Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 7. Закон больших чисел
1. Неравенство Чебышева.
Неравенство Чебышева (первая форма). Какова бы ни была случайная величина ξ, которая может принимать только неотрицательные значения и имеет конечное математическое ожидание, всегда имеет место неравенство
Доказательство. Докажем неравенство Чебышева для непрерывной случайной величины ξ с плотностью распределения . По определению
Поскольку подынтегральное выражение неотрицательно, то при уменьшении области интегрирования интеграл может только уменьшиться. Поэтому
Так как , то
что и требовалось доказать.
Аналогично неравенство Чебышева доказывается и для дискретного случая, при этом нужно только заменить интегралы на суммы.
От доказанного неравенства Чебышева можно перейти к более общему неравенству.
Следствие 1. Пусть случайная величина ξ принимает только неотрицательные значения и имеет конечное математическое ожидание. Тогда для любого числа α > 0 имеет место неравенство
Доказательство. Применяя неравенство Чебышева, получим
Следствие доказано.
Замечание 1. Неравенство Чебышева имеет смысл применять α > Mξ ; в противном случае оно дает тривиальную оценку.
Рассмотрим случайную величину ξ, имеющую дисперсию . Дисперсия характеризует разброс случайной величины ξ относительно ее математического ожидания Mξ. Однако разброс естественнее характеризовать вероятностью . Следующее неравенство позволяет оценить эту вероятность через дисперсию.
Неравенство Чебышева (вторая форма). Для каждой случайной величины ξ, имеющей дисперсию при любом ε > 0 справедливо неравенство
Доказательство. Докажем неравенство Чебышева для непрерывной случайной величины ξ с плотностью распределения . По определению
Поскольку подынтегральное выражение неотрицательно, то при уменьшении области интегрирования интеграл может только уменьшиться. Поэтому
Так как , то
откуда и следует неравенство Чебышева
или, для противоположного события, другой его вид
.
Аналогично неравенство Чебышева доказывается и для дискретного случая, при этом нужно только заменить интегралы на суммы.
Замечание2. Неравенство Чебышева имеет смысл применять при ε < σ; в противном случае оно дает тривиальную оценку.
Пример 2. Автомобильный парк насчитывает 120 автобусов. Вероятность поломки отдельно взятого автобуса, т.е. вероятность невыхода автобуса на линию, за время Т равна 0,2. Пользуясь неравенством Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших автобусов и его средним числом (математическим ожиданием отказов) за время Т окажется меньше 5.
Решение. Пусть дискретная случайная величина ξ - число отказавших автобусов за время Т. Величина ξ является биномиальной случайной величиной. Вычислим Mξ и Dξ. Имеем:
для вычисления воспользуемся второй формой неравенства Чебышева. Имеем
В нашем случае . Тогда
.
2. Теорема Чебышева
Рассмотрим весьма важный для практики результат.
Теорема Чебышева (закон больших чисел). Пусть - попарно независимые случайные величины с конечными дисперсиями, не превышающими некоторую константу С. Тогда
,
то есть вероятность того, что абсолютное отклонение среднего арифметического попарно независимых случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превысит сколь угодно малого положительного числа ε, будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.
Доказательство. Так как среднее арифметическое случайных величин тоже является случайной величиной с математическим ожиданием и дисперсией , то применимо неравенство Чебышева:
Перейдя к пределу при в левой и правой части неравенства, получим
Наконец, учитывая, что вероятность не может превышать единицу, имеем
Теорема доказана.
В формулировке теоремы Чебышева предполагалось, что случайные величины имеют различные математические ожидания. На практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. Из теоремы Чебышева в этой ситуации имеем
Следствие. Пусть - попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание a , и их дисперсии не превышают некоторую константу нС. Тогда
Сущность теоремы Чебышева выражается в следующем: среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных ве личин, дисперсии которых не превышают константу С, утрачивает характер случайной величины. Это связано с тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем они взаимно погашаются.
На теореме Чебышева основан применяемый в статистике выборочный метод. Его суть состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят обо всей совокупности исследуемых объектов. Например, о качестве всего зерна судят по небольшой его пробе. Число наудачу отобранных зерен, мало сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно велико.
Пример 1. Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения (табл 1):
Табл. 1. Закон распределения ξn
|
ξn |
-nα |
0 |
nα |
|
p |
Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?
Решение. Для того, чтобы к последовательности ,... случайных величин применима теорема Чебышева достаточно: 1) чтобы все эти величины были попарно независимы; 2) чтобы математические ожидания были конечны; З) чтобы дисперсии были ограничены одним числом.
Требование 1) вытекает из того, что ξn независимы по условию. Проверим выполнение требования 2). Имеем:
Таким образом, каждая случайная величина имеет конечное математическое ожидание.
Проверим, выполняется ли требование З). Так как , имеем
Табл. 2. Закон распределения
|
n2α2 |
0 |
n2α2 |
|
|
P |
Тогда
,
то есть дисперсии Dξn = α2 и, таким образом, ограничены одним и тем же числом.
Все требования теоремы Чебышева выполняются. Применительно к рассматриваемой последовательности имеем
3 Теорема Бернулли.
Рассмотрим частный случай теоремы Чебышева. Его получил Я. Бернулли в 1713 г. Результат был назван законом больших чисел и положи начало теории вероятностей как науки.
Проводится серия независимых испытаний (схема Бернулли), в каждом из которых может быть успех с вероятностью р или неудача с вероятностью q = 1 - р. Определим последовательность случайных величин следующим образом: пусть ξi = 1, если в i-м испытании наступает успех, ξi =0, если в i-м испытании наступает неудача. Каждая из таких случайных величин имеет закон распределения (табл. 1):
Табл. 1. Закон распределения ξi
|
0 |
1 |
|
|
q |
p |
Тогда - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с Случайная величина
представляет собой относительную частоту (или частость) наступления успеха в n испытаниях. Все условия следствия 1 из теоремы Чебышева выполнены, поэтому справедливо следующее утверждение.
Теорема Бернулли. Для любого ε > 0
.
Смысл этого утверждения состоит в том, что введенное нами определение вероятности соответствует интуитивному пониманию вероятности как предела относительной частоты.
При изложении закона больших чисел говорится о достаточно большом числе независимых случайных величин или достаточно большом числе наблюдений. Возникает вопрос: «достаточно большое» это сколько? Для схемы Бернулли на этот вопрос можно ответить с помощью неравенства Чебышева. Рассмотрим следующее неравенство
Положительное число δ называют точностью, а положительное число γ - надежностью. Можно приближенно определить необходимый объем наблюдений n, гарантирующий заданные точность δ (например, δ = 0,1) и надежность γ (например, γ = 0,99). Надежность часто измеряют в процентах и, например, при γ = 0,99, говорят, что надежность составляет 99%.
Испытания в схеме Бернулли независимы, поэтому для дисперсии относительной частоты будет верным равенство
.
Используя вторую форму неравенства Чебышева и предыдущие рассуждения, получим
.
Следовательно, . Известно, что всегда , поэтому .
Утверждение. Пусть проводится серия независимых испытаний, соответствующая схеме Бернулли. Для того, чтобы гарантировать заданные, точность δ и надежность γ, необходимый объем наблюдений n должен быть не меньше числа .
Например, если заданы точность δ = 0,1 и надежность γ = 0,99, то . Так как n - целое число, то необходимый объем наблюдений должен быть не менее 26.
4. Центральная предельная теорема.
Остановимся теперь на центральной предельной теореме, которую доказал русский математик А. М. Ляпунов. Рассмотрим следующую сумму:
,
где - независимые случайные величины, число которых n неограниченно возрастает. Обозначим через нормированное уклонение суммы , величина которого выражается формулой
Введем функцию распределения случайной величины :
}.
Центральная предельная теорема (А. М. Ляпунов) Если выполняется условие
то для любых действительных чисел имеет место равенство
где - интегральная функция Лапласа.
Центральная предельная теорема объясняет значимость нормального распределения. Оно обычно возникает в явлениях, подверженных большому количеству малых случайных воздействий. Само название «нормальный закон» объясняется широким распространением, которое он находит практической сфере деятельности человека.
Сформулированная теорема Ляпунова часто применяется и для одинаково распределенных случайных величин.
Следствие 1. Пусть - независимые одинаково распределённые случайные величины, т.е. , число которых n неограниченно возрастает.
Тогда
.
Пример 1. В этой главе уже рассматривалась схема Бернулли, в рамках которой имеется последовательность- независимых одинаково распределенных случайных величин, для которых Случайная величина является суммарным числом успехов в n испытаниях. В силу следствия 1 имеем
,
а это не что иное, как интегральная теорема Муавра-Лапласа.