Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопрос 1. Понятие предела в точки и при «х» стремящемся к бесконечности
Предел в точки: A=lim f(x), A(перевернутая) >0, Eб(E)
Aх(перевернутая) ;0 < |x - a|< б 0< |f(x) – A|<E
Число А является пределом функции f(x) в точке а, если для любого,сколько угодно малого положительного члена E>0 существует такое положительное число ∆>0,что для всех х из числа б окрестности точки а, удовлетворяющих неравенству ;0 < |x - a|< б, будет выполняться условие - 0< |f(x) – A|<E
Предел функции в бесконечности: Число В называется пределом функции у= f(x),при х – стремящемся к бесконечности, если для любого сколь угодно малого E>0найдется такое число N>0,что для любого х, удовлетворяющего неравенству |x|>M выполняется неравенство - |f(x) – B|<E.
Вопрос 2. Определение бесконечно малой и бесконечно большой величин.
Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.
Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.
Вопрос 3. Первый и второй замечательные пределы.
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Вопрос 4. Сравнение бесконечно малых величин
Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины и (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).
Если , то — бесконечно малая высшего порядка малости, чем . Обозначают или β≺α.
Если , то — бесконечно малая низшего порядка малости, чем . Соответственно или α≺β.
Если (предел конечен и не равен 0), то и являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается как α≍β или как одновременное выполнение отношений и . Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения «о большое», что является вольным использованием данного символа.
Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина имеет -й порядок малости относительно бесконечно малой .
Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.
Вопрос 5. Определение производной (геометрический и механический смысл)
Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции
Геометрический смысл производной - производная в т.х0 равна угловому коэф-ту касательной к графику ф-и y=f(x) в этой точке f'(x0)=k.
Аналитический смысл производной - lim ∆y\∆x = lim f(x+∆x)- f(x)\∆x=f’(x)=dy\dx=y’(x)
Вопрос 6: общая схема нахождения производной функции
1.Дадим аргументу х приращение ∆х≠0 и найдем наращенное значение функции у+∆у=f(х+∆х)
2. Находим приращение функции ∆у=f(х+∆х) – f(x)
3.Составляем отношение ∆у\∆х
4.Находим придел этого отношения при ∆х 0, т.е y’=lim ∆у\∆х(если этот предел существует)
Вопрос 7: основные теоремы о производных.
Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой. Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:
Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,
Производная произведения функций. Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и
Производная произведения двух функций не равана произведению производных этих функций.
Производная частного функций..Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле
Вопрос 8. Таблица производных от основных (элементарных) функция. :
|
функция производная функция производная 1. 6. 2 . 7. arccos x 3. 8. 4. 9.
5.
Вопрос 9: Производная от сложной функции. "Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! Вопрос 10: Логарифмическое дифференцирование Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций. Вопрос 11. Производная от неявной функции Неявной функцией y аргумента x называется функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего x, y и не разрешенного относительно y, т.е. . Производная неявной функции находится по следующей формуле: . Неявной функцией z аргументов x и y называется функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего z, x, y и не разрешенного относительно z, т.е. . Производные неявной функции находятся по следующим формулам:
Вопрос 12. Понятие дифференциала Дифференциал - предел бесконечно малой разности между функцией переменного, получившего бесконечно малое приращение, и первоначальной функцией того же переменного |
Вопрос 13: Производные и дифференциалы высшего порядка
Производная высшего порядка: Пусть в интервале (a, b) задана функция f(x) и в каждой точке x (a, b) существует производная f '(x). Таким образом в интервале (a, b) задана функция y = f '(x) .
Если первая производная функция y = f '(x) дифференцируема в интервале (a, b), то ее производная называется второй производной функции f(x).
Вторая производная обозначается символами f ''(x) или
|
d2 f |
|
dx2 |
Вообще, производной n–го порядка функции f(x), называется производная от производной функции f(x) (n − 1)–го порядка. Производная n–го порядка обозначается f(n)(x).
Дифференциал высшего порядка: Дифференциал от первого дифференциала, при условии, что повторное приращение независимой переменной x совпадает с первоначальным, называется вторым дифференциалом функции f(x) в точке x и обозначается d2 f(x). Дифференциалом n–го порядка называется дифференциал от дифференциала (n − 1)–го порядка
Вопрос 14. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема Ферма. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке и в некоторой внутренней точке этого промежутка достигает своего наибольшего или наименьшего значения, если в этой точке существует производная, то она равна нулю: .
Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной)
|
Если вещественная функция, непрерывная на отрезке и дифференцируемая на интервале , принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю. Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с (a, b), что выполняется равенство f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a). Теорема Коши Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на [a, b] и дифференцируемы на (a, b). Пусть, кроме того, во всех точках интервала (a, b) функция g(x) имеет ненулевую производную g ' (x) ≠ 0. Тогда существует точка c (a, b), такая, что справедлива формула Вопрос 15. Правило Лопиталя. Предел отношения 2ух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует в указанном смысле. Итак, если имеется неопределенность вида или ,то
Вопрос 16. Экстремумы функции (необходимые и достаточные условия) Экстремум — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. Необходимые условия существования локальных экстремумов: Из леммы Ферма вытекает следующее: Пусть точка является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки .Тогда либо производная не существует, либоДостаточные условия существования локальных экстремумов
Вопрос 17. Критические точки на экстремумы функции. Кртитическая точка на экстремумы функции – это та точка, в которой производная равна нулю или не существует. Вопрос 18. Вогнутость и выпуклость функции. Критические точки. Свойство графика функции у = f (x) (кривой), заключающееся в том, что каждая дуга кривой лежит не выше (не ниже) своей хорды; график обращён выпуклостью книзу (вогнутостью кверху) функция называется выпуклой. Если график обращён вогнутостью книзу (выпуклостью кверху) и функция называется вогнутой . Если существуют производные f '(x) и f "(х), то первый случай имеет место при условии, что f "(x) ≥ 0, а второй при f "(x) ≤ 0 (во всех точках рассматриваемого промежутка). Выпуклость (книзу) можно охарактеризовать также тем, что дуга кривой лежит не ниже касательной, в окрестности любой своей точки, а вогнутость (книзу) — тем, что дуга кривой лежит не выше касательной. Критическими точками функции - называют внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует. Вопрос 19. Схема исследования построения графиков функции.
Вопрос 20. Понятие неопределенного интеграла, первообразной. Неопределенный интеграл – совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке X Первообразная – функция F(x),для функции f(x) на промежутке X,если в каждой точке X этого промежутка F’(x)=f(x) Вопрос 21. Свойства неопределенного интеграла
5. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, например: [f1(х) + f2(х) – f3(х)]dх = f1(х)dх + f3(х)dх – f3(х)dх (v) Вопрос 22. Понятие интегральной суммы. Интегральная сумма – это сумма, которая в пределе стремится к твоему интегралу Вопрос 23. Геометрический смысл неопределенного интеграла. Пусть задан неопределённый интеграл F(х) + С для функции f(х) в некотором интервале. При фиксированном значении С = С1 получим конкретную функцию у1 = F(х) + С1, для которой можно построить график; его называют интегральной кривой. Изменив значение С и положив С = С2, получим другую первообразную функцию С соответствующей новой интегральной кривой. Вопрос 24. Таблица интегралов. Вопрос 25. Методы интегрирования. Подведение под знак дифференциала.Метод подведения под знак дифференциала основан на приведении подынтегрального выражения к виду . Далее применяется метод подстановки: вводится новая переменная и после нахождения первообразной для новой переменной, возвращаемся к исходной переменной, то есть Метод подстановки Пусть функция x = (t) определена и дифференцируема на некотором множестве T, а X - множество значений этой функции, на котором определена f(x). Тогда, если функция f(x) имеет первообразную на X, то на T справедлива следующая формула f(x)dx = f( (t))' (t)dt. Нет метода суть которого заключается во внесении и вынесении множителя из под знака интеграла. Вопрос 26. Метод интегрирования по частям . Допустим, что u, v – функции переменной х, непрерывные и имеющие производные в интервале (а,в). имеем тогда (uv)’ = uv’ + vu’ так что uv’ = (uv)’ – vu’ Беря неопределённые интегралы от обоих частей и учитывая, что uv’dх = uv - vu’dх(1),. Если оба интеграла существуют. Пользуясь дифференциалами предыдущую формулу можно написать в следующем виде: udv = uv – vdu. (2) Формула (2) даёт возможность вычисления интеграла udv свести к вычислению интеграла vdu , который, быть может, берётся легче. . |