Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.2
Практические и лабораторные задания по курсу
«Общая синергетика»
ТЕМА:
Исследование качественного поведения математических моделей синергетических систем
МГТУ МИРЭА
Факультет «Кибернетика»
Кафедра «Прикладная синергетика»
Москва – 2013
I. Элементы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений
Задание 1.1. Нарисуйте фазовые портреты интегральных кривых, приведенных ниже (рис.1).
а) б)
в) г)
Рисунок 1. Интегральные кривые
Задание 1.2. Определите для каждого семейства интегральных кривых (рис.2) соответствующую функцию, заданную одной из формул (1)-(6).
dq/dt = 2qt, (1)
dq/dt = - t/q, (2)
dq/dt = q – t, (3)
dq/dt = - q/t, t 0, (4)
dq/dt = - q/th t, t 0, (5)
dq/dt = ½(q2 -1). (6)
а) б)
в) г)
д) е)
Рисунок 2. Семейства интегральных кривых
Задание 1.3. (опционально) Определите для каждого фазового портрета (рис.3) соответствующую функцию, заданную одной из формул (7)-(10).
dq/dt = ½(q2-1), (7)
dq/dt = q, (8)
dq/dt = q3, (9)
dq/dt = q2. (10)
а) б)
в) г)
Рисунок 3. Фазовые портреты
II. Фазовые портреты и динамика
Задание 2.1. Нарисовать фазовый портрет для уравнения (11).
dр/dt = р (а - bр). (11)
III. Автономные системы на плоскости
Задание 3.1. Найти неподвижные точки для следующей системы дифференциальных уравнений на плоскости (12).
dq1 /dt = q1 (a - b q2), (12)
dq2 /dt = - q2 (c - dq1); a, b, c, d >0.
IV. Система Лоренца
Лабораторное задание 4.1. Задание выполняется на основе программы Lorenz.exe. При фиксированных значениях переменных, указанных в табл.1, и изменении величины r на отрезке [0, 300], найдите следующие динамические состояния системы:
1. устойчивые неподвижные точки в начале координат;
2. аттракторы с увеличивающимся размахом осцилляции;
3. аттракторы с изменяющейся траекторией осцилляции
(в различных координатных четвертях );
4. появление неустойчивых стационарных точек;
5. хаос (аттрактор Лоренца);
6. формирование предельного цикла.
Для найденных состояний системы, укажите соответствующие значения r и приведите графики зависимости
Таблица 1. Параметры программы
|
Параметр: |
Значение: |
|
X1[0] |
0,1 |
|
X2[0] |
0,1 |
|
X3[0] |
0,1 |
|
q |
10 |
|
b |
3 |
|
h |
0,00221 |
|
i |
10000 |
Лабораторное задание 4.2. Задание выполняется на основе программы Lorenz.exe. При фиксированных значениях переменных, указанных в табл.2, и изменении величины q на отрезке [0, 100], найдите следующие динамические состояния системы:
1. аттракторы с увеличивающимся/уменьшающимся размахом осцилляции;
2. аттракторы с изменяющейся траекторией осцилляции
(в различных координатных четвертях );
3. хаос (аттрактор Лоренца).
Для найденных состояний системы, укажите соответствующие значения q и приведите графики зависимости
Таблица 2. Параметры программы
|
Параметр: |
Значение: |
|
X1[0] |
0,1 |
|
X2[0] |
0,1 |
|
X3[0] |
0,1 |
|
r |
28 |
|
b |
3 |
|
h |
0,00221 |
|
i |
10000 |
Лабораторное задание 4.3. Задание выполняется на основе программы Lorenz.exe. При фиксированных значениях переменных, указанных в табл.3, и изменении величины b на отрезке [0, 50], найдите следующие динамические состояния системы:
1. хаос (аттрактор Лоренца);
2. аттракторы с изменяющейся траекторией осцилляции
(в различных координатных четвертях );
3. аттракторы с уменьшающимся размахом осцилляции.
Для найденных состояний системы, укажите соответствующие значения b и приведите графики зависимости
Таблица 3. Параметры программы
|
Параметр: |
Значение: |
|
X1[0] |
0,1 |
|
X2[0] |
0,1 |
|
X3[0] |
0,1 |
|
q |
8 |
|
r |
28 |
|
h |
0,00221 |
|
i |
10000 |
Лабораторное задание 4.4. Задание выполняется на основе данных, полученных программой Lorenz.exe. Необходимо привести описание установившихся режимов, найденных и указанных в заданиях 4.1-4.3.
V. Осциллятор Ван-дер-Поля
Лабораторное задание 5.1. Задание выполняется на основе программы VanDerPol.exe. При фиксированных значениях переменных, указанных в табл.4, и изменении величины A1 на отрезке [0, 8], найдите динамическое состояние системы, описываемое предельным циклом, вида:
1. овал;
2. ромб;
3. усеченный ромб.
Для найденных состояний системы, укажите соответствующие значения A1 и приведите графики зависимости
Таблица 4. Параметры программы
|
Параметр: |
Значение: |
|
X0 |
0,01 |
|
Y0 |
0,01 |
|
h |
0,1 |
|
k |
1000 |
|
A2 |
0 |
|
A3 |
0 |
Лабораторное задание 5.2. Задание выполняется на основе программы VanDerPol.exe. При фиксированных значениях переменных, указанных в табл.5, и изменении величины A2 в порядке убывания на отрезке [0, 1], найдите динамические состояния системы:
1. аттрактор;
2. фокус;
3. предельный цикл.
Для найденных состояний системы, укажите соответствующие значения A2 и приведите графики зависимости
Таблица 5. Параметры программы
|
Параметр: |
Значение: |
|
X0 |
0,01 |
|
Y0 |
0,01 |
|
h |
0,1 |
|
k |
10000 |
|
A1 |
1 |
|
A3 |
0 |
Лабораторное задание 5.3. Задание выполняется на основе программы VanDerPol.exe. При фиксированных значениях переменных, указанных в табл.6, и изменении величины A2 на отрезке [1, 10], найдите динамическое состояние увеличения предельного цикла системы. Приведите графики зависимости , демонстрирующие указанное состояние системы.
Таблица 6. Параметры программы
|
Параметр: |
Значение: |
|
X0 |
0,01 |
|
Y0 |
0,01 |
|
h |
0,1 |
|
k |
10000 |
|
A1 |
1,5 |
|
A3 |
5 |
Лабораторное задание 5.4. Задание выполняется на основе данных, полученных программой VanDerPol.exe. Необходимо привести описание установившихся режимов, найденных и указанных в заданиях 5.1-5.3.