У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Лекция 3 Распределения Из наиболее часто встречающихся дискретных распределений можно назвать следующие

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-06-20

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 1.3.2025

Лекция 3. Распределения

Из наиболее часто встречающихся дискретных распределений можно назвать следующие.

   Биномиальное распределение. Пусть случайная величина Х может принимать целые значения 0, 1, 2, ..., n. Будем говорить, что эта величина распределена по биномиальному закону, если функция, задающая ее распределение, имеет вид:

 (1)

Здесь mn  и р - любое положительное число, меньшее единицы, Сmn - число сочетаний из n по m.

Если вероятность появления некоторого события в каждом из n независимых опытов равна  р, то общее число появлений события во всех n опытах как раз и будет случайной величиной, имеющей биномиальное распределение. Математическое ожидание случайной величины, распределенной по биномиальному закону, равно np, а ее дисперсия равна np(1-p).

Рассмотрим пример из спорта. Пусть вероятность того, что спортсмен преодолеет планку на высоте 2 метра, равна 0,6. Предположим, что он пытается преодолеть такую высоту 10 раз. Число его успешных прыжков m  будет случайной величиной, распределенной по биномиальному закону.     Пусть m=3.

 

Мы получили вероятность того, что спортсмен из 10 раз ровно 3 раза покорит высоту 2 м.

Распределение Пуассона.   Пусть случайная величина Х может принимать любое целое неотрицательное значение. Будем говорить, что эта величина распределена по закону Пуассона, если функция, задающая ее распределение, имеет вид:

 (2)

Здесь а - некоторое положительное число, называемое параметром закона Пуассона. Приведем пример случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

Пусть на некоторой оси случайным образом распределяются точки, причем выполняются следующие условия:

1. вероятность попадания того или иного числа точек на отрезок зависит только от длины отрезка и не зависит от его положения на оси, т.е. точки распределены на оси с одинаковой средней полностью, которую мы обозначим ;

2. точки распределяются на оси независимо друг от друга;

3. совпадение двух или большего числа точек практически невозможно.

Если мы рассмотрим случайную величину, представляющую собой количество точек, попавших на некоторый отрезок длины , то эта случайная величина будет распределена по закону Пуассона с параметром . Для случайной величины, распределенной по закону Пуассона, и математическое ожидание и дисперсия равны а.

Случайная величина Х, множество теоретически возможных значений которой несчетно (сплошь покрывает некоторый интервал либо всю числовую ось ), называется непрерывной.  

Рассмотрим некоторые непрерывные распределения.

Нормальное распределение. Говорят, что непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

 (3)

Здесь =3,14159, е - основание натурального логарифма, е=2,7182818.

График  этой функции  представляет собой симметричную колоколообразную кривую (рис.1).

 

Рис.1

Эту кривую называют нормальной кривой (или кривой Гаусса), а  нормальное распределение иногда называют Гауссовым распределением. На практике  нормальное распределение встречается в том случае, когда случайная величина подвержена влиянию большого числа независимых факторов, причем удельный вес каждого из них в сумме факторов невелик.

В результате исследования функции 3 можно сделать следующие выводы о ее свойствах.

1. Функция определена на всей оси х.

2. При всех значениях х функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена выше оси Ох.

3. Предел функции при неограниченном возрастании х (по абсолютной величине) равен нулю, т.е. ось х служит горизонтальной асимптотой графика.

4. Исследуя функцию на экстремум и приравнивая 0 ее первую производную, получим , что при х= функция имеет максимум, равный .

5. Разность х- содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, т.е. график функции симметричен относительно прямой х=.  Положение кривой зависит от параметра  .

6. Исследуем  функцию на точки перегиба. Для этого найдем вторую производную, из которой легко видеть, что при х =    и х =    она обращается в 0. При переходе через эти точки вторая производная меняет знак на противоположный. Значение функции в обеих этих точках равно.  Следовательно, точки графика и являются точками перегиба.

Масштаб кривой зависит от параметра  ( чем меньше  , тем больше вытянута кривая вдоль оси симметрии и тем быстрее ее ветви приближаются к оси абсцисс, кривая графика более островершинная ). Параметр  равен математическому ожиданию случайной величины Х, а параметр  - ее среднему квадратичному отклонению.

Для нормально распределенной случайной величины в интервале от точки  до точки  заключено 68 % ее значений, т.е. вероятность того, что значение нормально распределенной случайной величины попадет в интервал (  ),  равна 0,68. В интервал (     попадает 95 % значений нормально распределенной случайной величины.  В интервал (      попадает 99,99 % значений нормально распределенной случайной величины.

Сформулируем здесь правило трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратичного отклонения.

На практике правило трех сигм применяется так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, то есть основания предполагать, что изучаемая  случайная величина распределена нормально.

Ясно, что график нормально распределенной случайной величины можно двигать относительно оси Оу. Если передвинем график так,  что  = 0, то график будет симметричен относительно начала координат, а форма его останется прежней.

Случайная величина У, значения которой связаны со значениями случайной величины X (  формулой , будет тоже распределена нормально, причем ее математическое ожидание будет равно 0, а среднее квадратическое отклонение - 1. Такую случайную величину называют нормированной. 

Уравнение плотности для нормированной нормально распределенной случайной величины будет выглядеть так:

Значения интегральной функции распределения нормированной нормально распределенной случайной величины табулированы и обычно печатаются в виде таблиц( см . приложение 6).

Нормальное распределение является одним из основных теоретических распределений. Ошибки измерений, различные свойства живых организмов и многие другие количественные признаки распределены по нормальному закону.

Гамма-распределение. Говорят, что случайная величина Х имеет гамма-распределение, если функция плотности для нее имеет вид:

 (4)

Здесь Г() - гамма-функция (при  натуральном     значении                     Г() = (  - 1) !  ).

Форма кривой, являющейся графиком этой функции, изменяется в зависимости от параметра . Масштаб кривой (при фиксированном ) определяется параметром  (рис.2). Математическое ожидание случайной величины, имеющей гамма-распределение, равно , а дисперсия - . Отсюда следует, что оценки параметров  и  на основе опытных данных могут быть получены по формулам:

,  (5)

где М и D определяются по соответствующим  формулам.

Рис.2

Гамма-распределение описывает время, необходимое для появления ровно  независимых событий, если эти события происходят с постоянной интенсивностью  . Так, например, если поставка какого-либо товара производится партиями объемом  единиц товара каждая, а заявки на отдельные виды товара поступают независимо друг от друга с постоянной интенсивностью  единиц, то промежуток времени, за который будет продана вся партия , является случайной величиной, имеющей гамма-распределение.

Перечислим теперь кратко непрерывные распределения, связанные с нормальным и используемые при проверке статистических гипотез.

Распределение 2 (хи квадрат). Распределение случайной величины Х, представляющей собой сумму квадратов k независимых нормированных, нормально распределенных случайных величин, называется распределением 2 с k степенями свободы.  Функция плотности распределения для этой случайной величины имеет вид:

(6)

Если суммируемые случайные величины связаны между собой некоторыми линейными соотношениями, причем количество этих соотношений равно m, то число степеней свободы распределения 2 уменьшается на m.

По мере увеличения числа степеней свободы распределение 2 приближается к нормальному.

Распределение Стьюдента. Пусть У - нормированная нормально распределенная случайная величина, а Z - независимая от У случайная величина, распределенная по закону 2 с k степенями свободы. Тогда случайная величина Т, значения которой определяются формулой

,

имеет   распределение,     называемое  распределением   Стьюдента  (или t - распределением) с k степенями свободы. Функция плотности распределения для этой случайной величины имеет вид:

 (7)

С увеличением числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.

Распределение Фишера. Пусть У и Z  - независимые случайные величины, распределенные по закону 2 со степенями свободы соответственно k1 и k2 . Тогда случайная величина F, значения которой определяются формулой

,

имеет распределение, называемое распределением Фишера (или F-распределением) с числом степеней свободы k1 и k2. Функция плотности распределения этой случайной величины имеет вид:

 (8)




1. Определение энергетической ценности пищевых продуктов
2. Аудит 1
3. практическая конференция ОБЩЕСТВО НАУКА И ИННОВАЦИИ 2930 НОЯБРЯ 2013Г
4. а При каком соотношении между ускорением свободного падения g и а сила натяжения каната будет равна ну
5. ПОЛТАВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЕКОНОМІКИ І ТОРГІВЛІ ЗОВНІШНЬОЕКОНОМІЧНА ДІЯЛЬНІСТЬ ПІДПРИЄМСТВА НАВЧАЛЬНИЙ
6. Брестский государственный технический университет
7. Тема Определение конфигурации и тестирование персонального компьютера
8. промышленный комплекс России- вопросы регулирования ВЛАДИМИР КОРОЛЕВдоктор экономических наукпрофессо
9. 20 р
10. N 620 ОБ УТВЕРЖДЕНИИ МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ПО ПРИМЕНЕНИЮ СПРАВОЧНИКОВ БАЗОВЫХ ЦЕН НА ПРОЕКТНЫЕ РАБОТ