста ючих та спадних функцій.
Якщо функція у = f(x) диферен ційована і зростає на деякому про міжку, то її похідна на цьому про міжку не від'ємна.
Якщо функція у = f(x) диференційована і спадає на деякому проміжку, то її похідна на цьому проміжку не додатна.
Проте для розв'язування задач особливо важливими є обернені твердження, які ви ражають ознаки зростання і спадання функ ції на проміжку. Нехай значення похідної функції у = f(x) додатні на деякому про міжку, тобто f'(x) > 0. Оскільки f'(x) = tg α, то із умови tg α > 0 випливає, що дотичні, проведені до графіка функції в будь-якій точці цього інтервалу, утворюють гострі кути з додатним напря мом осі ОХ. У цьому випадку графік функції «піднімається» на заданому проміжку, тобто функція зростає (рис. 35).
Якщо f'(x) < 0 на деякому проміжку, то кутовий коефіцієнт дотичної tg α = f(x) до графіка функції у = f(x) від'ємний. Це означає, що дотична до графіка функції утворює з віссю ОХ ту пий кут і графік функції на цьому проміжку «опускається», тоб то функція f(x) спадає (рис. 36).
Якщо f'(x) > 0 на проміжку, то функція f(x) зростає на цьому проміжку.
Якщо f(x) < 0 на проміжку, то функція f(x) спадає на цьому проміжку.
Ці два твердження називаються ознака ми зростання (спадання) функції на про міжку.
Строге доведення цих тверджень виходить за рамки шкільного курсу математики.
Проміжки зростання і спадання функції часто називають про міжками монотонності цієї функції.
Приклад 1. Доведіть, що функція f(x) = х + зростає на проміж ку (1; +).
Знайдемо похідну: .
Якщо х > 1, то тобто f'(x) > 0 при х > 1, і тому функція зростає на проміжку (1; +).
Знаходження проміжків зростання та спадання функції можна виконувати за таким планом:
1. Знайти область визначення заданої функції у = f(x).
2. Знайти похідну f'(x).
3. Розв'язати нерівності:
а) f'(x) > 0, указати проміжки зростання функції у = f(x);
б) f'(x) < 0, указати проміжки спадання функції у = f(x)·
Приклад. Знайдіть проміжки монотонності функції у = х3 - 3х2.
Розв'язання
1. Область визначення функції: D(y) = R.
2. Знаходимо похідну у' = 3х2 - 6х.
3. Розв'язуємо нерівності: а) у' > 0; б) у' < 0. Розв'язуємо ці не рівності методом інтервалів, для цього знаходимо нулі по хідної: 3х2 - 6х = 0, 3х(х - 2) = 0, х = 0 або х = 2. Наносимо на координатну пряму (рис. 37) нулі похідної і ви значаємо знаки похідної на кожному проміжку:
y'(-1) = 3 · (-1)2 - 6 · (-1) = 3 + 6 = 9 > 0;
y'(1) = 3 · І2 – 6 - 1 = -3 < 0;
у'(3) = 3 · 32 – 6 · 3 = 27 - 18 = 9 > 0.
а) у' > 0 в кожному із проміжків (-; 0); (2; +), отже, функція на цих проміжках зростає.
б) у' < 0 на проміжку (0; 2), отже, функція на цьому проміжку спадає.
Відповідь: функція зростає на кожному із проміжків (-;0);(2;+); спадає на проміжку (0; 2).
III. Формування умінь учнів знаходити проміжки монотонності функції.
Виконання вправ № 1 (2; 8; 13; 15; 14) до розділу VIII.
IV. Підведення підсумків уроку.
V. Домашнє завдання.
Розділ VIII § 1. Запитання і завдання для повторення розділу VIII № 2, 4. Вправи до розділу VIII № 1 (3; 11).
PAGE 3
Роганін Алгебра 11 клас, урок 13