Тема III Введение в Теорию веРоятностей [1
Работа добавлена на сайт samzan.net:
СОДЕРЖАНИЕ
|
[1] [1.1] Справочные материалы [1.2] Основные понятия и определения [1.3] Действия над случайными событиями [1.4] Классическое определение вероятности [1.5] Свойства вероятностей [1.5.1] Теорема сложения вероятностей [1.5.2] Теорема умножения вероятностей [1.6] Случайные величины |
Тема III. Введение в Теорию веРоятностей
Вероятность — числовая характеристика возможности появления случайного события в определенных условиях, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз.
Теория вероятностей — раздел высшей математики, изучающий закономерности массовых случайных событий. Основные объекты ее изучения:
1) случайное событие и его вероятность;
2) случайная величина и ее функция распределения;
3) случайный процесс и его вероятностная характеристика.
Методы теории вероятностей применяются при математической обработке результатов измерений практически во всех областях науки, так как окружающий нас мир пронизан явлениями, которые носят случайный характер.
На бытовом уровне мы различаем два вида событий: детерминированные и случайные.
В детерминированном событии точно известно, что произойдет в результате выполненного действия. Например, нажатие на кнопку выключателя приведет к загоранию лампочки.
Исход случайного события непредсказуем. Классический пример такого события — подбрасывание монеты или игрального кубика. Нельзя заранее узнать, на какую сторону упадет монета или какая грань выпадет на кубике.
В теории вероятностей важным является предположение о принципиальной возможности многократного повторения случайного эксперимента, т.к. законы исчисления вероятностей можно обнаружить только при большом числе однотипных случайных испытаний.
Азартные игры в карты и в кости, широко распространенные в Европе в XVI–XVII веках, как раз и явились такими простыми многократно повторяющимися опытами, опираясь на которые, можно угадать и проверить предполагаемую закономерность. Может быть, именно поэтому первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, связаны с попытками создания теории азартных игр:
«Книга об игре в кости» Дж. Кордано;
«О выходе очков при игре в кости» Г. Галилея;
«О расчетах при игре в кости или о расчетах при азартной игре» Х. Гюйгенса.
В настоящее время теория вероятностей широко применяется при оценках ошибок наблюдений в исследовании социальных процессов, например демографии.
- Справочные материалы
- Основные понятия и определения
Испытание — неопределяемое понятие, разъясняется как наблюдение, явление, опыт, эксперимент и прочее. Испытаниями, например, являются: бросание игрального кубика, выстрел из винтовки, бросание монеты и т.д.
Событие — это результат (исход) испытания. Например, событиями являются: выпадение того или иного числа очков при бросании кубика, попадание в цель или промах, выпадение «орла» или «решки» и т.д.
События обозначаются большими буквами латинского алфавита.
Пример 1. Событие: появление поезда на станции. Это событие случайное с точки зрения пассажира, не знающего расписания, и неслучайное для пассажира, знающего расписание.
Событие называют достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.
Пример 2. Испытание: извлечение шара из урны, в которой все шары белые.
Событие А — вынут белый шар — достоверное событие,
Событие В — вынут черный шар — невозможное событие.
Событие А называют случайным, если в данном испытании оно объективно может наступить или не наступить.
Пример 3. Испытание: бросание монеты. Событие А — выпадение герба при бросании монеты — случайное событие.
Среди случайных событий выделяют совместимые и несовместимые, противоположные, единственно возможные.
Два события называют совместимыми, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Пример 4. Испытание: однократное бросание игрального кубика. Событие А — выпадение трех очков, событие В — выпадение нечетного числа очков. События А и В совместимые.
Два события называют несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.
Пример 5. Испытание: однократное бросание монеты. Событие А — выпадение герба, событие В — выпадение цифры. Эти события несовместимы, так как появление одного из них исключает появление другого.
Пример 6. Испытание: бросание игрального кубика. Пусть событие А1 — выпадение одного очка, А2 — выпадение двух очков, А3 — выпадение трех очков, А4 — четырех очков, А5 — пяти очков, А6 — выпадение шести очков, событие В1 — выпадение четного числа очков, событие В2 — выпадение нечетного числа очков. При одном бросании кубика события А4 и В1 (выпадение четной грани) — события совместимые, а события А3 и В1 — события несовместимые.
События А1, А2, А3, …, Аn называют единственно возможными (образуют полную группу событий), если в результате испытания происходит какое–либо одно и только одно из этих событий. В примере 6 события А1, А2, А3, А4, А5, А6, которые соответствуют выпадению чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, являются несовместимыми и единственно возможными, так как какое–либо из них непременно должно наступить при данном испытании.
Два события А и Ā называют противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит. Событие, противоположное событию А, обозначают через Ā .
Пример 7. Испытание: бросание монеты. Событие О — выпадение герба, событие U — выпадение цифры. События O и U являются противоположными, так как исходами бросания могут быть лишь они и появление одного из них исключает появление другого, т.е. O=Ū и U=Ō.
- Действия над случайными событиями
При решении задач бывает удобно представить некоторое событие в виде комбинации нескольких других событий.
Суммой событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В, т.е. произошло либо событие А, либо событие В, либо оба эти события одновременно. Аналогично определяется сумма большего числа событий.
Пример 8. Испытание: бросание игрального кубика. Событие А — появление четной грани игрального кубика — представляет собой сумму трех событий В+С+D, где В — выпадение 2, С — выпадение 4, D — выпадение 6.
События В, С и D являются несовместимыми, т.к. не могут произойти одновременно.
Пример 9. Испытание: стрельба двух стрелков (каждый делает по выстрелу). Событие А — попадание в мишень первым стрелком, событие В — попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С=А+В, состоящее в попадании в мишень по крайней мере одним из стрелков.
События А и В являются совместимыми.
Произведением событий А и В называется событие С=АВ, состоящее в том, что в результате испытания события А и В произошли одновременно.
Пример 10. Испытание: одновременное бросание 2–х игральных кубиков. Событие С состоит в том, что на обоих кубиках выпало четное число. Пусть событие А — на первом кубике выпало четное число, событие В — на втором кубике выпало четное число. Тогда С=АВ.
Каждое испытание можно описать с помощью событий, которые являются несовместимыми, единственно возможными и равновозможными. Эти события называют исходами испытания или элементарными событиями. Для определения числа всех исходов испытания часто пользуются формулами комбинаторики.
Пример 11. Испытание: из колоды карт наудачу выбирают одну карту. Если в колоде всего 36 карт, то это испытание имеет 36 исходов.
Пример 12. Испытание: студент на экзамене берет один из 25 билетов. Так как все билеты разные, то это испытание имеет 25 исходов.
Пример 13. К экзамену студент должен подготовить 50 вопросов. Испытание: на экзамене студент выбирает два из них. Исходом в данном испытании будет являться любая пара вопросов из 50, то есть общее количество исходов .
Пример 14. В лотерее разыгрывается 10000 билетов. Испытание: приобретение одного билета. Это испытание имеет 10000 исходов.
Пример 15. Карточка лото содержит 36 чисел. Испытание: игрок зачеркивает пять из 36 чисел. Так как порядок зачеркивания роли не играет, то число всех исходов равно .
- Классическое определение вероятности
Рассмотрим испытание, в результате которого может наступить событие А. Каждый исход, при котором появляется событие А, называется благоприятным событию А.
Вероятностью события А называют число, равное отношению числа исходов, благоприятных событию А, к числу всех исходов испытания. Обозначают — Р(А) и вычисляют по формуле Р(А)=, где m n, где
m — число исходов испытания, благоприятных событию А;
n — число всех исходов испытания.
Данное равенство называется классическим определением вероятности. Вероятность можно вычислять в процентах, например, Р(А)=0,9 и Р(А)=90% эквивалентны.
Примечание. Рассчитанную таким образом вероятность называют априорной. В более сложных ситуациях расчет вероятностей каких–либо случайных событий производится на основании предположений о законах, управляющих деталями соответствующих процессов. Наряду с классическим определением вероятности используются так называемые статистическое (Р(А)=, при ) и геометрическое (Р(А)=) определения вероятности.
Из классического определения вероятности следует, что:
1. Вероятность любого события 0£Р(А)£1, так как число благоприятных исходов составляет часть от числа всех возможных исходов.
2. Вероятность достоверного события равна 1, так как достоверное событие происходит при всяком испытании (m=n).
3. Вероятность невозможного события равна нулю, так как невозможное событие не имеет благоприятных исходов (m=0).
Пример 16. Испытание: из урны, в которой находятся 10 красных и 8 синих шаров, вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынут шар красного цвета?
Решение. Это испытание имеет 18 равновозможных исходов (n=18). Каждый исход означает выбор одного шара. Пусть событие А — выбор красного шара, так как всего имеется 10 красных шаров, то число исходов, благоприятных событию А, равно 10 (m=10), следовательно Р(А)=m/n=10/18=5/9.
Пример 17. Испытание: монета подбрасывается один раз. Найти вероятность того, что выпадет герб.
Решение.
Пример 18. Монета подбрасывается два раза. Найти вероятность того, что выпадут и герб и цифра.
Решение.
Пример 19. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Из них 15 выигрывают по 50000 руб., 25 — по 10000 руб., 60 — по 5000 руб. Играющий приобрел один билет. Какова вероятность выиграть не менее 10000 руб.?
Решение.
Условной вероятностью РВ(А) события А называют вероятность события А, вычисленную в предположении, что произошло событие В.
Если события А и В — независимые события, то условная вероятность РВ(А)=Р(А), а условная вероятность РА(В)=Р(В), т.к. появление одного из них не влияет на вероятность появления другого.
- Свойства вероятностей
Теорема сложения вероятностей
|
Для несовместимых |
Для совместимых |
Для противоположных |
|
Р(А+В)=Р(А)+Р(В) |
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ) |
Р(Ā)=1–Р(А) |
1. Если А и В — два несовместимых события, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
2. Если А и В совместимые события, то вероятность их суммы вычисляется по формуле: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ).
3. Если А и Ā противоположные события, то справедлива формула Р(Ā)=1–Р(А).
Пример 20. Один лотерейный билет выигрывает с вероятностью 0,0001. Какова вероятность того, что владелец одного билета ничего не выиграет?
Решение.
Пример 21. В урне 8 белых, 5 синих и 3 красных шара. Какова вероятность того, что вынутый шар будет белого или красного цвета?
Решение.
Теорема умножения вероятностей
|
Для независимых |
Для зависимых |
|
Р(АВ)=Р(А)´Р(В) |
Р(АВ)=Р(А)´РА(В)=Р(В)´РВ(А) |
Пример 22. Из колоды карт выбирают наугад две карты. Какова вероятность того, что будут вынуты 2 дамы?
Решение.
Пример 23. В ящике имеются 7 белых и 5 черных шаров, отличающихся лишь цветом. Опыт состоит в том, что сначала вынимают наугад один шар и, не опуская его обратно, вынимают еще один шар. Какова вероятность, что оба вынутых шара черные?
Решение.
Пример 24. Два спортсмена стреляют в одну и ту же цель, причем вероятность поражения цели первым стрелком 0,8, а вторым — 0,9. Оба стреляют одновременно один раз. Какова вероятность, что цель будет поражена хотя бы одним из спортсменов?
Рис. 1. Дерево вероятностей
Решение. 1-й способ.
2-й способ.
Пример 25. Студент выучил 20 вопросов из 25. На экзамене ему предлагается ответить на два случайно заданных вопроса. Обозначим:
событие А — студент ответил на первый вопрос,
событие В студент ответил на второй вопрос.
События А и В зависимые. Какова вероятность того, что студент ответит:
а) на оба вопроса — событие АВ;
б) только на один вопрос — событие (А+ĀВ);
в) ни на один вопрос — событие Ā;
г) хотя бы на один вопрос — событие, противоположное событию Ā.
Решение.
- Случайные величины
Случайная величина — переменная величина, конкретное значение которой зависит от случая. Например, скорость автомобиля в данный момент времени; температура воздуха в определенный момент времени; номер грани игрального кубика, выпадающий при его бросании, и т.д.
Для характеристики случайной величины необходимо знать множество возможных значений этой величины и вероятности, с которыми она может принимать эти значения. Эти данные образуют закон распределения случайной величины.
Дискретной случайной величиной называют случайную величину Х, которая принимает отдельные значения хi с вероятностью рi. Ее закон распределения — это соответствие между возможными значениями хi и их вероятностями рi, при этом следует отметить, что рi=1.
Непрерывная случайная величина А принимает множество значений, заполняющих всю числовую ось (или некоторые интервалы). Ее задают непрерывной (или кусочно-непрерывной) функцией, называемой плотностью распределения вероятностей случайной величины А.
Часто встречается нормальное распределение или распределение Гаусса. На рисунке показана плотность нормального распределения (два варианта).
Самыми важными числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.
Термин математическое ожидание связан с представлением о среднем или наиболее ожидаемом выигрыше в теории азартных игр. Математическое ожидание М(Х) определяется по формуле:
М(Х)=хiрi
Пример 26. Пусть в некоторой лотерее на каждый билет вероятность выиграть
100 руб. — 3%,
1000руб. — 0,1%,
10000 руб. — 0,01%,
100000 руб. — 0,001%,
других выигрышей нет.
Каков средний выигрыш в лотерее на один билет?
Решение. Средний выигрыш подсчитывается как математическое ожидание.
М(Х)=0,03´100+0,001´1000+0,0001´10000+0,00001´100000=6 руб.
Дисперсия - (от латинского dispengo — рассыпать, рассеивать, разбрасывать) D(Х) случайной величины Х характеризует разброс возможных ее значений относительно математического ожидания и определяется по формуле D(X)=M[X–M(X)]2.
Схематично основные понятия можно представить следующим образом.
|
Случайная величина |
||
|
Дискретная |
Непрерывная |
|
|
Основные законы распределения |
||
|
Дискретные величины |
Непрерывные величины |
|
|
Равномерное распределение |
Равномерное (прямоугольное) распределение |
|
|
Биноминальное распределение |
Экспоненциальное (показательное) распределение |
|
|
Распределение Пуассона |
Нормальное распределение (Гаусса) |
|
|
Числовые характеристики случайных величин |
||
|
Математическое ожидание Дисперсия |
PAGE 3
Противоположные
Единственно
возможные
Несовместимые
Совместимые
лучайные
Невозможные
Достоверные
Виды событий
случайные
Невозможные
Достоверные
Виды событий
2. Модульное задание 4 Вариант 1 1
3. Лекция 4 ЗАБОЛЕВАЕМОСТЬ СОСТОЯНИЕ И ТЕНДЕНЦИИ СЛАЙД 2
4. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук Львів 20.html
5. Лабораторная работа по физике 340-2 Прохождение электромагнитного излучения через вещество
6. Механика материалов на 20122013 учебный год строительство дневная форма получения высшего образования
7. спинномозкового шляху на клітинах задніх рогів спинного мозку на клітинах бічних рогів спинног
8. Правоспособность и дееспособность физических лиц
9. самоудовлетворение политика экономического обособления проводимая страной регионом
10. а- В алфавитном порядке Абхазия- до 90 дней по внутреннему или загранпаспорту Азербайджан- до 90 дней п
11. Лекции по мобилизационной подготовке здравоохранения
12. Реферат- Взаимосвязь математики и философии.html
13. Лекция доцент Савельева И
14. кварцевые лампы с исправленной цветностью
15. Уши мальчика на его спине он слушает тогда когда его бьют
16. Старому Тбилиси где Вы сможете налюбоваться архитектурными и культурными сооружениями города для котор
17. Тема’3. ГРОМАДЯНИ ЯК УЧАСНИКИ АГРАРНИХ ПРАВОВІДНОСИН Мета заняття- розкрити поняття права членства в.html
18. АДВОКАТУРА И ГОСУДАРСТВО-ИСТОРИЧЕСКИЙ АСПЕКТ
19. тема видов наказания [3
20. Организация и экономика ветеринарного дела