Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
РЯДЫ
САМАРА 2006
Рассмотрим дифференцируемую в некоторой области функцию С помощью таблицы производных всегда можно вычислить ее производную – .
Поставим обратную задачу – по заданной производной найти (восстановить) функцию , производная которой равна
(1.1.1)
Такая восстановленная функция называется первообразной функцией для функции .
Например
Очевидно, что задача об отыскании первообразной имеет не единственное решение.
Теорема1 (о виде первообразных).
Любые две первообразные для одной и той же функции могут различаются лишь на постоянную величину.
Доказательство:
.
Здесь использована теорема Лагранжа. Если для всех то для любых
Таким образом, любая первообразная для заданной функции имеет вид
.
Здесь С – произвольная постоянная.
Это выражение обозначается
(1.1.2.)
и называется неопределённым интегралом от функции . Функция называется подынтегральной функцией, выражение – называется подынтегральным выражением.
Геометрический смысл неопределённого интеграла состоит в том, что он представляет собой множество (семейство) кривых. Все эти кривые могут быть получены сдвигом одной кривой в направлении оси ординат.
Процедура вычисления неопределённого интеграла называется интегрированием.
Теорема2 (о существовании неопределённого интеграла).
Для всякой функции класса существует неопределённый интеграл на том же отрезке .
В данном курсе доказательство этой теоремы не рассматривается.
1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции
(1.2.1)
Доказательство:
2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению
(1.2.2)
Доказательство:
3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная
(1.2.3)
Доказательство:
4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла
(1.2.4)
5. Неопределённый интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, если интегралы существуют:
(1.2.5)
Для доказательства равенств (1.2.4) и (1.2.5) достаточно убедиться в совпадении производных для их левых и правых частей. Равенства (1.2.4) и (1.2.5) называют свойствами линейности неопределенного интеграла.
Приведём основные формулы для интегрирования элементарных функций. Часть этих формул известна из школьного курса математики.
Приведенные формулы проверяют с помощью дифференцирования.
Пусть требуется вычислить интеграл . Заменим в этом интеграле переменную интегрирования – , тогда и формула для исходного интеграла принимает вид
(1.4.1)
Формула (1.4.1) выражает метод интегрирования подстановкой, или метод замены переменной интегрирования.
Этот метод целесообразно использовать в тех случаях, когда интеграл в правой части равенства (1.4.1) проще, чем в левой части.
После вычисления нового интеграла приходится возвращаться к старой переменной, для чего находят обратную функцию .
Примеры:
1. ,
2. ,
3. .
Этот метод интегрирования базируется на известной формуле
,
которая после умножения на принимает вид
.
Запишем эту формулу несколько иначе
.
Рассматривая левую и правую части полученного равенства как подынтегральные выражения, находим
(1.5.1)
Формула (1.5.1) выражает метод интегрирования по частям. Этот метод уместно использовать в тех случаях, когда функция при дифференцировании упрощается. Поэтому в качестве обычно выбирают функции и т. д.
Пример.
Вычислить интеграл
Решение:
=.
Следует обратить внимание на то, как усложняется вид функции при интегрировании. Это явление является типичным.
Вычислим площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями
.
Разобьем отрезок системой точек
Абсциссы границ полученных частей обозначим через (рис. 5.3). Выберем, далее, точки где , и образуем выражение
(5.6.1)
Здесь - длина i – ой части отрезка .
Рис. 5.3
Величина называется интегральной суммой. Очевидно, что выражает площадь ступенчатой фигуры (рис. 5.3), которая заштрихована.
Если выбрать точки так, что
ступенчатая фигура окажется вложенной в криволинейную трапецию. Если же, наоборот, подобрать таким образом, чтобы
то криволинейная трапеция окажется вложенной в такую ступенчатую фигуру.
При разности тоже стремятся к нулю, и интуитивно ясно, что величина независимо от того, как производится разбиение отрезка на части и каким образом выбираются точки для каждой из этих частей. Величина
(5.6.2)
называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку , а –называется нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования.
В формуле (5.6.2) понятие предела уточнить, так как зависит от переменного количества аргументов:
Делается это следующим образом:
Определенный интеграл отображает функцию на число т.е. является функционалом из С в R.
Если то величину определенного интеграла естественно принять за площадь криволинейной трапеции , так как
Можно доказать, что если , то определенный интеграл (5.6.2) существует.
Задание для самостоятельного решения.
5.7. Формула Ньютона-Лейбница.
Формула, найденная Ньютоном и Лейбницем (независимо друг от друга), устанавливает связь между определённым и неопределённым интегралами. Она позволяет эффективно вычислять определенные интегралы и является основной формулой интегрального исчисления.
Для введенного ранее разбиения отрезка на n частей
очевидно, справедливо равенство
(5.7.1)
Пусть Тогда по формуле Лагранжа
и формуле (5.7.1) можно придать вид
(5.7.2)
Формула (5.7.2) показывает, что при соответствующем выборе точек величина интегральной суммы при любом n постоянна и равна Поэтому при получим
(5.7.3)
(5.7.3) называют формулой Ньютона-Лейбница.
Для обозначения приращения функции часто используют знак двойной подстановки
Пример. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой
Решение таково:
Задание для самостоятельного решения.
а)
б)
в)
а) б)
5.8. Основные свойства определённого интеграла.
1) Определенный интеграл является линейным функционалом
т.е. (5.8.1)
(5.8.2)
где
Равенство (5.8.1) вытекает из очевидного свойства соответствующих интегральных сумм
Аналогично проверяется равенство (5.8.2):
(5.8.3)
Поэтому переменную интегрирования в определенном интеграле называют «немой» по аналогии с «немыми» индексами суммирования, не попадающими в конечный результат.
(индекс i здесь “немым” не является).
Равенство (5.8.3) очевидно из структуры формулы для интегральной суммы (5.6.1).
Равенство (5.8.4) следует понимать как естественное определение интеграла по «отрезку нулевой длины»:
Формула (5.8.5) представляет собой определение интеграла по направленному отрезку Это определение целесообразно принять в связи с формулой Ньютона-Лейбница, распространив последнюю на случай любых пределов интегрирования:
5) (5.8.6)
Говорят, что равенство (5.8.6) выражает аддитивность определённого интеграла относительно области интегрирования: значение интеграла на равно сумме его значений на причём Ø.
Доказательство нетрудно выполнить, записав соответствующие интегральные суммы. Однако, в данном случае мы воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
Формула (5.8.6) с учетом определения (5.8.5) справедлива не только для В ней a, b, c могут быть любыми действительными числами (лишь бы существовали все рассматриваемые интегралы).
5.9. Оценки определенного интеграла.
Рассмотрим свойства определенных интегралов, которые выражаются неравенствами и могут служить для оценки значений этих интегралов.
Теорема 1 (интегрирование неотрицательной функции):
Доказательство:
Теорема 2 (интегрирование неравенств):
Доказательство:
Теоремы 1 и 2 показывают, что неравенства можно интегрировать (a
Теорема 3 (двойная оценка определенного интеграла):
(5.9.1)
Доказательство основано на возможности интегрирования неравенств:
Отсюда сразу следует заключение теоремы 3. Её геометрический смысл ясен из рис. 5.4, на котором в качестве m и M выбраны наименьшее и наибольшее значения функции (на самом деле m можно брать меньше наименьшего, а M – больше наибольшего значения функции):
Неравенства (5.9.1) дают двойную оценку определенного интеграла:снизу и сверху.
Теорема 4 (оценка модуля определенного интеграла):
(5.9.2)
Доказательство:
Неравенство (5.9.2) напоминает известное свойство модуля суммы нескольких чисел:
Если , то из (5.9.2) получаем ещё одну оценку модуля определенного интеграла:
(5.9.3)
Неравенства (5.9.1), (5.9.2), (5.9.3) используются при доказательстве различных теорем, а также для грубой оценки значения определенного интеграла.
5.10. Теорема о среднем значении.
Введём понятие о среднем значении функции Для этого разобьём отрезок на n частей одинаковой длины Далее выберем точки и введём соответствующие им значения функции Тогда в качестве среднего значения функции на естественно принять величину или т.е.
(5.10.1)
Величину называют ещё средним интегральным значением функции на .
Теорема (о среднем значении). Если С, то существует такая точка , в которой =.
Для доказательства воспользуемся двойным неравенством (5.9.1), записав его в виде
откуда в силу (5.10.1)
Если в качестве m и M выбрать наименьшее и наибольшее значение функции на , то в силу теоремы Вейерштрасса существует точка , в которой = (число расположено между m и M, а непрерывная функция “не пропускает” ни одного значения между m и M ).
Геометрический смысл теоремы о среднем значении состоит в том, что существует точка , в которой или в соответствии с обозначениями рис. 5.6
5.11. Вычисление определённых интегралов с помощью подстановки.
Теорема. Если С, причём функция отображает отрезок на отрезок, то
(5.11.1)
Доказательство:
(здесь
При вычислении определённого интеграла с помощью подстановки возвращаться к прежней переменной интегрирования не нужно. Однако не следует забывать о необходимости изменения пределов интегрирования.
Пример: Вычислить площадь эллипса
Очевидно, что искомая площадь
С помощью подстановки
получаем
5.12. Вычисление определённых интегралов путём
интегрирования по частям.
Формула интегрирования по частям для определённого интеграла выводится очень просто
т.е.
(5.12.1)
Пример:
Задание для самостоятельного решения.
а) на отрезке
б) на отрезке и
Найдите среднее значение силы тока за полупериод.
а) б)
а)
б)
если
Вычислите
5.13. Практическая схема применения определенных интегралов для решения прикладных задач.
Пусть некоторая величина Q распределена вдоль отрезка , причем Q(x) выражает значение Q на отрезке Тогда для Q можно ввести понятие линейной плотности:
где - количество рассматриваемой величины на отрезке длиной
Имеем
т.е.
(5.13.1)
Произведя стандартное разбиение отрезка на n частей, будем иметь равенство (5.13.1) для n точек
откуда следует, что
Обозначив
получим
т.е.
(5.13.2)
Таким образом, из равенства (5.13.1) следует (5.13.2), и мы получили широко используемое правило применения определенных интегралов:для вычисле-ния величины распределенной вдоль отрезка с линейной плотностью достаточно воспользоваться импликацией:
(5.13.3)
При использовании формулы (5.13.3) плотность на элементарном отрезке длиной dx можно считать постоянной (она совпадает с где
5.13.1. Вычисление площадей плоских областей.
Короче это записывают так: (5.13.4)
полагая, что
где либо известны из формулировки задачи, либо их находят из уравнений
dS
Рис. 5.8
Поскольку элементарный сектор аппроксимируется круговым, то
Отсюда согласно (5.13.3)
или, короче,
(5.13.5)
Пример: Найти площадь, ограниченную лемнискатой Бернулли (рис. 5.9).
Данная кривая имеет две симметричные относительно полюса ветви Поэтому достаточно рассмотреть лишь одну ветвь Нетрудно видеть, что
и вся ветвь расположена в секторе (рис. 5.9). Поэтому согласно (5.13.5)
Рис. 5.9
Задание для самостоятельного решения.
а)
б)
в)
а) кардиоидой
б) окружностями
в) первым витком спирали Архимеда и полярной осью;
г) трехлепестковой розой
Сделайте чертежи.
а) эллипсом
б) астроидой
в) первой аркой циклоиды и осью ОХ.
5.13.2. Вычисление длины дуги плоской кривой.
Ранее было установлено, что для кривой дифференциал дуги определяется формулой:
Поэтому согласно (5.13.3) длина всей дуги равна
(5.13.6)
Если кривая задана параметрически то в (5.13.6) следует заменить переменную интегрирования:
где пределы интегрирования либо известны, либо их находят из уравнений причём
Задание для самостоятельного решения.
а) дуги кривой от t=0 до
б) всей кривой
в) дуги спирали Архимеда находящейся внутри окружности
5.13.3. Вычисление объёма и площади поверхности тела вращения.
Не давая строгого определения объёма, вычислим объём тела вращения, изображенного на рис.10:
(5.13.7)
Рис. 5.10
Аналогично поступаем с площадью поверхности тела вращения, полагая, что её величина равна пределу, к которому стремиться площадь поверхности тела, полученного путём вращения ломаной, вписанной в данную кривую при (рис. 5.11):
(5.13.8)
Рис. 5.11
Для кривой, заданной параметрически из (5.13.8) имеем:
5.13.4 Вычисление объёма тела с заданными площадями
параллельных сечений.
y
Рис. 5.12
Пусть для некоторого тела (рис. 5.12) известны площади сечений, перпендикулярных оси ОХ. Обозначим текущее значение этой площади через S(x). Тогда, аппроксимируя тело элементарными цилиндрами с площадями оснований S(x) и высотами dx, получаем
(5.13.9)
Пример: Вычислить объём эллипсоида
Для решения положим
В сечениях, перпендикулярных оси ОХ, получаются эллипсы с полуосями
Отсюда имеем
Задание для самостоятельного решения.
а) вокруг оси OY;
б) вокруг оси OХ;
в) вокруг оси OХ.
а) вокруг оси OХ;
б) вокруг оси OY.
5.14. Примеры физических приложений определённых интегралов.
Рис. 5.13
где С – удельная теплоёмкость единицы массы, S – площадь сечения стержня (S=const), γ – плотность массы материала стержня, Т – температура.
Подумайте, что изменится, если S=S(x).
Сила F, уравновешивающая растянутый упругий элемент, равна cx: F=cx, где с –жесткость пружины (положим для простоты с=const).
Рис. 5.14
Тогда
Подумайте, каков геометрический смысл связи графиков силы F(x) и работы A(x).
где статические моменты относительно осей ОХ и ОY;
координаты центра тяжести масс;
Рис. 5.15
С помощью рис. 5.15 эти понятия распространяются на случай однородной пластины с единичной поверхностной плотностью массы:
Задание для самостоятельного решения.
а) параболами
б) кривой
5.15. Приближениое вычисление определённых интегралов.
Формула Ньютона-Лейбница позволяет аналитически вычислить определённый интеграл, если удается найти первообразную подынтегральной функции. Однако, последнюю можно отыскать далеко не во всех случаях. В связи с этим возникает задача о приближенном вычислении определённого интеграла. Соответствующие приближенные формулы (они называются квадратурными) проще всего получать, интерпретируя определённый интеграл как площадь.
5.15.1. Формула прямоугольников.
Формула прямоугольников основана на замене подынтегральной функции f(x) на кусочно-постоянную функцию (см. рис. 5.16).
Отрезок разбивается на n частей равной длины а площадь криволинейной трапеции приближенно приравнивается площади ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников и изображенной на рис. 5.16 (штриховка).
Рис. 5.16
Тогда (5.15.1)
Эта же площадь может быть приближенно приравнена площади ступенчатой фигуры, показанной на рис.16 пунктиром:
(5.15.2)
5.15.2. Формула трапеций.
Формула трапеций аналогична формулам прямоугольников, но f(x) заменяется на каждом отрезке длиной линейной функцией, а площадь – суммой площадей трапеций (рис. 5.17). Очевидно, что соответствующая площадь получается как полусумма площадей (5.15.1), (5.15.2):
(5.15.3)
Рис. 5.17
Формула (5.15.3) точнее, чем (5.15.1) или (5.15.2), хотя объём вычислений остаётся почти тем же самым.
5.15.3. Формула парабол.
Формула парабол, предложенная английским математиком Симпсоном (XVIII век), основана на замене функции f(x) на отрезках длиной дугой параболы.
Непосредственно вычислением можно убедиться в том, что для справедливо следующее равенство
(5.15.4)
(проверьте самостоятельно).
Рис. 5.18
С помощью формулы (5.15.4) и рис. 5.18 получаем:
……………………………
Отсюда имеем
(5.15.5)
Здесь m=2n, а дуги парабол на рис. 5.18 считаются «слившимися» с кривой y=f(x). Точность формулы (5.15.5) выше, чем (5.15.2), (5.15.1), (5.15.3).
5.16. Несобственные интегралы.
Понятие интеграла было введено для функций, непрерывных на конечном отрезке. Однако, при рассмотрении математических моделей многих явлений (процессов) целесообразно обобщение понятие интеграла. Во-первых, иногда полезно рассмотрение бесконечных пределов интегрирования. Во-вторых, интегрируемая функция может иметь разрывы. В связи с изложенным мы рассмотрим эти ситуации и дадим соответствующие обобщения понятия интеграла.
5.16.1. Несобственные интегралы с бесконечными
пределами интегрирования
Пусть т.е. функция f(x) непрерывна на отрезке при любом b>a.
Интеграл
(5.16.1)
называется несобственным интегралом.
Говорят, что несобственный интеграл сходится, если существует конечный предел (5.16.1). Если не существует конечного предела (5.16.1), то несобственный интеграл называют расходящимся.
С геометрической точки зрения величина (5.16.1) выражает площадь бесконечной фигуры, ограниченной кривой осью абсцисс и прямой x=a (рис. 5.19).
Рис. 5.19
Аналогично вводятся и другие несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования:
где выбирается произвольно (докажите самостоятельно, что от выбора с значение интеграла не зависит). Для последнего сходимость определяется сходимостью обоих интегралов в правой части равенства.
Пример:
Рассмотренные несобственные интегралы называют иногда несобственными интегралами первого рода.
5.16.2 Несобственные интегралы от разрывных функций.
Пусть , а в точке x=b она имеет разрыв второго рода. Тогда интеграл
(5.16.3)
называется несобственным интегралом (сходящимся, если предел (5.16.3) существует и конечен; расходящимся – в остальных случаях. Несобственные интегралы от разрывных функций называют ещё несобственными интегралами второго рода.
Геометрический смысл несобственного интеграла ясен из рис. 5.20.
Рис. 5.20
Аналогично вводятся несобственные интегралы в случаях, когда подынтегральная функция имеет иначе расположенную точку разрыва. Так, если f(x) имеет разрыв при x=a, т.е. то
(5.16.4)
Если точка разрыва x=с лежит между точками x=a и x=b, то
(5.16.5)
В качестве упражнения вычислим интеграл
Поскольку подынтегральная функция имеет разрыв в точке , то, учитывая (5.16.5) имеем:
Очевидно, что интеграл расходится.
Если на отрезке функция f(x) имеет несколько точек разрыва, то несобственный интеграл определяется аналогично.
В некоторых задачах вместо (5.16.4) целесообразно ввести понятие главного значения несобственного интеграла.
(5.16.6)
Здесь точка разрыва «вырезана» из отрезка вместе с симметричным относительно нее промежутком Поэтому, если сходится интеграл (5.16.5), то сходится и (5.16.6). Обратное же утверждение неверно: (5.16.6) может сходиться, а (5.16.5) – расходиться.
Например, интеграл, рассмотренный в предыдущем упражнении расходится, хотя существует в смысле главного значения (убедитесь в этом самостоятельно).
Заметим, что в случае, когда функция f(x) имеет разрыв первого рода, нет принципиальной необходимости вводить понятие несобственного интеграла: достаточно разбить отрезок на два отрезка, доопределив на каждом из них f(x) по непрерывности (рис. 5.21) и рассмотрев два обычных интеграла.
Рис. 5.21
Основные свойства несобственных интегралов аналогичны свойствам определённых интегралов и легко получаются из них предельным переходом с учётом определений (5.16.1) – (5.16.5).
Задание для самостоятельного решения.
1) 2) 3) 4)
1) 2) 3) 4)
Чему будет равно
если f(x) – нечётная функция?
1) 2) 3)
4) 5)
5.16.3. Теоремы о сходимости несобственных интегралов
Вопрос о сходимости несобственного интеграла в ряде случаев можно решить без его вычисления. Это особенно важно, когда первообразную через элементарные функции в конечном виде выразить невозможно. Рассмотрим простейшие теоремы относительно сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами.
Теорема 1. Если и интеграл сходится, то сходится и интеграл Если при тех же предположениях интеграл расходится, то расходится и интеграл .
Доказательство производится следующим образом.
Так как
то первый интеграл при монотонно возрастает и ограничен. Поэтому существует конечный предел
Вторая часть теоремы доказывается аналогично:
Теорема 2. Если сходится интеграл то сходится и интеграл .
Не приводя доказательства этой теоремы, заметим что в первом интеграле суммируются площади, лежащие над и под осью абсцисс, а во втором интеграле площади под осью абсцисс учитываются со знаком минус. Поэтому первый интеграл сходится “труднее”: он может расходиться в тех случаях, когда второй интеграл сходится.
Если интеграл сходится, то интеграл называется абсолютно сходящимся.
Если интеграл сходится, а расходится, то первый интеграл называется условно сходящимся.
Теорема 3. Если и существует конечный ненулевой предел то интегралы , либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Доказательство этой теоремы не приводим.
Наиболее часто при выяснии вопроса о сходимости несобственного интеграла выполняют сравнение его с интегралом от степенной функции
(5.16.7)
который сходится при p>1 и расходится при p
Действительно,
Пример: Определить, сходится ли интеграл
Решение: (см. (5.16.7)). Следовательно, данный интеграл сходится абсолютно.
Теоремы, аналогично рассмотренным, справедливы и для несобственных интегралов от разрывных функций (сформулируйте их самостоятельно). При этом сравнение часто осуществляют с интегралом со степенной особенностью
который сходится при p<1 и расходится при p1 (проверить самостоятельно).
Задание для самостоятельного решения.
а) б) в)
г) д) е)
Понятие о специальных функциях, определяемых интегралами
с переменным верхним пределом.
Определенный интеграл
можно рассматривать как функцию от а и b. Пусть a=const , а b обозначим через х. Тогда получим следующую функцию от х:
(5.17.1)
Дифференцируя (5.17.1) по х с учётом того, что получаем следующее правило дифференцирования определенного интеграла по переменному верхнему пределу:
(5.17.2)
Если верхний предел является функцией b(x), то
(5.17.3)
и вместо (5.17.2) будем иметь
Задание для самостоятельного решения:
а) б)
Производная от элементарной функции всегда является элементарной функцией. Первообразная же от элементарной функции не всегда оказывается элементарной функцией. В связи с тем , что многие задачи математики и механики связаны с изучением и таких первообразных, возникает необходимость рассмотрения так называемых специальных функций, задаваемых при помощи интегралов с переменным пределом.
Так, в теории вероятности важную роль играет функция
(5.17.4)
которая называется нормальной функцией распределения.
Так как
то функция (5.17.4) монотонно возрастает. В дальнейшем мы увидим, что Для значений функции составлены таблицы.
Функция интегральный синус определяется интегралом
Особенность подынтегральной функции при t=0 является устранимой.
Аналогично определяется интегральный логарифм:
Используются и другие функции, определяемые при помощи интеграла с переменным верхним пределом.
5.18. Понятие об интегралах, зависящих от параметра
Рассмотрим интеграл
(5.18.1)
Здесь величина х при интегрировании постоянна, но её значение можно выбирать по-разному, т.е. х является параметром. Очевидно, что в случае непрерывной по t функции формула (5.18.1) определяет некоторую функцию при Таким образом, функцию считаем определенной в прямоугольнике
Количество параметров может быть и большим. Например,
Интегралы, зависящие от параметров, обладают следующими свойствами (приводятся без доказательства):
(5.18.2)
(5.18.3)
Выведем формулу дифференцирования по параметру, когда верхний предел интегрирования зависит от этого параметра:
Окончательно имеем:
Пример:
Несобственные интегралы, зависящие от параметра, ведут себя несколько сложнее.
Рассмотрим, например, интеграл
(5.18.4.)
где определена и непрерывна на полуполосе
Если то этого условия оказывается недостаточно для того, чтобы В связи с этим вводится условие правильной (равномерной) сходимости интеграла (5.18.4): должна существовать такая функция что
Оказывается, что добавив условие правильной сходимости, можно распространить указанные выше свойства на случай несобственных интегралов, зависящих от параметра (свойства 1 и 3 верны при правильной сходимости интеграла (5.18.4), Свойство 2 справедливо, если правильно сходится интеграл (5.18.2) при
5.19. Понятие о гамма-функции
Рассмотрим интеграл, определяющий гамма-функцию (Г-функция, или Эйлеров интеграл второго рода):
(5.19.1)
Этот интеграл зависит от параметра и является несобственным (с бесконечным верхним пределом). Кроме того, если х<1, он имеет особенность при t=0.
Сходимость интеграла (5.19.1) как несобственного с бесконечным верхним пределом имеет место при любом х, так как при достаточно больших значениях t
поскольку
(предел вычисляется с помощью правила Лопиталя).
Рассмотрим теперь сходимость интеграла (5.19.1) как несобственного интеграла от разрывной функции при Поскольку
будем иметь сходящийся интеграл при т.е. при При интеграл расходится, так как для любого существует такое что при имеет место неравенство т.е. и
Таким образом, формула (5.19.1) имеет смысл при всех
Установим теперь основное свойство гамма-функции:
т.е. (5.19.2)
Вычислим
Тогда, положив в (5.18.6) получим
т.е. гамма-функция является интерполирующей для факториала
(5.19.3)
С помощью формулы (5.18.7) можно определить 0!: эту величину естественно считать равной единице. Далее, используя формулу (5.19.2) как определяющую, имеем
(5.19.4)
при любых х. Поэтому можно продолжить для затем для и т.д. В результате получается функция, определенная всюду в R, кроме точек х=0, -1, -2, … и, как следует из (5.19.3), (5.19.4) бесконечно возрастающая при (рис. 5.22).
Рис. 5.22
Приложение
Комплексные числа.
5.1. Основные понятия о комплексных числах.
Как известно, извлечение квадратного корня из действительного числа можно выполнить, когда это число неотрицательно. Однако такое мнение остаётся справедливым до тех пор, пока мы пользуемся лишь понятием действительного числа. Оказывается, что расширив понятие числа, можно придать конкретный смысл операции извлечения корня четной степени из любого числа.
В связи с изложенным вводится некая мнимая единица (символ)
(5.1.1)
удовлетворяющая условию
(5.1.2)
В соответствии с (5.1.1) естественно считать равным
Выражение вида
(5.1.3)
называется комплексным числом.
В дальнейшем комплексные числа будут представляться в различных формах. Вид комплексного числа (5.1.3) называется его алгебраической формой, х называется действительной частью, y – мнимой частью комплексного числа. При этом используются обозначения
Если х=0, то комплексное число z называется числом чисто мнимым. Если то его называют мнимым.
Комплексное число
называется сопряженным к числу (5.1.3).
Геометрически комплексное число изображается точкой плоскости с координатами х и y или соответствующим радиусом-вектором (Рис. 5.1). Комплексное число можно рассматривать как вектор в базисе (1, i).
Рис. 1
Действия над комплексными числами вводятся так, чтобы оставались в силе обычные законы алгебры и аксиома (5.1.2):
Заметим, что при сложении и умножении спряженных чисел всегда получаются действительные числа:
Последнее свойство мы используем для того, чтобы ввести деление на комплексное число
т.е.
Эту формулу (как и формулу умножения) запоминать не следует. Важно понимать, как она выводится и в конкретных случаях уметь выполнять необходимые действия.
Примеры.
5.2. Запись комплексных чисел в тригонометрической и
показательной формах.
Введём понятие модуля
(5.2.1)
и аргумента комплексного числа (рис.1). Главные значения аргумента выбирают в промежутке от 0 до или от до . Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Множество всех возможных значений аргумента дается формулой
Важно помнить, что
(5.2.2)
Очевидно, что
Подставляя эти выражения в (5.1.3), приходим к тригонометрической форме комплексного числа:
(5.2.3)
Докажем теорему об умножении комплексных чисел.
Теорема. При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Для доказательства удобно использовать запись комплексных чисел в тригонометрической форме:
При делении имеем:
Учитывая указанные свойства, Эйлер предложил записывать комплексное число в показательной форме:
(5.2.4)
При этом
т.е. обычные законы алгебры можно распространить на степени с мнимыми показателями. Формула (5.2.4) должна быть согласована с (5.2.3):
(5.2.5)
Заменяя в (5.2.5) на получаем
(5.2.6)
Формулы (5.2.5), (5.2.6) называются формулами Эйлера.
Важно отметить, что для комплексных чисел в показательной форме справедливы не только обычные алгебраические операции, но и операции математического анализа. Так, например, при
Подобные свойства комплексных чисел будут изучаться в разделе «Теория функций комплексной переменной».
5.3. Разложение многочлена на множители в случае
действительных и мнимых корней.
Уравнение вида где - многочлен степени n, называется алгебраическим уравнением n-ой степени (n-ого порядка).
Теорема 1 (основная теорема алгебры). Всякое алгебраическое уравнение имеет, по крайней мере, один действительный или мнимый корень.
Эту теорему мы принимаем без доказательства.
Заметим, что коэффициенты многочлена могут быть мнимыми.
Теорема 2 (Безу). При делении многочлена на разность получается остаток, равный
Для доказательства запишем тождество, соответствующее условию теоремы 2:
(5.3.1)
(здесь через r обозначен остаток от деления на ).
Полагая в (5.3.1) получаем
что и требовалось доказать.
Следствие. Если число с является корнем многочлена , то он делится на разность без остатка.
Действительно,
Теорема 3. Всякий многочлен разлагается в произведение п линейных сомножителей вида и множитель, равный коэффициенту при
Пусть
и - корень уравнения =0. Тогда согласно теореме Безу разделится на без остатка:
т.е.
Далее, пусть - корень уравнения (такой корень, как и существует в силу основной теоремы алгебры). Тогда аналогично предыдущему
где имеет в качестве коэффициента при старшей степени х величину Таким образом, имеем
Если продолжить цикл рассуждений, то мы придем к равенству
(5.3.2)
которое и следовало доказать.
Заметим, что с введением комплексных чисел изменяется взгляд на разрешимость уравнения =0: оно всегда имеет ровно п корней.
Среди корней многочлена могут быть кратные. Поэтому вместо (5.3.2) удобнее записать равенство
(5.3.3)
где среди чисел нет одинаковых, а
Число называется кратностью корня .
Если все числа являются действительными, то формула (5.3.3) дает искомое разложение многочлена на линейные множители.
Однако, среди чисел могут быть и мнимые.
Оказывается, что если многочлен имеет только действительные коэффициенты, то все его мнимые корни образуют сопряженные пары.
Теорема 4. Если комплексное число - корень многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное число тоже является корнем этого многочлена.
Для доказательства образуем многочлен
=
Этот многочлен имеет действительные коэффициенты. Поэтому при делении на в остатке может получиться только линейная функция с действительными коэффициентами:
При из этого тождества получаем
т.е.
откуда Таким образом, многочлен делится на квадратный трехчлен (5.3.4) без остатка и, следовательно, число является его корнем.
На основании теоремы 4 разложение (5.3.3) в общем случае следует записывать так:
(5.3.5)
где
5.4. Разложение правильной рациональной дроби
на простейшие дроби
Представление многочлена в виде (5.3.5) используется при разложении правильной рациональной дроби на элементарные слагаемые вида
Считая, что знаменатель согласно (5.3.5) может содержать линейные и квадратичные множители, т.е.
записывают разложение данной дроби на элементарные
постоянные находят методом неопределённых коэффициентов из системы уравнений, которая получается в результате приравнивания к числителю дроби, стоящей в правой части (5.4.1), после приведения последней к общему знаменателю и сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х.
Пример. Разложим на элементарные слагаемые дробь
Согласно (5.3.6) имеем
Тогда
Сравнивая коэффициенты многочленов, стоящих в левой и правой частях равенства, находим
Следовательно,
Приведенная схема разложения правильной рациональной дроби на элементарные слагаемые будет использована на практических занятиях при вычислении интегралов от рациональных дробей и в ряде других случаев.
ГЛАВА ШЕСТАЯ.
В предыдущем разделе рассмотрен определённый интеграл
и его свойства. При этом предполагалось, что
Аналогичное понятие можно ввести для областей, лежащих в R2, R3…, Rn (рассматривая при этом функции двух, трёх и большего числа переменных).
Для наглядности рассмотрим три родственные задачи: вычислить массу неоднородного стержня, неоднородной пластины, неоднородного трехмерного тела по известной плотности
Для решения задач поступим однотипно во всех трех случаях:
1) разобьем данную фигуру G (стержень, пластину, тело) на п элементарных фигур (участков) ;
2) выберем на каждом участке произвольную точку определим в этой точке значение плотности и будем считать её постоянной на всем участке (вследствие малости диаметра участка); напомним, что ;
3) вычислим массу соответствующую участку :
где длина, площадь или объём участка ;
4) вычислим массу всех участков :
5) за массу фигуры G принимаем величину
если этот предел не зависит от способа разбиения фигуры G на участки и выбора точек на каждом из них.
PAGE 8
y
x
O
y
y=F(x)
x
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
0
EMBED Equation.3
Рис. 5.4
y
C
y=f(x)
B
EMBED Equation.3
A
x
b
a
0
A
B
D
C
y
ξ
b
a
0
x
Рис. 5.6
EMBED Equation.3
d S
y
EMBED Equation.3
S
EMBED Equation.3
x
b
a
0
d x
Рис. 5.7
ρ=f(φ)
S
β
α
EMBED Equation.3
N
0
a
y
y=f(x)
a
x
b
0
d x
y=f(x)
y
a
x
b
d x
0
S(x)
a
0
x
d x
b
x
x
EMBED Equation.3
a
0
b
F
h
0
x
y
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
x
d x
b
x
a
0
y
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
x
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
…
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
0
y
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
…
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
x
0
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
y
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
x
0
y
y=f(x)
b
a
x
0
y
y=f(x)
b
a
x
0
b-E
y
c
a
x
0
b
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
z
r
y
x
0
x
EMBED Equation.3