Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Текст лекции
1. Системы двух и трех линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными.
Линейным уравнением первой степени с неизвестными называется уравнение вида
(1)
Совокупность линейных уравнений (1) называется системой линейных уравнений с неизвестными (или кратко линейной системой). Линейная система записывается следующим образом:
(2)
Числа , называются коэффициентами линей ой системы, числа - свободными членами системы.
Линейная система называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю и неоднородной, если хотя бы один ее свободный член отличен от нуля.
Решением линейной системы (2) называется такая совокупность из чисел, которая при каждое уравнение системы (2) обращает в тождество.
Не всякая линейная система имеет решение. Так, система
не имеет ни одного решения.
Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения.
Примером совместной системы является однородная система (она всегда имеет нулевое решение ).
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение. Если же линейная система имеет более одного решения, то она называется неопределенной.
Две линейные системы называются эквивалентными, если они обе несовместны, или же обе совместны и имеют одни и те же решения.
Теорема. (Об эквивалентности двух систем). Если обе части некоторого уравнения линейной системы (2) умножить на произвольное число и вычесть из соответствующих частей другого уравнения этой системы, то получится система уравнений, эквивалентная данной линейной системе, причем, если в системе (2) появляется уравнение вида то это уравнение из системы исключается; если в системе появляется уравнения вида то система (2) несовместна.
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Запишем линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными в следующем виде:
(3)
Чтобы решить эту систему, умножим первое уравнение на , второе - на и сложим их; в результате получим уравнение:
(4)
Аналогично, умножая первое уравнение на , второе - на , полу чим уравнение:
(5)
Введем три определителя второго порядка
; ;
Определитель называется определителем системы (3). Уравнения (4) и (5) дают систему уравнений, эквивалентную системе (3):
(6)
Для решения системы (6) рассмотрим три случая:
1) . Следовательно:
(7)
Формулы (7) дают единственное решение линейной системы (3) и носят название формул Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
2) В этом случае система (6), а, следовательно, и система (3) имеет бесчисленное множество решений. Для нахождения этих решений достаточно заметить, что из условий вытекает пропорциональность соответствующих коэффициентов и свободных членов уравнений системы (3), то есть
Таким образом убеждаемся, что система (3) эквивалентно одному уравне нию:
Для решения этого уравнения положим, например, , где - произ вольное вещественное число; тогда при получим:
Если же , то получаем , тогда .
3) . Система (6), а, следовательно, и сис тема (3) несовместна.
Пример. Решить системы уравнений:
Решение. Вычислим определители :
а)
Так как , то формулы Крамера дают: .
Очевидно, что система эквивалентна одному уравнению: . Пола гая , получим , где - произвольное вещественное число. В ча стности, при имеем: .
Система несовместна.
Рассмотрим системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
(8)
Чтобы найти решение системы (8) введем четыре определителя третьего порядка:
;
Определитель называется определителем системы (8).
При получаем решение системы (8):
(14)
Формулы (14) называются формулами Крамера для решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
При и хотя бы одном из , отличном от нуля, система (13), а потому и система (8), несовместна.
Примеры. Решить системы уравнений:
Решение.
1) Имеем:
;
Формулы (14) дают: .
2)
Система несовместна.
3)
Система имеет бесчисленное количество решений. Заметим, что третье уравнение этой системы есть следствие первых двух уравнений (разность первого и второго уравнений). Следовательно, система эквива лентна системе двух линейных уравнений с тремя неизвестными:
Полагая , и найдем из системы:
. Итак, получим множество решений: , где - про извольное вещественное число.
1. Действия над матрицами.
Множество чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы
(1)
имеющей m строк и n столбцов, называется прямоугольной матрицей размера mn.
Числа, составляющие матрицу (1), могут быть как комплексными, так и вещественными и называются ее элементами.
Матрица называется в е щ е с т в е н н о й, если все ее элементы – вещественные числа.
Мы будем рассматривать, как правило, вещественные матрицы.
Если m=n , то матрица (1) называется к в а д р а т н о й матрицей порядка n.
Например, матрица
имеет размер 2 3, а матрица
является квадратной матрицей порядка 2.
Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне г л а в н о й диагонали, идущей с левого верхнего угла в правый нижний, равны нулю, называется д и а г о н а л ь н о й матрицей.
У диагональной матрицы все элементы с неравными индексами равны нулю, то есть =0, если i=j.
Диагональная матрица
называется единичной матрицей и обозначается буквой Е
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется н у л е в о й матрицей и обозначается буквой О.
Наряду с записью матрицы в виде (1) будем употреблять и сокращенную запись:
Для обозначения матриц будем использовать также прописные буквы латинского алфавита A, B, C, …, X,Y, … .
Матрица A= ( состоящая из одной строки, называется
с т р о ч н о й матрицей длины n или в е к т о р – с т р о к о й; матрица
B= ,
состоящая из одного столбца, называется с т о л б ц о в о й матрицей высоты m или в е к т о р – с т о л б ц о м.
Пусть - i-ая строка матрицы (1), (i=1,2,…,m), Вj, (j=1,2,…,n), - j-ый столбец матрицы (1). Иногда бывает удобным записывать матрицу (1) в виде столбца ее строк или в виде строки ее столбцов:
, .
Сложение матриц и умножение матрицы на число
Определение. Две матрицы А и В называются равными, если они имеют один и тот же размер и все их соответствующие элементы равны, то есть
если А=и В=(, (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n), то А=Вдля всех указанных i и j.
Определение. Суммой двух матриц А и В одного и того же размера называется матрица С=А+В того же размера, элементы которой равны суммам соответствующих элементов данных матриц, то есть если
А=, В=(и С=(сij), то сij=аij+вij,(i=1,2,…m, j=1,2,…n).
Операция вычисления суммы матриц называется сложением матриц.
Справедливо очевидное равенство : А+О=А.
Пример. Пусть
А= В=
Тогда
С=А+В=
Правило сложения двух матриц обобщается на случай любого конечного
числа слагаемых матриц.
Из определения сложения матриц непосредственно следует, что эта операция коммутативна и ассоциативна, то есть
А+ В=В+А,
(А+В)+С=А+(В+С).
Определение. Произведением матрицы А=(аij) на число (вещественное или комплексное) называется матрица А, элементы которой есть элементы матрицы А, умноженные на , то есть
Пример.
5
Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами
Разность двух матриц А и В одного и того размера определяется равенством
А-В=А+(-1)В.
Произведение матриц
Определение. Произведением матрицы А=(аij) размера mn на матрицу В=(вij) размера np называется матрица С=АВ=(сij) размера mp, где
сij=
(i=1,2,…,m, j=1,2,…n).
Согласно этому определению, произведение двух матриц имеет смысл только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй
матрицы. Отсюда, квадратные матрицы одного и того же порядка всегда можно перемножить.
В общем случае умножение двух матриц зависит от порядка сомножителей, то есть оно некоммутативно: АВВА, (или даже ВА не имеет смысла).
Произведение трех матриц (если оно имеет смысл) ассоциативно, то есть
АВС=А(ВС)=(АВ)С.
Отметим легко проверяемое тождество:
АЕ=ЕА=А,
справедливое для любой квадратной матрицы А и единичной матрицы Е того же размера, что и матрица А.
Примеры.
Отметим некоторые полезные свойства умножения матриц.
Пусть Вj обозначает j-ый столбец матрицы В, а Аi означает i-ую строку
матрицы А. Тогда справедливы формулы:
(2)
2. Обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решения.
Определение. Квадратная матрица А называется невырожденной, если
ее определитель не равен нулю, то есть detA
Если же detA=0, то матрица А называется вырожденной.
Определение. Матрица А-1 называется обратной матрице А, если
АА-1=А-1А=Е. (4)
Теорема. Всякая невырожденная матрица А имеет единственную обратную матрицу А-1, причем
А-1= (5)
где Аij – алгебраическое дополнение элемента аij, (1матрицы А.
Отметим, что если А – невырожденная матрица, то и обратная ей матрица А-1 так же – невырожденная, причем справедлива равенство
(А-1)-1=А.
Укажем без доказательства следующую теорему.
Теорема. Произведение АВ невырожденных матриц А и В является невырожденной матрицей, при этом
(АВ)-1=В-1А-1.
Пример. Найти обратную матрицу для матрицы
Так как то А – невырожденная матрица и имеет обратную матрицу. Для ее вычисления найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А:
Следовательно,
Матричные уравнения
Пусть А – заданная невырожденная матрица порядка п , В и С – заданные прямоугольные матрицы размеров соответсвенно и . Требуется найти неизвестные матрицы Х и У, удовлетворяющие уравнениям:
1) АХ=В, 2) УА=С.
Умножив первое уравнение слева на А-1, второе – справа на А-1, получим:
Х=А-1В, У=СА-1.
При р=1 матричное уравнение 1) представляет собой систему (1), в которой положено т=п; при этом равенство Х=А-1В называется правилом Крамера в матричной форме.
Пример. Решить систему уравнений матричным способом:
Запишем эту систему в матричной форме:
Находим: detA=10, то есть матрица системы невырожденная. Поэтому
Откуда
то есть х1=1,х2=2,х3=-1