Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Часть 2. СТРАХОВЫЕ РИСКИ
Решение.
Обозначим суммарные выплаты S, вычислим среднее и дисперсию:
ES = 300*90 = 27000,
DS = 100*100*90 = 900000.
Т.к. величина S есть сумма 90 независимых одинаково распределенных случайных величин (размеров выплат), то нормированная величина имеет распределение, близкое к нормальному, поэтому искомую возможность оценим как .
Ответ: искомая вероятность приблизительно равна 0,02.
Решение.
Будем исходить из того, что число исков по одному полису за 3 месяца имеет распределение Пуассона с параметром q. Тогда число поданных исков за год по одному полису будет иметь распределение Пуассона с параметром 4q (число поданных исков на непересекающихся промежутках времени считаем независимыми). Для 1000 полисов распределение количества исков за год будет иметь распределение Пуассона с параметром 4000q. Из условия задачи
,
откуда следует, что за 9 месяцев число подаваемых исков по 1 полису распределено по закону Пуассона с параметром 0,09, и, в частности, вероятность отсутствия иска по одному полису есть
.
Для 1000 полисов распределение количества исков будет иметь распределение Пуассона с параметром .
Ответ: количество исков распределено по закону Пуассона с параметром 360; вероятность того, что по отдельному полису не будет предъявлено иска, приблизительно равна 0,91.
Также можно исходить из того, что - число исков по одному полису за 3 месяца – имеет распределение Бернулли, т.е. принимает значение 1 с вероятностью p и значение 0 с вероятностью 1-p. Тогда за год число исков по одному полису будет иметь биномиальное распределение - , а количество исков по 1000 полисам будет иметь распределение , где слагаемые независимы и распределены так же, как и . Имеем: . Из условия задачи следует положить ЕS = 120, откуда
.
В этом случае число исков по одному полису за 9 месяцев имеет биномиальное распределение
В частности, вероятность того, что по одному полису за 9 месяцев не будет ни одного иска, составляет , что согласуется с результатом, полученным из приближения Пуассона.
|
Число исков |
Число полисов |
|
0 |
3288 |
|
1 |
642 |
|
2 |
66 |
|
3 |
4 |
По этим данным оценить возможность того, что в течение следующего года 2 независимых держателя полиса предъявят только один иск.
Решение. Будем исходить из того, что число подаваемых исков распределено по закону Пуассона с параметром q, который есть среднее значение этого распределения. Обозначим число подаваемых исков по одному полису через N и оценим его среднее по данным таблицы:
,
откуда число подаваемых исков для двух независимых держателей полиса имеет распределение Пуассона с параметром 0, 393, и искомая вероятность подачи 1 иска есть.
Ответ: искомая вероятность приблизительно равна 0,265.
Замечание. Также можно исходить из того, что число исков, подаваемых по одному полису, имеет биномиальное распределение ,
где слагаемые независимы и имеют распределение Бернулли, т.е. принимают значение 1 с вероятностью p и значение 0 с вероятностью 1-p. Оценка среднего значения дает тот же результат – среднее число исков, предъявляемых двумя независимыми держателями полисов, равно 0,393. С другой стороны, , откуда . Таким образом, распределение числа исков, предъявляемых двумя независимыми держателями полисов, имеет вид
.
В частности, вероятность того, что 2 независимых держателя полисов предъявят только 1 иск, составляет ,
что согласуется с результатом, полученным из приближения Пуассона.
Решение. Искомая вероятность может быть записана в виде суммы
точное значение которой вычислить технически сложно, поэтому оценим ее на основе локальной предельной теоремы (Муавра-Лапласа). Обозначим S – суммарное количество поданных исков и оценим среднее и стандартное отклонение:
Тогда искомая вероятность есть
Величина 0,5 в аргументе нормального распределения введена в целях снижения погрешности приближения.
Ответ: искомая вероятность приблизительно равна 0,95.
Решение. Оценку будем производить в рамках модели индивидуального риска. Суммарные выплаты компании оказались равными $14850. Пусть S – теоретические суммарные выплаты, и нормированное значение этой величины распределено по стандартному нормальному закону. Вычислим среднее и стандартное отклонение S:
Искомая вероятность есть
Ответ: искомая вероятность приблизительно равна 0,05.
|
Число исков |
Число полисов |
|
0 |
3280 |
|
1 |
640 |
|
2 |
64 |
|
3 |
4 |
Построить доверительный интервал для частоты подачи исков q с надежностью 0,95.
Решение. Обозначим N – число поданных исков. Вычислим среднее и дисперсию N (в предположении, что N распределено по закону Пуассона с параметром q):
Тогда величина имеет приблизительно стандартное нормальное распределение. По условию задачи что дает следующие оценки параметра q:
, откуда 0,19<q<0,2 .
Ответ: искомая вероятность .
, ,
, .
Вероятность подачи иска по первому полису 0,1, по второму 0,2. Найти распределение портфеля, состоящего из этих двух полисов, считая их независимыми.
Решение. Выплаты по данному портфелю могут принимать значения 0, 100, 200, 300 и 400. В силу независимости имеем:
,
,
,
,
.
Ответ: вероятности размеров выплат 0, 100, 200, 300 и 400 соответственно равны 0,72, 0,174, 0,0944 и 0,0024.
Решение. Коэффициент Лундберга удовлетворяет в данном случае уравнению
где о функции F(x) известно следующее:
Тогда справедлива цепочка неравенств
и из уравнения для коэффициента Лундберга имеем:
откуда в силу положительности r получаем
Ответ: коэффициент Лундберга
Решение. Коэффициент Лундберга удовлетворяет уравнению:
Заметим, что значит положительный корень меньше, чем 2. Возьмем 2 за начальное приближение и применим метод касательных (Ньютона):
Таким образом, . Заметим, что .
Ответ: коэффициент Лундберга .