Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Билет 25. Признак Вейерштрасса.
. Если сходится, то сходится равномерно на .
Доказательство.
для него выполнен критерий Коши, т.е.
в критерии модуль можно убрать
Признак Абеля равномерной сходимости ряда.
Доказательство.
Надо показать, что
По лемме Абеля
Т.к. равномерно сходится, то выполняется критерий Коши
Возьмём из этого определения оценку суммы:
ряд равномерно сходится.
Признак Дирихле равномерной сходимости ряда.
Доказательство.
По лемме Абеля
Причём
. Возьмём ряд равномерно сходится.
Пример.
Выполнены условия 2 и 3 признака Дирихле. Проверим 1:
Значит ряд равномерно сходится(при нельзя).
Билет 26. Теорема о перестановке предельных переходов.
Если хотя бы в одном из двух случаев стремление равномерное, то тогда:
Доказательство.
Для определённости, пусть , т.е. выполняется критерий Коши равномерной сходимости:
Т.к. , то можно перейти к пределу
Итого: выполняется критерий Коши для .
Проверим, что
По определению равномерной сходимости:
По определению предела :
Выберем , подставим его и зафиксируем
, где .
Выберем как в предыдущем определении, тогда
Билет 27. Теорема о непрерывности предельной функции.
Доказательство.
– непрерывна на для f выполним теорему о перестановке предельных переходов
– непрерывна на D.
Билет 28. Теорема Дини о частичном обращении теоремы о непрерывности предельной функции.
компакт, f монотонна по y при фиксированном . На разных x может быть разный характер монотонности.
Доказательство.
Рассмотрим . При фиксированном y, g – непрерывна по x, g монотонна по y, причём по y монотонно убывает, т.к. .
От противного. f не сходится равномерно, тогда g не сходится равномерно, тогда из определения равномерной сходимости:
По найдём
Пусть монотонно возрастает. Этого всегда можно добиться. Пусть мы уже выбрали , тогда выберем следующим образом:
Т.к. D – компакт, то из можно выбрать . Заметим, что если , то т.к. g монотонно убывает по y, т.е. при зафиксируем, противоречие, значит f равномерно сходится.
Теорему можно сформулировать также для последовательностей функций и рядов.
Билет 29. Теорема об интеграле предельной функции(о вынесении предельного перехода под знак интеграла)
– предельная точка множества
– интегрируема. Тогда .
Доказательство.
Вспомним критерий интегрируемости: , где
И определение равномерной сходимости:
Зафиксируем , т.к. . f интегрируема, значит выберем .
Рассмотрим насколько отличается .
по выбору .
Следовательно,
Т.е. выполняется критерий интегрируемости .
Докажем утверждение теоремы, проверив определение предела. Т.к. , т.е.
То
Билет 30. Теорема о дифференцировании предельной функции.
– предельная точка имеет производную, т.е. . имеет предел при .
Доказательство.
Рассмотрим вспомогательную функцию . . Существует ли ? Докажем, что существует, притом равномерно. Проверим критерий Коши равномерной сходимости.
Пусть фиксированы.
Т.к. , то выполняется критерий равномерной сходимости, т.е.
Выполняется критерий равномерной сходимости для , т.е. равномерно сходится на . Пусть , тогда
Если , то .
По теореме о перестановке предельных переходов:
Т.к. a – произвольная, то .
Билет 31.
Вероятно, формулировка для последовательностей не нужна, либо нужна в предыдущих билетах.
Формулировка теоремы для последовательностей:
Тогда . Доказательство аналогично предыдущему, нужно только заменить y на n.
Формулировка теоремы для рядов:
Тогда . Для доказательства нужно переформулировать через и доказано по формуле для последовательностей функций.
Формулировка для последовательностей функций:
– непрерывна на непрерывна на .
Формулировка для рядов:
– непрерывна непрерывен на .
Формулировка для последовательностей функций:
Формулировка для рядов:
Формулировка для последовательностей:
. Тогда .
Формулировка для рядов:
сходится равномерно на D, Тогда сходится равномерно и .
Билет 32.
Сумма ряда .
Если можно было бы дифференцировать, то производная – расходящийся ряд, но конечную сумму посчитать можно.
Рассмотрим вспомогательный ряд . Зафиксируем x из отрезка длины , например . – искомый ряд, который сходится.
монотонна по k и ограничена единицей, значит по признаку Абеля сходится по t и сходится равномерно по t также по признаку Абеля равномерной сходимости. ( равномерно сходится по t, монотонна по k и равномерно ограничена)
непрерывно, т.к. множители непрерывны, значит по теореме о непрерывности предельной функции(в формулировке ряда) - непрерывна .
Проверим условия теоремы о дифференцировании предельной функции(в формулировке ряда):
F сходится при всех t, покажем, что ряд из производных по t сходится равномерно, т.е. равномерно сходится – сходится равномерно по признаку Вейерштрасса на ( – сходящийся ряд, т.к. геометрическая прогрессия, где ).
(по теореме о дифференцировании предельной функции) .
Посчитаем . Вспомним, что
;
Мы нашли , теперь найдём интегрируя .
Найдём C. Заметим, что . Т.к. F – периодическая функция, то достаточно показать для . Тогда .
Следовательно, . Заметим, что , тогда:
Итого: . Сумма ряда не является непрерывной функций, значит ряд не может сходиться равномерно на .
Билет 33.
Пример Вейерштрасса: , причём целое нечётное число, такое что . Поскольку доказательство слишком длинное, рассмотрим более простой пример.
Пример Ван-дер-Вардена(непрерывная, но недифференцируемая функция): вместо некоторая «пилообразная» функция. – периодическая функция .
Рассмотрим . По прежнему – непрерывная и периодическая с
Рассмотрим функцию По признаку Вейерштрасса ряд сходится равномерно, значит непрерывна.
Покажем, что f(x) не имеет производных. Возьмём произвольную в точке и рассмотрим . Найдём последовательностей точек , т.ч. предела не существует. Будем её строить по следующему правилу:
Пусть последовательность вложенных отрезков. Выберем, т.ч. (она всегда найдётся аналогично предыдущей)
;
, т.к. линейна на этом отрезке
аналогично линейна на отрезке , тоже самое при
– целое нечётное число, если n – чётно и не равно 0, и целое чётное число, если n – нечётно(k единиц с “+” и n-k+1 – с “-“, т.е. сумма равна ).
Берём , т.ч. – чётное, то предел нечётный; берём , т.ч. – нечётное, то предел чётный, значит предела нет не дифференцируема в и, в силу произвольности , не дифференцируема нигде.
Билет 34. Степенные ряды.
– опишем ряд в общем виде, заменив на , получим ряд вида: . Будем предполагать, что ряд сходится в некоторой точке – сходится.
Лемма. Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится . Сходимость будет равномерной на любом отрезке , если .
Доказательство.
, если , т.е. ряд абсолютно сходится.
равномерно по признаку Вейерштрасса
Наибольший положительный , который мы обозначим через , называется радиусом сходимости, т.е. – сходится, – расходится, – неясно. Не может быть ситуации, что ряд сходится на , т.е. если сходится в , то сходится и в (по лемме). – интервал сходимости.
Билет 35. Теорема Коши-Адамара.
Доказательство.
Пусть . Рассмотрим ; x можно считать фиксированным(в силу леммы). По признаку Коши, если , то ряд сходится. Т.е. ряд сходится при , т.е. . Если то ряд сходится для любого x.
Билет 36.
непрерывен внутри интервала сходимости.
Доказательство.
. В силу леммы ряд сходится равномерно на . Т.к. непрерывна и равномерно сходится, то ряд непрерывен на . Т.к. - произвольная, то ряд непрерывен внутри .
Дальше (стр. 67-68) идут ещё 3 свойства (перед теоремой Абеля), про которые в билетах ничего не говорится, потому не переписывал.
Теорема Абеля.
Пусть ряд сходится на конце интервала сходимости, тогда на отрезке сходимость будет равномерной, его сумма непрерывна слева в т. и верно равенство:
Доказательство.
сходимости, т.к. сходится по условию теоремы, – монотонна и ограничена.
Билет 37. Замечание.
Теорема. Степенной ряд внутри его интервала сходимости можно дифференцировать почленно:
и радиус сходимости нового ряда будет совпадать с радиусом сходимости исходного.
Доказательство.
Мы можем так дифференцировать, если ряд сходится хотя бы в одной точке, а ряд из производных сходится равномерно(по теореме о дифференцировании предельной функции). Исходный ряд всегда сходится в 0. У дифференцируемого ряда радиус сходимости равен исходному(из замечания).
Найдём отрезок продифференцированный ряд сходится равномерно на согласно лемме, значит внутри этого отрезка исходный ряд можно дифференцировать почленно и верно равенство из условия теоремы. Т.к. x – произвольная точка интервала , то, тем самым, доказали для всего .
Теорема. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать любое количество раз, при этом радиус сходимости не изменится, и справедливо равенство:
Доказательство следует из предыдущего.
Теорема. Степенной ряд можно интегрировать в следующем смысле:
Если , то . Утверждение сохраняет силу и для концов интервала, если на соответствующем конце ряд сходится, т.е. при ряд сходится, то .
Доказательство.
Мы можем так интегрировать ряд , если каждая интегрируема, а сходится(теорема об интеграле предельной функции).
Рассмотрим некоторый x, найдём . На этом интервале мы можем так интегрировать, т.к. условие теоремы выполняются. В силу произвольности x, утверждение доказано для всего интервала сходимости.
Т.к. , то в силу замечания радиусы сходимости исходного и проинтегрированного ряда равны.
Если сходится при , то он равномерно сходится на по теореме Абеля, тогда можно интегрировать почленно, т.е.
Далее (стр. 72) расписаны разложения и в степенные ряды, которые, опять же, не требуются в билетах.
Хех. Слишком много лишнего у меня что-то получается. Напишу просто сами формулы:
Билет 38. Аналитические функции.
Функция называется аналитической на , если в некоторой окрестности каждой точки функция представима в виде степенного ряда, т.е. .
зависит от . Окрестность – некоторый интервал .
Теорема.
Пусть аналитична на , тогда на этом интервале она имеет производную любого порядка и в некоторой окрестности каждой точки он представима рядом Тейлора, т.е. в виде:
. Окрестность зависит от выбора т. .
Доказательство.
В некоторой окрестности т. представима в виде . Ряд сходится при ; ;