Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
№ 40
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ
Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией наплоскость. Пусть прямаяи плоскость заданы уравнениями
Рассмотрим векторы и . Если угол между ними острый, то он будет , где φ – угол между прямой и плоскостью. Тогда .
Если угол между векторами и тупой, то он равен . Следовательно . Поэтому в любом случае . Вспомнив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим .
Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т.е. .
Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.
№41
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Определение. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, описываемая прямой (называемой образующей), остающейся параллельной некоторой данной прямой и пересекающей данную линию Z (называемую направляющей).
l
L
Рис.1
Пусть направляющая определяется уравнениями
и , (1)
а m, n, p – координаты направляющего вектора образующей цилиндрической поверхности. Канонические уравнения образующей имеют вид
, (2)
где x, y, z – текущие координаты, X,Y,Z – координаты точки, принадлежащей направляющей.
Исключая X, Y, Z из четырёх уравнений (1) и (2), получим искомое уравнение цилиндрической поверхности.
Рассмотрим частный случай. Пусть уравнение поверхности не содержит одной из переменных, для определённости z , то есть .
На плоскости Oxy это уравнение определяет некоторую кривую линию L.
В пространстве этому уравнению удовлетворяют все те точки пространства, первые две координаты которых совпадают с координатами линии L , то есть те точки пространства, которые проектируются на плоскость Oxy в точки линии L. Совокупность всех точек есть прямая параллельная оси Oz, проходящая через точку . Следовательно, совокупность всех точек, удовлетворяющих уравнению , есть поверхность, описываемая прямой, параллельной оси Oz и пересекающих линию L, то есть цилиндрическая поверхность.
x
о
О
y
z
Рис.2
Аналогично, – уравнение цилиндрической поверхности, образующая которой параллельно оси Oy; - уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Ox.
Перечислим прямые цилиндры с образующей, параллельной оси Oz:
1) – эллиптический цилиндр с направляющей – эллипсом в плоскости Oxy. Частным случаем эллиптического цилиндра является прямой круговой цилиндр, то есть .
Рис.3.
x
y
z
O
a
-a
b
-b
2) - гиперболический цилиндр с направляющей – гиперболой плоскости Oxy.
x
y
z
a
-a
b
-b
Рис.4
3) - параболический цилиндр с направляющей – параболой в плоскости Oxy.
y
z
x
O
Рис.5
КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Определение. Конической поверхностью называется поверхность, описываемая прямой (образующей конуса), проходящей через данную точку (вершину конуса) и пересекающей данную линию (направляющую конуса).
О
L
Рис.6
Пусть направляющая задана уравнениями
и (1)
вершиной является точка Mo(xo,yo,zo).
Канонические уравнения образующей конуса, проходящей через точку Мо и точку М(X,Y,Z), лежащую на направляющей, имеют вид:
. (2)
Исключая из (1) и (2) X,Y,Z, получим искомое уравнение конической поверхности.
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Составить общее представление о большинстве поверхностей второго порядка можно, рассматривая поверхности вращения.
Определение. Поверхностью вращения вокруг оси d называется поверхность, каждое сечение которой, перпендикулярное оси d, является окружностью с центром, лежащим на этой оси.
Рассмотрим линию L, которая вместе с осью d лежит в плоскости Р. Будем вращать эту линию вокруг оси, при этом каждая точка линии опишет окружность, а вся линия L опишет поверхность вращения.
Введём систему координат. Выберем начало прямоугольной декартовой системы координат на оси d, ось Oz направим вдоль оси d, ось Ox поместим в плоскости P перпендикулярно оси Oz. Допустим, что линия L имеет в этой системе координат уравнение . Выведем уравнение поверхности вращения этой линии вокруг оси Oz. Для этого выберем на поверхности произвольную точку M(x,y,z). Расстояние от неё до оси Oz равно . Через точку М проходит окружность, описываемая при вращении некоторой точки плоскости Р. Обозначим эту точку Мо, а её координаты в системе Oxz (xo,yo) (в системе Oxyz она будет иметь координаты (xo,0,zo)), очевидно что , .
Точка М лежит на поверхности вращения тогда и только тогда, когда на ней лежит точка Мо, а, следовательно, и симметричная с ней относительно оси Oz точка . Чтобы точки Мо и лежали на поверхности, необходимо и достаточно, чтобы координаты хотя бы одной из них удовлетворяли уравнению линии L, то есть чтобы . Получим условие для координат точки
М. (1)
Это и есть уравнение поверхности вращения линии L вокруг оси Oz.
Случай, когда уравнение (1) не имеет вещественных решений, не исключается. В этом случае говорят о мнимой поверхности.
№42
Определение предела по Коши и Гейне
Пусть функция f (x) определена на некотором открытом интервале X, содержащем точку x = a. (При этом не требуется, чтобы значение f (a) было обязательно определено.)
Число L называется пределом функции f (x) при , если для каждого существует такое число , что
при условии
Данное определение предела известно как - определение или определение Коши.
Существует также определение предела функции по Гейне, согласно которому функция f (x) имеет предел L в точке x = a, если для каждой последовательности , сходящейся к точке a, последовательность сходится к L. Определения предела функции по Коши и Гейне эквивалентны.
Односторонние пределы
Символом обозначается левосторонний предел, в котором переменная x, приближаясь к a, принимает значения x < a. Соответствующий предел называется левосторонним пределом функции f (x) в точке x = a.
Аналогично, символом обозначается правосторонний предел, в котором переменная x, приближаясь кa, принимает значения x > a. Соответствующий предел называется правосторонним пределом функции f (x) в точке x = a.
Отметим, что двусторонний предел существуют лишь тогда, когда существуют оба односторонних предела, которые равны друг другу, то есть . В этом случае
Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.
.
Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).
.
Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.
.
Доказательство. f(x)=с, докажем, что .
Возьмем произвольное >0. В качестве можно взять любое
положительное число. Тогда при
.
Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в
одной точке.
Доказательство. Предположим противное. Пусть
и .
По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:
f(x)-A= - б.м. при ,
f(x)-B= - б.м. при .
Вычитая эти равенства, получим:
B-A=-.
Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:
B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.
Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.
.
Доказательство. Пусть , , .
Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:
где - б.м. при.
Сложим алгебраически эти равенства:
f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)=,
где б.м. при .
По теореме о связи предела и б.м. функции:
А+В-С=.
Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при, причем предел произведения равен произведению пределов.
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
.
Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,
причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.
, .
№43
Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.
Следствия из первого замечательного предела
1°
2°
3°
4°
Второй замечательный предел
здесь е - число ЭйлераСледствия из второго замечательного предела
1°
2°
3°
4°
5°
6°
№44
Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Их свойства
Определение 1. Функция называется бесконечно малой (б.м.) функцией при , если ее предел при равен нулю.
<=> , для всех х, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство .
Определение 2. Функция называется бесконечно большой (б.б.) функцией при , если ее предел при равен + (-).
Пример. Функция при - б.м., при - б.б., при не является ни б.б. ни б.м.
Теорема 1 (о связи предела и бесконечно малой функции). Если функция имеет предел , то разность между функцией и значением предела есть функция, бесконечно малая при .
Доказательство. Необходимо показать, что
<=> f(x)-A б.м. функция при .
Так как , то
, для будет выполняться неравенство .
Сравним это с определением б. м. функции:
, для будет выполняться неравенство .
Сравнивая определения предела функции и б. м. функции, видим, что f(x)-A - б.м. при .
Теорема 2. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при функций есть функция бесконечно малая при .
Доказательство. Пусть - б.м. функции при .
Надо доказать, что есть б.м. функция при.
Возьмем >0, тогда и .
Так как - б.м. при , , , ;
|
так как - б.м. при , , , ;
так как - б.м. при , , , .
Возьмем , тогда при будут выполняться все три неравенства (2.1) одновременно.
.
Итак, для >0 мы нашли такое, что при всех выполняется неравенство , => есть б.м. функция при.
Теорема 3. Произведение бесконечно малой при функции на ограниченную в некоторой окрестности точки а функцию есть бесконечно малая функция при .
Доказательство. - б. м. при функция;
f(x) - ограниченная в некоторой окрестности точки а функция.
Докажем, что · f(x) – б. м. функция при .
Поскольку f(x) - ограниченная в некоторой окрестности точки а функция, то и К такие, что при х
|
| f(x)| < К.
Возьмем произвольное >0 и рассмотрим число ,
так как - б. м. при функция, , что х:
|
||<.
Возьмем , тогда при будут выполняться оба неравенства (2.2) и (2.3) одновременно.
<
Итак, для >0 мы нашли такое, что при всех х, удовлетворяющих , выполняется неравенство |· f(x)|< , => · f(x) – б. м. функция при .
Теорема 4. Произведение конечного числа бесконечно малых при функций есть функция, бесконечно малая при .
Теорема 5 (о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций). Если - б. м. при функция и 0 в некоторой окрестности точки а, то функция есть б. б. функция при .
Если - при б. б. функция, то функция есть б. м. функция при .
Пусть б.м. функции при . Предположим, что существует предел их отношения и он равен l.
.
Тогда если:
1) l=1, то функции и называются эквивалентными б.м.;
2) l - число, l0, то функции и называются б.м. одинакового порядка;
3) l=0, то функция называется б.м. более высокого порядка, чем ;
4) l= , то функция называется б.м. более высокого порядка, чем .
Функции и называют бесконечно малыми при , если и
Функции и называют эквивалентными бесконечно малыми при , если
Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы.
Таблица эквивалентных бесконечно малых.
Пусть - бесконечно малая при .
Эквивалентность всех величин таблицы можно доказать, основываясь на равенстве .
№45
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x0) точки x0 (включая саму точку x0).
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует limx → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке:
f(x) = f(x0), |
(1) |
т.е.
|
O( f(x0) ) O(x0) : x O(x0) f(x) O( f(x0) ) . |
Замечание. Равенство (1) можно записать в виде:
f(x) = f (
x ), |
т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.
Пусть Δx = x − x0 — приращение аргумента, Δy = f(x) − f(x0 ) — соответствующее приращение функции.
Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке
Функция y = f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда
Δy = 0. |
(2) |
Замечание. Условие (2) можно трактовать как второе определение непрерывности функции в точке. Оба определения эквивалентны.
Пусть функция f(x) определена в полуинтервале [x0, x0 + δ ).
Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x0, если существует односторонний предел
f(x) = f(x0). |
Пусть функция f(x) определена в полуинтервале (x0 − δ, x0].
Функция f(x) называется непрерывной слева в точке x0, если существует односторонний предел
f(x) = f(x0). |
Определение 3.3 Пусть -- некоторая функция, -- её область определения и -- некоторый (открытый) интервал (может быть, с и/или )7. Назовём функцию непрерывной на интервале , если непрерывна в любой точке , то есть для любого существует (в сокращённой записи:
Пусть теперь -- (замкнутый) отрезок в . Назовём функцию непрерывной на отрезке , если непрерывна на интервале , непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке , то есть
Определение 3.4 Назовём функцию непрерывной на множестве , если
Нетрудно видеть, что тогда при и при это определение совпадает с теми, что были выше даны специально для интервала и отрезка.
Напомним, что все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения и, следовательно, непрерывны на любых интервалах и отрезках, лежащих в их областях определения.
Поскольку непрерывность на интервале и отрезке определяется поточечно, имеет место теорема, которая является непосредственным следствием теоремы 3.1:
Теорема 3.5 Пусть и -- функции и -- интервал или отрезок, лежащий в . Пусть и непрерывны на . Тогда функции , , непpеpывны на . Если вдобавок пpи всех , то функция также непpеpывна на . Предложение 3.4 Множество всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке -- это линейное пpостpанство:
Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.
Теорема 3.6 (о корне непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке , причём и -- числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что , а .) Тогда существует хотя бы одно такое значение , что (то есть существует хотя бы один корень уравнения ).
Доказательство. Рассмотрим середину отрезка . Тогда либо , либо , либо . В первом случае корень найден: это . В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция принимает значения разных знаков: в случае или в случае . Выбранную половину отрезка обозначим через и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины и , где , и найдём . В случае корень найден; в случае рассматриваем далее отрезок , в случае -- отрезок и т. д.
Рис.3.16.Последовательные деления отрезка пополам
Получаем, что либо на некотором шаге будет найден корень , либо будет построена система вложенных отрезков
в которой каждый следующий отрезок вдвое короче предыдущего. Последовательность -- неубывающая и ограниченная сверху (например, числом ); следовательно (по теореме 2.13), она имеет предел . Последовательность -- невозрастающая и ограниченная снизу (например, числом ); значит, существует предел . Поскольку длины отрезков образуют убывающую геометрическую прогрессию (со знаменателем ), то они стремятся к 0, и , то есть . Положим теперь . Тогда
и
поскольку функция непрерывна. Однако, по построению последовательностей и , и , так что, по теореме о переходе к пределу в неравенстве (теорема 2.7), и , то есть и . Значит, , и -- корень уравнения .
Теорема 3.7 (о промежуточном значении непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке и (будем для определённости считать, что ). Пусть -- некоторое число, лежащее между и . Тогда существует такая точка , что .
Рис.3.20.Непрерывная функция принимает любое промежуточное значение
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию , где . Тогда и . Функция , очевидно, непрерывна, и по предыдущей теореме существует такая точка , что . Но это равенство означает, что .
Заметим, что если функция не является непрерывной, то она может принимать не все промежуточные значения. Например, функция Хевисайда (см. пример 3.13) принимает значения , , но нигде, в том числе и на интервале , не принимает, скажем, промежуточного значения . Дело в том, что функция Хевисайда имеет разрыв в точке , лежащей как раз в интервале .
Для дальнейшего изучения свойств функций, непрерывных на отрезке, нам понадобится следующее тонкое свойство системы вещественных чисел (мы уже упоминали его в главе 2 в связи с теоремой о пределе монотонно возрастающей ограниченной функции): для любого ограниченного снизу множества (то есть такого, что при всех и некотором ; число называется нижней гранью множества ) имеется точная нижняя грань , то есть наибольшее из чисел , таких что при всех . Аналогично, если множество ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань : это наименьшая из верхних граней (для которых при всех ).
Рис.3.21.Нижняя и верхняя грани ограниченного множества
Если , то существует невозрастающая последовательность точек , которая стремится к . Точно так же если , то существует неубывающая последовательность точек , которая стремится к .
Если точка принадлежит множеству , то является наименьшим элементом этого множества: ; аналогично, если , то .
Кроме того, для дальнейшего нам понадобится следующая
Лемма 3.1 Пусть -- непрерывная функция на отрезке , и множество тех точек , в которых (или , или ) не пусто. Тогда в множестве имеется наименьшее значение , такое что при всех .
Рис.3.22.Наименьший аргумент, при котором функция принимает заданное значение
Доказательство. Поскольку -- ограниченное множество (это часть отрезка ), то оно имеет точную нижнюю грань . Тогда существует невозрастающая последовательность , , такая что при . При этом , по определению множества . Поэтому, переходя к пределу, получаем, с одной стороны,
а с другой стороны, вследствие непрерывности функции ,
Значит, , так что точка принадлежит множеству и .
В случае, когда множество задано неравенством , мы имеем при всех и по теореме о переходе к пределу в неравенстве получаем
откуда , что означает, что и . Точно так же в случае неравенства переход к пределу в неравенстве даёт
откуда , и .
Теорема 3.8 (об ограниченности непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда ограничена на , то есть существует такая постоянная , что при всех .
Рис.3.23.Непрерывная на отрезке функция ограничена
Доказательство. Предположим обратное: пусть не ограничена, например, сверху. Тогда все множества , , , не пусты. По предыдущей лемме в каждом из этих множеств имеется наименьшее значение , . Покажем, что
Действительно, . Если какая-либо точка из , например , лежит между и , то
то есть -- промежуточное значение между и . Значит, по теореме о промежуточном значении непрерывной функции, существует точка , такая что , и . Но , вопреки предположению о том, что -- наименьшее значение из множества . Отсюда следует, что при всех .
Точно так же далее доказывается, что при всех , при всех , и т. д. Итак, -- возрастающая последовательность, ограниченная сверху числом . Поэтому существует . Из непрерывности функции следует, что существует , но при , так что предела не существует. Полученное противоречие доказывает, что функция ограничена сверху.
Аналогично доказывается, что ограничена снизу, откуда следует утверждение теоремы.
на отрезке . Эта функция не ограничена на отрезке, так как при имеет точку разрыва второго рода, такую что при . Также нельзя заменить в условии теоремы отрезок интервалом или полуинтервалом: в качестве примера рассмотрим ту же функцию на полуинтервале . Функция непрерывна на этом полуинтервале, но неограничена, вследствие того что при .
Поиск наилучших постоянных, которыми можно ограничить функцию сверху и снизу на заданном отрезке, естественным образом приводит нас к задаче об отыскании минимума и максимума непрерывной функции на этом отрезке. Возможность решения этой задачи описывается следующей теоремой.
Теорема 3.9 (о достижении экстремума непрерывной функцией) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существует точка , такая что при всех (то есть -- точка минимума: ), и существует точка , такая что при всех (то есть -- точка максимума: ). Иными словами, минимальное и максимальное8 значения непрерывной функции на отрезке существуют и достигаются в некоторых точках и этого отрезка.
Рис.3.24.Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума
Доказательство. Так как по предыдущей теореме функция ограничена на сверху, то существует точная верхняя грань значений функции на -- число . Тем самым, множества , ,..., ,..., не пусты, и по предыдущей лемме в них есть наименьшие значения : , . Эти не убывают (доказывается это утверждение точно так же, как в предыдущей теореме):
и ограничены сверху числом . Поэтому, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности, существует предел Так как , то и
по теореме о переходе к пределу в неравенстве, то есть . Но при всех , и в том числе . Отсюда получается, что , то есть максимум функции достигается в точке .
Аналогично доказывается существование точки минимума.
В этой теореме, как и в предыдущей, нельзя ослабить условия: если функция не является непрерывной, то она может не достигать своего максимального или минимального значения на отрезке, даже будучи ограниченной. Для примера возьмём функцию
на отрезке . Эта функция ограничена на отрезке (очевидно, что ) и , однако значение 1 она не принимает ни в одной точке отрезка (заметим, что , а не 1). Дело в том, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке , так что при предел не равен значению функции в точке 0. Далее, непрерывная функция, заданная на интервале или другом множестве, не являющемся замкнутым отрезком (на полуинтервале, полуоси) также может не принимать экстремального значения. В качестве примера рассмотрим функцию на интервале . Очевидно, что функция непрерывна и что и , однако ни значения 0, ни значения 1 функция не принимает ни в какой точке интервала . Рассмотрим также функцию на полуоси . Эта функция непрерывна на , возрастает, принимает своё минимальное значение 0 в точке , но не принимает ни в какой точке максимального значения (хотя ограничена сверху числом и