тематики доктор физ
Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-06-20
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Утверждаю
Зав. Кафедрой инженерной
математики
доктор физ.-мат. наук
__________/Князев М.А./
Вопросы к экзамену по высшей математике для специальностей ПСФ и СТФ.
- Дифференциальные уравнения (Д.У.). Задачи, приводящие к Д.У. (о свободном падении тела, о прожекторе и др.). Общее и частное решение Д.У., общий и частный интеграл. Задача Коши.
- Д.У. первого порядка. Общее и частное решение, общий и частный интеграл, их геометрическая интерпретация. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
- Д.У. первого порядка с разделяющимися переменными. Особое решение.
- Однородные Д.У. первого порядка.
- Линейные Д.У. первого порядка. Уравнение Бернулли.
- Уравнение в полных дифференциалах. Восстановление функции по её полному дифференциалу.
- Д.У. высших порядков. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.
- Линейные однородные Д.У. высших порядков. Структура общего решения однородного уравнения. Решение линейных однородных Д.У. с постоянными коэффициентами.
- Метод Лагранжа вариации постоянных решения линейных неоднородных Д.У. высших порядков. Структура общего решения неоднородного уравнения.
- Решения линейных неоднородных Д.У. высших порядков с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Структура общего решения неоднородного уравнения.
- Простейшие численные и аналитические методы решения Д.У. первого порядка. Метод Эйлера.
- Нормальные системы Д.У. Задача Коши. Общее и частное решение. Линейные нормальные системы Д.У.
- Решение линейных однородных и неоднородных нормальных систем Д.У. с постоянными коэффициентами (случай действительных различных корней характеристического уравнения).
- Устойчивость, асимптотическая устойчивость по Ляпунову решения систем Д.У. Устойчивость решения линейных систем Д.У. с постоянными коэффициентами. Фазовое пространство (случай плоскости).
- Устойчивость решения систем Д.У. Типы точек покоя для системы двух Д.У. с постоянными коэффициентами.
- Числовые ряды, их сходимость. Сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Критерий Коши сходимости ряда. Простейшие свойства числовых рядов. Линейные операции над сходящимися рядами.
- Признак сравнения и предельный признак сравнения сходимости рядов с неотрицательными членами.
- Признаки Даламбера, Коши и интегральный признак Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.
- Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. Абсолютная и условная сходимость. Достаточные признаки сходимости (сравнения, Даламбера, Коши). Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
- Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда Лейбница.
- Функциональные ряды. Область сходимости. Признаки Даламбера и Коши для определения области сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов (достаточные условия непрерывности суммы ряда, почленной интегрируемости и дифференцируемости рядов).
- Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал, радиус сходимости. Свойства степенных рядов.
- Ряды Тейлора. Необходимое и достаточное условие представления функции рядом Тейлора. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена (ex, sinx, cosx, (1+x)α, 1π(1+x)). Применение степенных рядов в приближённых вычислениях (функций, интегралов, решении дифференциальных уравнений).
- Периодические функции. Гильбертово пространство. Ортогональные и ортонормированные системы функций. Тригонометрический ряд Фурье 2π-периодической функции. Достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье (теорема Дирихле).
- Ряд Фурье для периодической функции с произвольным периодом T=2l. Разложение в ряд Фурье непериодической функции на заданном отрезке длины 2l, 2π.
- Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций; функций, заданных на отрезке [0,l] или [0,π] (продолжение чётным и нечётным образом).
- Приближение функций в среднем с помощью тригонометрического многочлена. Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Интеграл, преобразование Фурье.
- Комплексные числа, формы их представления и действия над ними. Комплексная плоскость.
- Множества на комплексной плоскости : открытое, замкнутое, связное, область. Примеры. Функция комплексной переменной, предел, непрерывность. Отображение областей.
- Однозначные функции комплексной переменной : степенная Zn, дробно-рациональная, показательная ez, тригонометрические, гиперболические.
- Многозначные функции комплексной переменной : логарифмическая, Zα, az, обратные тригонометрические и гиперболические.
- Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитические, гармонические функции.
- Производная функции комплексной переменной. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции.
- Отображение областей. Конформные отображения. Примеры простейших отображений : линейное, дробно-линейное, Zn, ez.
- Интегрирование функций комплексной переменной. Свойства интеграла. Интеграл по разомкнутому контуру..
- Интеграл по замкнутому контуру. Теорема Коши для односвязной и многосвязной области. Интегральная формула Коши.
- Ряды в комплексной области. Числовой ряд. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Равномерная сходимость.
- Ряд Тейлора. Ряд Лорана. Правильная и главная часть ряда Лорана. Примеры основных разложений аналитических функций в ряд Маклорена.
- Изолированные нули и особые точки аналитической функции. Определение типа особой точки. Поведение функции в бесконечно удаленной точке.
- Вычеты аналитической функции в изолированной особой точке. Вычисление вычетов.
- Применение вычетов при вычислении интегралов, в операционном исчислении. Основная теорема о вычетах.
- Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Основные теоремы об оригиналах и изображениях.
- Таблица простейших оригиналов и изображений. Смещение в области оригинала и изображения. Свёртка оригиналов. Определение изображения по оригиналу.
- Нахождение оригинала по изображению. Изображение свёртки оригиналов. Теорема Бореля. Интеграл Дюамеля. Формулы разложения. Применение вычетов.
- Применение операционного исчисления для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем.