Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопросы к экзамену
Матрицей второго порядка называется таблица состоящая из коэффициентов при неизвестном, расположенных в левой части системы. Обозначение: А=() Определитель матрицы А - выражение равное разности произведения элементов стоящих на главной и побочной диагоналях.
Δ1 = |b1 a12| Δ2 = |a11 b1 |
|b2 a22| | a21 b2 |
Х1=Δ1/ Δ; Х2=Δ2/ Δ; Δ≠0
Доказательство: 1 уравнение умножаем на а21, 2 уравнение умножаем на а11 и вычитаем одно из другого.
Матрица — прямоугольная таблица, элементы которой являются числами. Определитель второго порядка - выражение равное разности произведения элементов стоящих на главной и побочной диагоналях. Определитель третьего порядка может быть представлен как сумма попарного произведения элементов любой строки/столбца на соответствующий алгебраическое дополнение (Aig). Aig(-1)igMig, где Mig - дополнительный минор элемента аig (получается путем вычеркивания i-той строки и j-того столбца)
Док-во.: Δ=0*А11+0*А12...+0*Аin=0
Замечание: Если элементы каждой строки умножить на Ω, то исходный определитель умножается на Ωn, где n - порядок определителя.
Доказательство:
|1 2 3| |1 2 3 | |1 2 3 | |1 2 3|
Δ1 = |7 2 1| = 0 = |7 2 1 |(по св-ву 3) =| 7 2 1 |+ |7 2 1|(по св-ву 2) =
|9 6 7| |2*1+7 2*2+2 2*3+1| |2*1 2*2 2*3| |7 2 1|
|1 2 3| |1 2 3|
= |7 2 1| + |7 2 1| = 0 (по св-ву 5)
2*|1 2 3| |7 2 1|
Умножать можно только те матрицы, в которых число столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй.
Обратная матрица - матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу. Существует только тогда, когда detА≠0 (такая матрица называется невырожденной).
1. Находим опред. матрицы А (Δ). 2. Ищем алгебраический дополнения. 3. Записываем матрицу из алгебраических дополнений. 4. Транспонируем матрицу из алгебр. дополнений. 5. Получаем обратную матрицу путем умножения 1/Δ на транспонированную матрицу.
Матричный способ решения: матрицу, обратную данной умножаем на столбец свободных членов исходной матрицы.
Ранг матрицы - порядок базисного минора или максимальный порядок отличного от нуля минора. Минор - определитель квадратный матрицы, находящийся на пересечении к-строк и к-столбцов. Базисный минор - отличный от нуля минор при условии что все миноры более высокого порядка обращаются в ноль.
Элементарные матричные преобразования: перестановка строк/столбцов, умножение строки/столбца на любое число ≠ 0, прибавление/вычитание к одной строке линейной комбинации других строк, вычеркивание нулевой строки. При выполнении этих преобразований ранг матрицы не меняется и мы получаем матрицу эквивалентную данной.
Теорема К.-К: для совместных систем необходимо и достаточно того, чтобы ранг матрицы совпадал с рангом расширенной матрицы.
Замечание: если в1, в2, ...вn = 0, то система однородная (всегда совместна)
Порядок исследования систем: Вычисляем ранг матрицы и расширенной матрицы. Если не совпадает => решений нет.
Если совпадает:
1. r = n то такая система совместна и определена и имеет одно решение. Ищем методом Гаусса.
2. r>n то такая система совместна и неопределенна и имеет множество решений. Выбираем базисный минор, содержащий r строк и r столбцов; неизвестные соответствующие элементам - базисные неизвестные, остальные - свободные члены, выражаем базисные неизвестные через свободные члены и находим множество решений.
Вектор - направленный отрезок. Коллинеарные вектора - лежат на одной прямой или параллельных прямых. Компланарные вектора - принадлежат одной плоскости или параллельным плоскостям.
Сонаправленные вектора - коллинеарные вектора равные по модулю. Противоположные вектора - коллинеарные вектора противоположные по модулю.
Любой вектор α1а1+ α2а2+ ....αnаn= в при α1, α2, αn ≠ 0 называется линейной комбинацией векторов а1, а2, аn.
Любой вектор в представленный, как линейная комбинация векторов а1, а2, аn называется разложенным по этим векторам, при этом α1, α2, αn - коэффициенты разложения.
Базис на плоскости - 2 неколлинеарных вектора, взятых в определенном пространстве
Базис в пространстве - 3 некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке (упорядоченная тройка)
Теорема 1. Пусть даны два неколлинеарных вектора на плоскости е1 и е2 любой им некомпланарный вектор, он может быть разложен по двум этим векторам и это разложение единственное.
Теорема 2. Пусть даны три некомпланарных вектора, тогда любой вектор а может быть разложен по этим векторам и это разложение единственное.
Линейная комбинация α1а1+ α2а2+ ....αкак называется тривиальной (линейно независимой) если все коэффициенты = 0.
Линейная комбинация α1а1+ α2а2+ ....αкак называется нетривиальной (линейно зависимой) если хотя бы один из коэффициентов ≠ 0
Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и наоборот.
Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и наоборот.
Совокупность фиксированной точки и базиса называется декартовой системой координат.
Ортогональный базис (прямоуг. система координат) - три взаимно перпендикулярных вектора.
Орто-нормальный базис - система в которой модуль векторов = 1.
Направляющие косинусы вектора a – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат. Чтобы найти направляющие косинусы вектора a необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора.
Скалярное произведение - произведение модулей двух векторов на cos угла между ними.
Теорема: пусть а и b заданы соответствующими компонентами
а (ХА;УА;ZА) и b (Хb;Уb;Zb)
тогда (аb) = сумме попарных произведений компонентов
(аb) = ХА Хb + УА Уb + ZА Zb
Доказательство: умножим а и b как многочлен на многочлен, используя свойства скалярного произведения.
Векторным произведением а*в называется вектор с удовлетворяющий условиям: с └ а, с └ в; вектора а,в,с образуют правую тройку; |c|= |a||b|*sinα (угол между а и в)
Равенство нулю векторного произведения - условие коллинеарности векторов.
Теорема: если а = ХАi + УАj + ZАk и b = Хbi + Уbj + Zbk
то |i j k|
[ab]= | ХА УА ZА|
| Хb Уb Zb|
Доказательство: умножим а и b как многочлен на многочлен, используя свойства векторного произведения.
Смешанное произведение - скалярное произведение третьего вектора на векторное произведение двух других векторов.
Равенство нулю смешанного произведения - условие компланарности векторов.
Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0
Уравнение прямой проходящей через фиксированную т. М с заданным нормальным вектором А(Х-Х0)+В(У-У0)
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: у = кх+в
уравнение прямой в отрезках: х/а+у/в = 1
уравнение прямой, проходящая через данную точку с данным угловым коэффициентом:
(у-у0) = к(х-х0)
Уравнение прямой проходящей через две данные точки:
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число ,
которое называется нормирующем множителем , то получим
Хcosα + Уsinα - p = 0
Расстояние от точки до прямой d
Чтобы найти расстояние от точки до прямой необходимо координаты этой точки поставить в нормальное уравнение прямой.
Пучок - множество прямых, проходящих через одну точку
А1 х + В1 у + С1 = 0
А2 х + В1 у + С2 = 0
Аn х + Вn у + Сn = 0
Запишем это множество одним уравнением
А1 х + В1 у + С1+Ω(А2 х + В1 у + С2) = 0
Придавая Ω различные значения мы будем получать новые прямые
Пучок прямых: A`X+B`Y+C`=0
Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0 ,у0 ,z0) перпендикулярно вектору n = {A,B,C},называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z) вектор М0М = {x - x0 , y - y0 , z - z0) ортогонален вектору n, следовательно, их скалярное произведение равно нулю: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 (8.1)
Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде: Ax + By + Cz + D = 0
Нормальное уравнение плоскости: cosαХ + cosβУ + cosµZ- p = 0
Расстояние от точки до плоскости: d = | cosαХ + cosβУ + cosµ Z |
Нормальное уравнение получается из общего уравнения плоскости в результате деления его на нормирующий множитель знак которого противоположен знаку D
Ax + By + Cz + D = 0;
1. D=0 Х=0 У=0 Z=0 Плоскость проходит через точку начала координат.
2. С = 0 – плоскость параллельна оси Оz
3. А = 0 – n = {0,B,C}Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.
4. В = 0 – плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.
Если же общее уравнение плоскости является полным ( то есть ни один из коэффициентов не равен нулю), его можно привести к виду:
называемому уравнением плоскости в отрезках.
Если две плоскости (α1 и α2) заданы общими уравнениями вида: A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0, то угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами n1={A1,B1,C1) и n2={A2,B2,C2), получаем, что косинус угла между плоскостями α1 и α2 равен
Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:
а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения:
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
Выведем еще несколько уравнений плоскости. Пусть плоскость проходит через точки М1(х1, у1, z1), M2(x2, y2, z2) и M3(x3, y3, z3), не лежащие на одной прямой. Тогда векторы М1М2={x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1}, М1М3={x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1} и М1М={x - x1, y - y1, z - z1}компланарны, где М(x, y, z) – произвольная точка плоскости. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Используя координатную запись смешанного произведения, получаем:
Это уравнение, которому удовлетворяют координаты х, у, z любой точки, лежащей на искомой плоскости, является уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.
Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.
Для любой точки М(x,y,z), лежащей на данной прямой, вектор М0М = {x - x0,y - y0,z - z0) коллинеарен направляющему вектору а. Поэтому имеют место равенства:
называемые каноническими уравнениями прямой в пространстве.
В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки:
М1(х1, у1, z1) и M2(x2, y2, z2), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М1М2 = {x2 – x1, y2 - y1, z2 - z1}, и уравнения (8.11) принимают вид:
- уравнения прямой, проходящей через две данные точки.
Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях за некоторый параметр t, можно получить так называемые параметрические уравнения прямой:
.
Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида
и косинус угла между ними можно найти по формуле:
Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к соответствующим условиям для их направляющих векторов:
- условие параллельности прямых,
- условие перпендикулярности прямых.
Условием параллельности прямой и плоскости является при этом условие перпендикулярности векторов n и а:
Al + Bm + Cn = 0,
Условием перпендикулярности прямой и плоскости – условие параллельности этих векторов: A/l = B/m = C/n.
Ax2 + By2 + Cхy+ Dx + Ey + F = 0
с=0 (перекрещивающ. член)
Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0
Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Введя обозначение b² = a²-c² можем получить каноническое уравнение эллипса с центром в точке начала координат:
Эксцентриситетом эллипса называется величина Е=с/а
Частные случаи: окружность - множе6ство точек равноудаленных от центра х2+у2=а2
со смещенным центром: (х-х0)2+(у-у0)2=а2
Ax2 + By2 + Cхy+ Dx + Ey + F = 0
с=0 (перекрещивающ. член)
Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0
Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
b² = c² - a² - общее уравнение
- каноническое уравнение гиперболы.
Асимптоты гиперболы:
Ax2 + By2 + Cхy+ Dx + Ey + F = 0
с=0 (перекрещивающ. член)
Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0
Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой.
y² = 2px - общее уравнение
Каноническое уравнение y = ; со смещенным центром y = ;
Функция математические понятие, отражающее связь между элементами множеств.
Способы задания: Табличный способ, графический способ, аналитический способ.
Совокупность всех тех значений, которые принимает аргумент х функции y = f (x), называется областью определения этой функции.
Совокупность всех тех значений, которые принимает сама функция у, называется областью изменения этой функции.
Непрерывная: у=х2+2х-5
Дискретная: у= 2!
1. у=кх+в уравнение прямой
2. у=ахn
n-четн. n-нечетн.
а>0
а>0
а<0
3. Дробно-рациональные функции.
4. Показательная функция: у=ах
а>1
0<а<1
а>1
5. Логарифмическая функция: y=logax
0<а<1
6. Тригонометрические функции.
Функции, определяемые формулами
.