Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Тема для самостійного опрацювання 6
ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ ТА ТЕОРІЇ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ
Теорія випадкових процесів — це розділ математичної науки, який вивчає закономірності випадкових явищ у динаміці їхнього розвитку.
1. Означення випадкового процесу
та його характеристики
Випадковим процесом називається процес, значення яко-го за будь-якого значення аргументу t є випадковою величиною.
Реалізацією випадкового процесу називається детермінована функція , на яку перетворюється випадковий процес внаслі-док випробування, тобто його траєкторія.
Кілька реалізацій певного випадкового процесу зображено на рис. 18. Нехай переріз цього процесу при даному t є неперервною випадковою величиною. Тоді випадковий процес при даному t визначається щільністю ймовірності
Очевидно, що щільність імовірності не є вичерпним заданням випадкового процесу , оскільки вона не виражає залеж-ності між його перерізами в різні моменти часу.
Випадковий процес являє собою сукупність усіх перерізів за всіх можливих значень t, тому для його задання необхідно розглядати багатовимірну випадкову величину утворену з усіх перерізів цього процесу.
Таких перерізів нескінченно багато, але для задання випадкового процесу вдається обмежитись порівняно невеликою кількістю перерізів.
Випадковий процес має порядок п, якщо він повністю визначається щільністю спільного розподілу п довільних перерізів процесу, тобто щільністю п-вимірної випадкової величини де — переріз випадкового процесу у момент часу
Рис. 18
Випадковий процес може бути заданий числовими характеристиками.
Математичним сподіванням випадкового процесу називається детермінована функція яка за будь-якого значення змінної t дорівнює математичному сподіванню відповідного перерізу випадкового процесу , тобто
Дисперсією випадкового процесу називається детермінована функція , яка за будь-якого значення змінної t дорівнює дисперсії відповідного перерізу випадкового процесу , тобто
Середнім квадратичним відхиленням випадкового про-
цесу називається арифметичне значення квадратного кореня з його дисперсії, тобто
Математичне сподівання випадкового процесу характеризує середню траєкторію всіх можливих його реалізацій, а його дисперсія або середнє квадратичне відхилення — розкид реалізацій відносно середньої траєкторії.
Кореляційною функцією випадкового процесу називається детермінована функція:
двох змінних і , яка для кожної пари змінних і дорівнює коваріації відповідних перерізів і випадкового процесу.
Кореляційна функція характеризує не лише ступінь близькості лінійної залежності між двома перерізами, а й розкид цих перерізів відносно математичного сподівання
Тому розглядається також нормована кореляційна функція випадкового процесу.
Нормованою кореляційною функцією випадкового процесу називається функція
Випадкові процеси можна класифікувати залежно від того, плавно чи стрибкоподібно змінюються стани системи, в якій вони відбуваються, скінченна чи нескінченна множина цих станів. Серед випадкових процесів особливе місце посідають марковські випадкові процеси, що становлять основу теорії масового обслуговування.
2. Основні поняття теорії
масового обслуговування
На практиці часто доводиться стикатися із системами, призначеними для багаторазового використання під час розв’язування однотипних задач. Процеси, які при цьому відбуваються, називають процесами обслуговування, а відповідні системи — системами масового обслуговування (СМО).
Прикладами таких систем є телефонні системи, ремонтні майстерні, обчислювальні комплекси, каси, де продаються залізничні чи авіаквитки, магазини, перукарні тощо.
Кожна МСО складається з певної кількості обслуговуваних одиниць (пристроїв, пунктів, станцій), які називатимемо каналами обслуговування. Каналами можуть бути лінії зв’язку, робочі точки, обчислювальні машини, продавці і т. ін. За кількістю каналів СМО поділяються на одно- та багатоканальні.
Заявки надходять до СМО звичайно не регулярно, а випадково, створюючи так званий випадковий потік заявок (посилань). Обслуговування заявок також триває протягом певного випадкового часу. З огляду на випадковість потоку заявок і часу обслуговування СМО завантажуються нерівномірно: у певні періоди нагромаджується дуже багато заявок (вони або стають у чергу, або залишають СМО не обслуговуваними), в інші періоди СМО працює з недовантаженням або простоює.
Предметом теорії масового обслуговування є побудова математичних моделей, що пов’язують задані умови роботи СМО з показниками її ефективності, які описують здатність цієї системи обробляти потоки заявок.
Показники ефективності СМО такі:
СМО поділяються на два основні класи: СМО з відмовами і СМО з очікуванням (чергою).
У СМО з відмовами заявка, яка надійшла в момент, коли всі канали були зайняті, отримавши відмову, залишає СМО і в подальшому процесі обслуговування не бере участі.
У СМО з очікуванням заявка, що надходить у момент, коли всі канали зайняті, не залишає систему, а стає в чергу на обслуговування.
Процес роботи СМО являє собою випадковий процес.
Процес називається процесом із дискретними станами, якщо його можливі стани можна зарані перелічити, а перехід системи з одного до іншого відбувається миттєво (стрибкоподібно). Процес називається процесом із неперервним часом, якщо моменти можливих переходів системи з одного стану до іншого не фіксовані заздалегідь, а випадкові.
Процес функціонування СМО являє собою випадковий процес із дискретними станами та неперервним часом.
Математичний аналіз роботи СМО істотно спрощується, якщо процес цієї роботи — марковський.