Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
18
18
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
П’ятецька Олена Василівна
УДК 539.3
ДЕМПФІРУВАННЯ ЗГИННИХ КОЛИВАНЬ ТОНКИХ
В’ЯЗКОПРУЖНИХ ПЛАСТИН
ЗА ДОПОМОГОЮ РОЗПОДІЛЕНИХ П’ЄЗОЕЛЕКТРИЧНИХ
СЕНСОРІВ ТА АКТУАТОРІВ
01.02.04 –механіка деформівного твердого тіла
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ –
Дисертацією є рукопис
Робота виконана в Київському національному
університеті імені Тараса Шевченка, Міністерство освіти і науки України
Науковий керівник –доктор фізико-математичних наук, професор
Карнаухов Василь Гаврилович,
Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України,
завідувач відділу термопружності
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
Григоренко Олександр Ярославович,
Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України,
завідувач відділу обчислювальних методів
кандидат фізико-математичних наук,
Олійник Валерій Нікіфорович, с.н.с.,
Інститут гідромеханіки НАН України,
старший науковий співробітник відділу
гідродинамічної акустики
Провідна установа - Інститут прикладних
проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача
НАН України, відділ теорії фізико-механічних полів, м. Львів
Захист відбудеться “ 21 ” лютого 2007 p. о 14 годині
на засіданні спеціалізованої вченої ради К26.001.21 у
Київському національному університеті імені Тараса
Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект Глушкова, 2,
корпус 7, механіко-математичний факультет.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського
національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, вул. Володимирська, 58).
Автореферат розісланий “12 ” січня 2007 р.
Учений секретар спеціалізованої вченої ради
кандидат фізико-математичних наук Ловейкін А.В.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Шаруваті тонкі пластини знаходять широке застосування в багатьох галузях науки й техніки: в космічній техніці, в авіа -, автомобіле-, судно -, машинобудуванні, радіоелектроніці і т. п. Дуже часто на них діють нестаціонарні та гармонічні за часом механічні навантаження. Особливо небезпечними є резонансні коливання, коли частота гармонічної за часом сили співпадає з власною частотою коливань пластини. Не менш небезпечними є й інтенсивні механічні нестаціонарні коливання. В зв’язку з цим виникає задача демпфірування стаціонарних і нестаціонарних коливань тонких пластин. Для цієї мети найчастіше застосовуються пасивні методи демпфірування, коли в структуру пластини включаються компоненти з високими гістерезисними втратами. В останні роки почали застосовувати такі активні методи демпфірування, коли в структуру пасивного (без п’єзоефекту) елемента, виготовленого з металічних, полімерних чи композитних матеріалів, включаються п’єзоелектричні компоненти. Одні з них виконують функції сенсорів, які дають інформацію про механічний стан пластини, а інші –функцію актуатора, до якого підводиться різниця потенціалів для компенсації механічного навантаження. На ефективність активного демпфірування коливань впливає багато факторів: геометричні та електромеханічні характеристики сенсорів та актуаторів, пасивної пластини, механічні й електричні граничні умови, напрям поляризації, температура. При гармонічних, зокрема резонансних коливаннях внаслідок таких специфічних особливостей багатьох активних і пасивних матеріалів, як значні гістерезисні втрати й низька теплопровідність, залежність їх властивостей від температури, механічні й електричні коливання супроводжуються, як правило, значним підвищенням температури дисипативного розігріву. Для аналізу впливу вказаних факторів на ефективність активного демпфірування потрібно мати прості аналітичні розв’язки задач про коливання пластин з розподіленими сенсорами та ак-туаторами. Такі розв’язки в літературі відсутні навіть тоді, коли не враховується дисипативний розігрів. Ці міркування і обумовили вибір теми дисертації.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацію виконано згідно до бюджетної теми “Механіка рухомих деформівних середовищ та експериментальні методи механіки і низькочастотного електромагнітного зв’язку телесистем для похилого і горизонтального буріння нафтогазових свердловин” (№д.р.0101U002484), яка виконувалась в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (2001-2005 р.р.).
Метою дисертації є встановлення закономірностей впливу дисипації в матеріалах і викликаної нею температури дисипативного розігріву на активне демпфірування вимушених згинних стаціонарних і нестаціонарних коливань в’язкопружних шаруватих тонких пластин за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів.
Об’єкт дослідження –вимушені коливання тонкостінних елементів.
Предмет дослідження –активне демпфірування вимушених згинних коливань шаруватих тонких в’язкопружних пластин за допомогою п’єзоелек-тричних сенсорів та актуаторів з врахуванням впливу дисипації і температури дисипативного розігріву.
Методи дослідження. При розробці моделей активного демпфірування вимушених згинних коливань тонкостінних елементів за допомогою сенсорів та актуаторів використовувався метод гіпотез; для розв’язування відповідних крайових задач використовувались варіаційні методи, асимптотичні методи нелінійної механіки в поєднанні з методом Фур’є та чисельний метод скінченних елементів; дослідження впливу різних факторів проводилось шляхом аналізу результатів розв’язування конкретних задач.
Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що 1) вперше розроблено моделі активного демпфірування вимушених згинних коливань шаруватих тонких в’язкопружних пластин за допомогою п’єзоелек-тричних сенсорів та актуаторів з врахуванням впливу дисипації і температури дисипативного розігріву; 2) з використанням варіаційних та асимптотичних методів розроблено ефективні методи розв’язування задач про активне демпфірування вимушених згинних коливань шаруватих тонких пластин з в’язкопружних матеріалів інтегрального типу з врахуванням такого впливу; 3) для випадку шарнірного та жорсткого закріплення торців вперше одержано аналітичні розв’язки задач про активне демпфірування вимушених термо-механічних згинних коливань прямокутних і круглих пластин з врахуванням дисипативного розігріву; 4) вперше систематично досліджено вплив основних факторів (розміщення сенсорів та актуаторів, їх розмірів, дисипативних властивостей матеріалів, механічних, електричних і теплових граничних умов, температури дисипативного розігріву) на ефективність активного демпфірування вимушених згинних коливань шаруватих тонких пластин.
Практичне значення одержаних результатів полягає в розширенні кола питань термоелектромеханіки тонкостінних елементів при їх гармонічному навантаженні, в можливості застосування цих результатів для активного демпфірування згинних термомеханічних коливань тонких пластин при їх проектуванні та експлуатації за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів; частина результатів використана при виконанні робіт за вищезгаданою державною темою, а також у навчальному процесі в Київському Національному університеті імені Тараса Шевченка.
Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень, окремі положення роботи за темою дисертації доповідались на міжнародних конференціях “Dynamical system modelling and stability investigation” (Київ, 2003 р.), “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 2003р.), “Сучасні проблеми механіки” (Київ, 2003р.). Дисертаційна робота в цілому обговорювалась на сумісному науковому семінарі НАН України і Київського національного університету імені Тараса Шевченка “Проблеми механіки” (2006р.), а також на засіданні кафедри теоретичної та прикладної механіки механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2006р.).
Публікації і особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації опубліковано в 11 наукових статтях [1-11], в тому числі 8 - у науковому журналі [1] та збірниках наукових праць [2-4,7,9-11], затверджених ВАК України фаховими виданнями, 3 –в тезах конференцій [5,6,8].
Основні результати були отримані автором самостійно. Науковому ке-рівнику В.Г. Карнаухову, співавтору робіт [1-11], належить загальний задум дослідження, співучасть в постановці задач та аналізі результатів. Співавтор робіт [2-4] д.ф.-м.н. В.І. Козлов розробив чисельний метод скінченних елементів розв’язування спряжених задач термоелектров’язкопружності для тонкостінних елементів, консультував дисертанта при застосуванні цього методу до задач про активне демпфірування пластин, брав участь в аналізі результатів. В роботах [9-11] к.ф.-м.н. Т.В.Карнаухова запропонувала критерій теплового руйнування, пов’язаний з досягненням температурою дисипативного розігріву точки Кюрі. Співавтор робіт [1,7] Козлов О.В. провів розрахунки нестаціонарної поведінки жорстко закріпленої прямокутної пластини з використанням скінченно –елементного методу. Співавтор роботи [11] Нікітенко В.М. провів розрахунки амплітудно-частотних характеристик круглих пластин за рівняннями, одержаними дисертантом. Дисертанту належать такі включені до дисертації та публікацій наукові результати: розробка термомеханічних моделей шаруватих тонких в’язкопружних пластин з розподіленими сенсорами та актуаторами; побудова аналітичних розв’язків задач про коливання таких пластин для різних механічних, електричних та теплових граничних умов; розробка програм для розрахунку характеристик п’єзоелект-ричних сенсорів та актуаторів; проведення чисельних досліджень впливу різних факторів, зокрема температури дисипативного розігріву на ефективність демпфірування згинних коливань тонких пластин.
Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, 5 розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 177 сторінок, в тому числі ілюстрації займають 21 сторінку (55 ілюстрацій), таблиці - 1 сторінку (1 таблиця), бібліографічний список із 93 найменувань на 9 сторінках.
Автор вдячний своєму науковому керівникові доктору фізико-мате-матичних наук, професору В.Г. Карнаухову за постійну увагу до роботи, а також доктору фізико-математичних наук В.І. Козлову за наукові консультації при реалізації чисельно-аналітичних методів.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обгрунтовано вибір та актуальність теми дослідження; відзначається актуальність теми дисертації; охарактеризовано зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами; сформульовано мету роботи та її наукову новизну; обгрунтовано її теоретичне та прикладне значення; вказується на публікації автора за темою дисертації і розкривається особистий внесок автора дисертації в роботах, опублікованих разом із співавторами; приводяться дані про апробацію результатів дисертації.
В першому розділі подано огляд публікацій вітчизняних і зарубіжних вчених, присвячених моделюванню активного демпфірування коливань тонкостінних елементів з врахуванням дисипативного розігріву. Ці питання вперше почали розглядати в роботах зарубіжних вчених, огляд яких можна знай-ти в статтях Bank H.T.; Rao S.S., Sunar H.; Tani J., Takagi T., Qiu J. та ін., в монографіях Gabbert U., Tzou H.S.; Gabbert U., Koppe H., Laugwitz F.; Tzou H.S., Bergman L.A.; Tzou H.S. та в працях багатьох конференцій з цих питань. Аналіз опублікованих на сьогодні робіт, присвячених активному демпфіруванню коливань тонкостінних елементів конструкцій, показує, що в літературі відсутні дослідження впливу температури дисипативного розігріву на ефективність активного демпфірування коливань таких елементів. Тому виникає потреба в розробці моделей активного демпфірування коливань тонкостінних елементів з врахуванням дисипації та викликаної нею температури саморозігріву, розвитку чисельно-аналітичних методів розв’язання відповідних крайових задач та аналізу впливу різних факторів, в тому числі й температури дисипативного розігріву.
В Розділі 2 наведено основні співвідношення термоелектромеханіки шаруватих в’язкопружних тонких п’єзоелектричних пластин з розподіленими актуаторами. Вважається, що пластина складена з декількох пакетів активних і пасивних шарів постійної товщини. Між активними і пасивними пакетами можуть бути розміщені нескінченно тонкі електроди або вони можуть бути відсутні. Розглядаються як моногармонічні, так і нестаціонарні механічні й електричні навантаження. В загальному випадку пасивні та п‘єзоактивні матеріали вважаються ортотропними. П’єзоактивні шари вважаються поляризованими по товщині. При дослідженні гармонічних процесів дисипативні властивості матеріалів враховуються на основі концепції комплексних модулів. На відміну від опублікованих на сьогодні робіт, в яких для моделювання дисипативних властивостей матеріалів використовується, як правило, модель Фойгта, в даній роботі для моделювання демпфірування нестаціонарних процесів використано інтегральні лінійні моделі в’язкопружності, коли всі електромеханічні пружні характеристики заміняються на оператори Вольтера. Моделі шаруватих пластинок будуються на основі механічних гіпотез Кірхгофа - Лява для всього пакету шарів. Ці гіпотези доповнено адекватними їм гіпотезами відносно електричних польових величин.
Рівняння стану для тонких пластин вказаної вище структури одержано шляхом інтегрування по товщині пластини визначальних рівнянь, спрощених відповідно до вказаних гіпотез. В результаті одержано визначальні рівняння для тонких пластин:
(1)
Тут операторні жорсткісні характеристики пластини виражаються через механічні та електромеханічні характеристики пасивних та п’єзоактив-них матеріалів. При гармонічному деформуванні вони є комплексними величинами, які можуть залежати від температури. Слід відмітити, що при активному демпфіруванні пластин п’єзоактивні шари, як правило, набагато тонші від пасивних шарів. Тому вони практично не впливають на жорсткісні характеристики пластини. При цьому жорсткісні характеристики визначаються за класичними формулами теорії пластин, а основну роль при активному демпфіруванні відіграють додаткові зусилля і моменти, які викликаються активними шарами і розраховуються за різними формулами в залежності від структури пластини. Так, наприклад, для тришарової пластини з середнім пасивним шаром товщиною і двома зовнішніми активними шарами товщиною з протилежним напрямком поляризації вони визначаються за формулами
в присутності внутрішніх електродів, до яких підведені різниці потенціалів
при відсутності таких електродів. Тут залежать від електромеханічних характеристик п’єзоматеріалу. При такому припущенні задача зводиться до класичних задач механіки тонких пластин, навантажених механічними зусиллями й моментами та зусиллями й моментами, викликаними електричним навантаженням.
До наведених вище рівнянь потрібно додати класичні рівняння руху та стандартні для теорії пластин граничні й початкові умови. Після підстановки (1)-(3) в ці рівняння в ізотермічному випадку матимемо інтегро-диференціа-льні рівняння в зміщеннях.
Подано постановку задачі про неізотермічні вимушені моногармонічні коливання в’язкопружних пластин з розподіленими актуаторами з врахуванням впливу температури дисипативного розігріву.
При одержанні двовимірних рівнянь енергії для шаруватої пластини, приймаємо, що нормальна складова теплового потоку змінюється по товщині за степеневим законом. Інтегруючи по вираз матимемо розподіл температури по товщині пакету. Двовимірні рівняння енергії одержимо методом Бубнова або варіаційним методом. Вважаючи, що товщина пластини мала в порівнянні з її розмірами в інших напрямках, потрібно покласти: При цьому температура буде постійною по товщині пластини і для стаціонарного випадку визначається з рівняння:
де - коефіцієнти теплообміну на поверхнях із зовнішнім середовищем з температурами - коефіцієнти теплопровідності; - дисипативна функція.
При механічному навантаженні гармонічним тиском з амплітудою та електричному навантаженні гармонічним моментом з амплітудою , які викликають лише згинні коливання, термомеханічна поведінка пластини опи-сується нелінійною системою диференціальних рівнянь відносно прогину та температури, яка складається з рівняння енергії (4) і рівняння руху:
Тут - комплексний нелінійний диференціальний оператор, який маємо після підстановки комплексних рівнянь стану (1) в рівняння руху.
На контурі пластини потрібно поставити класичні механічні й теплові граничні умови.
В Розділі 3 наведено основні співвідношення термоелектромеханіки шаруватих в’язкопружних тонких п’єзоелектричних пластин з розподіленими сенсорами. Приймаються ті ж гіпотези, що і при дослідженні коливань з розподіленими актуаторами. Розглядається та ж структура пластини по товщині, що і для актуаторів. Вважається, що електроди коротко-замкнуті або розімкнуті. Для першого випадку різниця потенціалів на електродах дорівнює нулю, а для другого нулю дорівнює струм. З останньої умови знаходимо невідому різницю потенціалів. Для цих двох випадків одержуємо визначальні рівняння виду (1), в яких слід покласти Для вказаної вище тришарової пластини з внутрішнім пасивним шаром і двома зовнішніми активними шарами-сенсорами для розімкнутих електродів різниця потенціалів, яку показує сенсор при згинних коливаннях, має вигляд:
Тут - площа прямокутного сенсора. Якщо характеристики сенсора не залежать від температури (ізотермічні коливання), то вираз (6) приймає вигляд:
Вираз (7) залишається без зміни і в тому випадку, коли характеристики сенсора залежать від осередненої по його площі температури. При сумісному використанні сенсорів та актуаторів для збільшення демпфірування коливань до актуатора підводиться різниця потенціалів , пов’язана таким співвідношенням (рівнянням оберненого зв’язку) з показником сенсора
де - параметр оберненого зв’язку, - опір підсилювача, а вибирається з умови найбільш швидкого затухання вільних коливань або суттєвого зменшення амплітуди вимушених коливань. Підставимо наведені вище рівняння для показника сенсора (6), (7) в (8), а одержаний результат - в рівняння стану для актуатора. Після підстановки одержаних таким чином рівнянь стану в рівняння руху в ізотермічному випадку матимемо лінійну систему інтегро-диференціальних рівнянь з додатковим затуханням відносно зміщень. Подано постановку задачі про вплив температури дисипативного розігріву на роботу сенсора. Для дослідження такого впливу необхідно спочатку розв’язати нелінійну крайову задачу (4)-(5) з і підставити знайдену температуру і прогин в формулу (6) або (7) для показника сенсора.
В Розділі 4 представлено чисельно-аналітичні розв’язки задач про активне демпфірування згинних коливань в’язкопружних тонких пластин за допомогою розподілених п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів. Ці роз-в’язки одержано за допомогою варіаційних методів. Для вимушених ізотермічних поперечних коливань ортотропних пластин варіаційне формулювання задачі в просторі перетворених по Лапласу величин має вигляд:
Тут рисочка означає перетворену за Лапласом величину і припускається, що на пластину діє лише нормальний до серединної площини тиск. Прогин пред-ставляється у вигляді ряду за деякою повною системою функцій, наприклад, за власними функціями лінійної задачі про власні коливання пружної пластини. З використанням варіаційного методу приходимо до лінійної системи звичайних інтегро-диференціальних рівнянь за часом, для розв’язку якої застосовуємо класичний метод Крилова-Боголюбова-Митропольського (КБМ).
У випадку неізотермічних стаціонарних коливань основна увага зосереджена на демпфіруванні найбільш енергоємної першої моди вимушених резонансних коливань. При цьому прогин і температура апроксимуються деякими функціями, які задовольняють граничним умовам:
Якщо прийняти гіпотезу, що температура постійна по товщині пластини, то для неізотермічних вимушених коливань у функціоналі (9) слід опустити рисочку і всі величини під інтегралом вважати комплексними та залежними від осередненої по товщині температури. При цьому слід замінити на Температура дисипативного розігріву знаходиться з функціоналу:
Використовуючи функціонали (9),(11), варіаційним методом одержимо систему нелінійних алгебраїчних рівнянь відносно. Ця система буде залежати від параметрів. Довільний параметр вибирається з умови компенсації тих чи інших мод коливань. Крім того, для забезпечення достовірності результатів застосовувався метод Бубнова-Гальоркіна. Аналітичні розв’язки, одержані з використанням вказаних двох методів, співпадають.
Для розв’язку задачі використано також метод скінченних елементів (МСЕ). З використанням такого підходу одержано аналітичні розв’язки задач про демпфірування ізотермічних і неізотермічних згинних коливань круглої та прямокутної пластин з жорстким і шарнірним закріпленням торців як за допомогою розподілених актуаторів, так і за допомогою сумісного використання сенсорів та актуаторів.
В ізотермічному випадку для прямокутної пластини з шарнірним закріпленням торців поперечний прогин представляється у вигляді:
Для прямокутного в плані п’єзоелектричного включення, яке має розміри та координати центра, викликаний актуатором момент і нормальний тиск теж представляються у вигляді рядів (12) із заміною відповідно на та. Після використання традиційної варіаційної техніки для одержано інтегро-диференціальне рівняння за часом. Для моделі інтегрального типу його наближений розв’язок знаходимо за допомогою методу КБМ. Для моделі Фойгта, коли цей розв’язок є точним. Як частковий випадок, представлено розв’язок для ізотропного матеріалу. Вказані розв’язки одержано при , , де - функція Хевісайда. Для аналізу впливу розміщення координат центра актуатора та його розмірів з метою компенсації відповідної моди розглянуто задачу про вимушені коливання пластини, коли .З наведених розв’язків видно, що для компенсації будь-якої з мод необхідно різницю потенціалів вибирати з умови. Звідси маємо різницю потенціалів, яку необхідно прикласти до актуатора для компенсації механічного навантаження:
Компенсуючи основну гармоніку, ми суттєво зменшимо нестаціонарний прогин пластини.
Для жорсткого закріплення торців прямокутної пластини для компенсації першої моди прогин вибирався у вигляді, а для суцільної круглої пластини радіуса з жорстким закріпленням торця. При дослідженні демпфірування неізотермічних коливань розглянуто два випадки теплових граничних умов, коли торці теплоізольовані або на них задана постійна температура. Вибирались різні апроксимації для температури, які автоматично задовольняють цим граничним умовам. Так, наприклад, при нульовій температурі на торцях прямокутної пластини з шарнірним закріпленням торців, а для жорсткого закріплення. Всі дослідження проведено для неізотермічних коливань пластин в околі першої резонансної частоти лінійної пружної задачі. Крім вказаних апроксимацій, для прямокутної пластини вибирались апроксимації у вигляді добутку балочних функцій. Для перевірки точності результатів, використовувався також метод скінченних елементів. При врахуванні залежності властивостей від температури вважається, що для ізотропного матеріалу дійсна та уявна частини модуля зсуву пасивного матеріалу змінюються з температурою по лінійному закону:
Тут визначаються експериментально. При розрахунках використовувались експериментальні дані для поліетилену в діапазоні температур. В цьому діапазоні вони з високою точністю апроксимуються виразом (14), де В результаті після дуже громіздких обчислень при заданій на торцях температурі одержимо такий вираз для комплексної амплітуди коливань і температури для прямокутної пластини з жорстким і шарнірним закріпленням торців:
З (15) знайдемо вираз для квадрату амплітуди коливань:
Виключаючи з (15), (16), матимемо кубічне рівняння для визначення безрозмірної температури
Коефіцієнти цих рівнянь не наводяться із-за їх громіздкості.
Після визначення температури дисипативного розігріву амплітуда коливань визначається за формулою (16). Аналогічний розв’язок одержано і для суцільної круглої пластини з жорстким закріпленням торця.
Як бачимо, використання варіаційних методів дозволяє уникнути роз-в’язку складних нелінійних крайових задач за допомогою ітераційних процедур. Прирівнявши максимальну температуру дисипативного розігріву температурі Кюрі, знайдемо максимально допустиме значення амплітуди тиску, яке може бути заміряне сенсором.
З варіаційного принципу (9) видно, що для компенсації механічного навантаження, до розміщеного в центрі пластини актуатора площею по-трібно підвести таку різницю потенціалів:
З (18) видно, що у випадку незалежних від температури властивостей п’єзоматеріалу необхідна для компенсації механічного навантаження різниця потенціалів не залежить від температури. Якщо ж електромеханічні властивості активного матеріалу чутливі до зміни температури, то температура може суттєво вплинути на .
Для введення додаткового демпфірування використовується описана вище технологія, коли прикладена до актуатора різниця потенціалів При цьому з використанням представленого в Розділі 3 виразу для заряду, матимемо:
З (2), (3), (19) одержимо такі формули для нестаціонарних і стаціонарних коливань відповідно: де. Величина фігурує у варіаційному принципі (9).
Для дослідження впливу додаткового затухання на демпфірування вимушених коливань пластин в (16) потрібно замінити на . Додаткове затухання характеризується величиною , яка розраховується з варіаційного принципу (9) або методом Бубнова-Гальоркіна з використанням наведених вище виразів для . Застосовуючи ці методи, для круглої пластини з жорстким закріпленням торця знаходимо: . Аналогічні вирази для знайдено для прямокутної пластини з жорстким і шарнірним закріпленням торців.
В Розділі 5 шляхом аналізу числових результатів досліджено вплив основних факторів, зокрема температури дисипативного розігріву на ефективність активного демпфірування стаціонарних і нестаціонарних згинних коливань пластин.
Так, наприклад, для прямокутної пасивної пластини з нанесеними на її поверхнях прямокутними актуаторами і шарнірним закріпленням торців різниця потенціалів, яку необхідно подати на актуатор для компенсації моди, розраховується за формулою:
Центр актуатора та його розміри вибираються з умови мінімальності , тобто з умови мінімальності З (20) видно, що це буде мати місце, якщо виконуються рівності:
Для моди маємо так що тобто центр актуатора співпадає з центром пластини. При другому виборі центра актуатора маємо поверхню, де - константа при фіксованих розмірах актуатора. Ця поверхня зображена на Рис.1. Вона дає залежність величини, пропорційної різниці потенціалів, від координат центра актуатора. При наближенні центра актуатора до торців пластини, підведена до нього різниця потенціалів прямує до нескінченності. Аналогічні міркування мають місце і для інших мод коливань.
Досліджена зміна різниці потенціалів в залежності від розмірів актуатора для різних мод коливань. Так, наприклад, для моди маємо: де - довжини діагоналей актуатора й пластини відповідно. Характер зміни величини потенціалу в залежності від довжини діагоналі актуатора показано на Рис.2, так що спочатку при зміні довжини діагоналі актуатора спостерігається різке зменшення потенціалу, а потім - незначна його зміна.
Аналогічні міркування мають місце і при розрахунку сенсорів, розміщених на прямокутній пластині з шарнірним закріпленням торців.
Для оцінки впливу частоти навантаження на ефективність активного демпфірування коливань на Рис.3 наведено результати розрахунку амплітудно-частотної характеристики шарнірно закріпленої пластини в околі першої резонансної частоти. Розрахунки проведено для пластини, яка складена з протилежно поляризованих зовнішніх шарів з п’єзокераміки типу та внутрішнього дюралюмінієвого шару з такими характеристиками матеріалів, геометричними розмірами і параметрами навантаження:
На цьому рисунку показана крива залежності амплітуди від частоти в’язкопружної пластини при дії на неї поверхневого рівномірного тиску, що змінюється за гармонічним законом без використання активного демпфірування. За наведеними вище формулами розраховувалась необхідна для компенсації першої моди різниця потенціалів. Потім з використанням аналітичного й скінченно-елементного методів знаходився прогин пластини з використанням активного демпфірування. Він зменшувався на чотири порядки. Тому на рисунку він не показаний, бо практично дорівнює нулеві. Таким чином, в околі резонансної частоти активне демпфірування більш ефективне, ніж пасивне демпфірування з використанням в’язкості пасивного матеріалу. Розглянута також задача про демпфірування нестаціонарних коливань пластини з шарнірним закріпленням торців при використанні лише одного актуатора. Пластина навантажена рівномірним поверхневим тиском, який змінюється з часом за гармонічним законом:, - функція Хевісайда. Електромеханічні властивості матеріалів пасивного та п’єзоактивного шарів вибирались такими ж, як вказано вище, а геометричні розміри пластин рівні: довжина сторони , товщина пасивного шару , товщини п’єзоактивних шарів вважались однаковими й рівними .
На рис.4 показано зміну прогину в центрі шарнірно закріпленої пластини в залежності від часу. Криві 1,2 відповідають розв’язку пружної та в’язкопружної задач при дії тільки механічного навантаження, а крива 3 –розв’язку в’язкопружної задачі при сумісному електричному та механічному навантаженнях. Як видно з цього рисунку, використання тільки одного актуатора для компенсації першої найбільш енергоємної моди приводить до різкого зменшення амплітуди коливань пластини.
Для дослідження впливу механічних граничних умов на активне демпфірування стаціонарних коливань розглянута також задача для прямокутної і круглої пластин з жорстким закріпленням торців. Принциповою різницею між цими двома випадками є те, що для демпфірування коливань пластини при жорсткому закріпленні торців не можна використовувати повне покриття їх зовнішніх поверхонь п’єзоелектричними шарами, а потрібно використовувати покриття у вигляді прямокутних плям. Цей факт значно ускладнює побудову аналітичних розв’язків у зв’язку з ускладненням електричних граничних умов, коли на п’єзоелектричній плямі задана різниця потенціалів, а поза її межами –нульова індукція. Для того щоб обійти ці ускладнення, можна покрити всю поверхню пластини п’єзоелектричним шаром, а потрібні для компенсації механічного навантаження плями формувати за допомогою розрізних електродів. При цьому на частині електродів буде задана нульова різниця потенціалів, а на частині –різниця потенціалів, необхідна для компенсації механічного навантаження. У зв’язку з тим, що товщина п’єзоелект-ричних шарів значно менша товщини пасивної пластини, можна взагалі знехтувати впливом п’єзоелектричних шарів на жорсткісні характеристики пасивної пластини. Для обгрунтування такої спрощеної постановки задачі було проведено порівняння одержаних в її рамках з використанням варіаційних методів аналітичних розв’язків з розв’язком неспрощеної задачі, одержаної методом скінченних елементів. Таке порівняння показало, що якщо товщина активного шару значно менша від товщини пасивного шару, результати розрахунку такої інтегральної характеристики, як необхідна для компенсації механічного навантаження різниця потенціалів, співпадають з точністю до трьох знаків. Результати розрахунків представлено у вигляді графіків.
Для оцінки впливу частоти навантаження на ефективність демпфірування коливань жорстко закріпленої прямокутної пластини розрахована амплітудно-частотна характеристика в околі першої резонансної частоти. З використанням аналітичного і скінченно-елементного методів знаходився прогин пластини з використанням активного демпфірування. Як і у випадку шарнірного закріплення, він зменшувався на чотири порядки.
Розглянута також задача про демпфірування нестаціонарних коливань пластини з жорстким закріпленням торців при використанні лише одного актуатора. Представлено криві зміни прогину в центрі жорстко закріпленої пластин в залежності від часу. Показано, що при компенсації навіть однієї першої моди має місце різке зменшення амплітуди коливань.
При коротко-замкнутих електродах сенсор фіксує заряд або струм, який є похідною від заряду. Для розімкнутих електродів сенсор фіксує різницю потенціалів, яка знаходиться за формулами (6) або (7). Нехай пластина коливається на частоті лінійного резонансу. Якщо враховується лише залежність від температури властивостей пасивного матеріалу, а властивості п’єзоматеріалу залежать від осередненої по площі температури, то для коротко-замкнутих електродів
а для розімкнутих електродів
Якщо ж від температури залежать лише властивості пасивного матеріалу, то Для розрахунку цих коефіцієнтів, які характеризують вплив дисипативного розігріву на показники сенсора, потрібно при заданому навантаженні розрахувати температуру дисипативного розігріву шляхом розв’язку наведених вище кубічних рівнянь, знайти осереднену по площі температуру, розрахувати величини і побудувати графіки залежності цих коефіцієнтів від амплітуди механічного навантаження. Розрахунки проведено для поліетиленової пластини, механічні та теплофізичні властивості якої відомі в літературі. На Рис. 5 показано залежність від параметра навантаження для прямокутної пластини з шарнірним закріпленням торців. Тут штрихова лінія відповідають випадку, коли властивості п’єзоматеріалу не залежать від температури, а суцільна –випадку, коли вони залежать від температури. Як видно з цього графіка, при врахуванні залежності властивостей пасивного матеріалу від температури показники сенсора погіршуються. Аналогічні графіки побудовано і для круглої та прямокутної пластин з жорстким закріпленням торців.
Різниця потенціалів, яку необхідно підвести до актуатора для компенсації механічного навантаження на пластину при її коливаннях на першій резонансній частоті розраховується по формулах (18). Вплив температури на різницю потенціалів актуатора розраховується за такою простою формулою: На Рис.6 показано залежність від параметра навантаження для прямокутної пластини з шарнірним закріпленням торця. Тут штрихова лінія відповідає випадку, коли властивості п’єзоматеріалу не залежать від температури, а суцільна –випадку, коли вони залежать від температури. Як видно з цього рисунка, якість роботи актуатора на резонасній частоті погіршується. Аналогічні графіки побудовано і для круглої та прямокутної пластин з жорстким закріпленням торців. При одночасному використанні сенсорів та актуаторів для дослідження впливу параметра потрібно спочатку розв’язати кубічне рівняння для температури, а потім знайти амплітуду вимушених коливань для різних значень параметра На Рис.7 представлено амплітуди коливань на частоті лінійного резонансу для різних значень параметра (крива 1 -, крива 2 -, крива 3 -) для прямокутної пластини з шарнірним закріпленням торців для випадку врахування впливу температури дисипативного розігріву й залежності властивостей від температури, а на Рис.8 - без такого врахування. Як видно, введення додаткового затухання суттєво зменшує амплітуду коливань пластини. В результаті цього суттєво зменшується і температура дисипативного розігріву. Аналогічні графіки побудовано і для круглої та прямокутної пластин з жорстким закріпленням торців.
ВИСНОВКИ
У дисертації розроблено моделі та методи дослідження активного демпфірування згинних коливань тонких пластин з пасивних металічних, композитних та полімерних матеріалів за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів. Основні результати роботи полягають в наступному:
. На основі моделей лінійної в’язкопружності, гіпотез Кірхгофа-Лява та адекватних їм гіпотез відносно електричних польових величин і температури, розроблено моделі стаціонарних і нестаціонарних згинних коливань тонких в’язкопружних пасивних пластин з п’єзоелектричними включеннями, які виконують функції актуаторів. Подано постановку задачі про активне демпфірування вимушених термомеханічних згинних коливань тонких пластин за допомогою актуаторів, коли до них підводиться різниця потенціалів необхідної амплітуди й фази для компенсації зовнішнього механічного навантаження з врахуванням впливу дисипації та обумовленої нею температури дисипативного розігріву.
. На основі тих же положень розроблено моделі вимушених термомеханічних згинних коливань в’язкопружних тонких пластин з пасивних мате-ріалів з розподіленими п’єзоелектричними сенсорами. Подано постановку задач про активне демпфірування вимушених термомеханічних згинних коливань тонких пластин за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів.
. Представлено варіаційні методи розв’язування задач про активне демпфірування згинних коливань тонких пасивних пластин за допомогою актуаторів та сумісного використання сенсорів та актуаторів з врахуванням впливу температури дисипативного розігріву, при цьому основна увага зосереджена на активному демпфіруванні резонансних коливань на першій моді.
. На основі цих методів розв’язано конкретні задачі про демпфірування ізотермічних та неізотермічних згинних коливань суцільної круглої пластини з жорстким закріпленням торця, прямокутних пластин з жорстким та шарнірним закріпленням торців. Детально розглянуто випадок навантаження пластини поверхневим тиском, який змінюється за гармонічним законом. Для випадку шарнірного закріплення торців пластини одержано аналітичний розв’язок задачі про демпфірування згинних коливань прямокутної пластини.
Одержано прості формули, які дають можливість розрахувати координати центра прямокутного п’єзовключення і його розміри з умови мінімальності підведеної до п’єзоактуатора різниці потенціалів. З використанням варіаційних методів аналогічні формули одержано і для круглої та прямокутної пластин з жорстким закріпленням торців. Одержані результати розрахунку амплітудно-частотних характеристик для різних типів граничних умов свідчать про ефективність розглянутого варіанту активного демпфірування коливань. Як приклад використання лише одного актуатора розв’язана задача про активне демпфірування нестаціонарних згинних коливань ізотропної пластини з в’язкопружного матеріалу Фойгта. Розглянуто два типи граничних умов –шарнірного та жорсткого закріплення торців пластини. Для першого типу граничних умов одержано точний аналітичний розв’язок задачі про демпфірування коливань, який є еталоном при оцінці точності наближеного розв’язку аналогічної задачі методом скінченних елементів. Проведено порівняння результатів розрахунків з використанням аналітичного й скінченно-елементного розв’язків, яке свідчить про високу точність розробленого чисельного методу.
. Шляхом аналізу числових результатів досліджено вплив температури дисипативного розігріву на роботу сенсора, розміщеного на круглій пластині з жорстким закріпленням торців та прямокутної пластини з жорстким та шарнірним закріпленням торців. Проведено аналогічне дослідження впливу температури дисипативного розігріву на ефективність роботи актуатора.
. Проведено аналіз впливу температури дисипативного розігріву на демпфірування коливань круглих та прямокутних пластин за допомогою сумісного використання сенсорів та актуаторів.
. Одержані в роботі прості формули для температури дисипативного розігріву круглих та прямокутних пластин при їх вимушених згинних коливаннях дозволяють знайти критичне значення параметра механічного навантаження, після досягнення якого сенсор та актуатор втрачають своє функціональне призначення із-за досягнення температурою дисипативного розігріву точки Кюрі.
Основний зміст дисертаційної роботи відображено в публікаціях:
1. Карнаухов В.Г., Козлов А.В., Пятецкая Е.В. Демпфирование колебаний вязкоупругих пластин при помощи распределенных пьезоэлектрических включений // Акустический вестник. –. - 5, №4 .- С.15-32.
. Карнаухов В.Г., Козлов В.І., П’ятецька О.В. Вплив граничних умов на активне демпфірування коливань в’язкопружної прямокутної пластини за допомогою розподілених п’єзоелектричних включень // Вісник Київського університету. Секція фізико-математичні науки. –. - №1. –С.75-85.
. Карнаухов В.Г., Козлов В.І., П’ятецька О.В. Активне демпфірування осесиметричних резонансних коливань круглої пластини за допомогою п’єзо-електричних включень // Вісник Київського університету. Серія фізико-мате-матичні науки. –. - №2. –С.81-85.
. Карнаухов В.Г., Козлов В.И., Пятецкая Е.В. Активное демпфирование колебаний прямоугольной пластины при помощи распределенных сенсоров и актуаторов // Теоретическая и прикладная механика . –. - 37. –С.136-140.
. Карнаухов Василь, Козлов Олександр, П’ятецька Олена. Активне демпфірування згинних коливань тонких пластин за допомогою п’єзоелектричних включень // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. –Львів. –. –С. 351-352.
. Карнаухов В.Г., Козлов А.В., Пятецкая Е.В. Активно-пассивное демпфирование изгибных колебаний пластин при помощи пьезоэлектрических включений // International conference “Dynamical system modelling and stability investigation”. Thesis of conference reports. May 27-30, 2003. Kyiv. –. –P.314.
. Карнаухов В.Г., Козлов А.В., Пятецкая Е.В. Активное демпфирование осесимметричных колебаний круглой пластины при помощи распределенных сенсоров и актуаторов // З6.”Системні технології ”. Випуск: ”Математичні проблеми технічної механіки”. Дніпропетровськ. –. - С. 145- 151.
. Карнаухов В.Г., Карнаухова Т.В., П’ятецька О.В. Вплив температури дисипативного розігріву на ефективність активного демпфірування коливань круглої пластини за допомогою п’єзоактивних включень // Тези доповідей міжнародної наукової конференції “Сучасні проблеми механіки“, 26-28 вересня 2003 р. - Київ. - 2003. –С.36.
. Карнаухов В.Г., Карнаухова Т.В., П’ятецька О.В. Вплив температури дисипативного розігріву на показники п’єзоелектичного сенсора при вимушених осесиметричних коливаннях круглої пластини // Вісник Київського університету. Серія фізико-математичні науки. –. -№1. –С.107-113.
. Карнаухов В.Г., Карнаухова Т.В., П’ятецька О.В. Вплив температури дисипативного розігріву на активне демпфірування вимушених осесиметричних коливань круглої пластини за допомогою п’єзоелектричного актуатора // Вісник Київського університету. Серія фізико-математичні науки. –. -№3. –С.107-114.
. Карнаухов В.Г., Карнаухова Т. В., П’ятецька О.В., Нікітенко В.М. Вплив температури дисипативного розігріву на демпфірування вимушених резонансних коливань круглої пластини з використанням п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів // Вісник Київського університету. Серія фізико-математичні науки. –. -№4. –С.84-91.
АНОТАЦІЯ.
П’ятецька О.В. Демпфірування згинних коливань тонких в’язкопруж-них пластин за допомогою розподілених п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів. –Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 –механіка деформівного твердого тіла. –Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.
Дисертація присвячена розробці моделей та методів дослідження активного демпфірування згинних коливань тонких пластин з пасивних металічних, композитних та полімерних матеріалів за допомогою розподілених п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів.
На основі лінійної теорії в’язкопружності, гіпотез Кірхгофа-Лява та адекватних їм гіпотез відносно електричних польових величин і температури розроблено моделі ізотермічних і неізотермічних згинних коливань тонких в’язкопружних пасивних (без п’єзоефекту) пластин з розподіленими п’єзо-електричними сенсорами та актуаторами. Подано постановку задачі про активне демпфірування вимушених згинних коливань тонких пластин за допомогою цих включень з врахуванням дисипації та температури дисипативного розігріву.
Розроблено чисельно-аналітичні методи розв’язування відповідних лінійних та нелінійних крайових задач. На основі вказаних моделей та методів розв’язано задачі про активне демпфірування ізотермічних і неізотермічних згинних коливань прямокутних пластин з жорстким і шарнірним закріпленням торців та суцільної круглої пластини з жорстким закріпленням торця за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів.
Досліджено вплив дисипації і обумовленої нею температури дисипативного розігріву на демпфірування стаціонарних коливань круглих та прямокутних пластин за допомогою розподілених сенсорів та актуаторів.
Ключові слова: активне демпфірування, актуатор, сенсор, дисипативний розігрів.
АННОТАЦИЯ.
Пятецкая Е.В. Демпфирование изгибных колебаний тонких вязкоупругих пластин при помощи распределенных сенсоров и актуаторов. –Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 –механика деформируемого твердого тела. –Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2006.
Диссертация посвящена разработке моделей и методов исследования активного демпфирования изгибных колебаний тонких пластин из пассивных металлических, композитных и полимерных материалов при помощи пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов.
На основе линейной теории вязкоупругости, гипотез Кирхгоффа-Лява и адекватных им гипотез относительно электрических полевых величин и температуры разработаны модели стационарных и нестационарных изгибных колебаний тонких вязкоупругих пассивных (без пьезоэффекта) пластин с пьезоэлектрическими включениями, которые выполняют функции актуаторов. Дана постановка задачи об активном демпфировании вынужденных термомеханических изгибных колебаний тонких пластин при помощи актуаторов, когда к ним подводится разность потенциалов необходимой амплитуды и фазы для компенсации внешнего механического нагружения с учетом влияния диссипативного разогрева. Рассмотрены случаи изотермических и неизотермических колебаний.
На основе тех же положений разработаны изотермические и неизотермические (с учетом температуры диссипативного разогрева) модели вынужденных изгибных колебаний вязкоупругих тонких пластин из пассивных материалов с распределенными пьезоэлектрическими сенсорами. Представлены формулы для разности потенциалов, которая измеряется сенсором при изгибных колебаниях пластины при учете зависимости свойств пассивных и пьезоактивных материалов от температуры. Дана постановка изотермических и неизотермических задач об активном демпфировании вынужденных термомеханических изгибных колебаний тонких пластин при помощи пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов. Такое демпфирование достигается путем подвода к актуатору разности потенциалов, пропорциональной скорости изменения разности потенциалов сенсора либо току. В результате в уравнениях движения появляются члены, пропорциональные скорости изменения поперечного перемещения, что свидетельствует о появлении дополнительного затухания в колеблющейся пластине. В неизотермическом случае исследование влияния температуры диссипативного разогрева на эффективность активного демпфирования при помощи такого подхода сводится к решению сложных нелинейных краевых задач относительно прогиба и температуры.
Представлены вариационные методы решения изотермических и неизотермических задач об активном демпфировании вынужденных изгибных колебаний тонких пассивных пластин при помощи использования только актуаторов, а также при помощи совместного использования пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов. В неизотермическом случае учитывается влияние температуры диссипативного разогрева. При этом основное внимание уделяется активному демпфированию резонансных колебаний на наиболее энергоёмкой первой моде. На основании такого подхода решены конкретные задачи о демпфировании изотермических и неизотермических изгибных колебаний прямоугольных пластин с жёстким и шарнирным закреплением торцов и сплошной круглой пластины с жёстким защемлением торца. Детально рассмотрен случай нагружения пластины поверхностным давлением, которое изменяется по гармоническому закону. Для случая шарнирного закрепления торцов прямоугольной пластины получено аналитическое решение задачи о демпфировании её изгибных колебаний. Получены простые формулы, которые дают возможность рассчитать координаты центра прямоугольного пьезовключения и его размеры из условия минимальности подведенной к пьезоактутору разности потенциалов. С использованием указанного подхода аналогичные формулы получены для круглой и прямоугольной пластин с жёстким защемлением торцов. Проведено сопоставление результатов расчетов с использованием аналитического и конечно-элементного методов, свидетельствующее о высокой точности результатов, полученных с использованием приближенных аналитических решений. Представленные результаты расчета амплитудно-частотных характеристик для разных типов граничных условий свидетельствуют об эффективности рассмотренного варианта активного демпфирования колебаний при помощи актуаторов. Как пример использования только одного актуатора, решена задача об активном демпфировании нестационарных изгибных колебаниях изотропной пластины из вязкоупругого материала Фойгта. Рассмотрено два типа граничных условий –шарнирного и жесткого закрепления торцов пластины. Представленная таблица сравнения результатов расчетов с использованием аналитического и конечно-эле-ментного решений и результаты расчетов изменения прогиба со временем для пассивного и активного методов демпфирования свидетельствуют о большей эффективности использования активных методов демпфирования нестационарных изгибных колебаний.
Исследовано влияние температуры диссипативного разогрева на эффективность демпфирования вынужденных стационарных изгибных колебаний сплошной круглой пластины с жестким закреплением торца и прямоугольных пластин с жестким и шарнирным закреплением торцов при помощи пьезоэлектрических актуаторов, а также при помощи совместного использования сенсоров и актуаторов. Полученные в работе простые формулы для температуры диссипативного разогрева круглых и прямоугольных пластин при их вынужденных изгибных колебаниях позволяют найти критическое значение параметра механического нагружения, после достижения которого сенсор и актуатор теряют свое функциональное назначение из-за достижения температурой диссипативного разогрева точки Кюри.
Ключевые слова: активное демпфирование, актуатор, сенсор, диссипативный разогрев.
SUMMARY
Pyatetska O.V. Damping transverse vibrations of thin viscoelastic plates by distributed piezoelectric sensors and actuators. - Manuscript.
Dissertation for obtaining Candidate Degree of Science in Physics and Mathematics on speciality 01.02.04 –mechanics of deformable solids. Taras Shevchenko Universiry, Kyiv, 2006.
The work is devoted to the development of models and methods for investigating the active damping transverse vibrations of metal, composite and polymeric thinwalled viscoelastic plates by distributed piezoelectric sensors and actuators.
On the base of linear theory of viscoelasticity, Kirhoff-Love hypothesis and adequate hypothesis on electrical and thermal field’ values the models of isothermal and nonisothermal transverse vibrations of thinwalled passive (without piezoeffect) viscoelastic plates with distributed piezoelectrical sensors and actuators are developed. Statement of the problem on the active damping forced transverse vibrations of thinwalled plates are given taking into account of dissipative heating.
Analytical and numerical techniques of the solving linear and nonlinear boundary problems are worked out. On the base of models and methods the solutions of the problems of active damping isothermal and nonisothermal transverse vibrations of rectangular and circular plates with simply-supported and built-in edges by the sensors and actuators have been obtained. The influence of dissipation and dissipative heating on active damping stationary vibrations of these plates has been investigated.
Key words: the active damping, actuators, sensors, dissipative heating.