Точные грани числовых множеств

Работа добавлена на сайт samzan.net:

БИЛЕТ 1. Точные грани числовых множеств. Теоремы существования и единственности.

Точной верхней гранью числового множества () называется число, такое что:

1) S- верхняя граница ( ).

2) Для любого положительного числа в множестве M можно найти число , такое что

>-. ( >-)

Точной нижней гранью числового множества () называется число, такое что:

1) S- нижняя граница ( ).

2) Для любого положительного числа в множестве M можно найти число , такое что

+. ( +)

Теорема существования: Пусть , , ограниченное сверху (снизу), тогда существует точная верхняя (нижняя) грань.

Замечание: (аксиома непрерывности множества действительных чисел).

Пусть , , и , , причем и : . Тогда

: и .

, , ограничено сверху.

, .

, и ,.

2) >-

Предположим противное:

- ,

. Получили противоречие.

Аналогично для =.

Теорема единственности: Если числовое множество не пусто и ограничено сверху (снизу), то у него есть единственная ().

Введем следующие условия:

1) числовое множество ограничено сверху, если можно указать такое число , что для всех чисел из множества .

2) числовое множество ограничено снизу, если можно указать такое число , что для всех чисел из множества .

Доказательство:

Рассмотрим множество , состоящее из всех чисел , таких что для любого числа из множества будет . Такие числа существуют, так как множество ограничено сверху. В силу непрерывности множества действительных чисел существует такое число , что для любых чисел (из) и (из).

Покажем, что =. По определению , для всех чисел из множества будет , так что первое условие выполнено. Проверим, что выполнено и второе условие. Предположим, что оно не выполнено, т.е. есть такое положительное число (>0), что для всех чисел из множества будет . Так как , то число не принадлежит множеству . Но это противоречит определению множества , которое было множеством всех чисел , таких что для любого числа из множества будет , а мы нашли число , тоже обладающее таким же свойством и не принадлежащее множеству . Полученное противоречие показывает, что для числа выполнено и второе условие из определения верхней грани.

БИЛЕТ 2. Лемма о вложенных отрезках.

Пусть =, =1,2,…, причем …, то есть ,

. Тогда , то есть .

Доказательство.

Рассмотрим , , ограничено сверху, так как любое является верхней границей множества в силу вложенности отрезков. . Тогда:

а) - верхняя граница , то есть .

б) - наименьшая из всех границ, то есть.

Замечание: Если в условиях леммы хотя бы один из концов исключить, то аналогичная лемма будет не верна.

( ] ] ] ]

0 1/3 1/2 1

БИЛЕТ 3. Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.

Определение: функцию называют числовой последовательностью.

- члены числовой последовательности.

- номер члена числовой последовательности.

или ,

=, -общий член.

Определение: Число называется пределом последовательности (пишут ), если для любого положительного числа (>0) можно указать такое число , зависящее от , что для всех .

Теорема: (о единственности предела): Если -сходящаяся, то предел единственный.

Доказательство:

Пусть , , .

Для определенности имеем:

< <

<. <.

Противоречие.

Теорема: (об ограниченности сходящейся последовательности): Если -сходится, то она ограничена.

- сходящаяся : .

Возьмем =1 .

Обозначим , тогда

, тогда

Отсюда для обоих случаев

Замечание: обратное не верно.

БИЛЕТ 4. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами.

Теорема: (о предельном переходе в неравенство):

Пусть , . . Тогда .

Замечание:

Доказательство (от противного):

Пусть .

Возьмем .

Обозначим

- противоречие.

Замечание: Если для элементов последовательности выполняется , то отсюда не следует, что . .

=, =, .

Теорема (о промежуточной последовательности).

Пусть , и . Тогда существует .

Замечание:

().

Доказательство:

Возьмем произвольный .

. Тогда . . ().

Теорема: (об отделимости от нуля).

Пусть и . Тогда .

Замечание: - ограниченная.

().

БИЛЕТ 5. Бесконечно малые и ограниченные последовательности. Арифметика бесконечно малых последовательностей.

Определение: Последовательность будем называть бесконечно малой последовательностью, если , то есть .

Теорема: бесконечно малая последовательность.

(I)-

(II)-

(I) (II) =

(II)(I) =

Замечание: Фактически мы дали эквивалентность определений сходящейся последовательности.

Определение: Последовательность будем называть ограниченной последовательностью, если .

Замечание: Ранее мы доказали, что всякая сходящаяся, в том числе и бесконечно малая последовательность ограничена.

Арифметика бесконечно малых последовательностей.

Теорема: сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Пусть . Возьмем произвольный.

Аналогично

Обозначим .

Тогда .

То есть

Теорема: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

, - ограниченная, то есть .

Возьмем произвольный.

- бесконечно малая.

Обозначим . Тогда

То есть

Замечание: сходимость ограниченной последовательности здесь не требуется.

БИЛЕТ 6. Теорема об арифметике пределов последовательностей.

Пусть , . Тогда:

1) существует

2) существует

3) если то существует .

Доказательства:

где и - бесконечно малые последовательности.

бесконечно малые.

2) =

бесконечно малая бесконечно малая

бесконечно малая

3) где

- бесконечно малая последовательность.

По условию

-ограниченная.

бесконечно малая.

БИЛЕТ 7. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.

Определение: -монотонно возрастающая (монотонно убывающая), если (). Если неравенства строгие, то последовательности строго возрастающие (убывающие).

Теорема (о пределе монотонной последовательности). Пусть -монотонно возрастает и ограничена сверху. Тогда она сходится, причем .

Доказательство:

ограничена сверху =>по теореме существования точной верхней грани . Докажем, что .

: 1)

2) .

Возьмем произвольный , обозначим из 2).

1)=>

2)=> (монот. возр).

Из этого следует, что , => .

Мы доказали достаточное условие числовой сходимости последовательности (монот. и огр.)

(огр. на б.м.).

БИЛЕТ 8. Число е.

Сложно доказать, что функция при имеет предел. Этот предел обозначается буквой в честь открывшего его петербургского математика Леонарда Эйлера. Установлено, что это- иррациональное число и что =2,718281828459…. Формула, определяющая число по традиции называется второй замечательный предел. . Также число-основание натуральных логарифмов.

Рассмотрим .

1. Ограниченность.

-биноминальный коэффициент.

2. Монотонность.

…

По теореме о монотонности последовательности - сходится.

БИЛЕТ 9. Подпоследовательности. Частичные пределы. Теорема о частичных пределах сходящейся подпоследовательности.

Определение: Пусть дана некая последовательность . Из элементов этой последовательности извлечем другую последовательность , где последовательность -номера элементов исходной последовательности, причем Тогда последовательность -подпоследовательность последовательности .

Замечание: Элементы подпоследовательности выбираются в порядке их следования в исходной последовательности. .

Определение: Если , то -частичный предел последовательности .

Теорема (о частичных пределах сходящейся подпоследовательности): Пусть , тогда .

Доказательство:

Возьмем произвольный , тогда .

Возьмем произвольную . Обозначим . Тогда имеем:

. Таким образом:

Замечание: Понятие частичных пределов для сходящихся последовательностей не нужно.

БИЛЕТ 10. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Теорема: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: (метод деления пополам).

I). Проведем построение системы отрезков.

ограниченная .

Рассмотрим точку - середину отрезка .

1) В отрезке содержится бесконечное число элементов .

Тогда , .

2) В противном случае , , -содержит бесконечное число элементов .

Рассмотрим точку - середину и так далее.

2. в содержится бесконечное число элементов .

3. .

II). Выбор подпоследовательности

По лемме о вложенных отрезках:

1) произвольный элемент из

2) элемент из :

………………………………………………….

k) элемент из :

Докажем, что .

0 ().

БИЛЕТ 11. Критерий Коши сходимости последовательности.

Теорема (критерий Коши): Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Замечание: Условие необходимости (=>), условие достаточности (<=), критерий- условие необходимости и достаточности (<=>).

1) Необходимость: (=>).

Пусть . Возьмем произвольный Тогда .

. Обозначим, тогда

фундаментальна.

2) Достаточность: (<=).

1. фундаментальна => ограниченная .

Возьмем , , тогда .

Обозначим . .

ограничена.

2. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

ограниченная => - сходящаяся. Обозначим

3. Докажем, что

Возьмем произвольный . фундаментальная => .

Обозначим и выберем

Тогда .

. То есть

БИЛЕТ 12. Два определения предела функции. Эквивалентность определений.

Пусть определена в некоторой выколотой окрестности т.

Определение 1 (Гейне): , если , ,

Замечание:

Определение 2 (Коши): , если .

Замечание: , то есть .

Теорема: Определение 1 <=> Определение 2.

Имеем . .

Возьмем произвольную = => .

Обозначим . Тогда 0<.

Т.обр.

., то есть

БИЛЕТ 13. Свойства пределов функций, связанные с неравенствами.

Теорема: Пусть и , тогда .

Теорема: (Локальн. Огр.): Пусть , тогда , :

Возьмем Тогда .

Теорема: Пусть , и . Тогда

Возьмем произвольный , , , причем .

(по теореме о предельном переходе в неравенство) .

Теорема: Пусть , и

. Тогда существует . Возьмем произв. ,

, , причем

сущ. .

Теорема (об отделимости от нуля): Пусть , : .

Доказательство:

Возьмем , тогда

, , .

БИЛЕТ 14. Теорема об арифметике пределов функций.

Теорема: Если существуют и , то:

1). .

2). = (- постоянная).

3). *.

4). , если .

Доказательства:

Доопределив по непрерывности функции и в точке , положив = и = (это изменение функций не влияет на их пределы). В точке будут непрерывны функции , , , (так как =. Поэтому в силу равенства=получим:

1). =.

2). ==

3). =*.

4). =.

БИЛЕТ 15. Первый замечательный предел.

Для доказательства возьмем вектор окружности радиуса 1 с центральным углом, равным (радиан), и проведем . Тогда пл. < пл. сект. < пл. или . Разделив все части этого неравенства на > 0, получим

или . Это неравенство, доказанное для любых из интервала (0;), верно для любого из интервала (-;) в силу четности функций, входящих в это неравенство.

Докажем, что

() при

А раз и , то .

Кроме того: =1

БИЛЕТ 16. Второй замечательный предел.

На первый взгляд кажется, что при имеет пределом единицу (так как 1+при имеет пределом единицу, а единица в любой степени есть единица). Но в степень возводится 1+, а не единица. И вот из-за этой бесконечно малой добавки предел не равен единице. Чтобы приблизительно представить себе поведение функции при малых приведем таблицу значений этой функции:

	1/2	1/3	1/4	0.01	0.001
	2.25	2.37…	2.44…	2.7047…	2.7169…

Из этой таблицы видно, что с уменьшением функция увеличивается. Оказывается, что это имеет место для всех >0, а из этого следует, что функция имеет предел.

Доказательство:

Рассмотрим этот предел, как предел функции натурального аргумента на бесконечность. Тогда:

По определению Гейне:

Вычислим . Рассмотрим ==.

По определению Гейне рассмотрим .

То есть ===.

Также ====

БИЛЕТ 17. Сравнение бесконечно малых функций. Примеры.

Определение: бесконечно малая функция при , если .

Определение: Пусть и- бесконечно малые функции при . Тогда:

1) и эквивалентны при (~,), если .

2) ,- бесконечно малые одного порядка малости при , если . 3) - бесконечно малая более высокого порядка малость, чем .

(=(),), если .

4). имеет -й порядок малости относительно при , если .

5). называется ограниченной относительно бесконечно малой функции при , если .

Примеры:

1). при .

2). (, -бесконечные малости одного порядка).

3). ()

1 0

4). …

()- 2-й порядок малости относительно при .

5).

- произвольная.

БИЛЕТ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции. Критерий эквивалентности. Теорема о замене на эквивалентные.

Определение: функция называется бесконечно малой при , если =0.

Теорема (критерий эквивалентности):

Пусть ,-бесконечно малые функции при .

-. Тогда ~ при .

Доказательства:

(). Пусть ~, , то есть .

=0,

то есть .

()..,.

=1.

Теорема (о замене на эквивалентные):

Пусть функция ~, ~ при и существует , тогда существует и =. То есть выражение или функцию можно заменять на эквивалентное.

=**=.

1 1

БИЛЕТ 19. Определения непрерывности функции в точке. Простейшие свойства непрерывных функций.

Определение 1: Функция непрерывна в точке , если .

Определение 2: Функция непрерывна в точке , если , .

Определение 3: Функция непрерывна в точке , если

Свойства непрерывных функций:

Теорема 1 (локальная огр.): Пусть функция непрерывна в точке , тогда .

Теорема 2 (отделимость от 0): Пусть функция непрерывна в точке и , тогда

. .

Теорема 3 (арифметика непрерывных функций): Пусть , непрерывны в точке , тогда:

1). непрерывна в точке .

2). непрерывно в точке .

3). Если , то непрерывно в точке .

БИЛЕТ 20. Непрерывность сложной функции.

Теорема: если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство:

Возьмем число >0. Так как функция непрерывна в точке то можно подобрать такое число , что

для любого , такого, что . (1)

А так как функция непрерывна в точке , то для положительного числа можно подобрать такое число , что

для любого , такого, что . (2)

Возьмем любое число такое, что . Тогда в силу (2) число удовлетворяет неравенству , и поэтому в силу (1) . Так как все эти вычисления проведены для любого >0, то непрерывность функции в точке доказана.

БИЛЕТ 21. Классификация разрывов. Примеры.

Определение: -точка разрыва функции , если в точке функцияне является непрерывной.

Определение: точка-точка устранимого разрыва функции , если существует , но не определена в точке , либо .

Замечание: Если в точке устранимого разрыва доопределить (переопределить) функцию:

- непрерывна в точке .

Пример: .

, - точка устранимого разрыва .

Если не существует, то -точка неустранимого

разрыва .

Определение: Пусть точка-точка неустранимого разрыва функции , тогда:

если существует , то .
если, то -точка разрыва функции 1-го рода.
если, то -точка разрыва функции 2-го рода.

Примеры:

1). .

- точка разрыва 1-го рода.

2). .

- точка разрыва 2-го рода.

3).

- точка разрыва 2-го рода.

4).

не существует точка - точка разрыва 2-го рода.

, . Точка - точка разрыва 2-го рода.

БИЛЕТ 22. Теорема о нуле непрерывной функции. Теорема Коши о промежуточном значении.

Определение: непрерывна на , если непрерывна в точке ,

непрерывна на , если непрерывна в точке , и

Существует , .

Теорема: Пусть определена на и , причем . Тогда

Пусть , . Используем метод деления отрезка пополам.

Обозначим: , .

Определим

1) =0.

2) < 0, .

3) > 0, и так далее.

По лемме о вложенных отрезках: , то есть .

непрерывна в точке

0 ()

Следствие (т. о промежуточном значении непрерывной функции):

Пусть определена на и , , ,

Тогда : .

Пусть для ограничения .

Рассмотрим произвольн. :

непрерывна на .

Из этих двух утверждений следует:

, то есть .

БИЛЕТ 23. Первая теорема Вейерштрасса.

Пусть . Тогда ограничена на.

Доказательство:

Докажем, что .

Предположим противное, то есть . Возьмем =1,2,3…

Получим :

Из этих определений получаем .

=> -подпоследовательность последовательности :

-непрерывна в точке => .

-подпоследовательность последовательности : => . Противоречие.

Замечание: Замкнутость по существу. , , но

Не является ограниченной на .

БИЛЕТ 24. Вторая теорема Вейерштрасса.

Пусть . Тогда

Замечание: Непрерывная на отрезке функция на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения, причем в условиях теоремы отрезок по существу.

Доказательство:

По условию теоремы => ограничена на => Докажем, что . Предположим противное, то есть . Рассмотрим вспомогательную функцию на . По 1 теореме Вейерштрасса ограничена на , то есть .

(<)- верхняя граница. , то есть .

Противоречие.

Следствие: если , то .

БИЛЕТ 25. Равномерная непрерывность и непрерывность в точке. Теорема Кантора (без доказательства).

Определение 1: Функция непрерывна в точке , если .

Определение 2: Функция непрерывна в точке , если , .

Определение 3: Функция непрерывна в точке , если

Функция, непрерывная на отрезке.

Определение: Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка, непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке .

Теорема Кантора: Если функция непрерывна на отрезке , то для любого можно указать такое , что для любых и из таких, что .

+ БОНУС

Доказательство:

Возьмем число . Построим на отрезке точки следующим образом: если точка уже построена, то рассмотрим множество , состоящее из всех точек , удовлетворяющих неравенствам: , .

Положим (см. рисунок), что:

если пусто (и на этом построение заканчивается).

если не пусто.

Заметим, что в силу непрерывности и для любого из отрезка . Последовательность может быть конечной или бесконечной. Предположим, что она бесконечна, тогда для всех . Пусть . Так как

, то функция непрерывна в точке слева, и потому можно указать такое число

, что и для любого из интервала . По определению числа можно найти в интервале . Тогда любое число из интервала принадлежит интервалу , и потому

, что противоречит тому, что . Таким образом, последовательность не может быть бесконечной, и потому существует такой номер , что . Положим: . Возьмем два любых числа

и из отрезка таких, что . Тогда возможны два случая: или обе эти точки попали на некоторый отрезок и тогда , или этого не случилось, и тогда найдется точка между и . Но в этом случае , так как и (доказывается аналогично) , а потому. Так как все приведенные рассуждения справедливы для любого , то теорема доказана.

Смысл этой теоремы состоит в том, что для всех точек отрезка можно по заданному числу подобрать общее для всех точек число (фигурирующее в определении). Для функций, непрерывных на интервале это можно сделать уже не всегда.

БИЛЕТ 26. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Понятие производной функции.

Определение: Пусть функция f(x) определена в окрестности точки .Если ее приращение можно представить в виде ,то говорят ,что f(x) дифференцируема в точке (иногда пишут -величина более высокого порядка, чем а это означает, что )

-линейная функция от .Она называется дифференциалом функции f(x) и обозначается

Пример:

Критерий дифференцируемости:

Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы существовала производная в этой точке.

Доказательство:

1.Необходимость. f(x) дифференцируема в точке это означает . Разделим это равенство на и перейдем к пределу ,т.е. существует , т.е. производная существует.

2.Достаточность. Пусть существует или

, т.е. f(x) дифференцируема в точке .

Итак, , т.е. .Отсюда следует новое обозначение производной и эту величину можно рассматривать как один символ, так и как частное дифференциалов.

Понятие производной функции.

Определение: Производной функции в точке называется предел Очень удобна более короткая запись для этого предела и более короткое обозначение для производной .

БИЛЕТ 27. Алгебраические свойства дифференцируемых функций.

Теорема: Если функции и имеют производные, то

1) .

2) .

3) (постоянная).

4) .

Доказательство: По теореме об арифметике пределов функций, по определению производной и формулам: , и имеем:

1).

2).

===++

+==, так как множители и не зависят от и при являются постоянными, а , поскольку имеет производную и потому непрерывна.

3). (так как ).

4). =.

БИЛЕТ 28. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

Производная сложной функции.

Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке ,а функция z=F(y) имеет производную в точке , тогда сложная функция Ф(x)=F(f(x)) имеет производную в точке .

Доказательство: Функция f(x) непрерывна в окрестности точки , функция F(y) непрерывна в окрестности точки , поэтому в окрестности точки существует сложная функция Ф(x).Функция F(y) имеет производную в точке , поэтому она дифференцируема в этой точке.

(\/)

-бесконечно малая более высокого порядка, чем , но может быть неопределенна в точке =0, поэтому мы доопределяем ее по непрерывности в точке 0 : .Разделим равенство (\/) на :

F(y)=F(y(x))=Ф(x) и тогда равенство запишем в виде . Перейдем к пределу

. окажем, что , то y=f(x) непрерывна в окрестности точки , т.е. (и стремятся к 0 одновременно), т.е. (т.к. бесконечно малая более высокого порядка, чем ), а , т.о. получим формулу .

Инвариантность формы первого дифференциала.

Дифференциал первого порядка имеет тот же самый вид: произведение производной функции на дифференциал аргумента , независимо от того, является аргумент независимой переменной или зависимой.

z-независимая переменная , y-зависит от x

Если y=f(x), то

БИЛЕТ 29. Теорема Ферма.

Теорема Ферма (необходимое условие extr):

Пусть определена на интервале (a,b) и точка если в точке функция f(x) достигает max или min значения и в точке существует производная, то f’()=0.

Доказательство.

Пусть для определенности в точке принимает max значение, т.е . В точке существует производная , тогда (правая и левая производная).Распишем отношение

переходя в этих интервалах к пределу, получим

Замечание.

Теорема носит локальный характер, т.е. точка является локальным экстремумом.

Геометрический смысл теоремы.

В предположение теоремы всегда существует точка, в которой касательная к графику функции параллельная OX.

БИЛЕТ 30. Теорема Ролля.

Теорема Ролля:

Пусть функция y=:

1) непрерывна на отрезке [a,b];

2) дифференцируема (a,b);

3) f(a)=f(b), тогда

Доказательство.

Функция f(x), непрерывна на [a,b] достигает на нем max M и min m значения, т.е . Возможны два случая.

1) и

2) ,тогда либо максимальное значение f(x) либо минимальное значения f(x) достигается внутри интервала (a,b) (не на конце отрезка [a,b]).(f(a)=f(b)). , тогда достигает максимального или минимального значения во внутренней точке интервала (a,b) и по теореме Ферма

Все условия теоремы Ролля существенные. Если выполняется, только 2 из 3(см. картинку), то не существует точка причем (касательная параллельная оси ОХ).

БИЛЕТ 31. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений).

Теорема Лагранжа.

Пусть функция f(x)

-непрерывна на отрезке [a,b];

-дифференцируема на интервале (a,b);

Тогда (формула конечных приращений)

Доказательство.

Рассмотрим функцию .Параметр выберем из условия F(a)=F(b)

Функция F(x) удовлетворяет всем условием т.Ролля (она непрерывна и дифференцируема, как сумма непрерывных и дифференцируемых функций )

Геометрический смысл.

В предположение теоремы существует точка :касательная к графику функции параллельна секущей(хорде).

Следствие.

Пусть f(x) определена, непрерывна и дифференцируема на (a,b). И в каждой точке интервала (a,b) , тогда f(x)=const.

Доказательство.

Пусть x1 и x2 две произвольные точки интервала(a,b),тогда , точка лежит между этими точками x1 и x2, по условию , т.е f(x)=const(в силу произвольности выбора x1 и x2).

БИЛЕТ 32. Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений).

Теорема Коши.

Пусть функции и g(x) определены на интервале (a,b)

1) и g(x) непрерывны на [a,b];

2) и g(x) дифференцируемы на (a,b) причем , тогда

Доказательство.

Рассмотрим функцию параметр выбрали из условия

Для функции F(x) выполнены условия теоремы Ролля. Формулировка теоремы Ролля Сравнивания формулы для , получим утверждение теоремы.

Следствие.

Теорема Лагранжа. Если ,то .

БИЛЕТ 33. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Правило Лопиталя.

Для раскрытия неопределенности вида .Пусть и g(x) определены в окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а и . И пусть в окрестности точки а существуют . Если существует , то и эти пределы равны.

Доказательство.

а - конечное число. Доопределим функции и g(x) в точке х=а, по непрерывности: f(a)=g(a)=0. Рассмотрим отношение . Здесь (использовали теорему Коши). Перейдем к пределу при (т.к и если , то ).
надо сделать замену, x=1/t, тогда , и правило применяется к новой функции .

Теорема 2.

Пусть и g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки а и .Если , то и они равны.

Замечание.

В формулировке теорем необходимо потребовать, чтобы .

-теорема 1 доказана. -теорема 2 формулировка.

Пример, когда нельзя применять правило Лопиталя .

Вычислим предел отношения производных он не существует, т.к. не существует предел числителя и знаменателя. Правило Лопиталя применять нельзя.

Вычислить.

БИЛЕТ 34. Формула Тейлора.

Формула Тейлора.

Пусть функция дифференцируема в точке , тогда , где -бесконечно малая более высокого порядка чем . , где линейная функция, причем .

Можно расписать, что , т.е в окрестности точки функция f(x) ведет себя как линейная. Поставим более общую задачу: для функции y=f(x) найти многочлен порядка n, который обладает следующими свойствами:

Многочлен будем писать в виде

первые равенства получаются путем дифференцирования формулы для и подстановки . Вторые равенства - это требуемые свойства .f(x) у которого существует производная до n порядка включительно можно найти коэффициенты

Многочлен , , многочлен Тейлора для функции f(x).

Обозначим

Рассмотрим функцию и вычислим

Т.о получим ,остаточный член формулы Тейлора.

Пусть функцияf(x) определена на интервале (a,b) и в каждой точке x0 принадлежащей интервалу (a,b) имеем производную до n порядка включительно, тогда , где

Единственность многочлена Тейлора.

Пусть функция представлена в окрестности точки многочлена вида

Доказательство.

Если где её многочлен Тейлора и есть у нас другой многочлен надо показать, что коэффициенты одинаковы

Пусть сократим на

. пусть сократим на и т.д. многочлен Тейлора единственен.

БИЛЕТ 35. Условие постоянства функции. Условие монотонности функции.

На рисунке нарисован график функции , всюду имеющей производную. В точке касательная к и ось образуют острый угол , поэтому ее угловой коэффициент, равный , положителен. Но . Следовательно, . И так будет в любой точке интервала , где функция монотонно возрастает. Напрашивается вывод: если на интервале , то на этом интервале функция монотонно возрастает. Далее, в точке касательная к образует с осью тупой угол , поэтому ее угловой коэффициент, равный отрицателен. А так как , то . Вывод: если на интервале , то на этом интервале функция монотонно убывает. В точке функция имеет максимум. На чертеже ясно, что в этой точке касательная к параллельна оси , и поэтому ее угловой коэффициент равен нулю, так что . При этом слева от этой точки, а справа .

Теорема (достаточный признак монотонности).

1). Если на отрезке , то монотонно возрастает на .

2). Если на отрезке , то монотонно убывает на .

Доказательство:

Возьмем любые числа и , причем <, из интервала . По формуле Лагранжа получаем: , , и поэтому принадлежит интервалу . Так как , то в первом случае , то есть , а во втором , то есть , что и требовалось доказать.

БИЛЕТ 36. Экстремумы функции. Достаточные условия экстремума.

Теорема 1. Необходимое условие экстремума.

Пусть точка х0 является точка экстремума для функции f(x). Тогда, если существует f’(x0), то f’(x0)=0, либо f’(x0) не существует.

В точке х1 – min; в точке х2 – max.

Теорема 2. Достаточное условие строгого extr в терминах первой производной.

Пусть f(x) дифференцируема в некой окрестности точки х0, и в точке х0 f(x) непрерывна. Если f’(x) при переходе через точку х0 меняет знак, то точка х0 является точкой строгого экстремума, при этом 1)если при , а при

то в точке х0 – минимум. 2)если при , а при то в точке х0 максимум.

Доказательство.

Докажем 1) .Теорема Лагранжа . а) Если х-х0>0 и . б) если х-х0<0 и , т.е при переходе через точку х0 не меняет свой знак: >0, т.е точка х0-точка минимума.

2)Доказательство аналогично.

Достаточное условие строгого экстремума в терминах старшей производной.

Пусть в точке х0 у функции f(x) существует n производных, причём Тогда, если n=2k, то в точке х0 экстремум, и если Если n=2k+1 в точке х0 нет экстремума и точка х0 точка возрастания. Если и точка убывания, если .

Следствие. Если в точке х0 у функции f(x) существует , то, если >0, то в точке х0 минимум, <0,то в точке х0 максимум (k=1).

Доказательство.

Разложим функцию f(x) в ряд Тейлора.

или знак определяется первым слагаемым, если n – четное, то знак зависит от знака . По этому, если то >0 – минимум. то <0 – максимум. Если n – нечетное, то знак зависит от и , т.е. при переходе через точку х0 знак меняется, следовательно в точке х0 экстремума нет.

Следствие.

. f’’(x0)>0, >0 – минимум; f’’(x0)<0, <0 – максимум.

БИЛЕТ 37. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба. Необходимое условие перегиба.

Выпуклости функции. Точка перегиба.

Опр. Функция f(x) на интервале (a,b) называется выпуклой вверх (выпуклой вниз), если

()

Геометрически это означает что кривая y=f(x) лежит выше(ниже) прямой.

Достаточное условие строго выпуклости.

Теорема. Если на интервале (a,b) f’’(x)>0, то f(x) выпукло вниз, если f’’(x)<0, то f(x) выпукло вверх.

Доказательство

Рассмотрим разность х2-х1>0

а)Если выпукла вниз.

б) Если выпукла вверх.

Опр. Точка х0 для функции f(x) называется точкой перегиба, если она является концом интервала выпуклота вверх(вниз) и началом интервала выпуклота вниз(вверх)

Необходимое условие точек перегиба.

Если функция дважды непрерывна, дифференцируема в точке х0 и если точка х0 является точкой перегиба, то f’’(x0) = 0

Доказательство. Если бы f’’(x0)>0 то в некоторой окрестности точке х0 f(x) была выпукла вниз. Если бы f’’(x0)<0 то в некоторой окрестности точке х0 f(x) была выпукла вверх. Но это противоречит определению точке перегиба: точка перегиба не принадлежит ни какому интервалу выпуклости.

БИЛЕТ 38. Достаточные условия перегиба графика функции.

Достаточное условие точки перегиба.

Если функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точке х0 кроме, быть может, самой точки х0, но f(x) непрерывна в точке х0 и ее производная меняет знак при переходе через точку х0, то в точке х0 – точка перегиба.

Доказательство.

Т.е. в случае (1) точка х0 является концом интервала выпуклости вверх и началом интервала выпуклости вниз, следовательно точка х0 точка перегиба. В случае (2) точка х0 является концом интервала выпуклости вниз и началом интервала выпуклости вверх, следовательно х0 точка перегиба.

Замечание. Заметим, что если функция y=f(x) выпукла вниз, то ее график лежит выше касательной, если функция y=f(x) выпукла вверх, то ее график лежит ниже касательной.

Теорема. Пусть функция f(x) обладает следующим условием непрерывна в точке x0 и .n-четное y= f(x) выпукла вверх, если и выпукла вниз, если , n+1-нечетное- точка x0-точка перегиба.

Доказательство.

n+1- четное следовательно положение функции у нас зависит только от производной . N-нечетное y(x)>y(кас), если . y(x)<y(кас), если, точка X0-точка перегиба.

1. Реферат- Анурадхапура - древняя столица Цейлона
2. два из четырех Рисунок 1
3. Женское здоровье Ответьте пожалуйста на ниже перечисленные вопросы которые помогут составить наиболе
4. Библия китайских бизнесменов
5. Отчет по лабораторной работе Коллоквиум Комплексная оценка
6. к~рделі салымдар ж~не инвестициялар ~~ымдарыны~ белгілі айырмашылы~тары бар
7. Лекція 7 ldquo;Лускунчикrdquo; ~ видатний балет композитора Петра Ілліча Чайковського у двох актах; балетмейст
8. Преобразование управления персоналом в управлении человеческими ресурсами
9. Прогнозирование развития проблемы перенаселения
10. Курсовая работа- Расчет характеристик электропривода насоса Д5000-32-2 для 2-х способов регулирования производительности
11. Министерство юстиции РФ
12. Строительная физика ФОЕНП 2 кредита 6й семестр Практ
13. Ценность ОЧЕНЬ УНИКАЛЬНОМ СРЕДСТВЕ ОЗДОРОВЛЕНИЯ КОТОРОЕ НЕОБХОДИМО КАЖДОМУ ЧЕЛОВЕКУ С РОЖДЕНИЯ Ре.html
14. Налоговое регулирование место и значение в рыночной экономике
15. Древо возможного и другие истории Бернард ВерберДрево возможного и другие истории.html
16. Контрольная работа по Истории
17. АНТИБИОТИКИ.html
18. РАЗГЛАШЕНИЕ И.html
19. Станкевич Н Українська мова професійного спрямування- Навчальний посібник
20. Влияние гумата плодородие на урожайность овса

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе