Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Цель работы: получение стоячих волн в воздухе и применение их для определения длины, частоты и скорости звуковых волн.
Приборы и принадлежности: металлическая труба-резонатор; прозрачная водомерная труба со шкалой; сосуд с водой, соединенный шлангом с обеими трубами; два различных камертона; резиновый молоточек.
Пусть звуковая волна, возбуждаемая в воздухе в точке 0, распространяется по направлению оси х. Уравнение этой волны в произвольной точке В запишем в виде
ξ1 = α sin[ω(t — x/u)], (1)
где ξ1 — смещение частиц среды от положения равновесия, α — амплитуда волны, ω(t-x/u) — фаза,
ω — круговая частота (ω = 2πν), ν — частота, t — время, x — расстояние от начала координат (0) до точки В,
u — фазовая скорость волны.
После прохождения расстояния l до преграды эта звуковая волна отражается от нее. В результате отражения от более плотной среды, чем воздух, фаза волны изменится на π. Уравнение отраженной волны запишем в виде
ξ2 = α sin[ω(t — (2l — х)/u) + π] = — α sin[ω(t — (2l — х)/u)], (2)
где ξ2 — смещение частиц среды в отраженной волне, (2l — х) — расстояние, пройденное волной от начала координат (точка 0) до преграды и обратно от этой преграды до точки В. Знак минус в последней формуле (2) учитывает сдвиг фазы колебаний на π в точке отражения.
Смещение ξ частиц среды в результате наложения падающей и отраженной волн получим, складывая выражения (1) и (2):
ξ = ξ1 + ξ2 = α { sin[ω(t — x/u)] — sin[ω(t — (2l — х)/u)]}. (3)
Используя тригонометрическое соотношение
sinα – sinβ = 2 sin(α - β)/2 cos(α + β)/2,
формулу (3) можно привести к виду
ξ=2α sin[ω(l — х)/u] cos[ω(t — x/u)]. (4)
Выражение (4) называется уравнением стоячей волны.
Амплитуда стоячей волны
А = |2α sin[ω(l — х)/u]| (5)
зависит от координаты х. В точках, в которых для аргумента синуса выполняется условие
ω(l — х)/u = (2n+1)π/2, (6)
где n = 0,1,2..., модуль синуса равен единице; в этих точках амплитуда колебаний А достигает максимального значения, равного 2α. Эти точки называются пучностями стоячей волны.
В точках, в которых выполняется условие
ω(l — х)/u = πn, (7)
где также n = 0,1,2..., синус равен нулю и амплитуда колебаний обращается в ноль. Эти точки называются узлами стоячей волны.
Определим расстояние между двумя соседними узлами. С этой целью преобразуем левую часть уравнения (7):
ω(l — х)/u = (2π/T)[(l — х)/u] = 2π(l — х)/λ. (8)
Здесь учтено, что ω = 2π/T и Tu = λ, причем T = 1/ν — период колебаний и λ — длина волны. Заменив теперь левую часть выражения (7) на выражение (8), получим
2π(l — х)/λ = πn,
откуда следует, что
хn = l — nλ/2. (9)
Это уравнение определяет координату n-го узла. При постоянных l и λ величина хn зависит только от n. Поскольку дискретная величина n изменяется на Δn = ±1, то расстояние между соседними узлами можно найти, положив, например, n1 = 1 и n2 = 2, тогда
Δхузл = хn1 — хn2 = (l — λ/2) — (l — λ) = λ/2. (10)
Выражение типа (10) справедливо не только для двух любых соседних узлов, но и для двух соседних пучностей стоячей волны:
Δхпуч = λ/2. (11)
Отсюда следует, что рассеяние между соседними узлом и пучностью стоячей волны составит λ/4.
Множитель 2α sin[ω(l — х)/u] в уравнении (4) при переходе через нулевое значение меняет знак. Это означает, что фазы колебаний по обе стороны от узла отличаются на π. Следовательно, точки, лежащие по разные стороны от любого узла, совершают колебания в противофазе. Напротив, все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются в одинаковой фазе, т.е. синфазно.
Определив уровни жидкости, соответствующие первому и второму резонансу, можно найти длину звуковой волны, так как
S2 — S1 = 3λ/4 – λ/4 = λ/2. (12)
Отсюда
λ = 2(S2 — S1). (13)
Зная длину волны λ и частоту колебаний камертона ν, можно определить скорость звуковой волны по формуле
u = λν. (14)
Эта же формула позволяет найти неизвестную частоту колебаний другого камертона, если известна длина волны и скорость звука в воздухе:
ν = u/λ. (15)
|
№ опыта |
S1, м |
S2, м |
S2 — S1, м |
λ1i, м |
<λ1>, м |
Δλ1i =<λ1>λ1i, м |
Δλ1i2, м2 |
|
1 |
0,190 |
0,590 |
0,400 |
0,800 |
0,782 |
-0,018 |
324*10-6 |
|
2 |
0,195 |
0,585 |
0,390 |
0,780 |
0,002 |
4*10-6 |
|
|
3 |
0,200 |
0,587 |
0,387 |
0,774 |
0,008 |
64*10-6 |
|
|
4 |
0,197 |
0,587 |
0,390 |
0,780 |
0,002 |
4*10-6 |
|
|
5 |
0,198 |
0,585 |
0,387 |
0,774 |
0,008 |
64*10-6 |
|
|
Σ |
— |
— |
— |
3,908 |
— |
0,002 |
4,6*10-8 |
λ11 = 2(S2 — S1) = 2*0,400 = 0,800 м
λ12 = 2(S2 — S1) = 2*0,390 = 0,780 м
λ13 = 2(S2 — S1) = 2*0,387 = 0,774 м
λ14 = 2(S2 — S1) = 2*0,390 = 0,780 м
λ15 = 2(S2 — S1) = 2*0,387 = 0,774 м
<λ1> = Σ λ1i / 5 = 3,908 / 5 = 0,782 м
|
№ опыта |
S1, м |
S2, м |
S2 — S1, м |
λ2i, м |
<λ2>, м |
|
1 |
0,225 |
0,665 |
0,440 |
0,880 |
0,880 |
|
2 |
0,227 |
0,665 |
0,438 |
0,876 |
|
|
3 |
0,230 |
0,670 |
0,440 |
0,880 |
|
|
4 |
0,225 |
0,667 |
0,442 |
0,884 |
|
|
5 |
0,228 |
0,667 |
0,439 |
0,878 |
|
|
Σ |
— |
— |
— |
4,398 |
— |
λ21 = 2(S2 — S1) = 2*0,440 = 0,880 м
λ22 = 2(S2 — S1) = 2*0,438 = 0,876 м
λ23 = 2(S2 — S1) = 2*0,440 = 0,880 м
λ24 = 2(S2 — S1) = 2*0,442 = 0,884 м
λ25 = 2(S2 — S1) = 2*0,439 = 0,878 м
<λ2> = Σ λ2i / 5 = 4,398 / 5 = 0,880 м
|
камертон |
ν, Гц |
u, м/с |
u теор, м/с |
σλ, м |
σu, м/с |
δu, % |
σν, Гц |
δν, % |
|
1 |
440 |
344 |
347 |
4,8*10-5 |
0,021 |
6,1*10-3 |
— |
— |
|
2 |
390 |
— |
0,034 |
8,7*10-3 |
uтеор = (γRT/μ)1/2 = (1,4*8,314*300 / 29*10-3)1/2 = (120.409)1/2 = 347 м/с
σλ = ( Σ(Δλ1i)2 / n(n-1) )1/2 = (4,6*10-8 / 5*4 )1/2 = (23*10-10)1/2 = 4,8*10-5 м
σu = ν1σλ = 440* 4,8*10-5 = 0,021 м/с
δu (%) = σu*100% / u = 0,021*100% / 344 = 6,1*10-3 %
σν = (2)1/2σu / <λ2> = (2)1/2*0,021 / 0,880 = 0,034 Гц
ν2 = u / λ = 344 / 0,880 = 390 Гц
δν (%) = σν*100% / ν2 = 0,034*100% / 390 = 8,7*10-3 %
Контрольные вопросы
1. Напишите уравнение бегущей волны в упругой среде. Дайте определение амплитуды и фазы волны.
ξ = А cosω(t — x/u),
А – амплитуда волны, ω(t — x/u) + ϕ0 —фаза волны, где ϕ0 – начальная фаза волны
2. При каких условиях возникают стоячие волны?
Практически стоячие волны можно получить при отражении бегущей волны от преграды. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна интерферируют друг с другом и образуют стоячую волну.
3. Что такое узлы и пучности стоячей волны? Чему равно расстояние между ними?
В точках, в которых выполняется условие ω(l — х)/u = πn, где n = 0,1,2..., синус равен нулю и амплитуда колебаний обращается в ноль. Эти точки называются узлами стоячей волны.
Определим расстояние между двумя соседними узлами. Из формулы (10) Δхузл = λ/2.
В точках, в которых для аргумента синуса выполняется условие ω(l — х)/u = (2n+1)π/2, где n = 0,1,2..., модуль синуса равен единице; в этих точках амплитуда колебаний А достигает максимального значения, равного 2α. Эти точки называются пучностями стоячей волны.
Определим расстояние между двумя соседними пучностями. Из формулы (10) Δхпуч = λ/2.
Из (11) следует, что рассеяние между соседними узлом и пучностью стоячей волны составит λ/4.
4. Напишите выражение для амплитуды стоячей волны. От чего она зависит?
Амплитуда стоячей волны А = |2α sin[ω(l — х)/u]| зависит от координаты х.
5. Чему равна разность фаз колебаний между точками, находящимися по разные стороны одного и того же узла?
π ( колебания в противофазе)
Между двумя соседними узлами?
2π (колебания синфазны)
6. Какие превращения энергии имеют место в стоячей волне?
В стоячей волне энергия колебания каждого элемента объема среды, ограниченного соседним узлом и пучностью, не зависит от времени. Она дважды за период переходит из кинетической энергии, сосредоточенной вблизи от пучностей, в потенциальную энергию упруго деформированной среды, сосредоточенную вблизи от узлов.
7. При каком условии достигается максимальное звучание столба воздуха в трубе резонаторе?
Образование пучностей стоячей волны в сечении открытого торца трубы и узла у поверхности воды представляет собой условие резонанса для вынужденных колебаний в сплошной среде, в данном случае в воздухе. При выполнении этого условия получается максимальная громкость звука.