Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Похідною функції ƒ у точці x0 називається границя, до якої прямує відношення
|
, |
якщо Δx наближається до нуля.
Отже,
|
. |
Функція, яка має похідну в точці x0, називається диференційованою в цій точці.
Поняття похідної та диференційованості функції в точці є тотожними. Тому часто операцію знаходження похідної називають диференціюванням функції.
c′ = 0, де c – константа (число)
(x)′ = 1
(xk)′ = k · xk-1
(sin x)′ = cos x
(cos x)′ = - sin x
(tg x)′ = 1 ⁄ cos2x
(ctg x)′ = - 1 ⁄ sin2x
(ex)′ = ex
(ax)′ = ax · ln(a)
(logax)′ = 1 ⁄ (x·ln(a))
(ln(x))′ = 1 ⁄ x
Якщо u(x) і v(x) деякі функції, то:
Рівняння дотичної до графіка функції y = ƒ(x) має вигляд
y - y0 = ƒ ′ (x0)(x-x0)
де (x0; y0) — точка дотику.
Для знаходження функції за її похідною застосовують операцію інтегрування, обернену до операції диференціювання.
Якщо для всіх із заданого проміжку , то називається первісною для на цьому проміжку.
Загальний вигляд первісних для функції на проміжку є , де – довільна стала, а – одна з первісних для на проміжку .
Нехай на відрізку осі задано неперервну функцію , яка не змінює на ньому знак. Фігуру, обмежену графіком цієї функції, відрізком , прямими і (рис. 1), називають криволінійною трапецією.
Рис. 1
Площа криволінійної трапеції (рис. 1), обмежена віссю , прямими і та графіком невід’ємної функції на відрізку , визначається за формулою
.
Якщо функція неперервна і невід’ємна на відрізку і – первісна для на відрізку , то площу криволінійної трапеції знаходять за формулою Ньютона-Лейбніца:
.
Коли неперервна функція на , то обчислити площу відповідної криволінійної трапеції можна за формулою:
.
Якщо фігура обмежена графіками двох неперервних функцій та і двома прямими і , де на відрізку , то площу такої фігури шукають за формулою:
.