67 – СМОТРИ НИЖЕ!

67 не уменьшай, там формулы написаны вдоль!

68.Определение марковского процесса в виде формулы. Случайные процессы, для которых будущее определяется состоянием только в настоящий момент времени называется  марковским. Типичным примером марковского процесса является броуновские  движение: случайное перемещение частицы после каждого столкновения не зависит от предыдущего столкновения. Из этого определения следует, что условная плотность вероятности сводится к плотности вероятности перехода между состояниями в два последовательных  момента времени и не зависит от состояний в предшествующие моменты времени:

.                                                        (6)

Если применить формулу (4)  последовательно к ее правой части (для  ), получим

 .                      (7)

Многомерная плотность вероятности выражается через вероятности перехода и через одномерную плотность вероятности. В статистически стационарных процессах можно считать одинаковой для всех переходов, поэтому модель марковского процесса значительно упрощает теорию.   

69. Формула для эргодической гипотезы. Стационарный случайный процесс называется эргодическим (ergodic), если при определении любых его статистических характеристик усреднение по множеству реализаций (ансамблю) эквивалентно усреднению по времени (time averaging) одной, теоретически бесконечно длинной реализации.

   Условие эргодичности для одномерного процесса запишем в виде

,   .                            

Чисто эргодический случайный процесс обязательно является стационарным, но не наоборот. Можно подобрать сложный эргодический случайный процесс, который может быть и нестационарным. Пример:

 ,                                                                                   

где - среднее значение по ансамблю,   - случайная величина, .

     Таким образом, эргодический процесс при временном усреднении теряет случайный характер и стремится к некоторой величине, равной его среднему статистическому значению. Это обстоятельство значительно упрощает измерение статистических средних:

вместо громоздкого массового опыта, состоящего в усреднении по большому количеству реализаций (по ансамблю), в случае его эргодичности оказывается достаточным усреднение одной (достаточно длинной) реализации. В этом состоит непостижимая эффективность радиоэлектроники, где возможно получение длинной реализации увеличением частоты моделируемого процесса.      

70 .Напишите вид корреляционной функции для y1=x2(t), y2=sinx(t).

71 .Напишите спектральную функцию x(ω) для x(t)=lnt.

72. Вид спектра мощности белого шума. Белый «цвет» представляет собой равномерную смесь электромагнитных колебаний всех возможных частот (разумеется в пределах видимого диапазона); в белом шуме равномерно представлены все частоты звуковых колебаний( в пределах слышимого диапазона). Но, строго говоря, ограниченные возможности нашего слухового анализатора не имеют никакого отношения к природе истинного белого шума: теоретически в нем должны быть представлены с равной вероятностью все частоты – от бесконечно малой до бесконечно большой. Или, что то же самое, колебания со всеми мыслимыми частотами должны иметь равную мощность, переносить в единицу времени одну и туже энергию, прямо пропорциональную квадрату амплитуды – размаха колебаний. Поэтому распределение мощности колебаний по частотам называется спектром мощности; в частности, спектр мощности белого шума представляет собой прямую, на которой отложены значения частот.Спектр мощности – очень широкое понятие, так как можно говорить об условной мощности любых колебаний, не только звуковых или электромагнитных. Колебаний земной поверхности, давления воздуха, концентрации питательных веществ в живой клетке, численности популяции или плотности автомобильного потока. И даже колебаний настроения, если бы настроение можно было измерять…

 Как возникает белый шум? Возьмем, скажем, дюжину игральных костей и станем их выбрасывать раз за разом, подсчитывая число выпавших очков. Естественно, что это число будет колебаться совершенно случайным образом в пределах от 12 (когда выпадают все единицы) до 72 (когда выпадают все шестерки). И если достаточно долго продолжать это занятие, то получиться ряд чисел, имитирующих белый шум в совершено чистом виде. Белый шум и случайность – две стороны одной медали.

67. Напишите формулу условной вероятности для двумерной, трехмерной функций.

Совместная и условная вероятности 

Рассмотрим множество значений случайной величины  в соответствующие моменты времени измерения

.                                                                        (1)

В любой момент времени может наблюдаться любое значение . Поэтому можно  рассматривать как компоненты - мерного вектора. Наиболее полную информацию о статистических закономерностях процесса дает - мерная  совместная плотность вероятности:

                                            (2)

где . Для детализации описания процесса используется условная плотность вероятности:

  .          (3)

Это выражение определяет плотность вероятности в момент времени при известных значениях  в предшествующие момент времени .

     Из формул (2) и (3) следует связь левых частей:

.                              (4)

В двумерном случае () формула (4) имеет вид:

.                                                                    (5)