Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1. Логические символы
=> Запись (импликация) означает, что из справедливости высказывания A вытекает справедливость высказывания B. Если, кроме того, из справедливости высказывания B вытекает справедливость A, то записываем . Если , то высказывание B является необходимым и достаточным условием для того, чтобы выполнялось высказывание A. Математическое понятие множества элементов принимается в качестве интуитивного. Множество задается правилом или признаком, согласно которому определяем, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит. Множество обозначают символом A = {x}, где x - общее наименование элементов множества A. Часто множество записывают в виде A = {a, b, c, ...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества A. Будем пользоваться обозначениями:
N - натуральных чисел; Z - целых чисел; Q - рациональных чисел; R - действительных чисел;
C - комплексных чисел; Z0 - неотрицательных целых чисел.
Функцией называется закон, по которому числу х из заданного множества Х, поставлено в соответствие только одно число у, пишут , при этом x называют аргументом функции, y называют значением функции.
2 Способы задания функции
1. Аналитический способ.
2. Графический способ.
3. Словесный способ.
4. Табличный способ.
3 Предел функции
Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию. Для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени. Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
4,5 Бесконечно малые величины
Последовательность называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .
Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то , .
Свойства бесконечно малых
|
6 Свойства пределов |
|
Предел суммы Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций: Расширенное правило суммы Предел постоянной величины Предел постоянной величины равен самой постоянной величине: Предел произведения функции на постоянную величину Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела: Предел произведения Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют): Расширенное правило произведения Предел частного Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю: Предел степенной функции где степень p - действительное число. В частности, Если f ( x ) = x, то Предел показательной функции где основание a > 0. Предел логарифмической функции где основание a > 0. Теорема "о двух милиционерах" Предположим, что для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точкиx = a. Тогда, если то То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу L. |
7 Первый замечательный предел
Определение
Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.
Пример
Задание. Найти предел
Решение. Воспользуемся заменой и первым замечательным пределом.
Ответ.
Пример
Задание. Найти предел
Решение. Разложим тангенс на синус и косинус и воспользуемся свойствами пределов.
Ответ.
1° 2° 3° 4°
1
здесь е - число Эйлера.
Пример
Задание. Найти предел
Решение. Подставим , получим неопределенность и для решения предела воспользуемся вторым замечательным пределом.
Ответ.
1° 2° 3° 4° 5° 6°
9,10 НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Функция называется непрерывной в точке , если:
Замечание
При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть
1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция, непрерывная в точке х0.
2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х0.
3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.
Это свойство может быть записано следующим образом:
Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х0, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.
11 Точки разрыва
Классификация точек разрыва функции
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке
При этом возможно следующие два случая:
Такая точка называется точкой устранимого разрыва.
Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.
Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
12 Производная
Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
.
Производная функции имеет несколько обозначений: , , , .
Иногда в обозначении производной используется индекс, указывающий, по какой переменной взята производная, например, .
Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции.
Если функция в точке имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.
Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка , называется дифференцируемой на этом промежутке.
Если функция дифференцируема на промежутке , то каждому из этого промежутка поставлено в соответствие, кроме значения функции , некоторое число, равное производной функции в этой точке , т.е. на промежутке возникает, кроме , еще одна функция , которая называется производной функцией от данной функции или просто производной от этой функции: .
Из задачи о скорости прямолинейного движения следует механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент : .
Из задачи о касательной к графику функции вытекает геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой в точке , т.е. .
Из задачи о производительности труда следует, что производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент .