Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
4. Анализ линейных электрических цепей
с несинусоидальными токами
Несинусоидальные токи в линейных электрических цепях возникают при действии нескольких синусоидальных источников с разной частотой или при действии несинусоидальных источников тока и ЭДС. Для определения мгновенных значений неизвестных токов используют метод наложения.
Если в цепи действуют несколько источников с разной частотой тока или ЭДС, то находят частичные мгновенные значения неизвестных токов от действия каждого источника в отдельности, а потом их складывают.
Если в цепи действует источник несинусоидального тока или несинусоидальной ЭДС, то они аппроксимируются ограниченным рядом Фурье. Далее находят частичные мгновенные значения неизвестных токов от действия каждой составляющей ряда Фурье, рассматривая её как источник. Полученные частичные мгновенные значения токов в каждой ветви складывают.
Действующие значения найденных несинусоидальных токов определяют как корень квадратный из суммы квадратов действующих значений всех частичных составляющих токов.
Рассмотрим соответствующие примеры.
4.1. анализ электрической цепи с источниками
синусоидального тока и синусоидальной эдс
разной частоты
Пример 4.1
Необходимо найти неизвестные токи в электрической цепи (рис. 4.1), в которой действует источник постоянного тока и два источника синусоидальных ЭДС разной частоты. Используем метод наложения. Определим частичные токи. Для этого составим три схемы замещения (рис. 4.2 а, б, в). Условно положительные направления токов на всех схемах остаются неизменными.
Рисунок 4.1
а) б)
в)
Рисунок 4.2
Введём в листинг решения исходные данные.
Определим сопротивления реактивных элементов, комплексные сопротивления ветвей на частотах источников и комплексные амплитудные значения ЭДС источников.
Найдём частичные токи от действия источника постоянного тока, используя схему замещения, приведённую на рис. 4.2а.
Найдём комплексные амплитудные значения частичных токов от действия первого синусоидального источника ЭДС (рис. 4.2б).
Найдём комплексные амплитудные значения частичных токов от действия второго синусоидального источника ЭДС (рис. 4.2в).
Найдём мгновенные значения неизвестных токов, суммируя частичные мгновенные значения.
Уравнения токов с численными значениями коэффициентов, на примере
первого тока, находятся следующим образом:
Значения амплитуд и начальных фаз ограничены четырьмя разрядами после запятой.
Определим действующие значения найденных токов.
На рис. 4.3 приведены зависимости третьего и четвёртого токов от времени.
Рисунок 4.3
4.2. аппроксимация несинусоидальных
периодических токов, напряжений и эдс рядами
фурье и эквивалентными синусоидами
Первым этапом анализа цепей с несинусоидальными источниками является аппроксимация несинусоидальных периодических токов и ЭДС источников ограниченным рядом Фурье. В программе MathCAD есть специальные функции численного прямого и обратного преобразования Фурье на основе быстрых алгоритмов. Приведём некоторые из них.
FFT(V) – выполняет прямое быстрое преобразование Фурье вещественных данных, записанных в векторе V с элементами одного периода, где n – целое число. Возвращает вектор размера .
IFFT(V) – обратное быстрое преобразование Фурье, соответствующее FFT(V). Вектор V имеет размер . Возвращает вектор с размером .
fft(V) и ifft(V) – аналогичные прямое и обратное преобразования, но в иной нормировке.
CFFT(A), ICFFT(A) и сfft(A), icfft(A) – аналогичные преобразования для комплексных данных.
Прямое преобразование Фурье периодической вещественной функции даёт спектр комплексных коэффициентов С, а функция представляется в виде ряда .
Эквивалентные синусоиды несинусоидальных напряжений и токов участка цепи находят из условия сохранения действующих значений напряжения и тока, и сохранения значения активной мощности, выделяемой на этом участке цепи.
Пример 4.2
Выполним аппроксимацию несинусоидального напряжения и несинусоидального тока участка линейной электрической цепи.
Напряжение и ток заданы отсчётами их мгновенных значений, взятыми на одном периоде.
Выполним сплайн интерполяцию напряжения и тока. Результат интерполяции приведён на рис. 4.4.
Найдём спектры напряжения и тока.
Рисунок 4.4
На рисунках 4.5 и 4.6 приведены ограниченные спектры напряжения и тока. На рисунках приведены амплитуды и начальные фазы составляющих спектра.
Рисунок 4.5
Рисунок 4.6
Ограничим аппроксимирующие ряды Фурье постоянной составляющей и девятью гармоническими составляющими. Запишем выражения для мгновенных значений напряжения и тока. Эти же выражения запишем и через синусоиды.
Определим параметры эквивалентных синусоид напряжения и тока.
Знак начальной фазы тока определяется активно-индуктивным характером сопротивления участка цепи. Это следует из начальных фаз основных гармонических составляющих (рис. 4.5 и 4.6).
Определим параметры элементов данного участка.
На рис. 4.7 приведены аппроксимации напряжения и тока, и их эквивалентные синусоиды.
Рисунок 4.7
4.3. анализ линейной электрической цепи
с источником несинусоидальной эдс
В общем случае, при действии в линейной электрической цепи источников с несинусоидальным током или несинусоидальной ЭДС, на первом этапе выполняют аппроксимацию их огибающих на одном периоде, которые затем аппроксимируют ограниченным рядом Фурье. На втором этапе находят частичные токи от действия всех компонент всех источников по очереди. На третьем этапе находят выражения для мгновенных значений токов и оценивают их по степени искажения относительно синусоидальных токов. Для оценки используют следующие коэффициенты.
Коэффициент формы: - это отношение действующего значения к среднему по модулю значению. У синусоиды .
Коэффициент амплитуды: - это отношение максимального значения к действующему значению. У синусоиды .
Коэффициент искажения: - это отношение действующего значения первой гармонической составляющей к действующему значению. У синусоиды .
Коэффициент гармоник: - это отношение действующего значения высших гармонических составляющих к действующему значению первой гармонической составляющей. У синусоиды .
Пример 4.3
Необходимо определить неизвестные токи в заданной электрической цепи с несинусоидальным источником ЭДС (рис. 4.8).
Огибающая ЭДС задана отсчётами на интервале, больше периода ЭДС.
Рисунок 4.8
Выполним аппроксимацию огибающей ЭДС и определим период по координате отсчётов k (рис. 4.9).
Рисунок 4.9
Найдём спектр огибающей ЭДС, используя отсчёты одного периода на интервале .
На рис. 4.10а, б показаны значения модулей и начальных фаз составляющих спектра.
а) б)
Рисунок 4.10
Ограничим спектр ЭДС постоянной составляющей и четырьмя первыми гармоническими составляющими. Введём в листинг исходные данные. Найдём комплексные сопротивления ветвей для каждой составляющей спектра ЭДС.
Найдём частичные токи в ветвях заданной цепи.
Подготовим массивы модулей и начальных фаз всех частичных составляющих токов в ветвях схемы.
Найдём мгновенные значения токов в ветвях, суммируя частичные токи. Формы токов и ЭДС приведены на рис. 4.11.
Определим коэффициенты, характеризующие несинусоидальность ЭДС источника. Максимальное значение ЭДС, равное 105 В, берём из рис. 4.11.
Аналогичным образом определим коэффициенты, характеризующие несинусоидальность первого тока.
Рисунок 4.11
Определим коэффициенты, характеризующие несинусоидальность второго тока.
Определим коэффициенты, характеризующие несинусоидальность третьего тока.
Полученные результаты сведём в таблицу.
|
1,11 |
1,141 |
1,131 |
1,146 |
1,116 |
|
|
1,41 |
1,565 |
1,515 |
1,57 |
1,543 |
|
|
1,0 |
0,979 |
0,988 |
0,982 |
0,992 |
|
|
0 |
0,202 |
0,15 |
0,191 |
0,107 |
Видно, что ток через источник менее искажён, чем ЭДС. Это объясняется активно-индуктивным характером эквивалентного сопротивления цепи. Ток в ветви с конденсатором искажён сильнее, чем ток в ветви с индуктивностью.
Контрольные вопросы
1. Перечислите причины возникновения в линейных электрических цепях периодических несинусоидальных токов.
2. Укажите способы аппроксимации несинусоидальных токов.
3. Как найти действующее значение несинусоидального тока?
5. Какие коэффициенты используют для сравнения несинусоидальных токов?
6. Поясните термин "эквивалентные синусоиды напряжения и тока".
PAGE 147