Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Тема для самостійного опрацювання.
Додаткові закони розподілу неперервних випадкових величин
План
1.Гамма-розподіл
1.1 .Числові характеристики
2. Розподіл Ерланга k-го порядку
2.1. Числові характеристики
3.Експоненціальний закон розподілу
3.1. Числові характеристики
4. Бета-розподіл
4.1. Числові характеристики
5. Розподіл Вейбулла
5.1. Числові характеристики
6. Закони розподілу випадкових величин, пов’язаних із нормальним законом розподілу
6.1. Розподіл 2 (хі-квадрат).
6.2. Розподіл
6.3. Розподіл
6.4. Розподіл
6.5. Розподіл Стьюдента
6.6. Розподіл Фішера—Снедекора
7.Рівномірний закон розподілу
7.1. Числові характеристики
1. Гамма-розподіл
Неперервна випадкова величина Х має гамма-розподіл імовірностей, якщо
де , С — константа, яка визначається із умови нормування:
Тут
де називають гамма-функцією.
Таким чином,
. (275)
Тоді
(276)
Функція розподілу ймовірностей
(277)
Отже, гамма-розподіл визначається двома параметрами і .
Розглянемо властивості гамма-функції:
(278)
Зінтегруємо
Отже,
. (279)
Якщо, наприклад, = n, де n — ціле невід’ємне число, то:
Г(n + 1) = nГ(n).
Використовуючи рівність (278) для Г(n), дістаємо:
Г(n) = (n – 1)Г(n – 1),
для Г(n – 1) рівність (278) набуде такого вигляду:
Г(n – 1) = (n – 2)Г(n – 2)
і так для кожного цілого значення аргументу гамма-функції.
Таким чином,
Г(n + 1) = n Г (n) = n(n – 1) Г (n – 1) =
= n (n – 1) (n – 2)Г(n – 2) = … =
= n(n – 1)(n – 2) … Г(1) = n(n – 1)(n – 2) … 1 = n!
Отже,
Г(n + 1) = n! (280)
Так, наприклад, Г(6) = 5! = 5 4 3 2 1 = 120.
1.1. Числові характеристики
1.
. (281)
2.
= | здійснивши таку саму заміну, як і для визначення М (Х), дістанемо | =
;
. (282)
3. (283)
2. Розподіл Ерланга k-го порядку
Якщо в гамма-розподілі k набуває лише цілих значень (k 1), то гамма-розподіл перетворюється в розподіл Ерланга k-го порядку, щільність ймовірностей якої
(283а)
Функція розподілу ймовірностей
(283б)
Закону розподілу Ерланга k-го порядку підлягає сума незалежних випадкових величин х = х1 + х2 + … + хк, кожна з яких має експоненціальний закон із параметром .
2.1. Числові характеристики
(283в)
Приклад 8. Задано
Знайти С і F(x). Обчислити М (Х), D (Х), (Х).
Розв’язання. Із умови задачі маємо:
Використовуючи формули (275), (276), (277), (281), (282), (283), записуємо:
.
Тоді
3. Експоненціальний закон розподілу
Експоненціальним законом випадкової величини називають гамма-розподіл, в якому = 1.
Для цього закону розподілу
(284)
(285)
Графіки f (x), F(x) зображені на рис. 102 і 103.
3.1. Числові характеристики
Оскільки = 1, маємо такі співвідношення.
1. (286)
2. . (287)
3. . (288)
4. Me для експоненціального закону визначається так:
(289)
Серед усіх законів неперервних випадкових величин лише експоненціальному притаманна властивість — відсутність післядії, а саме: якщо пов’язати випадкову величину із часом, то для цього закону минуле не впливає на передбачення подій у майбутньому. Цю властивість експоненціального закону використовують у марківських випадкових процесах, теорії масового обслуговування, теорії надійності.
Властивість відсутності післядії унаочнює рис. 104.
Рис. 104
На рис. 104 зображено щільність експоненціального закону Коли збіжить час t0, який вигляд матиме щільність експоненціального закону на проміжку[t0, ]?
Розглянемо заштриховану область. Щоб звести заштриховану область до стандартного для щільності вигляду, маємо виконати таке нормування, щоб площа, обмежена f (t) на проміжку [t0, ], дорівнювала одиниці. Дістанемо нову щільність імовірностей, визначену для t [t0, ], яка буде точною копією початкової функції.
Приклад 9. Задано
Визначити М (Х), (Х), Ме.
Розв’язання. Використовуючи формули (286—289), одержимо:
оскільки ;
4. Бета-розподіл
Неперервна випадкова величина Х має бета-розподіл, якщо
Для визначення С використовуємо умову нормування
.
Інтеграл називають бета-функцією і позначають , де
Тобто:. (290)
Отже, знайдемо
. (290а)
Як відомо,
Якщо t = my, то
Позначимо .
Тоді
. (291)
Підставляючи вираз (291) у (290а), дістаємо
.
Остаточно маємо:
тоді . (292)
Отже,
(293)
(294)
4.1. Числові характеристики
1.
(295)
2.
;
3.
(296)
4. . (297)
Приклад 10. Задано
Знайти С, М (Х), D (Х), (Х).
Розв’язання. Використовуючи формули (292), (295), (296), (297):
5. Розподіл Вейбулла
Неперервна випадкова величина Х має розподіл Вейбулла, якщо
За умовою нормування визначимо сталу С:
(298)
Щільність імовірностей для розподілу Вейбулла:
(299)
Функція розподілу ймовірностей
Звідси
(300)
Отже, розподіл Вейбулла визначається двома параметрами , .
5.1. Числові характеристики
1.
(301)
2.
.
3. . (302)
4. . (303)
Приклад 11. За заданими параметрами = 2, = 4 записати математичний вираз для f (x), F (x) і обчислити числові характеристики М (X), D (X), (X).
Розв’язання. Використовуючи (302) — (306),
1. ;
що було нами доведено;
2.
3. .
6. Закони розподілу випадкових величин, пов’язаних із нормальним законом розподілу
Нормальному закону розподілу належить центральне місце в побудові статистичних моделей у теорії надійності та математичній статистиці.
6.1. Розподіл 2 (хі-квадрат)
Якщо кожна із Xі (і = 1, 2, …, k) незалежних випадкових величин характеризується нормованим законом розподілу ймовірностей , то випадкова величина матиме розподіл 2 із k ступенями свободи, щільність імовірностей якої буде
Використовуючи умову нормування, знаходимо
;
Тоді (304)
Отже, (305)
Функція розподілу ймовірностей
(306)
10.1.1. Числові характеристики
= ;
. (307)
;
;
3. ;
. (308)
4. . (309)
Приклад 12. Кожна з 10 незалежних випадкових величин хі має закон розподілу N (0; 1). Записати вирази для f (x), F(x) і обчислити M (X), D (X), (X).
Розв’язання. Використовуючи (308)—(312), дістаємо:
Таким чином,
6.2. Розподіл
Нехай випадкова величина Y має розподіл 2 із k ступенями свободи:
Знайти f (x), якщо . Оскільки Y = kХ і при цьому , то згідно зі (196) дістанемо
Отже, щільність імовірностей розподілу
(310)
6.3. Розподіл
Нехай випадкова величина Y має розподіл 2 із k ступенями свободи:
Знайдемо f (x), якщо . Оскільки Y = x2 = (х), то . Використовуючи (196), дістаємо
Випадкова величина Х має розподіл , якщо
(311)
Функція розподілу ймовірностей
(312)
Числові характеристики -розподілу
1.
=
. (313)
2.
;
; (314)
3. . (315)
4. . (316)
Приклад 13. Випадкова величина Х має розподіл із k = 8 ступенями свободи. Записати вираз для f (x), F(x) і обчислити M(X), D(X), (X).
Розв’язання. Обчислимо гамма-функції для k = 8:
=
Тут 7!! — добуток натурального ряду непарних чисел, починаючи від 1 до 7.
У загальному вигляді
(2n – 1)!! (317)
Отже,
6.4. Розподіл
Нехай випадкова величина Y має розподіл із k ступенями свободи
Необхідно знайти f (x), якщо . Оскільки Y = Х = (х) і при цьому , то
.
Отже,
(318)
6.5. Розподіл Стьюдента
Незалежні випадкові величини Y і Х мають закони розподілу:
Знайти f (z), якщо . Для зручності подальших перетворень запишемо f (x) у вигляді
Використовуючи формулу (217), дістаємо:
Отже, якщо Y має розподіл N (0, 1), а випадкова величина Х – , то випадкова величина характеризуватиметься розподілом Стьюдента зі щільністю ймовірностей
(319a)
Тоді функція розподілу ймовірностей
. (319б)
Числові характеристики розподілу Стьюдента
.
Оскільки підінтегральна функція є непарною, а межі інтегрування симетричні відносно нуля:
. (320)
3. . (321)
4. . (322)
Приклад 14. Випадкова величина Х має розподіл Стьюдента із k = 7 ступенями свободи. Записати вираз для f (x), F(x) і обчислити M(X), D(X), (X).
Розв’язання. За заданим числом ступеней свободи k = 7 обчислимо гамма-функції:
;
;
;
;
.
6.6. Розподіл Фішера—Снедекора
Нехай задано дві незалежні випадкові величини Y і Х, які мають закони розподілу:
Знайти f (z), якщо Z = . Оскільки Y = ZХ і при цьому 0 < x < ; 0 < y < ; 0 < z < , то згідно з (217), дістаємо:
Отже, якщо випадкова величина Х має розподіл , а Y — , де k1 — число ступенів свободи випадкової величини Х, k2 — число ступенів свободи Y, і при цьому Х і Y не корельовані, то Z = має розподіл Фішера—Снедекора зі щільністю ймовірностей
(323)
Функція розподілу ймовірностей
(324)
Числові характеристики розподілу Фішера—Снедекора
(325)
2.
=
=
Отже,
3.
;
. (326)
4. . (327)
7. Рівномірний закон розподілу
Неперервна випадкова величина Х, що визначена на проміжку [a, b], має рівномірний закон розподілу, якщо
Функція розподілу ймовірностей
7.1. Числові характеристики
де
Тоді
3. ;
4. ;
5.
Приклад 15. Випадкова величина Х має розподіл Фішера із k1 = 6, k2 = 8 ступенями свободи. Записати вирази для f (x), F (x) і обчислити M(X), D(X), (X).
Розв’язання. Обчислимо значення гамма-функцій:
= 3! = 6;
= 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720.
Тоді
Із розглянутих законів: 2, , розподіл Стьюдента, розподіл Фішера—Снедекора можна зробити висновок, що вони не залежать від параметрів тих законів розподілу, які лежать в основі їх побудови, а залежать лише від числа ступенів свободи.