Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Формулировка признака сравнения
Степенная функция w = z n, n - натуральное. Определена, однозначна и аналитична на всей плоскости С. Действительно, при n =1 w =x + iy, u = x, v = y, u’x = 1 = v’y, u’y = 0 = -v’x, w’ = u’x + iv’x = 1 (или, непосредственно, ). Далее, w = z n = z ·z ·z ·...·z дифференцируема как произведение дифференцируемых функций. Её производная w’ = n z n−1 отлична от нуля при z ≠ 0, следовательно, отображение w = z n при n > 1 конформно в этих точках. (Углы с вершиной в точке z = 0 увеличиваются в n раз). Отображение неоднолистно при n > 1 на всей плоскости С; для его однолистности в некоторой области D ∈ C необходимо, чтобы область помещалась в некоторый сектор раствора .
2. Показательная функция w = e z. Определим эту функцию предельным соотношением . Докажем, что этот предел существует при ∀ z = x + iy ∈ C: , модуль этого числа обозначим Mn: , аргумент - Φn: (при достаточно больших n дробь 1 + z /n лежит в правой полуплоскости). , следовательно, существует .
Тригонометрические функции. Определим эти функции соотношениями , . Все свойства этих функций следуют из этого определения и свойств показательной функции. Эти функции периодичны с периодом 2π, первая из них четна, вторая - нечетна, для них сохраняются обычные формулы дифференцирования, например, , сохраняются обычные тригонометрические соотношения (sin2z + cos2z = 1 - проверяется непосредственно, , формулы сложения и т.д.)
4. Гиперболические функции. Эти функции определяются соотношениями , . Из определений следует связь тригонометрических и гиперболических функций:
ch z = cos iz, sh z = - i cos iz, cos z = ch iz, sin z = - i sh iz, sh iz = i sin z, sin iz = i sin z.
4)
Операторное уравнение ( или уравнение с оператором А) Ах у следует считать математической моделью САУ, поскольку оно устанавливает количественную связь между входом y ( t) и выходом x ( f) системы. [1]
Операторные уравнения (V.120) - (V.122) и (V.125) представляют собой изображения искомого решения математического описания ячеечной модели. [2]
, . Тогда
. (3)
Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
x (n) + a1 x (n - 1) + a2 x (n - 2) + … + an - 1 x ′ + an x = f (t),
x(0) = x0, x′ (0) = x1, x″ (0) = x2, …, x (n -1) (0) = xn -1.
Начальные условия в этой задаче заданы в точке t0 = 0. Если начальные условия задаются в другой точке t0 ≠ 0, то заменой аргументаu = t - t0 их сдвигают в точку u0 = 0.
Метод решения этой задачи основан на теореме о дифференцировании оригинала. Предположим, что функция x(t), её производные до n-го порядка, правая часть f(t) являются функциями-оригиналами, и x(t)X(p). Тогда x ′(t)p X(p) − x(0) = p X(p) − x0,x ″(t)p2 X(p) − p x0− x1, …, x (n)(t)p n X(p) − p n - 1x0 − p n - 2 x1 − … − p x n - 2 − x n - 1, и изображение задачи будет иметь видp n X(p) − p n - 1x0 − p n - 2 x1 − … − p x n - 2 − x n - 1 + a 1( p n - 1 X(p) − p n - 2x0 − p n - 3 x1 − … − x n - 2) + … + a n - 1( p X(p) − x0) + a n X( p) = F( p), гдеF( p)f (t) - изображение правой части уравнения. Это линейное относительно X(p) алгебраическое уравнение, решив которое, находимX(p). Оригинал этого изображения и будет решением задачи Коши.