Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
20.Т6 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
8.1. Дифференциальное уравнение Лейбензона
Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации идеального газа в уравнение неразрывности подставляют выражения для компонент скорости фильтрации и плотности идеального газа.
Считая m=const, K=const, =const и , получим:
. (8.1)
Введем замену:
; ; .
Тогда уравнение (8.1) примет вид:
. (8.2)
Выражение в скобках представляет собой оператор Лапласа относительно P2, поэтому уравнение (8.2) можно записать в виде:
(8.2’)
Полученное уравнение неустановившейся фильтрации газа (8.2) называется уравнением Лейбензона и представляет собой нелинейное уравнение параболического типа. Оно справедливо для идеального газа при выполнении закона Дарси.
Уравнение (8.2) можно записать иначе, умножив левую и правую части на давление Р и введя замену :
. (8.3)
В такой записи под знаками производных по координатам и по времени находится одна и та же функция Р2, но коэффициент в правой части - переменный, в него входит искомая функция Р(x,y,z,t).
Уравнения (8.2) и (8.3) не имеют точных аналитических решений даже в самых простых одномерных случаях. Точное решение уравнения Лейбензона дают численные методы.
8.2. Линеаризация уравнения Лейбензона и его основное решение
Уравнение (8.2) можно упростить, заменив его линейным, для которого существуют точные аналитические решения.
Если рассматривается плоскорадиальный приток газа к скважине, то, как уже отмечалось, воронка депрессии очень крутая и на большей части пласта давление мало отличается от контурного. На этом основании Л.С.Лейбензон предложил заменить переменное давление Р в коэффициенте уравнения (8.3) на постоянное давление Рк (начальное давление в пласте). После ввода обозначения
,
получим:
. (8.4)
Это уравнение является линейным уравнением пьезопроводности относительно функции Р2.
И.А.Чарный предложил свести уравнение (8.3) к линейному, заменив переменное давление Р в коэффициенте на Рср:
,
где Рmax и Рmin – максимальное и минимальное давление в газовой залежи за расчетный период.
Для плоскорадиальной фильтрации линеаризованное уравнение Лейбензона (8.4) запишется в виде:
. (8.5)
Чтобы вывести формулу распределения давления, уравнение (8.5) необходимо проинтегрировать при условиях:
начальное - при t=0, 0 r=, t>0 ;<r< ;
граничные - при r=, t>0 ;
- на стенке газовой скважины.
Математическая постановка задачи о неустановившемся притоке газа к скважине аналогична постановке задачи об отборе упругой жидкости. Проведем сопоставление:
|
Упругая жидкость |
Идеальный газ |
|
|
- |
||
|
при t=0 |
- |
при t=0 |
|
при r=, t>0 |
- |
при r=, t>0 |
|
при r=0 |
- |
при r=0 |
Следовательно, для упругой жидкости и идеального газа характерна аналогия следующих показателей:
|
Упругая жидкость |
Идеальный газ |
|
|
давление Р |
- |
квадрат давления Р2 |
|
коэффициент пьезопроводности |
- |
коэффициент пьезопровод- ности |
|
- |
Используя данную аналогию, можно получить формулу распределения давления в неустановившемся потоке газа, преобразуя основную формулу упругого режима фильтрации жидкости.
Итак, основная формула упругого режима:
.
Основная формула неустановившейся фильтрации идеального газа:
(8.6)
или
. (8.6’)
Для малых значений аргумента :
или
.
Графически распределение давления по пласту при неустановившемся притоке газа к скважине можно представить в виде:
Погрешность решения, которое дает линеаризация уравнения Лейбензона, по сравнению с численными методами составляет доли процента, поэтому оно может считаться точным.
t=0
1
t2
0
r
P
Pk