Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1
Разностные аппроксимации
.Примеры разностных аппроксимаций.
Различные способы приближенной замены одномерных дифференциальных уравнений разностными изучались ранее. Напомним примеры разностных аппроксимаций и введем необходимые обозначения. Будем рассматривать равномерную сетку с шагом h, т.е. множество точек
h={xi=ih, i=0, 1, 2,…}.
Пусть u(x) –достаточно гладкая функция, заданная на отрезке [xi-1, xi+1]. Обозначим
Разностные отношения
называются соответственно правой, левой и центральной разностными производными функции u(x) в точке xi , т.е. при фиксированном xi и при h0 (тем самым при i) пределом этих отношений является u’(xi). Проводя разложение по формуле Тейлора, получим
ux,i –u’(xi) = 0,5hu’’(xi) + O(h),
ux,i –u’(xi) = -0,5hu’’(xi) + O(h),
ux,i –u’(xi) = O(h),
Отсюда видно, что левая и правая разностные производные аппроксимируют u’(x) с первым порядком по h, а центральная разностная производная –со вторым порядком. Нетрудно показать, что вторая разностная производная
аппроксимирует u’’(xi) со вторым порядком по h, причем справедливо разложение
Рассмотрим дифференциальное выражение
(1)
с переменным коэффициентом k(x). Заменим выражение (1) разностным отношением
(2)
где a=a(x) – функция, определенная на сетке h. Найдем условия, которым должна удовлетворять функция a(x) для того, чтобы отношение (aux)x,i аппроксимировало (ku’)’ в точке xi со вторым порядком по h. Подставляя в (2) разложения