выражение равное разности произведения элементов стоящих на главной и побочной диагоналях

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Вопросы к экзамену

1.  Системы двух уравнений с двумя неизвестными. Правило Крамера.

Матрицей второго порядка называется таблица состоящая из коэффициентов при неизвестном, расположенных в левой части системы. Обозначение: А=() Определитель матрицы А  - выражение равное разности произведения элементов стоящих на главной и побочной  диагоналях.

Δ1 = |b1  a12|   Δ2 = |a11 b1  |

       |b2  a22|           | a21 b2  |

Х1=Δ1/ Δ; Х2=Δ2/ Δ; Δ≠0

Доказательство:  1 уравнение умножаем на а21, 2 уравнение умножаем на а11 и вычитаем одно из другого.

1.  Матрица. Определение. Определитель 2,3 порядка; разложение определителя по элементам строки и столбца.

Матрица — прямоугольная таблица, элементы которой являются числами. Определитель второго порядка  - выражение равное разности произведения элементов стоящих на главной и побочной  диагоналях. Определитель третьего порядка может быть представлен как сумма попарного произведения  элементов любой строки/столбца на соответствующий алгебраическое дополнение (Aig). Aig(-1)igMig, где Mig - дополнительный минор элемента аig (получается путем вычеркивания i-той строки и j-того столбца)

1.   Свойства определителей.
2.  Если все элементы какой-либо строки определителя = 0, то такой определитель = 0

Док-во.: Δ=0*А11+0*А12...+0*Аin=0

1.  При умножении какой либо строки определителя на Ω (число) ≠0, сам определитель умножается на это число;

Замечание: Если элементы каждой строки умножить на Ω, то  исходный определитель умножается на Ωn, где n - порядок определителя.

1.  Если в определителе какая либо строка может быть представлена в виде суммы каких либо элементов, то определитель равен сумме определителей полученных из исходного с заменой данной строки строками слагаемых.
2.  Если в матрице А поменять местами 1 и 2 строки, то знак определителя матрицы сменится на противоположный . Доказательств следует из смены знака алгебраического дополнения.
3.  Если в матрице А имеется две одинаковые строки, то определитель такой матрицы = 0. Доказательство следует из предыдущего свойства:  Δ=- Δ
4.  Если одну из строк матрицы А можно представить в виде линейной комбинации двух других строк, то определитель такой матрицы = 0

Доказательство:

       |1  2  3|           |1            2              3    |                          |1        2        3   |    |1  2  3|

Δ1 = |7  2  1| = 0 = |7            2              1     |(по св-ву 3) =| 7       2        1   |+  |7  2  1|(по св-ву 2) =

       |9  6  7|        |2*1+7    2*2+2   2*3+1|                        |2*1   2*2   2*3|    |7  2  1|
    |1  2  3|     |1  2  3|

=   |7  2  1| +  |7  2  1| = 0 (по св-ву 5)

2*|1  2  3|      |7  2  1|

1.  Линейные операции с матрицами.
2.  Сумма матриц. (сложение/вычитание попарных коэф-тов). выполняется сочетательный и переместительный законы
3.  Умножение матрицы на Ω, то определитель матрицы = Δ*Ωn. Соответствует переместительный, сочетательный и распределительный законы.
4.  Произведение матриц А*В≠В*А

Умножать можно только те матрицы, в которых число столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй.

1.  Обратная матрица. Матричный способ решения.

Обратная матрица - матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу.  Существует только тогда, когда detА≠0 (такая матрица называется невырожденной).

1. Находим опред. матрицы А (Δ). 2. Ищем алгебраический дополнения. 3. Записываем матрицу из алгебраических дополнений. 4. Транспонируем матрицу из алгебр. дополнений. 5. Получаем обратную матрицу путем умножения 1/Δ на транспонированную матрицу.

Матричный способ решения: матрицу, обратную данной умножаем на столбец свободных членов исходной матрицы.

1.   Метод Гаусса.

1.   Ранг матрицы. Элементарные матричные преобразования. Приведение матрицы к треугольному виду.

Ранг матрицы - порядок базисного минора или максимальный порядок отличного от нуля минора. Минор - определитель квадратный матрицы, находящийся на пересечении к-строк и к-столбцов. Базисный минор - отличный от нуля минор при условии что все миноры более высокого порядка обращаются в ноль.

Элементарные матричные преобразования: перестановка строк/столбцов, умножение строки/столбца на любое число ≠ 0, прибавление/вычитание к одной строке линейной комбинации других строк, вычеркивание нулевой строки. При выполнении этих преобразований ранг матрицы не меняется и мы получаем матрицу эквивалентную данной.

1.   Системы линейных уравнений. Общий случай теоремы Кронекера-капели. Схема исследования систем.

Теорема К.-К: для совместных систем необходимо и достаточно того, чтобы ранг матрицы совпадал с рангом расширенной матрицы.

Замечание: если в1, в2, ...вn = 0, то система однородная (всегда совместна)

Порядок исследования систем: Вычисляем ранг матрицы и расширенной матрицы. Если не совпадает => решений нет.

Если совпадает:

1. r = n то такая система совместна и определена и имеет одно решение. Ищем методом Гаусса.

2. r>n то такая система совместна и неопределенна и имеет множество решений. Выбираем базисный минор, содержащий r строк и  r столбцов; неизвестные соответствующие элементам - базисные неизвестные, остальные - свободные члены, выражаем базисные неизвестные через свободные члены и находим множество решений.

1.  Векторы. Основные понятия и определения.

Вектор - направленный отрезок. Коллинеарные вектора - лежат на одной прямой или параллельных прямых.  Компланарные вектора -  принадлежат одной плоскости или параллельным плоскостям.

Сонаправленные вектора - коллинеарные вектора равные по модулю. Противоположные вектора - коллинеарные вектора противоположные по модулю.

1.  Разложение вектора по базису. Базис на плоскости, пространстве. Теорема 1, 2 + доказательства.

Любой вектор α1а1+ α2а2+ ....αnаn= в  при α1, α2, αn ≠ 0 называется линейной комбинацией векторов  а1, а2, аn.

Любой вектор в представленный, как линейная комбинация векторов а1, а2, аn называется разложенным по этим векторам, при этом  α1, α2, αn - коэффициенты разложения.

Базис на плоскости - 2 неколлинеарных вектора, взятых в определенном пространстве

Базис в пространстве - 3 некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке (упорядоченная тройка)

Теорема 1.  Пусть даны два неколлинеарных вектора на плоскости е1 и е2 любой им некомпланарный вектор, он может быть разложен по двум этим векторам и это разложение единственное.

Теорема 2. Пусть даны три некомпланарных вектора, тогда любой вектор а может быть разложен по этим векторам и это разложение единственное.

1.  Линейная зависимость и независимость векторов.

Линейная комбинация α1а1+ α2а2+ ....αкак называется тривиальной (линейно независимой) если все коэффициенты = 0.

Линейная комбинация α1а1+ α2а2+ ....αкак называется нетривиальной (линейно зависимой) если хотя бы один из коэффициентов ≠ 0

Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и наоборот.

Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и наоборот.

1.  Декартовая система координат. Направляющие косинусы.

Совокупность фиксированной точки и базиса называется декартовой системой координат.

Ортогональный базис (прямоуг. система координат) - три взаимно перпендикулярных вектора.

Орто-нормальный базис - система в которой модуль векторов = 1.

Направляющие косинусы вектора a  – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат. Чтобы найти направляющие косинусы вектора a  необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора.

1.   Деление отрезка в данном отношении.

1.  Скалярное произведение. Теорема с доказательством.

Скалярное произведение - произведение модулей  двух векторов на cos угла между ними.

Теорема: пусть а и b заданы соответствующими компонентами

а (ХА;УА;ZА)  и b (Хb;Уb;Zb)

тогда (аb) = сумме попарных произведений компонентов

(аb) = ХА Хb + УА Уb + ZА Zb

Доказательство: умножим а и b как многочлен на многочлен, используя свойства скалярного произведения.

1.  Векторное произведение векторов. Теорема с доказательством.

Векторным произведением а*в  называется вектор с удовлетворяющий условиям: с └ а, с └ в; вектора а,в,с образуют правую тройку; |c|= |a||b|*sinα (угол между а и в)

Равенство нулю векторного произведения - условие коллинеарности векторов.

Теорема: если  а =  ХАi + УАj + ZАk  и  b = Хbi + Уbj + Zbk

то       |i      j     k|

[ab]= | ХА  УА  ZА|

          | Хb  Уb  Zb|

Доказательство: умножим а и b как многочлен на многочлен, используя свойства векторного произведения.

1.   Смешанное произведение векторов и его геометрический смысл.

Смешанное произведение - скалярное произведение третьего вектора на векторное произведение двух других векторов.  

Равенство нулю смешанного  произведения - условие компланарности векторов.

1.   Прямая на плоскости: до нормального уравнения прямой

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0

Уравнение прямой проходящей через фиксированную т. М с заданным нормальным вектором А(Х-Х0)+В(У-У0)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: у = кх+в

уравнение прямой в отрезках:  х/а+у/в = 1

уравнение прямой, проходящая через данную точку с данным угловым коэффициентом:

(у-у0) = к(х-х0)

Уравнение прямой проходящей через две данные точки:

1.   Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение прямых на плоскости. Пучок прямых.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число                                                ,

которое называется нормирующем множителем , то получим

Хcosα + Уsinα - p = 0

Расстояние от точки до прямой  d    

Чтобы найти расстояние от точки до прямой необходимо координаты этой точки поставить в нормальное уравнение прямой.

Пучок - множество прямых, проходящих через одну точку

А1 х + В1 у + С1 = 0

А2 х + В1 у + С2 = 0

Аn х + Вn у + Сn = 0

Запишем это множество одним уравнением

А1 х + В1 у + С1+Ω(А2 х + В1 у + С2) = 0

Придавая Ω различные значения мы будем получать новые прямые

Пучок прямых: A`X+B`Y+C`=0

1.   Плоскость в пространстве. До частных случаев.

Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0 ,у0 ,z0) перпендикулярно вектору n = {A,B,C},называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z) вектор М0М = {x - x0 , y - y0 , z - z0) ортогонален вектору n, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:  A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 (8.1)

Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде:  Ax + By + Cz + D = 0

Нормальное уравнение плоскости:  cosαХ + cosβУ + cosµZ- p = 0

Расстояние от точки до плоскости: d = | cosαХ + cosβУ + cosµ Z |

Нормальное уравнение получается из общего уравнения плоскости в результате деления его на нормирующий множитель                                  знак которого противоположен знаку D

1.  Частные случаи расположения плоскостей в пространстве. Уравнение плоскости через три данный точки. Взаимно расположение плоскостей в пространстве.

Ax + By + Cz + D = 0;

1. D=0 Х=0 У=0 Z=0 Плоскость проходит через точку начала координат.

2.  С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

3. А = 0 – n = {0,B,C}Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.

4. В = 0 – плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.

Если же общее уравнение плоскости является полным ( то есть ни один из коэффициентов не равен нулю), его можно привести к виду:

                     называемому уравнением плоскости в отрезках.

 Если две плоскости (α1 и α2) заданы общими уравнениями вида: A1x+B1y+C1z+D1=0   и   A2x+B2y+C2z+D2=0, то  угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами n1={A1,B1,C1) и n2={A2,B2,C2), получаем, что косинус угла между плоскостями  α1 и α2  равен

                                                                 

Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:

                                                                                                        

а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения:

                    A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0

 Выведем еще несколько уравнений плоскости. Пусть плоскость проходит через точки М1(х1, у1, z1), M2(x2, y2, z2) и M3(x3, y3, z3), не лежащие на одной прямой. Тогда векторы  М1М2={x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1}, М1М3={x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1} и М1М={x - x1, y - y1, z - z1}компланарны,  где М(x, y, z) – произвольная точка плоскости. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Используя координатную запись смешанного произведения, получаем:

                                                                                 

Это уравнение, которому удовлетворяют координаты х, у, z любой точки, лежащей на искомой плоскости, является уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

1.  Прямая в пространстве. Взаимно расположение прямых в пространстве. Взаимно расположение прямой и плоскости в пространстве.

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

 Для любой точки М(x,y,z), лежащей на данной прямой, вектор М0М = {x - x0,y - y0,z - z0) коллинеарен направляющему вектору а. Поэтому имеют место равенства: 

                                                      называемые каноническими уравнениями  прямой в пространстве.

В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки:

М1(х1, у1, z1) и M2(x2, y2, z2), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М1М2 = {x2 – x1, y2 - y1, z2 - z1}, и уравнения (8.11) принимают вид:

                   

                                                                -   уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях  за некоторый параметр t, можно получить так называемые параметрические уравнения прямой:

                           .

Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида

  и    косинус угла между ними можно найти по формуле:

             

Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к соответствующим условиям для их направляющих векторов:

   -  условие параллельности прямых,

  -   условие перпендикулярности прямых.

Условием параллельности прямой и плоскости является при этом условие перпендикулярности векторов n и а:

                     Al + Bm + Cn = 0,

Условием перпендикулярности прямой и плоскости – условие параллельности этих векторов:   A/l = B/m = C/n.     

1.  Общее уравнение кривых во ого порядка. Эллипс.

Ax2 + By2 + Cхy+ Dx + Ey + F = 0

с=0 (перекрещивающ. член)

Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0

Эллипсом  называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Введя обозначение b² = a²-c²  можем получить каноническое уравнение эллипса с центром в точке начала координат:                 

Эксцентриситетом эллипса называется величина Е=с/а 

Частные случаи: окружность - множе6ство точек равноудаленных от центра  х2+у2=а2

со смещенным центром: (х-х0)2+(у-у0)2=а2

1.  Общее уравнение кривых во ого порядка. Гипербола.

Ax2 + By2 + Cхy+ Dx + Ey + F = 0

с=0 (перекрещивающ. член)

Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0

Гиперболой  называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

b² = c² - a² - общее уравнение

  - каноническое уравнение гиперболы.  

Асимптоты гиперболы:

1.   Общее уравнение кривых во ого порядка. Парабола.

Ax2 + By2 + Cхy+ Dx + Ey + F = 0

с=0 (перекрещивающ. член)

Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0

Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой.

 y² = 2px - общее уравнение  

Каноническое уравнение y = ; со смещенным центром  y = ;

1.   Приведение общего уравнения к каноническому виду. Метод выделения полного квадрата.

1.   Функции. Способ задания. Область определения и изменения функции. Примеры непрерывных и дискретных величин (функций).

Функция математические понятие, отражающее связь между элементами множеств.

Способы задания: Табличный способ, графический способ, аналитический способ. 

Совокупность всех тех значений, которые принимает аргумент х функции y = f (x), называется областью определения этой функции.

Совокупность всех тех значений, которые принимает сама функция у, называется областью изменения этой функции.

Непрерывная: у=х2+2х-5

Дискретная: у= 2!

1.   Элементарные функции. Обзор.

1. у=кх+в уравнение прямой

2. у=ахn

n-четн.                                                                                       n-нечетн.

а>0

а>0

а<0

3. Дробно-рациональные функции.

4. Показательная функция: у=ах

а>1

0<а<1

а>1

5. Логарифмическая функция: y=logax

0<а<1

6. Тригонометрические функции.

1.   Гиперболические функции. Свойства, определения, графики.

Функции, определяемые формулами

   .

  

1. СПИД
2. Основные законы категории и функции социологии
3. Курсовая работа- Разработка бизнес-плана организации
4. ЗАДАНИЕ 1. 10 1. Создайте новый документ и сохраните его в личной папке под именемФамилияЛаб5.html
5. . Единое Российское государство простиралось от Белого и Баренцева морей на севере от Чернигова Путивля и р
6. СанктПетербургский государственный технологический институт технический университет Кафедра
7. тема органы чувств СС служит для восприятия организмом раздражений из внешней и внутренней сред
8. Стаття 122. Перевищення водіями транспортних засобів встановлених обмежень швидкості руху проїзд на заборо
9. визначити зміст навчання 2 мати матеріал для роботи з учнями 3 розробити методи тобто способи досягнення
10. памяти разработанный для использования в основном в портативных устройствах
11. Наша общая Победа 125009 г
12. Как заработать в партнерской программе
13. идеологических постулатов
14. Утверждаю зав3
15. Тема- Удаление зубных отложений
16. Краткие теоретические сведения Под статически неопределимой понимают такую систему для которой из урав
17. Тема 1 Определения философии Под ldquo;определениемrdquo; мы будем понимать здесь краткий ответ на вопрос- что э
18. то важны А это в первую очередь способность опознаваться отождествительная функция и различать смыслы см
19. Альтернативные источники электроэнергии
20. Эмоция любви как биохимический процесс

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе