Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
46
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Камский государственный политехнический институт
Сборник
контрольных заданий
по дисциплине
"Теория вероятностей
и
математическая статистика"
(для студентов заочного отделения)
Набережные Челны
2002
Сборник контрольных заданий по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика" (для студентов заочного обучения) /Составители: Миназетдинов Н.М., Углов А.Н. Набережные Челны: КамГПИ, 2002, 58 с.
Рецензент: кандидат физико-математических наук,
доцент Тимергалиев С.Н.
Печатается в соответствии с решением научно-методического совета Камского государственного политехнического института.
Камский государственный
политехнический институт, 2002.
СОДЕРЖАНИЕ
Рекомендации по выполнению и оформлению контрольных работ ………………………………………… ……….. 4
Таблица номеров выполняемых заданий …… ………… 5
Рабочая программа по дисциплине "Теория вероятностей
и математическая статистика"………………….…………. 6
Вопросы для самоподготовки по разделу "Теория вероятностей"… ……………………………………..…………. 8
Вопросы для самоподготовки по разделу "Математическая статистика" ……………………………………………….. 10
Рекомендуемая литература……………………..………….12
Задания для контрольной работы по разделу "Теория вероятностей"………………………………………………… 13
Задания для контрольной работы по разделу "Математическая статистика"……………………………..…………. 28
Приложения. Статистические таблицы…………………. 50
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И
ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ.
Прежде чем выполнять контрольные работы, следует изучить теоретический материал по указанной литературе и ответить на вопросы для самоподготовки. При выполнении контрольных работ необходимо придерживаться указанных ниже правил:
После проверки контрольная работа предъявляется к защите. На защите студент должен показать свое умение решать задачи, подобные тем, что имеются в его контрольной работе.
Без предъявления защищенных работ студент к экзамену не допускается.
ТАБЛИЦА НОМЕРОВ ВЫПОЛНЯЕМЫХ ЗАДАНИЙ
№
варианта НОМЕРА ВЫПОЛНЯЕМЫХ ЗАДАНИЙ
1 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91
2 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92
3 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93
4 4, 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84, 94
5 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95
6 6, 16, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86, 96
7 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97
8 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98
9 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99
10 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
11 3, 12, 21, 32, 43, 52, 61, 72, 83, 92
12 4, 13, 22, 33, 44, 53, 62, 73, 84, 93
13 5, 16, 27, 38, 49, 60, 69, 78, 87, 96
14 6, 17, 28, 39, 50, 59, 68, 77, 86, 95
15 7, 18, 29, 40, 49, 58, 67, 76, 85, 94
16 8, 19, 30, 39, 48, 57, 66, 75, 84, 93
17 9, 20, 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92
18 1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78 89, 100
19 2, 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79, 90, 99
20 3, 14, 25, 36, 47, 58, 69, 80, 89, 98
21 4, 15, 26, 37, 48, 59, 70, 79, 88, 97
22 5, 14, 23, 32, 41, 52, 63, 74, 85, 96
23 6, 15, 24, 33, 42, 51, 62, 73, 84, 95
24 7, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 72, 83, 94
25 8, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 82, 93
26 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 92
27 10, 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91
28 2, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99
29 3, 12, 21, 32, 43, 54, 65, 76, 87, 98
30 4, 13, 22, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97
номер варианта соответствует номеру студента в списке
группы.
Тема 1. Основные понятия теории вероятностей.
Предмет теории вероятностей. Случайные события и дейст-вия над ними. Пространство элементарных событий. Классичес-кое определение вероятности. Вычисление вероятностей с помо-щью правил и формул комбинаторики. Статистическое, геометрическое и аксиоматическое определение вероятности.
Тема 2. Основные теоремы и формулы ТВ.
Условная вероятность.Независимые и зависимые события. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Полная группа событий. Формулы полной вероятности и Байеса. Схема Берну-лли. Формула Бернулли. Приближённые формулы Пуассона, ло-кальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа.
Тема 3. Случайные величины.
Понятие случайной величины. Функция распределения веро-ятностей случайной величины и её свойства. Действия над слу-чайными величинами. Дискретные и непрерывные случайные величины, законы их распределения и основные числовые хара-ктеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднее ква-дратичное отклонение, мода, медиана, начальные и центральные моменты, асимметрия и эксцесс).
Тема 4. Основные законы распределения .
Биномиальный закон и закон распределения Пуассона. Равномерный, показательный и нормальный законы распределения. Правило «трёх сигм».
Тема 5. Многомерные случайные величины.
Понятие многомерной случайной величины. Двумерная случайная величина, функция распределения вероятностей и числовые характеристики. Зависимые и независимые случайные величины. Коэффициент корреляции случайных величин.
Тема 6. Закон больших чисел и предельные теоремы.
Неравенство Чебышева. Законы больших чисел в форме Чебышева и Бернулли. Центральная предельная теорема теории вероятностей.
Раздел: «Математическая статистика».
Тема 1. Методы описания результатов наблюдений.
Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Повторная и бесповторная выборки. Способы записи и графическое представление выборки (вариационный и статистический ряды; полигон, гистограмма и кумулята). Эмпирическая функция распределения. Основные числовые характеристики выборки.
Тема 2. Статистическое оценивание параметров.
Точечные оценки и их свойства (несмещённость, состоятельность и эффективность).Точечное оценивание числовых характеристик генеральной совокупности по выборке. Методы максимального правдоподобия и моментов получения точечных оценок параметров распределения. Понятие интервальной оценки, её точности и надёжности. Интервальные оценки параметров распределения. Определение необходимого объёма выборки.
Тема 3. Проверка статистических гипотез.
Статистическая гипотеза. Основные виды гипотез. Статистический критерий. Общая схема проверки статистической гипотезы. Проверка гипотез о числовых значениях параметров распределений. Проверка гипотез о равенстве средних, долей, дисперсий двух распределений. Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности.
Тема 4. Корреляционный и регрессионный анализ.
Корреляционная зависимость и выборочные уравнения регре-ссии. Корреляционное поле и корреляционная таблица. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по несгруппированным и сгруппированным данным. Выборочный коэффициент линейной корреляции. Нелинейная регрессия и корреляция.
Вопросы для самоподготовки по разделу
"Теория вероятностей".
Вопросы для самоподготовки по разделу
"Математическая статистика".
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статис-тика. Учеб. пособие для вузов.–М.:Высш. шк., 1997.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории веро-ятностей и математической статистике. –М.:Высш. шк., 1997.
3. Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математиче-ской статистике. –М.:Высш. шк.,1991.
4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник для вузов. –М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2000.
5. Колемаев В.А., Калинина В.М. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник. -М.: ИНФРА-М, 1997.
6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть II. -М.:Высш. шк., 1996.
7. Математическая статистика. Методические указания к решению задач / Составители: Миназетдинов Н.М., Розенцвайг А.К., Углов А.Н. Набережные Челны: КамПИ, 1997.
«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»
I. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.
Задание 1. Бросают три монеты. Найти вероятности того, что: а) на всех монетах появится «герб»; б) не более чем на одной монете появится «герб».
Задание 2. Бросают три монеты. Найти вероятности того, что: а) хотя бы на одной монете появится «герб»; б) только на двух монетах появится «герб».
Задание 3. Бросают три монеты. Найти вероятности того, что: а) только на одной монете появится «герб»; б) не менее чем на двух монетах появится «герб».
Задание 4. Бросают две игральные кости. Найти вероятности того, что на верхних гранях появятся следующие числа очков:
а) сумма которых равна восьми, а разность – четырем; б) сумма которых меньше шести.
Задание 5. Бросают две игральные кости. Найти вероятности того, что на верхних гранях появятся следующие числа очков:
а) сумма которых равна пяти, а произведение – четырем;
б) сумма которых больше, чем их произведение.
Задание 6. Бросают две игральные кости. Найти вероятности того, что на верхних гранях появятся следующие числа очков:
а) абсолютная величина разности которых равна двум; б) произведение которых равно шести.
Задание 7. В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором – с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вынимают по одному шару. Найти вероятности того, что:
а) сумма номеров вынутых шаров равна девяти; б) произведение номеров вынутых шаров больше двадцати.
Задание 8. В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором – с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вы-нимают по одному шару. Найти вероятности того, что: а) абсолютная величина разности номеров вынутых шаров равна двум; б) сумма номеров вынутых шаров не больше одиннадцати.
Задание 9. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 35. Найти вероятности того, что номер первого наудачу извлеченного жетона: а) не содержит цифру 2; б) является числом, кратным 3 (делится на 3 без остатка).
Задание 10. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 35. Найти вероятности того, что номер первого наудачу извлеченного жетона: а) содержит цифру 3; б) является простым числом (делится без остатка только на единицу и на себя).
Задание 11. На ТЭЦ 15 сменных инженеров, из них 3 женщины. В смену занято 3 человека. Найти вероятности того, что в случайно выбранную смену окажется: а) не менее двух мужчин; б) хотя бы одна женщина.
Задание 12. На курсах повышения квалификации бухгалтеров учат определять правильность накладной. В качестве проверки преподаватель предлагает обучающимся проверить 10 накладных, из которых 4 содержат ошибки. Он берет наугад из этих 10 две накладные и просит их проверить. Найти вероятности того, что: а) обе накладные правильные; б) одна ошибочная, а другая – правильная.
Задание 13. Из колоды в 36 карт извлекают наудачу 4 карты. Найти вероятности того, что: а) в выборке все карты одной масти; б) в выборке окажется хотя бы один туз.
Задание 14. В урне 2 белых, 3 черных и 5 красных шаров. Наудачу (без возвращения) из урны вынимают 3 шара. Найти вероятности того, что: а) все вынутые шары разного цвета;
б) все вынутые шары одного цвета.
Задание 15. Имеется пять лоторейных билетов стоимостью по 100 руб., три билета – по 300 руб. и два билета – по 500 руб. Наудачу выбирают три билета. Найти вероятности того, что:
а) все три выбранных билета в сумме стоят 700 руб.; б) все три выбранных билета имеют одинаковую стоимость.
Задание 16. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованные, наудачу извлекают 3 изделия для контроля. Найти вероятности того, что: а) в выборке содержится не более одного бракованного изделия; б) в выборке содержится хотя бы одно бракованное изделие.
Задание 17. В магазине имеются 30 холодильников, причем 20 из них – импортные. Найти вероятность того, что среди 5 проданных в течение дня холодильников окажется: а) не менее 3 импортных холодильников; б) хотя бы один отечественный холодильник.
Задание 18. Среди кандидатов в студсовет факультета три первокурсника, пять второкурсников и семь третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают пять человек на предстоящую конференцию. Найти вероятности того, что: а) все первокурсники попадут на конференцию; б) будет выбран следующий состав: один первокурсник, два второкурсника и два третьекурсника.
Задание 19. В группе из 30 студентов на контрольной работе 6 студентов получили оценку «отлично», 10 студентов – «хорошо», 9 студентов – «удовлетворительно». Найти вероятности того, что: а) все три студента, вызванные к доске, имеют по контрольной работе оценку «неудовлетворительно»; б) хотя бы один студент имеет оценку «отлично» или «хорошо».
Задание 20. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются 4 билета в театр, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся: а) три юноши и одна девушка; б) хотя бы один юноша.
II. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Задание 21. R, S, T – компоненты электронной системы. Вероятность бесперебойной работы каждого из компонентов в течение года 0.95, 0.9, 0.93, соответственно. Какова вероятность работы всей системы без отказов на протяжении этого срока, если необходимо, чтобы: а) работали все три компонента; б) работали хотя бы два из трех компонентов.
Задание 22. Три стрелка стреляют по разу в одну мишень независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0.7, вторым – 0.8, третьим – 0.9. Найти вероятности того, что: а) только два стрелка поразят цель; б) все три стрелка поразят цель; в) хотя бы один стрелок поразит цель.
Задание 23. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом справочнике 0.6, во втором – 0.7, в третьем – 0.8. Найти вероятности того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) хотя бы в одном справочнике; в) во всех справочниках.
Задание 24. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0.9, для второго – 0.8 и для третьего – 0.85. Найти вероятности того, что: а) в течение некоторого часа ни один из станков не потребует внимания рабочего; б) все станки потребуют внимания рабочего; в) хотя бы один станок потребует к себе внимания рабочего.
Задание 25. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0.8, для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0.7 и 0.9. Найти вероятности того, что: а) не менее двух снарядов попадут в цель; б) ни один снаряд не попадет в цель; в) все три снаряда попадут в цель.
Задание 26. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0.95, во второе отделение – 0.9 и в третье – 0.8. Найти вероятности следующих событий: а) только одно отделение получит газеты вовремя; б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.
Задание 27. Вероятность своевременного выполнения студентом контрольной работы по каждой из трёх дисциплин равна соответственно 0.8, 0.75 и 0.9. Найти вероятности своевременного выполнения контрольной работы студентом: а) по двум дисциплинам; б) хотя бы по двум дисциплинам; в) по всем трём дисциплинам.
Задание 28. Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0.7. При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0.8. На первом станке изготовлены две детали, на втором – три. Найти вероятности того, что: а) все изготовленные детали – первосортные; б) хотя бы одна деталь – первосортная.
Задание 29. Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь не допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0.9. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0.85 и 0.8. Найти вероятности того, что при однократном измерении: а) не допустит ошибку хотя бы один из исследователей; б) не допустят ошибку не менее двух исследователей; в) не допустит ошибку только один исследователь.
Задание 30. В первом ящике 2 красных и 10 синих шаров, во втором ящике 8 красных и 4 синих. Из каждого ящика вынули по два шара. Найти вероятности того, что: а) все шары – синие; б) хотя бы один шар – красный; в) все шары одного цвета.
III. ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БАЙЕСА.
Задание 31. На сборку попадают детали с трех станков-автоматов. Известно, что первый автомат дает 0.3% брака, второй – 0.2%, третий – 0.4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей.
Задание 32. Компания по страхованию автомобилей делит водителей на 3 группы: «А» (не рискуют), «В» (рискуют умеренно) и «С» (рискуют сильно). Известно, что 30% всех водителей относится к группе «А», 50% - к группе «В», остальные 20% - к группе «С». Вероятность попасть в аварию для водителя группы «А» равна 0.01, для водителя группы «В» – 0.03, а для водителя группы «С» – 0.1. Какова вероятность, что водитель относится к группе «А» или «В», если известно, что он в течение года попадал в аварию.
Задание 33. Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0.02, для второго – 0.03, для третьего – 0.04. Обработанные детали складывают в один ящик. Производительность первого станка в 3 раза больше, чем второго, а третьего в 2 раза меньше, чем второго. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной.
Задание 34. В группе из 20 студентов, пришедших сдавать экзамен, 3 студента подготовлены отлично, 5 – хорошо, 8 – удовлетворительно и 4 – неудовлетворительно. В экзаменационных билетах имеется 60 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 60 вопросов, хорошо подготовленный – на 45, удовлетворительно подготовленный – на 30 и неудовлетворительно подготовленный – на 20.Наудачу вызванный студент ответил на два заданных вопроса. Найти вероятность того, что студент был подготовлен неудовлетворительно.
Задание 35. Известно, что 96% выпускаемой заводом продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0.98 и признает пригодной нестандартную продукцию с вероятностью 0.05. Найти вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.
Задание 36. В первом цехе два станка отслужили 5 лет, три станка – 4 года, 5 станков – менее трех лет. Во втором цехе 3 станка отслужили 5 лет, 3 станка – 4 года и 6 станков – менее трех лет. После реконструкции один из станков второго цеха оказался в первом цехе. Найти вероятность того, что два станка, выбранных наудачу в первом цехе после реконструкции, отслужили каждый более трех лет.
Задание 37. В первой урне находится 6 белых и 4 черных шара, во второй – 3 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу извлекают сразу 3 шара, и шары того цвета, которые окажутся в большинстве, опускают во вторую урну и тщательно перемешивают. После этого из второй урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый.
Задание 38. Среди поступающих на сборку деталей с первого станка-автомата 1% нестандартных, со второго – 2%, с третьего – 2.5%, с четвертого – 5%. Производительности их относятся как 4:3:2:1. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что деталь изготовлена на втором станке.
Задание 39. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 игранных. Для игры наудачу выбираются два мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекаются два мяча.Какова вероятность того, что вторая игра будет проводится новыми мячами.
Задание 40. С первого станка-автомата на сборку поступает 20% деталей, со второго – 30%, с третьего – 50%. Первый станок-автомат дает в среднем 0.2% брака, второй – 0.3%, третий – 0.1%.Взятая наудачу деталь оказалась бракованной.Найти вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке-автомате.
IV. СХЕМА БЕРНУЛЛИ.
Задание 41. Четыре раза бросают пару игральных костей. Найти вероятность того, что хотя бы один раз выпадут две шестерки.
Задание 42.Экзамен состоит из 6 вопросов. На каждый воп-рос дано три возможных ответа, среди которых необходимо выбрать один правильный. Найти вероятность того, что методом простого угадывания удастся ответить не менее чем на 5 вопросов.
Задание 43. Для стрелка, выполняющего упражнение в тире, вероятность попасть в «яблочко» при одном выстреле не зависит от результатов предшествующих выстрелов и равна 0.25. Спортсмен сделал 5 выстрелов. Найти вероятность того, что стрелок попал в «яблочко» не менее трех раз.
Задание 44. Покупатель приобрел 6 изделий, изготовленных на данном предприятии, 80% изделий которого составляет продукция высшего сорта. Найти вероятность того, что хотя бы четыре из них являются изделиями высшего сорта.
Задание 45. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Из урны вынимают подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.
Задание 46.Для нормальной работы автобазы на линии дол-жно быть не менее 8 машин из 10 имеющихся. Вероятность невыхода каждой машины на линию равна 0.1. Найти вероятность того, что автобаза будет работать нормально в ближайший день.
Задание 47. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей не менее двух и не более трех мальчиков (принять вероятность рождения мальчика равной 0.51).
Задание 48. В мастерской имеется 4 мотора. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой равна 0.8. Найти вероятность того, что в данный момент более половины из них работает с полной нагрузкой.
Задание 49. При въезде в новую квартиру в осветительную сеть одной из квартир было включено 6 новых электрических лампочек. Каждая лампочка в течение года перегорает с вероятностью 0.4. Найти вероятность того, что в течение года не менее 2/3 лампочек придется заменить новыми.
Задание 50. Узел прибора состоит из четырех однотипных элементов и работает нормально, если отказывает не более одного элемента. Вероятность отказа элемента в течение заданного срока равна 0.1. Найти вероятность того, что прибор проработает нормально в течение заданного срока.
Задание 51. К магистальному водопроводу подключены 200 предприятий, каждое из которых с вероятностью 0.7 в данный момент времени осуществляет забор воды. Найти вероятность того, что в этот момент времени забор воды производят не менее 120 и не более 160 предприятий.
Задание 52. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0.8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 раз.
Задание 53. Вероятность рождения мальчика равна 0.512. Найти вероятность того, что среди 1200 родившихся в течение года детей мальчиков окажется меньше чем девочек.
Задание 54. Вероятность заболевания гриппом во время эпидемии равна 0.3. Найти вероятность того, что из 1500 работников предприятия гриппом заболеют не более 400 работников.
Задание 55. Всхожесть семян данного растения составляет 75%. Найти вероятность того, что из 800 посеянных семян взойдет не менее 700 семян.
Задание 56. Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0.02. Сверла укладывают в коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что число бракованных сверл в коробке окажется не более двух.
Задание 57. Среди изделий некоторого цеха брак встречается с вероятностью 0.01. Найти вероятность того, что среди 400 изделий окажется не более двух бракованных изделий.
Задание 58. По каналу связи передается 100 знаков. Каждый знак может быть искажен независимо от остальных с вероятностью 0.05. Найти вероятность того, что будет искажено не более трех знаков.
Задание 59. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0.002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено не более двух изделий.
Задание 60. Аппаратура состоит из 1000 элементов, каждый из которых независимо от остальных выходит из строя за время Т с вероятностью 0.001. Найти вероятность того, что за время Т откажет не более трех элементов.
V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
В заданиях 61 - 70 требуется: 1) составить закон распределения случайной величины Х и построить многоугольник полученного распределения; 2) найти функцию распределения F(х) этой случайной величины и построить ее график; 3) вычислить математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х) этой случайной величины.
Задание 61. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее извлекли 3 шара. Случайная величина Х – число извлеченных из урны белых шаров.
Задание 62. В урне 4 шара с номерами от 1 до 4. Из нее извлекли два шара. Случайная величина Х – сумма номеров вынутых шаров.
Задание 63. В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Случайная величина Х – число нестандартных деталей среди двух отобранных.
Задание 64. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что за время Т станок не потребует внимания рабочего для первого станка равна 0.9, для второго – 0.8, для третьего – 0.7.
Случайная величина Х –число станков, которые не потребуют внимания рабочего за время Т.
Задание 65. Игральная кость брошена 3 раза. Случайная величина Х – число появлений на верхней грани шести очков.
Задание 66. В денежной лоторее - 20 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и два выигрыша по 10 руб. Приобретено два билета. Случайная величины Х – стоимость возможного выигрыша для владельца двух лоторейных билетов.
Задание 67. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее три раза подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в урну и шары перемешивают. Случайная величина Х – число извлеченных белых шаров.
Задание 68. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Случайная величина Х – число стандартных деталей среди отобранных.
Задание 69. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0.1. Случайная величина Х – число отказавших элементов в одном опыте.
Задание 70. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка – 0.8, для второго – 0.9. Случайная величина Х – суммарное число попаданий в мишень.
В заданиях 71 - 80 требуется: 1) найти функцию плотности распределения вероятностислучайной величины и по-строить ее график; 2)вычислить математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х) этой случайной величины; 3) найти веро-ятность попадания случайной величиныв интервал .
Задание 71. Случайная величина Х задана функцией распределения
F(x) =
Задание 72. Случайная величина Х задана функцией распределения
F(x) =
Задание 73. Случайная величина Х задана функцией распределения
F(x) =
Задание 74. Случайная величина Х задана функцией распределения
F(x) =
Задание 75. Случайная величина Х задана функцией распределения
F(x) =
Задание 76. Случайная величина Х задана функцией распределения
F(x) =
Задание 77. Случайная величина Х задана функцией распределения
F(x) =
Задание 78. Случайная величина Х задана функцией распределения
F(x) =
Задание 79. Случайная величина Х задана функцией распределения
F(x) =
Задание 80. Случайная величина Х задана функцией распределения
F(x) =
VI. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
В заданиях 81 - 90 требуется найти вероятности того, что нормально распределённая случайная величина , где - математическое ожидание, - среднее квадратичное от-клонение случайной величины , принимает значения:
а) в интервале ; б) меньшее ; в) большее ; г) отличающееся от своего математического ожидания по абсолютной величине не больше чем на .
Задание 81. , .
Задание 82. , .
Задание 83. , .
Задание 84. , .
Задание 85. , .
Задание 86. , .
Задание 87. , .
Задание 88. , .
Задание 89. , .
Задание 90. , .
Задание 91. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю и средним квадратичным отклонением 20г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, по абсолютной величине не превосходящей 10г.
Задание 92. Станок-автомат заполняет банки кофе. Масса ко-фе и масса банки имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями 200г и 20г, соответственно и средними квадратичными отклонениями 5г и 1г, соответственно. Найти вероятность того, что вес готовой к продаже банки будет не менее 210г.
Задание 93. Рост мужчин определенной возрастной группы распределен по нормальному закону с математическим ожиданием 165см и средним квадратичным отклонением 5см. Какую долю (в %) костюмов третьего роста следует предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы (третий рост – 170-176см).
Задание 94. Деталь, изготовленная станком-автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от номинала не превышает 10мм. Случайные отклонения контролируемого размера от номинала подчиняются нормальному закону распределения с математическим ожиданием равным нулю и средним квадратичным отклонением 5мм. Сколько процентов годных деталей изготавливает станок-автомат.
Задание 95. Работа упаковочного аппарата, расфасовывающего стиральный порошок в пакеты, подчиняется закону нормального распределения, со средним квадратичным отклонением 20г.Аппарат может быть настроен на любой средний вес упаковки с точностью до грамма. На какой средний вес должен быть настроен аппарат, если требуется, чтобы не более чем 2.5% пакетов содержали меньше, чем 900г стирального порошка.
Задание 96. Производится измерение без систематических ошибок диаметра вала. Случайные ошибки измерения подчиняются нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю и средним квадратичным отклонением 20мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 35мм.
Задание 97. Коробки с конфетами упаковываются автома-тически. Их средняя масса равна 540г. Известно, что 5% коро-бок имеют массу, меньшую 500г. Каков процент коробок масса которых отличается от средней не более, чем на 30г. (по абсолютной величине).
Задание 98. Станок-автомат изготавливает шарики, причем контролируется их диаметр Х. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 10мм и средним квадратичным отклонением 0.1мм, найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0.9973 будут заключены диаметры изготовленных шариков.
Задание 99. Срок работы электросхем подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием 800ч и средним квадратичным отклонением 160ч. Какой срок гарантии следует установить производителю электросхем, если он согласен заменять только 1% электросхем с наиболее коротким сроком работы.
Задание 100. Мастерская изготавливает стержни, длина которых представляет собой случайную величину, распре-деленную по нормальному закону с математическим ожиданием 40см и средним квадратичным отклонением 0.4см. Какую точность длины стержня мастерская может гарантировать в этом случае с вероятностью 0.95.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО РАЗДЕЛУ «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА».
I. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РЯДЫ. ЧИСЛОВЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРКИ.
В заданиях 1 – 10 для каждой из приведенных ниже выборок: а) определить размах выборки, построить дискретный статистический ряд и изобразить его графически в виде полигона; б) составить эмпирическую функцию распределения и построить ее график; в) вычислить выборочные: среднее , моду , медиану , дисперсию .
Задание 1.
Выборка
0 4 2 0 5 1 1 3 0 2 2 4 3
3 3 0 4 5 1 3 1 5 2 0 2 2 2
3 2 2 2 6 2 1 3 1 3 1 5 4
Объем выборки: n = 40.
Задание 2.
Выборка
23 23 21 20 20 23 23 25 23 20
20 24 21 25 21 25 23 23 20 22
23 21 24 21 22 24 23 24 25 24
Объем выборки: n = 30.
Задание 3.
Выборка
14 15 16 11 11 16 12 12 17 14
15 15 14 12 13 13 13 14 14 13
17 14 13 15 15 12 11 14 13 15
Объем выборки: n = 30.
Задание 4.
Выборка
12 12 11 13 14 12 11 11 13 13
14 13 12 14 15 10 14 12 13 14
13 15 11 13 13 13 14 13 12 10
Объем выборки: n = 30.
Задание 5.
Выборка
19 18 20 16 16 17 19 19 20 14
20 21 21 21 16 21 22 18 17 22
20 19 19 21 21 17 17 21 18 18
Объем выборки: n = 30.
Задание 6.
Выборка
5 5 4 2 6 2 1 5 3 3 1 5 6
4 3 3 4 1 5 5 3 4 3 7 4 5 6
7 5 2 4 6 6 7 7 3 5 4 4 3
Объем выборки: n = 40.
Задание 7.
Выборка
22 21 22 23 21 21 20 22 22 24
23 23 20 23 20 22 23 20 22 23
20 22 23 23 24 24 21 24 20 20
Объем выборки: n = 30.
Задание 8.
Выборка
12 8 11 9 14 11 13 11 9 10
12 13 8 15 10 10 10 11 13 9
13 14 10 12 12 14 10 9 11 11
Объем выборки: n = 30.
Задание 9.
Выборка
15 10 11 9 12 8 8 9 11 14
15 13 12 10 8 9 11 9 8 13
12 12 12 12 15 12 13 13 9 13
Объем выборки: n = 30.
Задание 10.
Выборка
1 3 3 2 0 2 4 3 2 1 2 2 2
2 3 3 1 1 1 3 2 1 0 1 2 1 1
4 4 2 3 3 5 5 2 1 2 3 2 3
Объем выборки: n = 40.
В заданиях 11 – 20 для каждой из приведенных ниже выборок: а) определить размах выборки, построить интер-вальный статистический ряд и изобразить его графически в виде гистограммы и кумуляты; б) вычислить выборочные: среднее , моду , медиану , дисперсию .
Задание 11.
Выборка
65 72 85 89 95 103 64 72 85 91 96 105 64 77 82 91 101 104 110 101 91 80 71 62 68 74 85 87 95 98 93 85 75 63 73 82 87 100 95 89 83 73 85 87 95
87 83 92 92 88.
Объем выборки: n = 50. Первый интервал: 62 – 70.
Задание 12.
Выборка
48 53 58 61 65 69 76 75 70 66 62 59 54 49 50 55 57 61 67 71 67 63 58 55 50 51 53 58 62 61 59 54 51 49 54 57 58 55 50 51 49 54 53 50 50 54 53 55
55 58.
Объем выборки: n = 50. Первый интервал: 48 – 52.
Задание 13.
Выборка
10,0 13,0 15,4 17,0 19,0 21,0 23,0 22,2 21,0 18,1 16,2 15,6 12,8 11,0 13,1 14,2 16,4 18,5 20,4 24,0 21,5 19,5 16,5 14,4 15,7 17,0 19,8 20,3 15,0 20,1 18,2 21,0 18,2
16,2 19,6 21,4 18,4 16,8 14,7 14,8 17,0 17,0 19,2 21,6
20,2 18,4 19,4 20,3 19,0 19,1.
Объем выборки: n = 50. Первый интервал: 10 – 12.
Задание 14.
Выборка
21 33 38 51 60 68 14 28 41 45 60 74 57 72 53 42 32 30 42 52 67 55 59 65 47 35 30 58 46 41 49 58 40 49 39 61 61 47 43 55 48 42 47 60 45 45 55 59
48 50.
Объем выборки: n = 50. Первый интервал: 14 – 24.
Задание 15.
Выборка
38 46 54 57 64 69 69 65 61 55 51 42 41 51 55 57 63 74 65 58 54 46 43 40 47 51 57 64 64 59 54 48 48 42 51 51 57 57 57 55 45 46 47 55 59 59 52 49
55 51.
Объем выборки: n = 50. Первый интервал: 38 – 44.
Задание 16.
Выборка
14 21 28 34 40 50 46 46 40 35 28 22 15 16 24 30 36 40 41 35 30 25 17 15 25 25 18 31 30 34 33 30 24 19 18 22 28 23 16 16 22 21 21 15 16 22 24 24
25 21.
Объем выборки: n = 50. Первый интервал: 14 – 20.
Задание 17.
Выборка
26 33 39 48 55 62 27 34 40 49 51 57 30 35 41 48 52 60 60 52 48 41 35 30 29 33 39 47 54 61 62 55 48 42 35 28 36 42 48 51 52 48 42 36 43 45 46 40
48 49.
Объем выборки: n = 50. Первый интервал: 26 – 32.
Задание 18.
Выборка
8,8 11,7 13,4 14,7 17,0 18,8 18,1 17,9 15,2 13,0 11,6
8,0 9,3 11,3 13,9 15,1 16,5 20,0 18,3 16,6 15,1 12,4
10,7 10,1 13,7 14,2 16,4 17,6 14,6 12,3 15,8 14,7 15,8
14,6 17,6 17,2 15,1 13,8 13,5 14,1 16,3 16,2 14,5 12,7
13,5 15,5 16,9 16,1 17,7 15,7.
Объем выборки: n = 50. Первый интервал: 8 – 10.
Задание 19.
Выборка
25 31 48 58 66 72 80 64 53 49 32 20 20 33 46 59 61 84 85 65 55 42 35 36 44 56 66 71 68 55 45 46 55 69 66 54 45 53 66 62 54 52 64 68 51 52 68 68
67 65.
Объем выборки: n = 50. Первый интервал: 20 – 30.
Задание 20.
Выборка
20 26 31 40 44 51 56 55 50 45 38 32 25 18 22 26 33 40 46 52 57 58 49 45 40 34 27 21 28 35 37 47 50 59 58 53 43 38 32 39 43 50 55 50 44 45 52 53
49 50.
Объем выборки: n = 50. Первый интервал: 18 – 24.
II. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ.
В заданиях 21 – 30, в предположении, что выборки получены из нормально распределённых генеральных совокуп-ностей, требуется найти 95%-ные доверительные интервалы:
а) для генерального среднего; б) для генерального среднего квадратичного отклонения.
Задание 21. Результаты измерений твёрдости 12 образцов легированной стали (в условных единицах):
13.0 12.8 12.0 13.5 13.7 13.8
10.6 12.4 13.5 11.8 14.0 12.5
Задание 22. Данные о часовой выработке (в ед/ч) 50 рабочих механического цеха завода:
Часовая выработка 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9
Число рабочих 1 2 10 17 16 4
Задание 23. Данные о скорости 10 автомобилей в некоторой точке трассы (в км/ч):
70 85 63 54 65 80 75 95 52 55
Задание 24. Данные хронометража операции пайки 35 радиаторов (в мин.) на ремонтном предприятии:
Время пайки, мин 20–30 30–40 40–50 50–60 60–70
Кол-во радиаторов 2 5 10 17 1
Задание 25. Данные о производительности механического цеха завода (в условных единицах) в течение 12 рабочих дней:
13.0 13.1 13.0 12.5 12.8 12.3
12.1 12.2 12.1 12.7 12.0 12.6
Задание 26. Данные о пробеге 120 автомобильных шин (в тыс. км), эксплуатируемых в городских условиях:
Пробег шин, 40–42 42–44 44–46 46–48 48–50 50-52
тыс. км.
Число шин 4 8 22 36 30 20
Задание 27. Данные о возрастном составе студентов заочного отделения одного из факультетов КамПИ:
22 23 35 33 27 29
24 30 32 28 25 26
Задание 28. Данные о длине межремонтного пробега (в тыс. км) 100 автомобилей “КамаЗ – 5320”:
Величина межремонт- 80–100 100–120 120–140 140–160
ного пробега, тыс. км.
Число автомобилей 14 30 40 16
Задание 29. Данные об интенсивности движения авто-мобилей (авт./час) на одном из участков автомагистрали Набережные Челны – Казань:
140 110 80 140 210 220 90 150 120 130.
Задание 30. Результаты измерений процента влажности древесины, из которой изготовлены 150 изделий, случайным образом отобранных из большой партии изделий:
Процент влажности 11–13 13–15 15–17 17–19 19–21
Число изделий 8 42 51 37 12
Задание 31. Из большой партии транзисторов одного типа были случайным образом отобраны и проверены 100 штук. У 36 транзисторов коэффициент усиления оказался меньше 10. Найти 95%-ный доверительный интервал для доли таких транзисторов во всей партии.
Задание 32. При осмотре 60 ящиков обнаружено 10 поврежденных. Найти 95%-ный доверительный интервал для доли поврежденных ящиков во всей партии.
Задание 33. Из 150 однотипных электронных ламп 30 ламп вышли из строя после 1000 часов работы из-за обрыва нити накала. Найти 95%-ный доверительный интервал для доли таких ламп в большой партии ламп этого типа.
Задание 34. Среди 250 деталей, изготовленных станком-автоматом, оказалось 32 нестандартных. Найти 95%-ный доверительный интервал для вероятности изготовления станком-автоматом нестандартной детали.
Задание 35. В процессе технического контроля из большой партии готовой продукции было проверено 70 изделий, из кото-рых 4 оказались бракованными. Найти 95%-ный доверительный интервал для доли бракованных изделий во всей партии.
Задание 36. В 10 000 сеансах игры с автоматом выигрыш появился 4 000 раз. Найти 95%-ный доверительный интервал для вероятности выигрыша.
Задание 37. С автоматической линии, производящей под-шипники, было отобрано 400 штук, причем 10 оказались бракованными. Найти 95%-ный доверительный интервал для вероятности изготовления бракованного подшипника.
Задание 38. Было обследовано 150 студентов дневного отделения одного из высших учебных заведений. Доля студентов, совмещающих работу и учёбу составила, по данным выборки, 30%. Найти 95%-ный доверительный интервал для доли студентов дневного отделения этого учебного заведения, работающих в течение учебного года.
Задание 39. При отгрузке партии картофеля было про-верено 600 клубней, из которых 36 не соответствовали ста-ндарту. Найти 95%-ный доверительный интервал для доли клубней, удовлетворяющих стандарту, во всей партии.
Задание 40. В ходе аудиторской проверки фирмы была проведена случайная выборка записей по счетам. Из выборки в 200 записей 10 содержали некоторые ошибки. Найти 95%-ный доверительный интервал для доли ошибок во всей генеральной совокупности записей.
III. ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. ПРЕДЕЛЬНАЯ ОШИБКА И НЕОБХОДИМЫЙ ОБЪЁМ ВЫБОРКИ.
Задание 41. Предполагается, что в лесном массиве 1000 животных одного вида. Найти объёмы повторной и бесповторной выборок, образуемых для определения доли забо-левших животных, если доверительная вероятность равна , а предельная ошибка выборки не должна превышать 5%.
Задание 42. Найти объёмы повторной и бесповторной выборок из 5000 автомобилей для определения среднего пробега без ремонта, чтобы с доверительной вероятностью преде-льная ошибка выборки не превосходила 25 тыс. км. Генеральное среднее квадратичное отклонение принять равным 150 тыс. км.
Задание 43. Из партии, содержащей 5000 изделий, проверено 400. Среди них оказалось 300 изделий высшего сорта. Найти доверительную вероятность того, что доля изделий высшего сорта во всей партии отличается по абсолютной величине от доли их в выборке не более чем на . Рассмотреть случаи повторной и бесповторной выборок.
Задание 44. На склад поступило 8000 банок тушёнки. Какими должны быть объёмы повторной и бесповторной выбо-рок, чтобы с доверительной вероятностью можно было утверждать, что доли удовлетворяющих стандарту банок в выборке и генеральной совокупности различаются по абсо-лютной величине не более чем на .
Задание 45. Найти необходимые объёмы повторной и бесповторной выборок среди 8000 призывников района для определения доли призывников годных к службе в армии, если доверительная вероятность равна , а предельная ошибка выборки не должна превышать .
Задание 46. Определить необходимые объёмы повторной и бесповторной выборок, чтобы при определении средней продо-лжительности горения лампочек в партии из 5000 лампочек с доверительной вероятностью отклонение генеральной средней от выборочной средней не превосходило по абсо-лютной величине 25 часов. Генеральное среднее квадратичное отклонение принять равным 150 часам.
Задание 47. Для выяснения всхожести семян в партии из 800 штук было отобрано 500, из которых взошло 440. Найти доверительную вероятность того, что доля всхожих семян во всей партии отличается по абсолютной величине от доли их в выборке не более чем на . Рассмотреть случаи повторной и бесповторной выборок.
Задание 48. Из 5000 вкладчиков банка было отобрано 300. Средний размер вклада в выборке составил 8000 руб., а среднее квадратичное отклонение 2500 руб. Какова доверительная веро-ятность того, что средний размер вклада случайно выбранного вкладчика отличается по абсолютной величине от его среднего размера в выборке не более чем на 100 руб. Рассмотреть случаи повторной и бесповторной выборок.
Задание 49. На фабрике работает 2000 ткачих. Найти объёмы повторной и бесповторной выборок для определения средней дневной выработки ткачих с точностью до м. и га-рантировать полученный результат с доверительной вероят-ностью , если известно, что среднее квадратичное откло-нение дневной выработки ткачих составляет м.
Задание 50. Из поступивших на инкубаторную станцию 40000 яиц была образована выборочная совокупность из 400 яиц. Из них вывелось 304 цыплёнка. Найти доверительную вероятность того, что во всей совокупности удельный вес яиц, из которых выведутся цыплята, отличается по абсолютной величине от удельного веса их в выборке не более чем на . Рассмотреть случаи повторной и бесповторной выборок.
IV. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ О
ПАРАМЕТРАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ.
Задание 51. Партия изделий принимается в том случае, если вероятность того, что изделие окажется соответствующим стандарту, составляет не менее . Среди случайно отобранных 200 изделий проверяемой партии оказалось 193 соответствующих стандарту. Можно ли на уровне значимости принять партию изделий?
Задание 52. В соответствии с техническими условиями среднее время безотказной работы для приборов из большой партии должно составлять не менее 1000 часов. Для случайно отобранных 25 приборов выборочное среднее времени безот-казной работы часов, а выборочное среднее квад-ратичное отклонение часов. Можно ли на уровне зна-чимости считать, что вся партия приборов не удовлет-воряет техническим условиям?
Задание 53. Предельная сила натяжения прядильной нити в среднем равна 20 г. Выборку нити из 64 мотков обработали некоторым химическим составом. После просушки была заново измерена предельная сила натяжения нити. В среднем она оказалась равной 21 г. Предполагая, что выборочное среднее квадратичное отклонение предельной силы натяжения нити г до и после обработки, проверить на уровне значимости гипотезу о том, что эта обработка не увеличила предельной силы натяжения нити.
Задание 54. Из большой партии резисторов одного типа и номинала случайным образом отобраны 36 штук. При этом оказалось, что выборочное среднее величины сопротивления кОм, а выборочное среднее квадратичное отклонение кОм. На уровне значимости проверить гипотезу о том, что выборка взята из партии с номиналом кОм.
Задание 55. По техническим условиям средняя прочность на разрыв троса составляет 2000 кг. В результате испытаний 20 кусков троса было установлено, что средняя прочность на разрыв кг при выборочном среднем квадратичном от-клонении кг. На уровне значимости выяснить удовлетворяет ли образец троса техническим условиям.
Задание 56. Количество бракованных деталей в партии не должно превышать 5%. В результате контроля 100 деталей из этой партии обнаружено шесть бракованных. Можно ли на уро-вне значимости считать, что процент брака прево-сходит допустимый?
Задание 57. Установлено, что средний вес таблетки лека-рства сильного действия (номинал) должен быть равен 0.5 мг. Выборочная проверка 100 таблеток показала, что средний вес таблетки мг, а выборочное среднее квадратичное отк-лонение мг. На уровне значимости выяс-нить, можно ли считать полученное в выборке отклонение от номинала случайным?
Задание 58. Фирма рассылает рекламные каталоги возмо-жным заказчикам. Как показывает опыт, вероятность того, что организация, получившая каталог, закажет рекламируемое изделие равна . Фирма разослала 1000 каталогов новой улучшенной формы и получила 100 заказов. Выяснить на уровне значимости можно ли считать, что новая форма рекламы существенно лучше прежней?
Задание 59. Фирма, производящая электрические лампочки, утверждает, что среднее время безотказной работы лампочек по меньшей мере 800 часов. Из некоторой большой партии лампочек произведена выборка 25 лампочек, для которой выборочное среднее времени работы лампочек часов, а выборочное среднее квадратичное отклонение часов. Можно ли на основании этого сказать, что исследуемая выборка лампочек не удовлетворяет гарантии? Уровень значимости принять равным .
Задание 60. Производители нового типа аспирина утвержда-ют, что он снимает головную боль за мин. Случайная выбор-ка 100 человек, страдающих головными болями, показала, что новый тип аспирина снимает головную боль за мин при среднем квадратичном отклонении мин. Проверьте на уровне значимости справедливость утверждения производителей аспирина о том, что это лекарство излечивает головную боль за мин.
Задание 61. При исследовании стабилизатора напряжения самолёта на стенде проведено 9 независимых испытаний и получена оценка дисперсии выходного напряжения В2. В полёте проведено ещё 15 испытаний, в резу-льтате которых оценка дисперсии выходного напряжения ока-залась равной В2. Есть ли основания полагать, что факторы воздействующие на стабилизатор в полёте, оказывают существенное влияние на его точность? Уровень значимости принять равным .
Задание 62. Ожидается, что добавление специальных веществ уменьшает жёсткость воды. Оценки жёсткости воды до и после добавления специальных веществ по 40 и 50 пробам соответственно показали средние значения жёсткости (в гра-дусах жёсткости), равные и градуса. Гене-ральная дисперсия измерений в обоих случаях предполагается известной и равной град2. Выяснить на уровне зна-чимости подтверждают ли эти результаты ожидаемый эффект?.
Задание 63. Предполагается, что применение новой тех-нологии в производстве микросхем приведёт к увеличению выхода годной продукции. Результаты контроля двух партий продукции, изготовленных по старой и новой технологии, приведены ниже:
Подтверждают ли на уровне значимости эти результаты предположение об увеличении выхода годной продукции?
Задание 64. Два пресса штампуют детали одного наиме-нования. Из партии деталей, изготовленных первым прессом, проверено 1000 деталей, из которых 25 оказались негодными. Из 800 деталей, изготовленных вторым прессом, негодными оказались 36 деталей. Согласуются ли эти результаты с предположением о равенстве доли брака в продукции двух прессов на уровне значимости ?
Задание 65. Вступительный экзамен по математике прово-дился на двух факультетах института. На машиностроительном факультете из 900 абитуриентов выдержали экзамен 500 человек, а на автомеханическом из 800 абитуриентов выдержали экзамен 408 человек. На уровне значимости проверить гипотезу об отсутствии существенных различий в уровне подготовки абитуриентов двух факультетов.
Задание 66. До наладки станка была проверена точность изготовления 10 втулок и найдено значение оценки дисперсии диаметра мкм2. После наладки подверглись выбороч-ному контролю ещё 15 втулок и получено новое значение оцен-ки дисперсии мкм2. Можно ли на уровне значимости считать, что в результате наладки станка точность изготовления деталей увеличилась?
Задание 67. Было произведено 12 измерений диаметра вала. При этом оказалось, что выборочное среднее мм, а выборочная дисперсия мм2. Затем вал поместили в условия с высокой температурой и произвели ещё 8 измерений его диаметра. Выборочное среднее на этот раз оказалось равным мм, а выборочная дисперсия мм2. Предполагается, что генеральные дисперсии и неизвестны, но равны. Выяснить на уровне значимости можно ли сделать вывод, что диаметр вала существенно увеличивается в условиях высокой температуры.
Задание 68. Два штурмана определили пеленг маяка по нескольким замерам, используя различные пеленгаторы. Резуль-таты замеров: при и при . На уровне значимости проверить гипотезу о том, что различие результатов вызвано только случайными оши-бками, если генеральные средние квадратичные отклонения для обоих пеленгаторов известны и равны: и .
Задание 69. Для изучения эффективности профилакти-ческого лекарства против аллергии обследовалось две группы людей, предрасположенных к этому заболеванию. Результаты обследования следующие:
Выяснить на уровне значимости показывают ли эти результаты эффективность лекарства?
Задание 70. Два токарных станка-автомата изготовляют детали по одному чертежу. Из продукции первого станка было отобрано деталей, а из продукции второго де-талей. Выборочные дисперсии контрольного размера, опреде-лённые по этим выборкам: мкм2 и мкм2. Проверить на уровне значимости гипотезу о равенстве дисперсий, если альтернативная гипотеза утверждает, что дисперсия размера для второго станка больше, чем для первого.
V.ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
В заданиях 71 – 80 для каждой из приведенных ниже груп-пированных случайных выборок: а) проверить, используя крите-рий при уровне значимости 0.05, гипотезу о том, что они получены из нормально распределенных генеральных сово-купностей; б) построить на одном чертеже гистограмму эмпи-рического распределения и нормальную кривую соответству-ющего теоретического распределения.
Задание 71. Результаты измерений роста (в см) 100 студентов:
Середины 162 166 170 174 178 182 186
интервалов
Частоты 10 14 26 28 12 8 2
Задание 72. Результаты измерений внутреннего диаметра (в мкм) 150 поршневых колец:
Середины 29 31 33 35 37 39 41 43 45
интервалов
Частоты 1 13 17 22 30 31 17 15 4
Задание 73. Данные о расходах фирмы на рекламу (в % к общим расходам фирмы) для 1000 фирм, участвовавших в международной выставке:
Середины 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75 4.25
интервалов
Частоты 46 123 525 228 35 28 12 3
Задание 74. Данные о товарообороте (в млн. руб.) 140 продовольственных магазинов города:
Середины 45 55 65 75 85 95 105 115 125
интервалов
Частоты 6 9 20 38 26 21 14 5 1
Задание 75. Данные о содержании меди (в %) в 500 образцах сплава:
Середины 57 59 61 63 65 67 69 71 73
интервалов
Частоты 5 29 63 116 117 102 48 14 6
Задание 76. Результаты измерений входного сопротивления (в Ом) 130 электронных ламп:
Середины 3.3 3.9 4.5 5.1 5.7 6.3 6.9
интервалов
Частоты 2 8 35 40 25 15 5
Задание 77. Данные о среднем годовом надое (в тыс. л) для
200 коров:
Середины 3 4 5 6 7 8
интервалов
Частоты 10 26 56 64 30 14
Задание 78. Данные о содержании деловой древесины в одном дереве (в куб. м) для 150 деревьев:
Середины 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7
интервалов
Частоты 9 15 29 35 32 19 8 3
Задание 79. Результаты наблюдений за среднесуточной температурой воздуха (в С) в течение 300 суток:
Середины -35 -25 -15 -5 5 15 25 35
интервалов
Частоты 6 18 47 80 89 40 16 4
Задание 80. Результаты измерений отклонений диаметров (в мкм) 120 валиков, обработанных на станке, от заданного размера:
Середины -17.5 -12.5 -7.5 -2.5 2.5 7.5 12.5 17.5 22.5
интервалов
Частоты 4 8 15 18 26 19 14 10 6
VI. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ.
В заданиях 81 – 90 для каждой из приведенных ниже выборок (предполагается, что выборки получены из двумерных генеральных совокупностей (X,Y), имеющих нормальное распределение): а) построить корреляционное поле; б) найти уравнение прямой регрессии Y на X и построить ее график; в) вы-числить выборочный коэффициент линейной корреляции и проверить его значимость при .
Задание 81. Результаты 5 измерений величины сжатия Х (в мк) стального бруса под действием нагрузки Y (в кГ):
X 5 10 20 40 60
Y 51,3 78,0 144,3 263,6 375,2
Задание 82. Данные, о сменной добыче угля на одного рабочего Y (т) и мощности пласта Х (м), характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах:
Х 8 11 12 9 8 8 9 9 8 12
Y 5 10 10 7 5 6 6 5 6 8
Задание 83. Результаты 10 измерений, полученных на химическом производстве в течении рабочей смены о зависимости выхода продукта Y (в кг/ч) от температуры реакции Х (в ):
Х 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
Y 5 15 22 39 53 56 64 79 94 100
Задание 84. Данные об уровне механизации работ Х (в %) и производительности труда Y (в т/ч) для 10 промышленных предприятий города:
Х 30 32 36 40 41 47 54 60 69 76
Y 24 20 28 30 31 33 37 38 45 48
Задание 85. Результаты измерений предела выносливости стали при изгибе Y (в ) и предела упругости стали при кручении Х (в ) для 10 марок стали:
Х 51 51 67 71 81 84 89 97 101 105
Y 25 45 30 43 44 43 45 46 57 55
Задание 86. Результаты 11 измерений величины износа резца Y , определяемой его толщиной (в мм) в зависимости от времени работы Х (в часах):
Х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Y 30,0 29,1 28,4 28,1 28,0 27,7 27,5 27,2 27,0 26,8 26,5
Задание 87. Результаты 7 измерений, полученных при исследовании влияния температуры Х (в ) на суточный ход хронометра Y (в сек):
Х 5 10 15 20 25 30 35
Y 2,60 2,01 1,34 1,08 0,94 1,06 1,25
Задание 88. Результаты измерений роста Х (в см) и веса Y (в кг) 10 случайно выбранных студентов-первокурсников:
Х 164 168 170 172 174 180 182 183 183 184
Y 73 52 61 56 67 76 66 63 72 69
Задание 89. Данные о зависимости розничного товарооборота Y (в млн. руб.) от среднесписочного числа работников Х (чел.) для 8 магазинов города:
Х 73 85 102 115 122 126 134 147
Y 0,5 0,7 0,9 1,1 1,4 1,4 1,7 1,9
Задание 90. Результаты измерений (в метрах) уровней Х и Y воды в реке соответственно в пунктах А и В (пункт В находится на 50 км ниже по течению пункта А) в первые 10 дней апреля:
Х 12,1 11,2 9,8 10,4 9,2 8,5 8,8 7,4 6,6 7,0
Y 10,5 9,3 8,3 9,6 8,6 7,1 6,9 5,8 5,2 5,0
В заданиях 91-100 по выборочным данным в следующих корреляционных таблицах требуется: а) вычислить коэффици-ент линейной корреляции и проверить его значимость при =0.05; б) найти уравнения прямых регрессии Y на X и X на Y, построить их графики.
Задание 91. Данные по количеству внесённых удобрений X (в ц/га) и урожайности Y (в ц/га) на 100 га пахотной земли:
Задание 92. Значения диаметров Y (в cм) ствола сосны в зависимости от её высоты X (в метрах) для 26 деревьев:
Задание 93. Данные об уровне механизации работ X (в %) и производительности труда Y (в т/ч) для 100 однотипных пред-приятий:
Задание 94. Данные о площади поражённой части лёгких Y (в %) у 200 людей, заболевших эмфиземой лёгких, в зависимости от числа лет курения X :
Задание 95. Данные о возрасте X ( в годах ) 65 самолётов и стоимости их эксплуатации Y (в млн. руб.):
Задание 96. Данные по 40 предприятиям лёгкой промышле-нности о величине балансовой прибыли Y (в млн.руб.) и объёму произведённой продукции X (в млн. руб.):
Задание 97. Данные о глубине вспашки полей под озимые культуры X (в см.) и их урожайности Y (в ц/га):
Задание 99. Данные о процентном содержании углерода в стали Y (в %) и величине ( - предел текучести стали; - предел прочности стали ):
Задание 98. Данные о фондовооружённости X (в млн. руб.) и энерговооружённости труда Y (в кВт·ч) по 60 предприятиям хи-мической промышленности:
Задание 100. Данные по 50 продовольственным магазинам города об уровне издержек обращения X (в %) и годовому объёму товарооборота Y (в млн. руб.):
ПРИЛОЖЕНИЯ. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Таблица значений функции
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 (продолжение)
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Таблица значений функции
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 (продолжение)
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Критические точки распределения
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Критические точки распределения Стьюдента
ПРИЛОЖЕНИЕ 4 (продолжение)
ПРИЛОЖЕНИЕ 5.1
Критические точки распределения Фишера
(- число степеней свободы большей дисперсии, - число степеней свободы меньшей дисперсии)
ПРИЛОЖЕНИЕ 5.2
Критические точки распределения Фишера
(- число степеней свободы большей дисперсии, - число степеней свободы меньшей дисперсии)